CONTROLO. Cap 5 Estabilidade
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- Gustavo Adriano Flores Custódio
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1 Cpítulo 5 Etilidde CONTROLO º emetre 7/8 Trnprênci de poio à ul teóric Cp 5 Etilidde Mri Iel Rieiro António Pcol Setemro de7 Todo o direito reervdo Et not não podem er ud pr fin ditinto i dquele pr que form elord (leccionção no Intituto Superior Técnico) em utorizção do utore Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
2 Ojectivo esumário Cpítulo 5 Etilidde Etilidde de SLIT no entido BIBO o o o Definição Exemplo motivdore A etilidde e loclizção do pólo Critério derouth Hurwitz Exemplo Referênci o Cp. (Secção.7) do livro de Frnklin, Powel, Nemi, 5ª edição (referênci principl) Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
3 Exemplo motivdor (controlo veloc. motor corrente contínu) Cpítulo 5 Etilidde Sitem de controlo de velocidde ngulr de um motor de corrente contínu Ε () ( ) Ω m () Ω E m () = () ( ) Dinâmic d velocidde ngulr Equem propoto de controlo R() _ k Ε () () Ω m () Ωm () k G() = = Como é repot um entrd R() ( k) de comndo eclão unitário? Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
4 Exemplo motivdor (controlo veloc. motor corrente contínu) Cpítulo 5 Etilidde Como é repot um entrd de comndo eclão unitário? Ωm () G() () = = R() k ( k) k k Ω m () = R() = ( k) ( k) Ω k k () = m ( k) ( k) ( k) Trnform de Lplce unilterl inver ω(t) k k (( k)t) = e pr ( k) ( k) t Repot nturl Repot forçd Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
5 Exemplo motivdor (controlo veloc. motor corrente contínu) Cpítulo 5 Etilidde ω(t) = k k ( k)t e ( k) ( k) Ecolh do gnho k do controldor A) k = B) k = ω(t) = e t G() = Repot nturl tende pr zero item etável ω(t) = Polo em rd G() () = (negtivo) t e Repot nturl tende pr infinito item intável Polo em rd (poitivo) Repot nturl repot forçd Repot nturl repot forçd Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
6 Etilidde BIBO Cpítulo 5 Etilidde BI = Bounded Input BO = Bounded Output Sitem BIBO etável e pr qulquer entrd limitd, íd éum inl limitdo Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
7 Etilidde BIBO Cpítulo 5 Etilidde Repot ini limitdo (BI = Bounded Input) U() Conider e u(t) limitdo G() n() G() = d() Y() Y() Trnformd inver de Lplce y(t) = yforçdo (t) Loclizção do pólo de G() determinm o comportmento qulittivo d repot nturl y nturl (t) Pergunt: A repot nturl é limitd (BO=Bounded Output)? ESTABILIDADE Pólo de G() com prte rel negtiv INSTABILIDADE Pólo de G() com prte rel poitiv Repot nturl tende pr zero Repot nturl explode y(t) limitdo y(t) ilimitdo Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
8 Etilidde BIBO Cpítulo 5 Etilidde G() = n() d() Repot ini limitdo (BI = Bounded Input) Pólo de G() com prte rel = Multiplicidde Multiplicidde uperior Repot nturl exie termo contnte (polo rel) ou ociltório (pr de pólo complexo conjugdo) Repot nturl explode ESTABILIDADE MARGINAL INSTABILIDADE Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
9 Cpítulo 5 Etilidde Sitem BIBO etável SISTEMA ESTÁVEL RESPOSTA NATURAL TENDE PARA ZERO SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA SAÍDA SISTEMA ESTÁVEL PÓLOS DE G() COM PARTE REAL NEGATIVA Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
10 Cpítulo 5 Etilidde Sitem BIBO intável SISTEMA INSTÁVEL RESPOSTA NATURAL EXPLODE (É NÃO LIMITADA) SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS ILIMITADOS NA SAÍDA SISTEMA INSTÁVEL PELO MENOS UM PÓLO G() COM PARTE REAL POSITIVA, OU PÓLOS SOBRE O EIXO IMAGINÁRIO COM MULTIPLICIDADE MAIOR DO QUE UM Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
11 Sitem BIBO mrginlmente etável Cpítulo 5 Etilidde SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL RESPOSTA NATURAL EXIBE TERMO CONSTANTE, OU É OSCILATÓRIA (com ocilçõe de mplitude contnte) HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA QUE PRODUZEM SINAIS ILIMITADOS NA SAÍDA HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA QUE PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA SAÍDA SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL G(S) TEM PÓLOS COM PARTE REAL NULA E MULTIPLICIDADE E NÃO TEM PÓLOS NO SPCD Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
12 Repot nturi: exemplo Cpítulo 5 Etilidde Repot nturl um entrd eclão unitári. Sitem em zero e gnho etático unitário Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
