TRIGONOMETRIA ESFÉRICA

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1 TRIGONOMETRI ESFÉRI Dr. Dniele rro Mrr lve Dr. Joé Milton rn Deprtmento de rtogrfi Fuldde de iêni e Tenologi Unep mpu de Preidente Prudente 017

2 SUMÁRIO 1. TRIGONOMETRI ESFÉRI oneito áio Unidde de medid de ro e ângulo Trnformção de unidde Linh e funçõe trigonométri lgum Relçõe entre funçõe irulre ro e extremidde oid Série de Tylor Exeríio reltivo o oneito áio ONEITOS FUNDMENTIS Definiçõe Exeríio reltivo à efer TRIÂNGULO ESFÉRIO Polígono efério Triângulo efério Iguldde do triângulo efério Propriedde do triângulo efério Triângulo polre Exeo efério Exeríio reltivo o triângulo efério FÓRMULS FUNDMENTIS D TRIGONOMETRI ESFÉRI Fórmul do Qutro Elemento (ldo Fórmul do Qutro Elemento (ângulo Lei do Seno d Trigonometri Eféri Fórmul do 5 elemento Fórmul d o-tngente Fórmul d ord nlogi de Delmre e de Nepper Reolução do triângulo efério retângulo Exeríio reolução de triângulo efério retângulo Reolução de Triângulo Efério Retilátero Exeríio reolução de triângulo efério retilátero OORDENDS DE UM PONTO SORE SUPERFÍIE D TERR E SORE MODELOS GEOMÉTRIOS oordend geográfi Superfíie de referêni RELÇÃO DE EXERÍIOS SEREM RESOLVIDOS Relção de exeríio erem reolvido Relção de idde e u oordend geográfi Relção de triângulo efério reolvido ILIOGRFI UTILIZD... 40

3 3 OS: O ojetivo det not de ul é pen pr filitr tividde devolvid em l de ul, proporionndo o luno do uro de Engenhri rtográfi um mteril pr etudo de fáil eo. Lemr-e o leitore que não e pretende ordr todo o onteúdo de Trigonometri Eféri, pen ord-lo de mneir imple e de fáil entendimento pr o luno, proporionndo um ferrment o devolvimento do uro. NOTS DE UL Trigonometri Eféri é impreindível o etudo de tronomi de Poição, rtogrfi, Geodéi Elementr, et. im, fundmentlmente, eu onteúdo erá orddo de mneir reolver o triângulo efério, reolvendo prolem reltivo Poiionmento. Num primeir proximção, em noo etudo, Terr erá reduzid o modelo efério. 1. TRIGONOMETRI ESFÉRI 1.1. oneito áio Trigonometri é um rmo d Mtemáti que tem por ojetivo o etudo d funçõe trigonométri e onequente reolução do triângulo. Didtimente, Trigonometri é dividid em: Trigonometri Pln e em Trigonometri Eféri (et é lvo de noo etudo: Trigonometri Pln: etud o triângulo itudo em um uperfíie pln (efer de rio infinito, ete triângulo ão denomindo de triângulo plno; Trigonometri Eféri: etud reolução do triângulo itudo em um uperfíie eféri, ete ão denomindo de triângulo efério; irunferêni Orientd: é irunferêni n qul e fixou, onvenionlmente, omo tido de peruro o tido nti-horário (denomindo de tido poitivo; írulo trigonométrio: é região ontendo irunferêni orientd de rio 1 e todo eu ponto interiore; ro trigonométrio: é um egmento do írulo trigonométrio. 1.. Unidde de medid de ro e ângulo unidde de medid de ro e ângulo ão dd por: Gru ( o : é o ro que mede 1/360 d irunferêni. uunidde do gru ão:

