Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada no âmbito da determinação de funções interpoladoras.

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1 CAPÍTUO 7 FUÇÕES ITERPOADORAS ete pítulo ão derito divero modo de obtenção de funçõe interpoldor, tmbém deignd funçõe de form. São preentdo eemplo reltivo meio unidimenioni, bidimenioni e tridimenioni. A funçõe de form obtid por proedimento genério podem depoi er utilizd em ditint formulçõe do método do elemento finito Simbologi Apreent-e em primeiro lugr um reumo d imbologi doptd no âmbito d determinção de funçõe interpoldor. Tbel 7. - Simbologi reltiv à determinção de funçõe interpoldor. u n V Coordend rtein Coordend rtein de um nó de um elemento finito Cmpo de delomento Delomento nodl Função interpoldor ou função de form úmero de nó do elemento finito Dimenão do elemento finito Coordend lol (urvilíne) Epeur do elemento finito lminr Epeur do elemento finito num nó Coordend lol de um nó de um elemento finito Vetor d funçõe interpoldor ou funçõe de form

2 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo V Q p θ Vetor ontendo o ftore não ontnte de um polinómio Coefiiente de um termo de um polinómio Mtriz uj olun ontêm o vetor V vlido em nó do elemento finito úmero de nó de um bordo de um elemento finito Delomento de um nó de um elemento finito Rotção de um nó de um elemento finito 7. - Co unidimenionl Figur 7. enontr-e repreentdo um elemento finito unidimenionl om qutro nó olodo obre o eio. A poição de d nó é definid pel repetiv oordend rtein i, endo i o número do nó. u () ( ) ( ) ( ) ( ) Fig Elemento finito unidimenionl de geometri rbitrári. A rteríti eenii de um função de form i ão eguinte: deve umir o vlor unitário pr i ; deve nulr-e no retnte nó. É tmbém deejável, no o d funçõe polinomii, mnter o gru do polinómio tão bio qunto poível. Tbel 7. enontrm-e o vlore que d função de form deve umir no nó do elemento finito. 6

3 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo Tbel 7. - Crteríti d funçõe (), (), () e (). () () () () É fáil verifir que eguinte funçõe de form ão polinómio que repeitm ondiçõe definid n Tbel 7.. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) () ( )( )( ) ( )( )( ) () ( )( )( ) ( )( )( ) () ( )( )( ) ( )( )( ) () A epreão genéri pr o o de um elemento finito unidimenionl om n nó é i ( ) n ( i ) ( k ) ( ) k i k k () A epreão () é deignd fórmul de interpolção de grnge [7.], endo epreõe ()-() o o prtiulr de (), qundo n. Se em () e oniderr n, e, obtêm-e funçõe de form que form determind no Cpítulo pr o o d brr de doi nó e omprimento. De um modo emelnte eri poível verifir oinidêni 7

4 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo entre retnte funçõe de form determind no Cpítulo e que e obtêm om () Co bidimenionl Conidere-e gor o elemento finito bidimenionl om 6 nó repreentdo n Figur / / 9 / / / / Fig Elemento finito bidimenionl om 6 nó. Reltivmente o elemento finito de 6 nó, pretende-e obter função de form 7 (, ). Et função deve er unitári no nó 7 e deve nulr-e no retnte nó. A oordend do nó 7 ão (, ) (/, -/). direção, o nó 7 é o tereiro nó. Por io deve-e utilizr função indid em () e oniderr,,, e. Et função é deignd etemeguinteepreão 8

5 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) (6) 7 6 ( ) ( )( )( ) (7) O índie em têm o ignifido de função de form unidimenionl orrepondente o nó e om ubtituido por. direção, o nó 7 é o egundo nó. Por io deve-e utilizr função indid em (), oniderr e, de igul form,,, e. Et função é deignd etemeguinteepreão ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) (8) 7 6 ( ) ( )( )( ) (9) A função 7 (, ) é o produto de (7) por (9) ( ) ( ) ( ) () 7, 79 6 ( ) ( )( )( )( )( )( ) 7, () Como e pode filmente verifir, et função de form ume o vlor unitário no nó 7 e nul-e no retnte nó. A funçõe de form orrepondente o retnte nó poderim er obtid de um modo idêntio o que foi qui preentdo. Figur 7. enontr-e, em perpetiv, o gráfio d função 7 (, ). 9

6 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo 7 (, ) Fig Gráfio d função de form 7 (, ). A epreão () é equivlente à eguinte 7 (, ) ()

