SC1 Sistemas de Controle 1. Cap. 5 Método do Lugar das Raízes Abordagem de Projetos Prof. Tiago S Vítor

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1 SC1 Sistemas de Controle 1 Cap. 5 Método do Lugar das Raízes Abordagem de Projetos Prof. Tiago S Vítor

2 Sumário 1. Introdução 2. Definições 3. Alguns detalhes construtivos sobre LR 4. Condições para um ponto pertencer ao LR 5. Compensação por Técnicas do Lugar das Raízes 6. Projeto analítico de reguladores de Avanço/Atraso de Fase 7. Projeto Analítico de Reguladores PID

3 Bibliografia Textos e figuras retirados do livro Sistemas de Controle: Projetos, Simulações e Experiências de Laboratório, autor Carlos Alberto Murari Pinheiro, Antonio Carlos Zambroni de Souza, Paulo César Rosa, Isaís Lima. Editora ESETec, 2012.

4 1. Introdução Método do Lugar das Raízes (LR) Um dos métodos tradicionais de análise e projeto de sistemas de controle Estuda a variação das posições dos polos da FT em MF Ditam o comportamento dinâmico do processo/planta Aproximação do sistema para modelos de 2ª ordem Polos dominantes (2 raízes da eq. carac. com as maiores constantes de tempo do modelo em questão) Tais polos regem a dinâmica do sistema de controle Permite posicionar 2 polos da eq. carac. em locais desejados no plano complexo

5 2. Definições R(s) O Lugar das Raízes Gráfico gerado pela movimentação das raízes da eq. carac. (polos da FT e MF) no plano complexo com a variação do parâmetro K Ganho K Planta G p (s) C(s) H(s) Realimentação Malha de um sistema de controle típico

6 FT em MF C(s) R(s) = KG p (s) 1 + KGp s H(s) Eq. Característica 1 + KGp s H s = 0 Fazendo G p s H s = N(s) D(s) FTLA: FT em Laço Aberto - Raízes de N(s) são zeros da FTLA - Raízes de D(s) são polos da FTLA

7 G p s H s = N(s) D(s) em 1 + KGp s H s = K N(s) D(s) = 0 resulta D(s) + KN(s) = 0 D(s) K + N(s) = 0

8 3. Alguns detalhes construtivos sobre LR Processo simplificado para esboçar LR Projetistas não dispunham de ferramentas computacionais até meados da metade do século passado 1) Pontos de início e término do LR K varia de 0 a + D(s) + KN(s) = 0 K = 0 D s = 0 LR se inicia nos polos da FTLA D(s) K + N(s) = 0 K = N s = 0 LR termina nos zeros da FTLA

9 3. Alguns detalhes construtivos sobre LR 2) Número de assíntotas Modelos de sistemas físicos reais Nº polos > Nº zeros Denominador da FTLA, D(s), possui ordem maior que N(s) Ordem(D(s)) = n Ordem(N(s)) = m n a = n m 0 LR possui n a zeros no infinito. Cada um corresponde a uma assíntota. K + polos zeros da FTLA assintoticamente

10 3. Alguns detalhes construtivos sobre LR 2.1) Ângulos entre as Assíntotas θ a = (i 1) n a i = 1, 2,, na 2.2) Pontos de cruzamento das Assíntotas σ a = Polos Zeros n a

11 3. Alguns detalhes construtivos sobre LR 3) Pontos múltiplos Soluções da eq. carac. para K onde se encontram raízes reais com multiplicidades superiores a 1 Multiplicidade Derivando em relação a s dα s ds α s = (s sm) β α 1 (s) Eq. Carac. Raiz múltipla = α s = β(s sm) β 1 α 1 (s) + (s sm) β α 1 (s) s m também é raiz de α s, α s m = 0

12 3. Alguns detalhes construtivos sobre LR 3) Pontos múltiplos Portanto, podemos derivar a equação característica para encontrarmos as raizes Derivando em relação a s α s = D s + KN s α s = D s + KN s K = D(s) N(s) α s = D s α s m = 0 e K = D(s) N(s) D s N s N s s=sm = 0 D s N s D s N s = 0 As soluções reais com multiplicidade diferente de 1 são os pontos múltiplos do LR.