4 4 Minuto de ro ( : orreponde 1/60 do gru; Segundo de ro ( : orreponde 1/60 do minuto, o egundo ão udividido em deimi. Exemplifindo: o 07 18,34 (vinte e doi gru, ete minuto, dezoito egundo e trint e qutro entéimo de egundo. Grdo (gr: é o ro que mede 1/400 d irunferêni, eu umúltiplo ão deimi. Exemplo: 4,580 gr (4 grdo, inquent e oito entigrdo; Hor (h: é o ro orrepondente à 1/4 d irunferêni. uunidde d hor ão: Minuto de ro de hor (min - orreponde à 1/60 d hor; Segundo de ro de hor ( - 1/60 do minuto de ro de hor. Ete ão u-dividido em u-múltiplo deimi. Ex.,566 h (du hor, quinhento e et e ei miléimo. Rdino (rd: é o ro ujo omprimento é igul o rio d irunferêni. O rdino udivide-e em umúltiplo deimi. Ex.: 0,386 rd (trezento, oitent e ei mili-rdino; Ex: Sej um irunferêni de rio 6 que ontém um ro de 8 m. Qul medid dee ro em rdino? Exeríio: Dehe repretção de Gru, Grdo, Hor e Rdino n irunferêni.

5 Trnformção de unidde Pr lulr o vlor orrepondente em outr unidde ngulr, t fzer relçõe, que eguem: 180 o = 00 gr = 1 h = rd onde, = 3, rd Tem-e que 1 é igul 0, rd, ind: 1 = 0, MOSTRE!! Ete vlore ão utilizdo pr trnformção ngulre de egundo de ro pr rdino, tndo fzer 1, ou melhor, rredondndo, divião por E pr trnformr pequen quntidde (vlore oluto de rdino pr egundo de ro, implemente multipli-e por Linh e funçõe trigonométri Seno o vlor do o ( de um ro mede projeção do rio no eixo vertil, do poitivo o ro pertenente o primeiro e egundo qudrnte e negtivo o pertenente o tereiro e qurto qudrnte (Figur 1. Seu vlore extremo ão +1 e -1. o Q 1 o Q O 3 o Q 4 o Q D Figur 1 Seno

6 6 oo - o vlor oo (o de um ro mede projeção do rio no eixo horizontl, do poitivo o ro pertenente o primeiro e qurto qudrnte e negtivo o pertenente o egundo e tereiro qudrnte (Figur. Seu vlore extremo ão +1 e -1. o Q 1 o Q O 3 o Q 4 o Q D Figur o-o Tngente - o vlor tngente (tg de um ro mede projeção do rio no eixo T, do poitivo o ro pertenente o primeiro e tereiro qudrnte e negtivo o pertenente o egundo e qurto qudrnte. Seu vlore extremo ão + e -. Figur 3 repret o egmento de ret que lig o ponto T. T o Q 1 o Q O 3 o Q 4 o Q D Figur 3 - Tngente

7 7 otngente - o vlor otngente (otg de um ro mede projeção do rio no eixo T, do poitivo o ro pertenente o primeiro e tereiro qudrnte e negtivo o pertenente o egundo e qurto qudrnte. Seu vlore extremo ão + e -. Figur 4 repret o egmento de ret que lig o ponto T. T o Q 1 o Q O 3 o Q 4 o Q D Figur 4 o-tngente Sente - o vlor ente (e de um ro mede o egmento de ret de O à U do poitivo o ro pertenente o primeiro e qurto qudrnte e negtivo o pertenente o egundo e tereiro qudrnte. Seu vlore extremo ão + e - e não etá definido pr (-1,1. N figur 1.5, repret o egmento de ret que lig o entro O à U. o Q 1 o Q M O U 3 o Q 4 o Q D Figur 5 Sente

