Apresenta-se em primeiro lugar um resumo da simbologia adoptada na formulação do elemento de viga de Euler-Bernoulli.

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1 CAPÍUO VIGA DE EUER-EROUI Deign-e por Euler-ernoulli formulção o elemento finito e vig em que e conier que ecçõe e mntêm pln e normi o eio brr pó eformção. Dete moo não é conier eformção evi o corte.. - Simbologi Apreent-e em primeiro lugr um reumo imbologi opt n formulção o elemento e vig e Euler-ernoulli. bel. - Simbologi reltiv o elemento e vig e Euler-ernoulli. u ε σ E p Comprimento brr primátic Cooren crtein Cmpo e elocmento Delocmento generlizo nol Delocmento nol Rotção nol Cooren crtein e um nó e um elemento finito Função interpolor ou função e form Deformção Mtriz e eformção enão norml Móulo e elticie ou móulo e Young Acção eterior itribuí por unie e comprimento 0

2 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo F V S I K M Forç noi equivlente à cção eterior, no gru e libere o elemento finito, no referencil locl Volume Superfície Momento e inérci ecção trnverl brr primátic Mtriz e rigiez o elemento finito no referencil locl Momento flector Cooren locl Cooren locl e um nó e um elemento finito cobino trnformção ( / ). - Vig e oi nó em ubtituição e vriável Figur. encontr-e repreento um elemento e vig com oi nó e com comprimento (ver o Cpítulo 7 e ). u ( ) ( ) / / ( ) Fig.. - Elemento e vig com oi nó. O elocmento generlizo o nó o elemento finito repreento n Figur. ão o eguinte 0

3 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo 05 () De coro com o que foi epoto no Cpítulo, o elocmento lterl é u ( ). A cooren crtein ij correpone o nó i e refere-e o eio j. A interpolção o cmpo e elocmento é efectu com eguinte epreão (ver o Cpítulo 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u () que em notção mtricil e ecreve ( ) [ ] u () ou u () eno [ ] (5) A funçõe e form ão correponente à interpolção Hermitin e têm eguinte epreõe (ver o Cpítulo 7) ( ) () ( ) 8 (7)

4 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo 0 ( ) (8) ( ) 8 (9) Conierno pen o elocmento lteri u ( ), i.e., conierno contnte componente u O o cmpo e elocmento, tem-e, e coro com o que foi epoto no Cpítulo u ε (0) Deignno por ε eguinte componente epreão (0) u ε () pter-e ε ε () Subtituino () em () cheg-e ε () Definino mtriz eguinte form () p ecrever-e ε (5)

5 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo Subtituino (5) em () obtém-e ε () Ateneno à funçõe e form () (9), ão o eguinte o componente mtriz (7) mbém e coro com o que foi epoto no Cpítulo, tem-e σ E (8) ε e, teneno (), σ (9) E Coniere-e que n vig Figur. ctu crg uniformemente itribuí repreent n Figur. F F F F p / / Fig.. - Crg uniformemente itribuí e repectiv forç noi equivlente. A forç noi equivlente à cção eterior encontrm-e tmbém repreent n Figur. e preentm o memo entio poitivo que form coniero pr o elocmento generlizo i. O princípio o trblho virtui (PV), que foi preento no Cpítulo, correpone o eguinte 07

6 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo ε σ V δ u V δ p (0) o co vig repreent n Figur. e. equção (0) p S δ ε σ S δ u p () et equção, S é uperfície correponente à ecção trnverl brr (ver o Cpítulo ) e S () A equção () referi à eformção virtul é eguinte δ ε δ () que é equivlente δ δ ε () A equção () referi à eformção virtul é eguinte δ u δ (5) que é equivlente δ u δ () Subtituino to et equçõe em () p ter-e o PV epreo por S δ E S δ p (7) Pno pr for e c integrl tuo o que não epene repectiv vriável cheg-e 08

7 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo 09 S p S E δ δ (8) et epreão conier-e que o móulo e Young E é contnte entro ecção trnverl e vriável o longo o eio brr. O momento e inérci em relção o eio é efinio eguinte form, eno eigno por I S S I (9) De coro com o PV, equção (8) é vereir pr qulquer conjunto e elocmento virtui, concluino-e im que p E I (0) A mtriz e rigiez o elemento e vig é E I K () e o vector e olicitção é p F () Supono o móulo e Young e o momento e inérci contnte em to brr, epreão mtriz e rigiez p E I K () Subtituino em () epreão (7), tem-e

8 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo 0 E I K () Depoi e efectur o cálculo o integri preente em () cheg-e E I K (5) Et mtriz coincie com que e obtém pelo métoo cláico teori etrutur reticul [.]. Subtituino (5) em () e conierno funçõe e form ()-(9), obtém-e 8 8 p F () Depoi e efectur o cálculo o integri preente em () cheg-e p F (7) que tmbém correpone o que e obtém por métoo cláico [.].

9 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo o Cpítulo encontr-e euzi eguinte epreão pr o cálculo o momento flector n vig, quno o móulo e Young é contnte u M E I (8) Ateneno (), (5) e (8), conclui-e que o momento flector poe er obtio com M E I (9) Amtriz é vli no ponto em que e pretene clculr o momento flector. Deve-e notr que, em gerl, et epreão não fornece vlore pr o momento flectore coinciente com o teori cláic, porque quno o elocmento ão nulo o momento flector clculo com (9) é nulo em to brr, eno im ignor contribuição crg que ctum no eu interior (e.g., crg itribuí p). Et quetão obrig que ej efectu um icretizção e c brr e um pórtico em vário elemento finito (ver Figur.). Fig.. - Eemplo: icretizção brr e um pórtico em elemento finito. O proceimento qui preento pr o cálculo mtriz e rigiez e o vector olicitção preent vntgem e er mi fcilmente etenio outr ituçõe mi elbor (e.g., elemento finito com mi o que oi nó, brr e ecção vriável, brr não rectilíne).