7 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo O triângulo de Pl orrepondente um função de du vriávei é o eguinte 6 6 () Comprndo () om o triângulo de Pl repreentdo em (), pode obervr-e que função de form 7 (, ) é um polinómio de eto gru inompleto, em que form utilizdo pen o 6 termo que figurm em () Proedimento genério pr determinr funçõe de form Apreent-e em eguid um proedimento que permite determinr funçõe de form de um elemento finito om n nó rbitrrimente ditribuído [7.]. A epoição que e egue bei-e num eemplo, que onite num elemento finito de ino nó poiiondo de ordo om Figur 7.. (, ) Fig Elemento finito om ino nó. A oordend do ino nó do elemento finito ão, no item de eio (, )

8 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo () Pretende-e fzer interpolção do mpo de epeur (, ), endo utilizd eguinte epreão, em que i repreent epeur do elemento finito no nó i. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,,, () Reorrendo à notção mtriil, equção () p [ ] (6) ou V T (7) endo (8) V (9)

9 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo Tendo em vit determinção d ino funçõe de form polinomii i, é neeário eleionr no triângulo de Pl um número de termo igul o número de nó do elemento finito. Por ete motivo, o eemplo d Figur 7. requer eol de ino termo, que devem er de gru tão bio qunto poível. o triângulo de Pl trá preentdo (), ão im eleiondo o eguinte termo, que e grupm num vetor deigndo por V V () eleção efetud, foi dd preferêni termo de gru mi elevdo em do que em, devido o fto de o elemento finito preentr mi nó egundo direção. De ordo om eleção de termo efetud, função (, )vierproimd om o eguinte polinómio ( ), () que em notção mtriil e ereve [ ] () ou V T () endo

10 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo () Ao efetur em () ubtituição d vriávei e pel oordend do nó, pretende-e obter o vlor d epeur no nó ( ) [ ] () Proedendo de igul form om o retnte nó e grupndo ino epreõe do tipo () num úni epreão mtriil, tem-e [ ] [ ] (6) ou T T Q (7) endo Q (8)

11 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo o o do eemplo d Figur 7. e de ordo om (), o elemento de Q ão Q (9) Um vez que mtriz Q é qudrd e e upõe não ingulr, pode-e multiplir, à direit, mbo o membro de (7) por Q, reultndo Q T T () Subtituindo o egundo membro de () em () reult V Q T () Um vez que ão igui o egundo membro de (7) e (), e um vez que o vetor de epeur ( ) é rbitrário, onlui-e que V Q V () o o do eemplo d Figur 7., inver d mtriz Q (9) é Q () reultndo

12 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo 6 V () A funçõe de form ão ( ) ( ), () ( ) ( ), (6) ( ) ( ), (7) ( ), (8) ( ) ( ), (9) Eitem lgun o em que, devido à lolizção do nó ou devido à inorret eleção de termo no triângulo de Pl, mtriz Q reult ingulr. ete o o proedimento qui derito não pode er utilizdo Elemento bidimenioni: fmíli grngen e erendipity O proedimento derito n Seção 7. enontr-e bem definido, om eepção do fto de er neeário eleionr, em d o, um dequdo onjunto de termo no triângulo de Pl. o o em que não eite um ritério óbvio, é onveniente enir vári lterntiv. De d onjunto de termo do triângulo de Pl vi reultr um ditint formulção do elemento finito, endo onveniente verigur qul é que onduz reultdo mi preio. Pr ituçõe mi omun eitem já formulçõe que onduzem bon reultdo, endo em eguid preentdo doi dee o, que ão deigndo de elemento d fmíli grngen e elemento d fmíli erendipity [7.].

13 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo O elemento bidimenioni d fmíli grngen ão qudrilátero om p nó, endo p o número de nó de um bordo (ver Figur 7.). p p p Fig Elemento finito bidimenioni d fmíli grngen. A funçõe de form do elemento grngeno om p form já preentd n Seção 7.. Qundo e determinm funçõe de form om o proedimento genério derito n Seção 7., deve-e eleionr o termo do triângulo de Pl om o ritério definido n Figur 7.6. p 6 p p 6 Fig Seleção de termo no triângulo de Pl pr elemento finito bidimenioni d fmíli grngen. Como e pode obervr n Figur 7.6, o ritério de eleção de termo no triângulo de Pl é filmente etenível vlore uperiore de p. 7