8 8 oente - o vlor oente (oe de um ro mede o egmento de ret de O à S, do poitivo o ro pertenente o primeiro e egundo qudrnte e negtivo o pertenente o tereiro e qurto qudrnte. Seu vlore extremo ão + e - e não etá definido pr (-1,1. Figur 6 repret o egmento de ret que lig o entro O à S. S o Q 1 o Q M O 3 o Q 4 o Q D Figur 6 oente 1.5. lgum Relçõe entre funçõe irulre o 1 tg o ot g o e 1 o o e 1 r o x r tg 1 x x r x r tg x 1 x

9 ro e extremidde oid Doi ro de mem origem têm extremidde oid qundo et extremidde ão imétri em relção o entro, ou um do eixo: omplemento = 90 o uplemento = 180 o explemento = 180 o + replemento = 360 o Pr o ro repetivo, tem-e eguinte iguldde trigonométri: omplemento uplemento explemento replemento (90 o - = o (180 o - = (180 o + = - (360 o - = - o (90 o - = o (180 o - = - o o (180 o + = - o o (360 o - = o tg (90 o - = otg tg (180 o - = - tg tg (180 o + = tg tg (360 o - = - tg otg (90 o - = tg otg (180 o - = -otg otg (180 o + = otg otg (360 o - = - otg e (90 o - = oe e (180 o - = - e e (180 o + = - e e (360 o - = e oe (90 o - = e oe(180 o - = oe oe(180 o +=-oe oe(360 o - =-oe Ex: Dehe o omplemento, uplemento, explemento e replemento pr lgum funçõe trigonométri.

10 Funçõe irulre inver funçõe inver têm por ojetivo determinr o ro qundo e onhee o vlor d função. Por pouírem um infinidde de ro que proporionm o memo vlor, ignifi dizer que o prolem invero é indetermindo, ou ej, dmite um infinidde de ro que tem o memo vlor (memo o, memo oo, mem tngente, et. Ex: o = x Exitirá um únio vlor de x pr o vlor de ddo. No entnto, qundo e onhee o vlor de x, equção proporion infinit oluçõe. No prolem d Engenhri que empre no intere oluçõe orrepondente à menore determinçõe. funçõe inver ão repretd por: r x, r o x, r tg x, et. Ex: = 0,5 olução erá um ro do primeiro ou egundo qudrnte (exitirá infinit oluçõe poderá er 30 o, 150 o, 390 o, 510 o, et (30 o + n*360; e 150 o + n* Série de Tylor egue: funçõe trigonométri podem er luld pel Série de Tylor, que 3 x x x 3! 5 7 x x 5! 7!... o x x 1! 4 6 x x... 4! 6! tg x x x 3 3 x x e x 1 x 5x x x 3 x r x x x x r tg x x x x... 7 Not: o vlore do ro (x ão empre em rdino.

11 Exeríio reltivo o oneito áio 1 - Trnformr o ângulo em gru deimi: 7 o 19 53,78 Solução: 7 o 19 53,78 = 7 o ,78 (# Semo que 1 o ontém 60, portnto 19 = 19 / 60 o = 0, o ; e 1 o ontém 3600, então 53,78 = 53,78 / 3600 o = 0, o Levndo ete vlore em (#, tem-e: 7 o 19 53,78 = 7 o + 0, o + 0, o 7 o 19 53,78 = 7, o 43 = 1500 = d 0, = Ddo o ângulo, trnform-lo em rdino: 7 o 19 53,78 = 43 = 1500 = d 0, = e 35 o 54 43,98 =

12 1 3 Trnformr em gru exgeimi: 7, o Solução: 7, o = 7 o + 0, o ( 0, o = 0, x 60 = 19, , = , , = 0, x 60 = 53,78 Então, retornndo à (, tem-e que 7, o = 7 o 19 53,78,4678 rd 378,341 gr d 17h 43min 57,9 e 0,5537 rd 4 Trnformr o ddo, onforme indido: 31,6759 = o, 10 o 4 4 =, o 115 o 9 06,35 = h min, d 1,6765 rd =, o e 00,5634 gr = o, f 31,6769 = o, g 31,6769 = h min,