13 4. Condições para um ponto pertencer ao LR A eq. caract. pode ser escrita como 1 + KGp s H s = 0 KG p s H s = 1 K N(s) D(s) = 1 N(s) K D(s) = K é um número real positivo Para que s = s 1 seja solução da eq. caract. o ângulo da FTLA, G p s H s, avaliado neste ponto deverá ser múltiplo ímpar de 180

14 Critério de Ângulo G p s H s = ±180 (2i + 1) i = 1, 2, 3, Para que um ponto no plano complexo pertença ao LR Critério de Magnitude 1 + KGp s H s = 0 1 K = G p s H s Satisfeito o Critério de Ângulo, aplicar Critério de Magnitude. Do contrário, não se aplica.

15 Exercício 1 Usar Matlab e fazer Relatório - Atividade Individual Para a FT abaixo que modela um determinado processo, encontrar 1) zeros e polos 2) número de zeros (m) e número de polos (n) 3) Obter LR, comando rlocus 4) Encontrar analiticamente e provar graficamente Número de assíntotas (n a ) Ângulo entre as assíntotas (θ a ) Ponto de cruzamento das assíntotas (σ a ) Pontos múltiplos (s m ) 5) Avaliar para s m Critério de Ângulo e Critério de Magnitude Substituir na eq. caract. e verificar solução. Qual a conclusão? G p s H s = s + 5 s(s + 3)(s + 10) 6) Avaliar s 1,2 = 2 ± j10 quanto ao Critério de Ângulo e Critério de Magnitude. Qual a conclusão? 7) Qual a faixa de ganhos de K para malha de controle permanecer estável? Justifique.

16 Exemplo 1 Análise e Projeto de Sistemas de Controle FT que modela um sistema de posicionamento angular G p s H s = 40 s(0,25s 2 + 3,75s + 14) Sistema tende a ser instável em MA, pois apresenta um polo na origem Para estabilizar sistema Empregar uma malha de controle Tipo de controlador mais simples: compensador proporcional de ganho K (K p ) 1 + KGp s H s = 0 = 0,25s 3 + 3,75s s + 40K

17 Tabela Raízes para variações do ganho K do controlador K Raízes ( s ) ,85 ± j3,28 11,3 2 1,21 ± j4,9 12,57 3 0,76 ± j5,92 13,49 4 0,39 ± j6,7 14,22 5 0,07 ± j7,34 14,85 6 0,02 ± j7,89 15,41 É possível traçar LR mesmo sem a utilização de softwares específicos: 1 ) Elaborar tabela 2 ) Traçar gráfico (Im X Re) Analisar estabilidade e determinar ganho Ganho Crítico da Malha de Controle: K = 5,25 Faixa de operação do ganho do controlador que garanta estabilidade: 0 < K < 5,25

18 Para ganhos estáveis é possível estimar comportamento dinâmico do sistema K = 1 s 1,2 = 1,85 ± j3,28 s 3 = 11,3 s 1,2 são as raízes dominantes em relação a s 3 pois estão mais próximas da origem Definem sistema de 2ª ordem: ω n = 3,76 [ rad s] freq. natural de oscilação ζ = 0,49 fator de amortecimento Estes parâmetros definem: M p = 17% máximo pico T a = 2,16 [s] tempo de acomodação Para um entrada de referência em degrau unitário na malha de controle resultante

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20 Para imposição das raízes dominantes da malha de controle Encontra-se K, igualando a eq. caract. às duas raízes dominantes desejadas Problema: Encontrar K que permita polos dominantes com parte {RE} em KGp s H s = polos 0,25s 3 + 3,75s s + 40K = (s + 2 ji)(s ji)(s + r) Igualando os termos em ambos os membros da equação r = 11 I = K = 0,825 ω n = ζ = 0,58