10 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo. - Vig e trê nó em ubtituição e vriável A formulção mtriz e rigiez e vector olicitção vig e trê nó é efectu e um moo emelhnte o que foi epoto n Secção.. A únic iferenç ão o umento imenão e too o vectore e mtrize envolvio e o recuro à epreõe interpolção Hermitin com trê nó (ver o Cpítulo 7).. - Vig e oi nó com ubtituição e vriável Quno é utiliz interpolção Hermitin e e fz um ubtituição e vriável, urgem lgum quetõe que ão preent com be no eemplo Figur.. u ( ) ( ) ( ) / / u () ( ) ( ) Fig.. - Subtituição e vriável num elemento e vig com oi nó. A trnformção entre cooren e cooren é, nete co imple, efectu com eguinte epreão

11 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo (0) O vector o elocmento generlizo n vig rel é () eno u () Apó ubtituição e vriável e teneno à cooren locl,tem-e () eno u () A eriv em orem função u ( ()) é, pel regr cei u u (5) De coro com (0), tem-e nete co () Deignno por eguinte eriv

12 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo (7) tem-e u u (8) e, teneno () e () (9) o nó, tem-e (50) Subtituino (50) em (), obtém-e (5) Ateneno (), cheg-e (5) A interpolção o cmpo e elocmento poe er efectu com be n cooren, eno utiliz eguinte epreão (ver Figur.) () () () () () u (5)

13 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo 5 A funçõe e form i ão efini com eguinte epreõe, que correponem à interpolção Hermitin num vig com comprimento (ver o Cpítulo 7) () (5) () (55) () (5) () (57) Subtituino (5) em (5) cheg-e () () () () () u (58) Um vez que e pretene que interpolção e u ej efectu eguinte form () () () () () [ ] u (59) ou () u (0) conclui-e que [ ] [ ] () eno () () ()

14 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo () () () () () () () () (5) Ateneno à equçõe (0)-(), eite neceie e clculr eguinte mtriz () Pr clculr eriv e i em orem, quno pen e conhecem funçõe i () ()-(5), eve-e recorrer à regr cei i i (7) Ateneno (7), fic i i (8) Derivno outr vez em orem e conierno e novo regr cei tem-e i i (9) Conierno (7) e (8) cheg-e i i (70) Um vez que é contnte, tem-e

15 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo 7 i i (7) que é equivlente i i (7) Derivno u veze funçõe e form ()-(5) em orem,tem-e (7) (7) (75) (7) Et epreõe ão ubtituí em (7), obteno-e im egun eriv e i em orem (77) (78) (79) (80) Ateneno (7), tem-e

16 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo 8 (8) (8) (8) (8) De coro com (), ão o eguinte o elemento mtriz em função vriável (85) De coro com (), i.e., upono o móulo e Young e ecção contnte, tem-e eguinte epreão pr mtriz e rigiez o elemento finito e vig no referencil locl E I K (8) Apó ubtituição vriável pel vriável, (8) p E I K (87) Ateneno (7) e (85) tem-e E I K (88)

17 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo 9 ote-e que too o elemento mtriz que contitui função integrn ão funçõe e. O comprimento brr () é um prâmetro fio. Apó o cálculo o integri obtém-e eguinte mtriz E I K (89) Conierno crg uniformemente itribuí repreent n Figur., tem-e o eguinte vector olicitção, que é clculo com epreão (). p F (90) Apó ubtituição vriável pel vriável, (90) p p F (9) Ateneno (7) e à funçõe e form ()-(5), tem-e p F (9) Do cálculo ete integri reult

18 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo F p (9) A epreõe (89) e (9) coinciem com que e obtêm recorreno à teori cláic fleão e vig [.]. A formulção qui preent poui contuo vntgem e er etenível co mi genérico, ti como vig curv e vig e ecção vriável, em que poe er vntjo utilizção e funçõe e interpolção e gru mi elevo e, conequentemente, o recuro elemento finito com mi o que oi nó. O cálculo o momento flector num ponto efinio pel cooren é efectuo com epreão (9), eno mtriz clcul com (85). coniçõe o elemento trá ecrito, é poível emontrr que o vlore mi correcto o cmpo e momento flectore e encontrm no ponto cuj cooren é ± (9) Se e pretener conhecer o vlore o cmpo e momento noutro ponto, é em gerl mi vntjoo efectur um etrpolção ou interpolção imple prtir o ponto (9). O cmpo e eforço trnvero poe er obtio por erivção o cmpo e momento em orem..5 - Conierçõe fini A formulção vig e Euler-ernoulli, qui preent, não é mi eenvolvi porque, n prátic, é preferível utilizr um formulção que entre em linh e cont com eformção por eforço trnvero. Et formulção é preent no Cpítulo. 0

19 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo IIOGRAFIA [.] - Correi e Arújo, F. - Cálculo Mtricil Etrutur Contínu pelo Métoo o Delocmento, Revit "Engenhri", Publicção o Aluno FEUP, Ano XIX, úmero, ovembro/dezembro, 95/. [.] - Hinton, E.; Owen, D. R.. - An Introuction to Finite Element Computtion, Pinerige Pre, Swne, U.K., 979. [.] - Hughe,.. R. - he Finite Element Metho - iner Sttic n Dynmic Finite Element Anlyi, Prentice-Hll, Inc., 987.

20 Vig e Euler-ernoulli - Álvro F. M. Azeveo