13 13 h 0,76578 rd =, i 0,76578 rd = o, j 0 o 05 1,6769 =, k 8h 1min 51,64 = o, i 4h 4min 54,18 =, rd j 1h 0min 44,5 =, h 5 Extrir o vlor d funçõe ixo: 0 o 56 1,3 =, -50 o 16 4,7 =, o 5,34578 rd =, d tg 307 o 01, =, e e 67 o =, f otg 345 =, g oe,35gr =, 6 lulr o ro orrepondente : x = 0, x = o, ou x = o, o x = 0, x = o, ou x = o,

14 14 tg x =, x = o, ou x = o, d otg x = 10, x = o, ou x = o, e e x = 10, x = o, ou x = o, f oe x = 10, x = o, ou x = o, h (90 o = 0, = o, ou = o, i tg (90 o =, = o, ou = o, j o = -0, = h min, ou = h min, k o (180 o = -0, = h min, = h min,

15 15 l (180 o = 0, =, rd =, rd 7 Utilizndo-e d Série de Tylor, lulr o vlor d funçõe trigonométri: 3 o 46 17,3 o 67 o 15 47,43 tg 54 o 49 54,1 d r 0, e r tg 1,419568

16 16. ONEITOS FUNDMENTIS.1. Definiçõe Superfíie eféri: é o lugr geométrio do ponto do epço que eqüiditm de um ponto interior hmdo entro. R Figur 7 - irunferêni írulo máximo e írulo menor: intereção de um plno om efer form um írulo. Há du ituçõe: írulo máximo - e ete plno ontiver o entro d efer (Figur 8; írulo menor - e o plno que ort efer não ontém o entro d efer (Figur 9. irunferêni máxim: é figur geométri formd pel intereção d uperfíie eféri om um plno que ontém o entro d uperfíie eféri. Figur 8. Figur 8 irunferêni máxim

17 17 irunferêni menor: é figur geométri formd pel intereção d uperfíie eféri om um plno que não ontém o entro d uperfíie eféri. Figur 9. Figur 9 irunferêni menor Ditâni eféri: é o menor ro de irunferêni máxim que lig doi ponto n uperfíie eféri, Figur 8 ilutr ditâni eféri entre o ponto e. Se exitirem doi ponto não dimetrlmente opoto de um uperfíie eféri, por ele empre p um únio ro de írulo máximo. im, ditâni eféri entre ete doi ponto é o ro de menor omprimento do írulo máximo que p por ele. d R (rd Pólo e polr: Pólo de um írulo d efer ão o extremo de um diâmetro perpendiulr o plno do írulo oniderdo. No o d oniderção de um írulo máximo, ete é denomindo de polr. Portnto polr é o lugr geométrio do ponto d uperfíie eféri que eqüiditm 90 o do pólo. Áre de um uperfíie eféri: áre de um uperfíie eféri é expre em função do Rio (R d uperfíie eféri. S 4 R eu volume erá V 4 R 3 3

18 18 Áre de um lot eféri: lot eféri é d um d prte em que uperfíie eféri fi dividid por um plno ente à el. Figur 10. h R S R h Figur 10 lot eféri Áre de um zon eféri: Zon eféri é porção d uperfíie ompreendid entre doi prlelo quiquer. áre de um zon eféri é expre em função do rio d uperfíie eféri e ditâni (k entre o prlelo. Figur 11. k S z R k Figur 11 Zon eféri Meridino: é um irunferêni máxim que ontém o pólo de um uperfíie eféri. Áre de um fuo efério: Fuo efério é porção d uperfíie eféri ompreendid entre doi emi-meridino de um memo diâmetro. mplitude de um fuo ( o é o ângulo diedro formdo pelo emi-meridino que ompõem o fuo. S f R 90

19 19.. Exeríio reltivo à efer. Supondo-e que form d Terr ej eféri om rio de km. lulr:.1- Su áre..- Seu volume..3- Supondo que u denidde médi ej,67 g/m 3, determine u m..4- áre de um fuo de o de mplitude..5- O omprimento do equdor..6- O omprimento do prlelo ditnte 30 o do equdor..7- áre d lot eféri, uj ditâni polr é de 3 o áre de um fuo de 15 o de mplitude..9- áre d zon eféri limitd pelo equdor e o trópio de priórnio (ltitude 3 o 7 S.