21 5. Compensação por Técnicas do Lugar das Raízes A variação do ganho proporcional é o modo mais básico de sintonia Exemplos vistos anteriormente Ponto chave para a compensação Entender a importância do posicionamento de um par de polos (polos dominantes) no plano complexo Fazer com que esses pontos pertençam ao LR Polos dominantes São as raízes de uma eq. caract. de 2ª ordem que, por estarem próximas do eixo imaginário, determinam a dinâmica do sistema

22 5. Compensação por Técnicas do Lugar das Raízes Compensar um sistema Alterar a eq. caract., pela adição do compensador, fazendo com que passe a ter como raízes os polos dominantes Efeito no novo LR: distorção nos ramos fazendo com que passem pelos polos especificados Certos requisitos de projeto a serem atendidos Máximo pico M p (ou overshoot %OS ou ultrapassagem máxima ou sobre valor) Tempo de acomodação T a (ou Settling time T s ) Erro em regime permanente e ss para determinados tipos de entradas de referência (ex.: degrau ou rampa) Veremos os reguladores mais empregados em aplicações industriais Avanço/Atraso de Fase (Lead-Lag) PID (Proporcional-Integral-Derivativo)

23 Eq. caract. de um sistema com polos dominantes modelados por função de 2ª ordem s 2 + 2ζω n s + ω n 2 s 1 θ ω n Im ω n 1 ζ 2 Supondo 0 < ζ < 1, suas raízes são: s 1,2 = ζω n ± jω n 1 ζ 2 ζω n s 2 Re Polos dominantes estão relacionados com requisitos de projeto M p = e πζ 1 ζ 2 T a = 4 ω n ζ M p e T a dependem de ζ e ω n

24 6. Projeto analítico de reguladores de Avanço/Atraso de Fase Função de compensação K s = G c s = a 1s + a 0 b 1 s + 1 Equação característica 1 + K(s)G p s H s = 0 O compensador não é mais uma constante Para determinados polos dominantes s = s 1 K s 1 G p s 1 H s 1 = 1 = Módulo K(s 1 ) G p s 1 H s 1 = 1 Fase K s 1 + G p s 1 H s 1 = 180

25 O valor da função no polo dominante s 1 = s 1 β G p s 1 H s 1 = G p s 1 H s 1 ψ Resolvendo as equações de Módulo e Fase Obtem-se a 1 e b 1 em função de a 0 K(s 1 ) G p s 1 H s 1 = 1 K s 1 + G p s 1 H s 1 = 180 a 1 = senβ + a 0 G p s 1 H s 1 sen(β ψ) s 1 G p s 1 H s 1 senψ b 1 = sen(β + ψ) + a 0 G p s 1 H s 1 s 1 senψ sen(β)

26 Exercício 2 Usar Matlab e fazer Relatório - Atividade Individual Para o modelo do processo a seguir Projetar um compensador de Avanço ou Atraso de Fase de modo que a malha de controle resultante possua Polos Dominantes com valores 2 ± j10 e erro em regime permanente 0,04 (4%) para entrada de referência tipo rampa unitária Os valores foram escolhidos de forma que o sistema de controle apresente um M p = 53% e T a = 2 [s] G p s H s = s + 5 s(s + 3)(s + 10)

27 Orientação para Solução O sistema é do Tipo 1 (possui um polo na origem) A Tabela a seguir permite ajustar o valor do ganho do controlador para impor o erro em regime permanente para a entrada de referência considerada Tipo / Entrada Degrau Rampa Parábola Tipo 0 Tipo K p K p = lim s 0 G c (s)g p H(s) Tipo K v K v = lim s 0 sg c (s)g p H(s) K a K a = lim s 0 s 2 G c (s)g p H(s) 1º passo a 0 =?

28 2º passo s 1 = 2 + j10 s 1 =? β =? G p s 1 H s 1 =? G p s 1 H s 1 =? ψ =? 3º passo a 1 =? b 1 =? 4º passo K s = G c s = a 1s + a 0 b 1 s + 1 =?

