Sistemas de controle. Prof. André Schneider de Oliveira

Transcrição

1 Sistemas de controle Prof. André Schneider de Oliveira

2 Estrutura da apresentação Conceitos fundamentais do sistemas de controle Características da resposta Introdução à estabilidade Polos e zeros Conceito de estabilidade Critério de estabilidade de Routh- Hurwitz

3 Estrutura básica de controle Malha Fechada com realimentação

4 Definição Sistema de controle deve alcançar e estabilizar sua resposta no valor desejado. A precisão está relacionada com o erro do sistema (diferença entre o desejado e obtido) após estabilizar sua resposta.

5 Estágios da resposta O período entre o estímulo de entrada e a estabilização da resposta do sistema é denominado de resposta em regime transitório O período após a transição da resposta do sistema, onde, o sistema estabiliza em um determinado valor é denominado de resposta em regime permanente

6 Es7mulo degrau As estratégias de controle modipicam suas ações corretivas de acordo com os estímulos de entrada. Na análise da resposta de sistema de controle tradicionalmente é realizado um estímulo de degrau na estrada do controlador para analisar a saída.

7 Es7mulo degrau O degrau é uma transição instantânea do sinal de referencia do regime permanente inicial (geralmente nulo) para o valor desejado.

8 Tempo de subida Tempo de subida (rise time) é o tempo gasto para que a resposta do sistema a um degrau vá de seu valor (normalmente zero) até o valor Pinal Tradicionalmente especipicado como o tempo gasto para a resposta aumentar de algum percentual indicado (por exemplo 20%) para outra porcentagem especipicada (por exemplo 70%).

9 Tempo de subida Quanto menor for o valor do tempo de subida menor será o atraso do sistema para responder ao estímulo do degrau

10 Tempo de pico O tempo de pico (peak time) é o tempo gasto para a resposta ir do valor nulo até o primeiro valor de pico. Tempo necessário para a resposta do sistema sair do repouso e ir para o primeiro pico.

11 Tempo de estabilização Intervalo para que as oscilações na resposta do sistema desapareçam. Tempo necessário para a resposta diminuir e permanecer dentro de um percentual desejado, como por exemplo, 1% do valor Pinal

12 Sobre- passagem Sobre- passagem (sobre- sinal ou overshoot) é a quantidade máxima em que a resposta ultrapassa o valor de referencia Ou simplesmente, é quanto a resposta do sistema ultrapassa o valor desejado

13 Estabilidade A principal forma de determinar o desempenho de um sistema de controle é a estabilidade do sistema. A estabilidade de um sistema de controle está associado com a capacidade desse sistema gerar uma resposta única invariante no tempo. É possível depinir o conceito de estabilidade como: Um sistema de controle é estável, se e somente se, um sinal de entrada de amplitude limitada promove uma resposta com sinal saída também de amplitude limitada.

14 Instabilidade O termo instabilidade, está relacionado com geração de uma saída que tende a inpinito, ou seja, variante no tempo, e pode ser depinido como: Um sistema de controle é instável, se a resposta do sistema é variante no tempo e, naturalmente, tende ao inbinito. A estabilidade de um sistema de controle não é uma medida única, ou seja, um sistema não é unicamente estável ou instável Para o entendimento é preciso discutir os elementos que compõem um sistema de controle: os polos e os zeros

15 Sistema de Controle Um sistema de controle pode ser entendido como uma relação de sua saída por sua entrada que gera a função de transferência do sistema G s = y(t) u(t) =!!!! +!!!!!! + +!!!! +!!!!!! +!!!!!! + +!!!! +!!

16 Polos e zeros Os polos e zeros podem ser entendidos como soluções para a função de transferência G(s) O polo é um numero real ou complexo n, que quando aplicado a função de transferência G(s) resulte em inbinito, ou seja, G(n) =. O zero é um numero real ou complexo n, que quando aplicado a função de transferência G(s) resulte em zero, ou seja, G(n) = 0.

17 Polos e zeros Exemplo 01: Extrair os polos e zeros do sistema!! =! +!!! +!" Zeros: são obtidos através das soluções do numerador da função de transferência do sistema, ou seja, solucionando a equação s +2=0. Assim, o único zero do sistema é s=- 2 Polos: são obtidos através das soluções do denominador da função de transferência do sistema, ou seja, solucionando a equação s 2 +4s=0. Assim, os polos do sistema são s=0 e s=- 4

18 Polos e zeros Exemplo 02: Extrair os polos e zeros do sistema!! =! +!!! +! Zeros: Solução da equação s+2=0 à s=- 2 Polos: Solução da equação s 2 +4=0 à s=+2i e s=- 2i

19 Diagrama de polos e zeros O diagrama de polos e zeros demonstra os aspectos de estabilidade do sistema É construído no plano S que é um plano com um eixo Real e um eixo Imaginário

20 Diagrama de polos e zeros Os polos e zeros são desenhados no plano S de acordo com seu valor. Polos e zeros reais são desenhados sobre os seus eixos

21 Diagrama de polos e zeros Exemplo 01:!! =! +!!! +!" Zeros: o único zero do sistema é s=- 2 Polos: os polos do sistema são s=0 e s=- 4