20 0 3. TRIÂNGULO ESFÉRIO 3.1. Polígono efério Denomin-e polígono efério porção d uperfíie eféri limitd exluivmente por ro de irunferêni máxim. Figur 1. O d Figur 1 Polígono efério 3..Triângulo efério Triângulo efério (eulerino é porção d uperfíie eféri limitd por trê ro de irunferêni máxim, menore que 180 º. Tmém pode er definido omo um polígono efério formdo por trê ldo menore que 180 º. todo triângulo orreponde um triedro om vértie no entro d efer qul pertene o triângulo. Reolver um triângulo efério é determinr trê de eu elemento qundo ão onheido o outro trê elemento, onde o elemento de um triângulo efério ão: trê ângulo ão o ângulo efério formdo no vértie do triângulo, repretdo normlmente por,, ; trê ldo ão o ro de irunferêni máxim que unem o trê vértie, doi doi, normlmente ão repretdo por,,. Figur 13 Ângulo e ldo

21 1 O Figur 14 Efer e triângulo efério O Figur 15 Triângulo efério Medid do ldo de um triângulo efério o ldo de um triângulo efério ão medido trvé do ro de írulo que ele poui. Ee ro podem er viulizdo trvé do triedro que e otém qundo e ligm o vértie do triângulo o entro d efer. O ldo do triângulo efério ão medido pelo ângulo plno d fe, im, o ângulo Ô mede o ldo. Medid do ângulo de um triângulo efério o ângulo de um triângulo efério ão medido trvé d medid do repetivo diedro do triedro que ele determin qundo e ligm eu vértie o entro d efer. O ângulo  mede o vértie.

22 3.3. Iguldde do triângulo efério Doi triângulo, pertenente à mem efer, ou efer de memo rio ão igui qundo: Pouem um ângulo igul, ompreendido entre doi ldo, repetivmente igui; = Pouem trê ldo repetivmente igui; = Tem um ldo igul, djente doi ângulo igui. = 3.4. Propriedde do triângulo efério om do ângulo de um triângulo efério etá ompreendido entre 180 o e 540 º ; 180 o < + + < 540 o om do ldo de um triângulo efério é empre menor que 360 º ; + + < 360 º Um ldo empre é menor que om do outro doi ldo e mior que diferenç do memo; < + > (oniderndo que é mior que O ldo mior e opõe o ângulo mior e vie-ver;

23 3 ldo igui e opõe ângulo igui; om de 180 o um ângulo do triângulo efério é mior que om do outro doi ângulo; o > + Todo triângulo efério tri-retângulo é tri-retilátero e vie-ver; = = = 90 o, impli dizer que = = = 90 o e vie-ver 3.5. Triângulo polre Polr Polr é o lugr geométrio do ponto d uperfíie eféri que ditm 90 o do polo. im, tod irunferêni máxim perpendiulre polr ontém o polo. Doi triângulo efério ão polre qundo o vértie do primeiro ão o pólo do ldo homônimo do outro, e reipromente. relção exitente entre o triângulo polre diz: o ldo de um triângulo efério polr ão uplemento do ângulo do triângulo ddo, e eu ângulo ão o uplemento do ldo do triângulo ddo. Figur 15 - Triângulo polre