29 5º passo Mostrar LR do sistema não compensado sobreposto ao sistema compensado com G c (s). Os ramos do novo LR passam pelos pontos 2 ± j10? A compensação é efetiva? 6º passo Obter resposta ao degrau da malha compensada. Graficamente encontrar M p e T a Matematicamente encontrar M p e T a Os requisitos do sistema são atingidos para entrada degrau? 7º passo Obter resposta à rampa para a malha compensada. Graficamente encontrar e ss A especificação de e ss foi cumprida?

30 6. Projeto analítico de reguladores de Avanço/Atraso de Fase Observação final de controladores de Avanço/Atraso de fase Se o polo dominante estiver sobre o eixo real, β = 180 as equações anteriores não são válidas,, pois seus denominadores se anulam Usar então K s 1 G p s 1 H s 1 = 1 = K s 1 = 1 G p s 1 H s 1 Assim é possível obter a 1 em função de a 0 e b 1 a 1 = b 1 s s 1 G p s 1 H(s 1 ) + a 0 s 1

31 7. Projeto Analítico de Reguladores PID FT de um controlador PID K s = G c s = K ds 2 + K p s + K i s Equação característica 1 + K(s)G p s H s = 0 O compensador não é mais uma constante Para determinados polos dominantes s = s 1 K s 1 G p s 1 H s 1 = 1 = Módulo K(s 1 ) G p s 1 H s 1 = 1 Fase K s 1 + G p s 1 H s 1 = 180

32 O valor da função no polo dominante s 1 = s 1 β G p s 1 H s 1 = G p s 1 H s 1 ψ Resolvendo as equações para K d, K p e K i K(s 1 ) G p s 1 H s 1 = 1 K s 1 + G p s 1 H s 1 = 180 K p = sen(β + ψ) G p s 1 H s 1 senβ 2K icos(β) s 1 K d = sen(ψ) s 1 G p s 1 H s 1 sen(β) + K i s 1 2

33 Exercício 3 Usar Matlab e fazer Relatório - Atividade Individual Seja uma planta com o modelo abaixo Deseja-se compensar o sistema com um regulador PID para que atenda às especificações M p = 30%, T a = 2 [s] e e ss = 0,1 para entrada rampa unitária G p s H s = 100 (s + 4)(s + 6)(s + 12)

34 Orientação para Solução O sistema é do Tipo =? A Tabela a seguir permite ajustar o valor do ganho do controlador para impor o erro em regime permanente para a entrada de referência considerada Tipo / Entrada Degrau Rampa Parábola Tipo 0 Tipo K p K p = lim s 0 G c (s)g p H(s) Tipo K v K v = lim s 0 sg c (s)g p H(s) K a K a = lim s 0 s 2 G c (s)g p H(s) 1º passo K i =?

35 2º passo ζ =? M p e T a ωn =? s 1 =? s 1 =? β =? G p s 1 H s 1 =? G p s 1 H s 1 =? ψ =? 3º passo K p =? K d =? 4º passo K s = G c s = K ds 2 + K p s + K i s =?

36 5º passo Mostrar LR do sistema não compensado sobreposto ao sistema compensado com G c (s). Os ramos do novo LR passam pelos polos especificados? A compensação é efetiva? 6º passo Obter resposta ao degrau da malha compensada. Graficamente encontrar M p e T a As especificações de projeto foram alcançadas para a entrada degrau? 7º passo Obter resposta à rampa para o sistema compensado. Graficamente encontrar e ss A especificação de e ss foi cumprida?

37 7. Projeto Analítico de Reguladores PID Considerações adicionais do projeto PID Caso o polo dominante esteja sobre o eixo real, β = 180 as equações anteriores não são válidas, pois seus denominadores se anulam É possível obter K p em função de K d e K i K p = K d s 1 + K i s G p s 1 H(s 1 )

38 Bibliografia Textos e figuras retirados do livro Sistemas de Controle: Projetos, Simulações e Experiências de Laboratório, autor Carlos Alberto Murari Pinheiro, Antonio Carlos Zambroni de Souza, Paulo César Rosa, Isaís Lima. Editora ESETec, Engenharia de Sistemas de Controle, autor Norman S. Nise, 5ª ed., LTC.