14 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo Apreentm-e n Figur 7.7 lgun eemplo de elemento finito d fmíli erendipity. p p p Fig Elemento finito bidimenioni d fmíli erendipity. O número de nó de d elemento d fmíli erendipity é(p - ), endo p o número de nó de um bordo. Figur 7.8 enontr-e o ritério de eleção de termo no triângulo de Pl pr o o de elemento d fmíli erendipity. p p p 6 p 6 p p p p 6 p p 6 Fig Seleção de termo no triângulo de Pl pr elemento finito bidimenioni d fmíli erendipity. 8

15 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo De d vez que p é inrementdo um unidde, ão reentdo qutro nó o elemento finito (um em d bordo) e ão eleiondo mi qutro termo no triângulo de Pl. Ete ritério é etenível qulquer vlor de p. práti, o elemento finito que preentm um bom ompromio entre o número de nó e qulidde do reultdo obtido ão o d fmíli erendipity, om oito nó (p ). Apreent-e n Figur 7.9 um eemplo de um dete elemento finito no referenil (, ). p Fig Elemento finito de 8 nó d fmíli erendipity. Qundo omprdo om o qudrilátero de qutro nó, o elemento finito repreentdo n Figur 7.9 tem vntgem de er mi preio e de e dptr bem fronteir urvilíne. Apreent-e em eguid um eemplo de um elemento finito que preent mi nó n direção do que n direção (ver Figur 7.). 9

16 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo Fig Elemento finito bidimenionl om oito nó. Tendo em vit determinção d funçõe de form do elemento finito repreentdo n Figur 7., devem er eleiondo o termo do triângulo de Pl que e enontrm inldo n Figur 7.. Fig Seleção de termo no triângulo de Pl pr o elemento finito bidimenionl repreentdo n Figur 7.. São preferido termo de gru mi elevdo em, porque o elemento poui mi nó n direção do que n direção Propriedde d funçõe interpoldor Conidere-e o elemento finito de trê nó repreentdo n Figur 7..

17 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo u () ( ) ( ) ( ) Fig Elemento finito unidimenionl de geometri rbitrári. Supondo que não é efetud qulquer ubtituição de vriável, interpolção do mpo de delomento é efetud d eguinte form ( ) ( ) ( ) ( ) u () Admit-e gor que em todo o nó é impoto o memo delomento. () ete o pretende-e que função interpold u ( ) ej um função ontnte ( ) em todo o ponto do elemento finito. Subtituindo () e () em (), reult u () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () n i i ( ) () endo n o número de nó do elemento finito. A equção () ontitui um propriedde que funçõe de form devem pouir. Só im e grnte que um trnlção do elemento finito é orretmente interpold om equção ().

18 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo É fáil onttr que todo o onjunto de funçõe de form preentdo no Cpítulo e 6 pouem propriedde (). Outrquetãoqueeoloédedefinirumproedimentoquegrntquefunçõe interpoldor que e pretende determinr poum propriedde (). Com ete objetivo onidere-e epreão que define funçõe interpoldor () V Q V (6) Multiplindo mbo o membro de (6) por Q obtém-e Q V V (7) que no eemplo d Figur 7. orreponde (ver Seção 7.) (8) Como e pode verifir em (8), e no triângulo de Pl o elemento unitário do eu vértie for o primeiro do termo eleiondo, então o primeiro elemento do vetor V é empre unitário e primeir lin d mtriz Q tem todo o elemento tmbém unitário. A primeir d ino equçõe que (8) orreponde é (9) A funçõe de form determind om (6) repeitm ondiçõe (8) e (9). Aim fi provdo que empre que o termo unitário do triângulo de Pl é eleiondo, então funçõe de form obtid pouem propriedde () Interpolção Hermitin Em tod interpolçõe que form efetud n eçõe nteriore pen e tendeu o vlore nodi d funçõe. interpolção Hermitin, que é derit

19 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo net eção, ão tmbém oniderd derivd d funçõe no nó. Ete tipo de interpolção tem interee pr formulção de elemento finito em que ão oniderd rotçõe (e.g., vig, lje). Figur 7. enontr-e um elemento finito om doi nó e omprimento. A função u() orreponde o delomento vertil, ujo vlore nodi ão e.o nó e rotção é θ e θ, repetivmente. θ u () θ ( ) / / ( ) Fig Interpolção Hermitin num elemento unidimenionl om doi nó. O delomento generlizdo do nó do elemento finito repreentdo n Figur 7. ão o eguinte θ () θ De ordo om Figur 7. e deignndo du/d por u ( ),tem-e u ( ) u ( ) θ u u ( ) u ( ) ( ) u ( ) () θ u ( ) u ( ) Um vez que rotçõe ão muito pequen, upõe-e