13 Repot nturi: exemplo Cpítulo 5 Etilidde Repot nturl um entrd eclão unitári. Sitem em zero e gnho etático unitário Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
14 Repot nturi: exemplo Cpítulo 5 Etilidde Repot nturl um entrd eclão unitári. Sitem em zero e gnho etático unitário Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
15 Etilidde BIBO Cpítulo 5 Etilidde Como etudr etilidde BIBO do item Determinr loclizção do pólo Fctorizr o polinómio denomindor d F.T. Pode não er fácil pr orden elevd Ur Mtl É precio er loclizção li exct do pólo? Ou t er e há polo no pcd ou ore o eixo imginário? Critério de Routh Hurwitz Permite concluir ore etlidde BIBO em fctorizr o polinómio denomindor de G() Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
16 Etilidde BIBO Cpítulo 5 Etilidde Crcterizr etilidde do SLIT com FT G() N() N() G() = = D() () 6 5 Código mtl >> d=[ d[ ]; >> p=root(d) p = i i i i.8858 pólo no pcd SLIT intável Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
17 Etilidde BIBO (item de ª ordem) Cpítulo 5 Etilidde Exemplo item de ª ordem: Sitem de controlo de velocidde ngulr de um motor decorrente contínu R() _ k Ε () Ω m () G() = Ωm() k = R() ( k) Pólo = p= (k) Num item de primeir ordem, é condição neceári e uficiente pr oitem er BIBO etável que o coeficiente do polinómio denomindor ejm todo poitivo Sitem etável e p < k > Pr k>, o coeficiente do polinómio denomindor ão poitivo. k > Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
18 Etilidde BIBO (item de ª ordem) Cpítulo 5 Etilidde Exemplo item de ª ordem: Sitem de controlo de poição ngulr de um motor de corrente contínu Dinâmic d velocidde ngulr Integrdor(poição ngulr é o integrl d velocidde ngulr) R() _ K Ε () K Ω m () ( ) Θ m () Hipótee poívei pólo rei Θm () KK G() = = pólo R() KK pólo complexo conjugdo Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
19 Etilidde BIBO (item de ª ordem) Cpítulo 5 Etilidde Exemplo item de ª ordem: Sitem de controlo de poição ngulr de um motor de corrente contínu Θ () KK G() m = = R() pólo KK Hipótee poívei pólo rei pólo = p ( p)( p) = (p p) pp, p p >,p > p p >,pp p >,p < p p < pólo complexo conjugdo pólo = j, j Num item de egund ordem, é condição neceári e uficiente pr oitem er BIBO etável que o coeficiente do polinómio denomindor ejm todo poitivo > ( j)( j) = > > > NÃO É GENERALIZÁVEL PARA ORDENS SUPERIORES Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
20 Etilidde BIBO: Critério de Routh Hurwitz Cpítulo 5 Etilidde ESTABILIDADE: G() éetável e todo o pólo tiverem prte rel negtiv. G() = n() d() CONDIÇÃO NECESSÁRIA: o coeficiente do polinómio denomindor devem er miore que zero NÃO É UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE! Se o coeficiente do polinómio denomindor tiverem todo o memo inl (todo poitivo ou todo negtivo) e etiverem todo preente É precio fzer ANÁLISE DE CRITÉRIOS PARA ESTUDO DE ESTABILIDADE CRITÉRIO DE HURWITZ um condição neceári (m não uficiente) de etilidde BIBO de um SLIT cul é que todo o coeficiente do polinómio denomindor d FT ejm poitivo (ou tenhm omemo inl) Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
21 Etilidde. Critério de Hurwitz: exemplo Cpítulo 5 Etilidde G() 5 O fi i ã ê d 5 = O coeficiente não têm todo o memo inl. Sitem não etável G() 5 = 5 O item não é etável Há um coeficiente que é nulo. Pode er intável ou mrginlmente etável G() = O coeficiente têm todo o memo inl Só pelo critério de Hurwitz não é poível tirr concluõe ore etilidde Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
22 Etilidde BIBO: Critério de Routh Hurwitz Cpítulo 5 Etilidde G ( ) = n( ) U() Contrução d tel de Routh G() () Y() TABELA INICIAL A du primeir linh ão contruíd prtir do coeficiente do polinómio denomindor de G() Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
23 Cpítulo 5 Etilidde Etilidde BIBO: Critério de Routh Hurwitz Contrução d mtriz de Routh TABELA DE ROUTH COMPLETADA = = = c = = = c c c Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol d c c = = c c = c c
24 Etilidde BIBO: Critério de Routh Hurwitz Cpítulo 5 Etilidde CRITÉRIO DE ROUTH = = = c = = = Um SLIT éetável e todo o elemento d colun pivot d tel l de Routh tiverem o memo inl (*) O número de pólo no emiplno complexo direito é igul o número de mudnç de inl n primeir colun d tel de Routh. c = d c = c c c c = (*) e, n contrução d mtriz de Routh, não tiver hvido zero n colun pivot Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