24 4 Propriedde do triângulo polre (deorrente d relção meniond. + = 180 o + = 180 o + = 180 o + = 180 o + = 180 o + = 180 o 3.6. Exeo efério onforme já menionmo, om do ângulo de um triângulo efério eulerino é empre mior que 180 o, e o que exede de 180 o é denomindo de exeo efério. = o (ete exeo é proporionl à áre do tringulo efério L Huillier: O exeo efério tmém pode er luldo om uo d Fórmul de tg tg tg tg tg 4, onde áre do triângulo efério, determind prtir de eu exeo efério é: S R, ou ind: rd S R 180 o o S = R 1

25 Exeríio reltivo o triângulo efério 3.1 Determinr áre do triângulo efério pertenente um efer de rio km, onde: = 144 o = 97 o 7 1 = 68 o Determinr áre do triângulo polr o do exeríio Determinr o exeo efério e áre do de um triângulo efério (pertenente um efer de rio km de ldo: = 5 994,37 m = ,943 m = 8 998,31 m. 3.4 Determinr o exeo efério e áre do triângulo (pertenente um efer de rio km: = 33 o 1 37 = 83 o = 110 o 48 9

26 6 4. FÓRMULS FUNDMENTIS D TRIGONOMETRI ESFÉRI Trigonometri Eféri, em noo etudo, tem por ojetivo prinipl reolução do triângulo efério, onde erão utilizd lei que relionm o elemento dete triângulo. Iremo deduzir pen um grupo de fórmul, onheid omo Fórmul do Qutro Elemento, onforme egue Fórmul do Qutro Elemento (ldo fórmul do qutro elemento, plid ldo, tmém é denomind de Lei do oo d Trigonometri Eféri. Et fórmul relion trê ldo e um ângulo do triângulo efério. onidere o triângulo efério, Figur 16, de ângulo,,, pertenente um efer de rio unitário (R = 1, ujo vértie etão ligdo o entro d efer O. onidere que pelo vértie trç-e N tngente o ro de irunferêni máxim. D mem form, pelo vértie trç-e M tngente o ro. omo tngente é ortogonl o rio no ponto oniderdo d uperfíie eféri, tem-e (Figur 16: OÂM = OÂN = 90 o.. O N Figur 16 Lei do oo M tem-e: Tomndo o triângulo plno MN e OMN, e lemrndo MÂN = e MÔN =, MN = N + M N M o MN = MO + NO NO MO o

27 7 Portnto, igulndo du equçõe: MO + NO NO MO o = N + M N M o MO - M + NO - N NO MO o + N M o = 0 (1 ind n Figur 16, tem-e: MO = O + M O = MO M NO = O + N O = NO N ou Portnto, utituindo em (1: O + O + N M o = NO MO o O + N M o = NO MO o O + N M o = NO MO o ( ind d Figur 16, O o OM M OM O OM o M OM O o ON N ON O ON o N ON (4 Portnto, utituindo equçõe (4 em (: Logo: (OM o + (ON (OM o = NO MO o OM o o o (3 ON

28 8 M e-e por (4 tereir equção que: ON O o OM o ON Por (4 primeir equção e-e que: OM O o o OM o o O O OM o OM o o O OM o o OM o OM o o o, utituindo em (3, tem-e: ON o = o o + o, o = o o + o o = o o + o e por nlogi, Et ão d Lei do o-o d Trigonometri Eféri, ujo enunido: O oo de um ldo é igul o produto do o-o do outro doi ldo mi o produto do o do memo ldo pelo oo do ângulo por ele formdo. Exeríio: Reolver o triângulo efério: = 5 o = 66 o = 68 o Fórmul do Qutro Elemento (ângulo Utilizndo propriedde do triângulo efério polre, heg-e à fórmul do qutro elemento plid ângulo. Ete grupo de fórmul relionm trê ângulo e um ldo. o = - o o + o o = - o o + o o = - o o + o Exeríio: Reolver o triângulo efério: = 110 o 30 0 = 130 o = 100 o 0 50