20 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo tn θ θ () Pretende-e determinr função u() que repeit ondiçõe (). Com ee objetivo, dmite-e que função u() é o eguinte polinómio de gru ( ) u () que em notção mtriil orreponde u ( ) [ ] () ou endo u T ( ) V () (6) e V (7) Derivndo mbo o membro de () obtém-e ( ) u (8) que em notção mtriil orreponde

21 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo ( ) [ ] u (9) ou ( ) V u T (6) endo V (6) Pr que () e verifique qundo funçõe u e u' ão () e (9), é neeário que ( ) [ ] u (6) ( ) [ ] u (6) ( ) [ ] u (6) ( ) [ ] u (6)

22 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo 6 Agrupndo (6)-(6) num úni epreão mtriil, reult [ ] [ ] (66) ou Q T T (67) endo definido por (), definido por (6) e Q definido por Q (68) Verifi-e im que olun d mtriz Q ão ontituíd pelo vetore V (7) e V ' (6) vlido no ponto nodi e. o o d Figur 7. tem-e 8 8 Q (69) Multiplindo, à direit, mbo o membro de (67) por Q reult Q T T (7)

23 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo 7 A mtriz inver de (69) é ( ) ( ) ( ) ( ) 8 8 Q (7) Subtituindo (7) em () obtém-e ( ) V Q u T (7) A interpolção que e pretende definir deve ter eguinte rteríti ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u (7) que em notção mtriil orreponde ( ) [ ] u (7) ou ( ) V T u (7) endo definido por () e V (76) Um vez que ão igui o egundo membro de (7) e (7), e um vez que o vetor do delomento nodi () é rbitrário, onlui-e que V Q V (77)

24 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo 8 o o do eemplo d Figur 7., funçõe de form obtêm-e fzendo o produto de (7) por (7), reultndo ( ) (78) ( ) 8 (79) ( ) (8) ( ) 8 (8) o o prtiulr de er, funçõe de form ão eguinte ( ) (8) ( ) (8) ( ) (8) ( ) (8) O gráfio d funçõe (8)-(8) enontrm-e repreentdo n Figur 7.

25 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo () () - - () () - - Fig Gráfio d funçõe i () orrepondente o elemento de doi nó om omprimento. Apreent-e em eguid o o d interpolção Hermitin de um elemento de trê nó. O elemento oniderdo tem omprimento e o nó intermédio entrdo (ver Figur 7.). u () θ 6 θ θ ( ) ( ) ( ) Fig Interpolção Hermitin num elemento unidimenionl om trê nó. 9

26 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo O vetor do delomento generlizdo é 6 θ θ θ (86) A função u() que repeit ondiçõe indid n Figur 7. é ( ) 6 u (87) ( ) [ ] 6 u (88) ( ) V u T (89) A derivd d função u()é ( ) 6 u (9) ( ) [ ] 6 u (9) ( ) V u T (9)

27 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo AmtrizQ é nete o eguinte Q (9) De ordo om oordend indid n Figur 7., tem-e Q (9) Q (9) Atendendo (77), tem-e V Q V (96) 6 (97)

28 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo ( ) (98) ( ) (99) ( ) () ( ) () () ( ) 6 ( ) () O gráfio d funçõe (98)-() enontrm-e repreentdo n Figur Coniderçõe fini ete pítulo form preentdo lgun proedimento detindo à determinção de funçõe de form. Sempre que o proedimento mi imple não ejm pliávei, deve-e utilizr um do método genério derito n Seçõe 7. e 7.7. A metodologi derit n Seção 7. pode er filmente dptd o o tridimenioni. ete o, no lugr do triângulo de Pl tem-e um pirâmide em ujo vértie figur o elemento unitário, eguido de um egundo nível em que figurm vriávei, e,et.

29 Funçõe Interpoldor - Álvro F. M. Azevedo () () - - () () - - () 6 () - - Fig Gráfio d funçõe i () orrepondente o elemento de trê nó om omprimento. BIBIOGRAFIA [7.] - Cook, R. D.; Mlku, D. S.; Ple, M. E.; Witt, R. J. - Conept nd Applition of Finite Element Anlyi, Fourt Edition, Jon Wiley & Son, In.,. [7.] - Zienkiewiz, O. C.; Tylor, R.. - Te Finite Element Metod, Fourt Edition, MGrw-Hill, 988.

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