25 Critério de Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde R() C() C() _ ( = )( )( 5 ) R() ( ) Todo o coeficiente poitivo Critério de Hurwitz não permite concluir ore etlide Critério de Routh mudnç de inl n primeir colun d tel pólo no emiplno complexo direito: SISTEMA INSTÁVEL = 7 = = 7 = 7 7 = = N contrução d tel de Routh podemo implificr o cálculo Controlo multiplicndo ºem 7/8 todo o elemento de Iel umrieiro, linh por António um Pcol contnte poitiv
26 Critério de Routh Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5 Etilidde ( ) Zero ó n primeir colun ε 7 6ε 7 ε 9 6ε ε ε Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
27 ( 5 Critério de Routh Hurwitz: Co Epecii 6 ε = 5 ε = ) Cpítulo 5 Etilidde Um zero ó n primeir colun d tel de Routh 5 EVOLUÇÃO DOS SINAISDA COLUNA ε mudnç de inl 6ε 7 ε pólo no emiplno complexo direito 9 6ε ε ε SISTEMA INSTÁVEL Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
28 Critério de Routh Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5 Etilidde N() G() = = D() () Um linh de zero n tel de Routh Aplicção do Critério de Hurwitz o Sitem não etável Será mrginlmente etável ou intável l? A tel de Routh permite reponder e pergunt Sucede qundo D() tem pólo imetricmente colocdo reltivmente o eixo imginário Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
29 Critério de Routh Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5 Etilidde N() G() = = D() () Um linh de zero n tel de Routh Código Mtl >> d=[ ]; >> p=root(d) Sucede qundo D() tem pólo imetricmente colocdo reltivmente o eixo imginárioi i p =... Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
30 Critério de Routh Hurwitz: Co Epecii Cpítulo 5 Etilidde Um linh de zero n tel de Routh Q() dq() d d( ) d = Polinómio uxilir = = A ríze dete polinómio etão imetricmente colocdo reltivmente o eixo imginário A ríze dete polinómio ão pólo de G() mudnç de inl n colun pivot polo no emiplno complexo direito SISTEMA INSTÁVEL Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
31 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol Q() = dq() = 6 d
32 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde 6 O comportmento d tel de Routh depoi d linh correpondente o polinómio uxilir Q() é reultdo do zero dee polinómio uxilir N colun pivot, depoi do polinómio uxilir, não há troc de inl O polinómio uxilir não tem ríze no emi plno complexo direito (SPCD) Por imetri, o polinómio uxilir Q() não tem ríze no SPCE Q() tem ríze no eixo imginário Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol >> q=[ ]; >> r=root(q) r=.i.i.i.i
33 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde Análie d outr rize 8 5 linh Du troc de inl pólo no SPCD pólo no SPCE Do polinómio uxilir pre de pólo ore oeixo imginário SISTEMA INSTÁVEL Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
34 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde Controlo de um item intável em mlh ert Controldor Sitem Controlr θ i () _ K ( ) ( ) θ o () Ojectivo: Fzer nálie de Etilidde como função de K θ i () K( ) _ ( )( ) θ o () Função de Trnferênci em Cdei Fechd K( ) 99 (K ) K Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
35 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde K( ) 99 (k ) K K Condição de etilidde: 99 (98/99)K K K > ; (98/99)K > K K >. Pr K Sitem Etável (é precio gnho elevdo pr etilizr o item intável!) Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
36 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde Controldor PI (Proporcionl Integrl) Sitem Controlr K R() _ K I ( )( ) Y() Controldor PI (Proporcionl Integrl) R() _ KI K ( )( ) Y() Y() K K I R() ( K) K = Q l d K K t I Que vlore de K e K I grntem que o item em cdei fechd é etável? Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
37 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde Y() R() = K K I R() ( K) K I K K I K K K I I K K I KI K > KI K > K I > K I > K Condiçõe neceári e uficientede i etilidde d K I Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
38 Aplicção critério Routh Hurwitz: Exemplo Cpítulo 5 Etilidde Repot entrd eclão do item em cdei fechd K,K I = 5 = Amo têmerro etático nulo K =,KI = K =,KI = K I = Controldor P (proporcionl) Erro etático é não nulo Controlo ºem 7/8 Iel Rieiro, António Pcol
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