29 Lei do Seno d Trigonometri Eféri Ete grupo de fórmul, tmém onheido omo nlogi do Seno relion doi ldo e doi ângulo opoto. ujo enunido é: Em todo triângulo efério o o do ldo ão proporioni o o do ângulo opoto Fórmul do 5 elemento Ete grupo de fórmul relion trê ldo e doi ângulo. o = o - o o o = o - o o o = o - o o o = o - o o o = o - o o o = o - o o 4.5. Fórmul d o-tngente Ete grupo de fórmul pret relção entre doi ldo e doi ângulo. otg = otg - o o otg = otg - o o otg = otg - o o otg = otg - o o otg = otg - o o otg = otg - o o

30 Fórmul d ord Ete grupo de fórmul tmém é onheido omo Fórmul do Mrinheiro. ( o ( ( ( o ( ( ( o ( ( Por divião onveniente d fórmul d ord, heg-e à hmd Fórmul do Mrinheiro. S om S S S S tg tg S S S S tg tg S S S S tg tg o( o( o( o ( ( ( o( o( o( o ( ( ( o( o( o( o ( ( (

31 nlogi de Delmre e de Nepper nlogi de Delmre, tmém onheid omo Equçõe de Gu, ão muito utilizd omo formul de verifição, envolvem o ei elemento do triângulo e onduzem um identidde qundo o elemento otido pelo álulo ão orreto. Qudro 1 nlogi de Delmre e de Neper nlogi de DELMRE (verifição ( o ( o o ( o ( nlogi de NEPER doi ldo e trê ângulo ( tg otg ( o ( o nlogi de NEPER Trê ldo e doi ngulo ( tg tg ( o ( o ( o o ( o ( o ( ( tg otg ( ( ( tg tg ( ( ( o ( o o ( o ( ( tg otg ( o ( o ( tg tg ( o ( o ( o o ( o ( o ( ( tg otg ( ( ( tg tg ( ( ( o ( o o ( o ( ( tg otg ( o ( o ( tg tg ( o ( o ( o o ( o ( o ( ( tg otg ( ( ( tg tg ( (

32 Reolução do triângulo efério retângulo Um triângulo efério é retângulo, e pouir pelo meno um ângulo reto. Pr reolução dete triângulo, exite um regr denomind Regr de Mudiut. O enunido é: O oo do elemento médio é igul o produto d o-tngente do elemento onjunto ou produto do o do elemento eprdo o = otg otg = Exemplo: o = o = Figur 17 Triângulo Efério Retângulo N plição det regr, há que e oniderr: dmitindo omo elemento médio (poderi er eolhido qulquer elemento do triângulo, exeto o ângulo reto, eu elemento onjunto erão o ldo e, eu elemento eprdo erão e ; O Elemento reto é oniderdo inexite n plição d regr. Se dmitirmo omo elemento médio, eu onjunto erão e ; Não e tomm o teto, e im eu omplemento: Se for o ângulo reto, utilizremo (90 o e não ; (90 o e não.

33 Exeríio reolução de triângulo efério retângulo Reolver o triângulo efério, retângulo em : 4.1 = 75 o 8 5 = 67 o = 75 o = 35 o = 65 o 00 3 = 8 o = 47 o = 67 o Reolução de Triângulo Efério Retilátero O triângulo efério retilátero é o triângulo efério que poui pelo meno um ldo reto (ldo igul 90 o. = 90º Figur 18 Triângulo Efério Retilátero reolução do triângulo efério retilátero, utilizndo d Regr de Muduit, proede-e d eguinte mneir: Lemrndo-e d propriedde do triângulo polre, verifi-e que um triângulo polr o triângulo retilátero erá um triângulo retângulo; Utilizndo d propriedde do triângulo polre, determin-e o triângulo polr o triângulo ddo; Utiliz-e Regr de Muduit pr reolver o triângulo polr (ete determindo pel propriedde polre; Reolvido o triângulo polr (utilizndo regr de Muduit, novmente om propriedde do triângulo polre lul-e o triângulo ddo.