22 Diagrama de polos e zeros % % Exemplo 01 % clc %limpa o console close all %fecha todas as janelas existentes clear all %limpa todas as variaveis s = tf('s'); %debine a variavel simbolica "s" numerador = s+2; denominador = s^2+4*s; sistema = numerador/denominador zeros = zero(sistema) %extrai os zeros do sistema polos = pole(sistema) %extrai os polos do sistema Bigure %cria uma nova janela pzmap(sistema) %desenha os polos e zeros grid % coloca grid no grabico title('exemplo 01') xlabel('eixo real'); ylabel('eixo imaginario'); axis([ ]);

23 Diagrama de polos e zeros Exemplo 02:!! =! +!!! +! Zeros: único zero s=- 2 Polos: s=+2i e s=- 2i

24 Diagrama de polos e zeros % % Exemplo 02 % clc %limpa o console close all %fecha todas as janelas existentes clear all %limpa todas as variaveis s = tf('s'); %debine a variavel simbolica "s" numerador = s+2; denominador = s^2+4; sistema = numerador/denominador zeros = zero(sistema) %extrai os zeros do sistema polos = pole(sistema) %extrai os polos do sistema Bigure %cria uma nova janela pzmap(sistema) %desenha os polos e zeros grid % coloca grid no grabico title('exemplo 02') xlabel('eixo real'); ylabel('eixo imaginario'); axis([ ]);

25 Conceito de estabilidade A estabilidade está associada com a localização dos polos e zeros no plano S, em relação ao eixo imaginário. Os polos são os principais fatores que afetam a estabilidade do sistema e sua localização no plano S está diretamente relacionada com o tipo de resposta do sistema. O eixo imaginário é como um limite entre a região de estabilidade e instabilidade.

26 Conceito de estabilidade Os polos devem estar à esquerda do eixo imaginário para o sistema ser considerado estável. Polos à direita do eixo imaginário introduzem instabilidades ao sistema.

27 Conceito de estabilidade A estabilidade depende diretamente da localização dos polos da função de transferência do sistema Um sistema não é dito unicamente estável ou instável, existem outras denominações de estabilidade que estão relacionadas com a localização dos polos. Um sistema é chamado assintoticamente estável se todos os polos da função de transferência encontram- se no lado esquerdo do eixo imaginário do plano S

28 Conceito de estabilidade Um sistema é chamado de marginalmente estável se existe um polo real simples na origem ou pares conjugados simples no eixo imaginário; e todos demais polos à esquerda do eixo imaginário do plano S Um sistema é chamado de instável se pelo menos um polo estiver à direita do eixo imaginário do plano S, ou se ocorrerem raízes múltiplas no eixo imaginário

29 Critérios de estabilidade de Routh- Hurwitz O critério de Routh- Hurwitz é uma metodologia para a determinação da localização dos polos de uma função de transferência sem a necessidade de calcula- los É possível determinar também as condições de estabilidade do sistema, prevendo quantos polos estão localizados a direita do eixo imaginário do plano S.

30 Critérios de estabilidade de Routh- Hurwitz

31 Critérios de estabilidade de Routh- Hurwitz view?usp=sharing

32 Critérios de estabilidade de Routh- Hurwitz Exemplo 03 Determine a distribuição dos polos no plano S utilizando o critério de Routh- Hurwitz para a função de transferência abaixo.!! =!!! +!! +!"! +!" +! s s s 2 b 1 b s 1 c s 0 d !! =!! =!"#!!!!!!"#!!!!! =! =!

33 Critérios de estabilidade de Routh- Hurwitz s !! =!"#!!!!! =!! =!.!" s s s s 0 d !"#!! =!!!.!"!!.!" Não é possível identificar trocas de sinais na primeira coluna. Então, todas as raízes então localizadas ao lado esquerdo do eixo imaginário do plano S. =! s s s s s

34 % % Exemplo 03 % clc %limpa o console close all %fecha todas as janelas existentes clear all %limpa todas as variaveis s = tf('s'); %debine a variavel simbolica "s" numerador = 1; denominador = s^4+s^3+5*s^2+2*s+4; sistema = numerador/denominador Zeros = zero(sistema) %extrai os zeros do sistema Polos = pole(sistema) %extrai os polos do sistema RHpolos=Routh(sistema); %determinacao do criterio de Routh- Hurwitz e %calculo da quantidade de polos no lado direito %do eixo imaginario do plano S fprintf('\n Numero de polos do lado direito do eixo imaginario =%2.0f\n',RHpolos) Bigure %cria uma nova janela pzmap(sistema) %desenha os polos e zeros grid % coloca grid no grabico title('exemplo 03') xlabel('eixo real'); ylabel('eixo imaginario'); axis([ ]);

35 Exercícios Determine se os sistemas descritos abaixo são estáveis ou instáveis, justibicando sua resposta em relação ao posicionamento dos polos em relação do Plano S, utilizando o critério de Routh- Hurwitz: 1.!! = 2.!! = 3.!! = 4.!! = 5.!! =!!!!!"!!!!!!!"!!!!!!!"!!!!!!!"!!!!!!!!"!!!"!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6.!! =!!!!!!!!!!!"