34 Exeríio reolução de triângulo efério retilátero Reolver o triângulo efério, retilátero: 4.5 = 90 o = 45 o 8 5 = 67 o = 90 o = 55 o = 77 o = 90 o = 83 o 33 5 = 7 o = 90 o = 115 o 4 36 =

35 35 5. OORDENDS DE UM PONTO SORE SUPERFÍIE D TERR E SORE MODELOS GEOMÉTRIOS 5.1. oordend geográfi Ltitude geográfi ou tronômi - é o ângulo formdo pel vertil do ponto om u projeção equtoril (em no diiplin erá repretd pel letr greg, tem vrição de 0 o 90 o, do poitiv no Hemifério Norte e negtiv no Hemifério Sul. im, todo o ponto itudo em território rileiro terão ltitude negtiv; Longitude geográfi - é o ângulo diedro formdo pelo meridino tronômio do ponto e o meridino que p pelo Oervtório de Greenwih (origem. É imolizd pel letr greg. longitude vri de 0 o 180 o por lete ou de 0 o 180 o por oete de Greenwih. Uulmente, repret-e longitude om vrição de 0 o 180 º. No devolvimento de no diiplin, erá utilizdo o inl poitivo pr longitude de ponto itudo lete de Greenwih e negtivo pr ponto itudo oete. im, todo o ponto itudo em território rileiro terão longitude negtiv; zimute tronômio - hm-e zimute tronômio de um direção o ângulo formdo entre o meridino do ponto e o linhmento d direção, ontdo ore o plno do horizonte, prtir do ul por oete. Pn Meridino origem G S Prlelo de S Meridino de S Equdor P Figur 19 oordend geográfi

36 Superfíie de referêni Rotineirmente, o rtógrfo utiliz uperfíie: Superfíie fíi d Terr É uperfíie n qul ão relizd operçõe geodéi e tronômi; Superfíie do modelo geométrio Denomind de uperfíie de referêni e ore qul ão efetudo o álulo geodéio, n miori d veze é o elipóide de revolução. No elipóide é medid ltur geométri h. Geóide é um uperfíie equipotenil do mpo d grvidde, que e proxim do nível médio do mre. É medid no geóide ltitude ortométri H (ditâni ontd o longo d vertil, dede o geóide té o ponto oniderdo. N Figur 0 ão pretd equemtimente trê uperfíie meniond, lém de N que repret ltur (ou ondulção geoidl. Figur 0 Superfíie utilizd em Geodéi Fonte: dptdo de

37 37 6. RELÇÃO DE EXERÍIOS SEREM RESOLVIDOS 6.1. Relção de exeríio erem reolvido Exeríio o o o 6.1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = , 6. = = = = = = = = = = = = 37 05

38 Relção de idde e u oordend geográfi Dd à oordend geográfi d idde, pode-e lulr ditâni eféri e o zimute tronômio entre el. Lolidde Ltitude ( Longitude ( Preidente Prudente o S 51 o 4 0 W uriti S W Foz do Iguçu S W Rio rno S W Greenwih N lutá 33 5 N E Moou N E Tóquio N E P: dotr o Rio d Terr = km

39 Relção de triângulo efério reolvido 15 o o 06 0 o o o o

40 40 7. ILIOGRFI UTILIZD RN, J. M. tronomi de Poição: Not de ul. FT/Unep- Deprtmento de rtogrfi. Preidente Prudente OSO, R. oneito de tronomi. Editor Edghrd lüheer Ltd. São Pulo GEML,. Elemento de Trigonometri Eféri: Not de ul. UFPR/Diretório dêmio do Setor de Tenologi. uriti NDL,.. Introdução à Trigonometri Eféri pliçõe n tronomi e n rtogrfi. UFPR/Setor de Tenologi Deprtmento de Geoiêni. uriti VELLOSO, F. de. Trigonometri Eféri. IME. Rio de Jneiro