2.1. Integrais Duplos (definição de integral duplo)

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1 Análise Mtemáti II- no letivo 6/7.. Integris uplos (efinição e integrl uplo) Pr melhor ompreener efinição e integrl uplo vmos omeçr por olor o seguinte esfio: Tene eterminr o volume o sólio que está im o quro x y e ixo o prolóie elíptio z = 6 x y. ivi R em quros iguis e esolh o ponto mostr omo seno o nto superior ireito e quro R. Fç um esoço o sólio e s ixs ij retngulres proxims. Resolução: Fzeno o álulo proximo o volume fi: V f ( xi, yi ) A = f (,) A + f (,) A + f (,) A + f (,) A i= j= =()+7()+()+4()=4 Como se o volume otio é um vlor por efeito o volume pretenio. 4ª ul teóri pág. 7

2 Análise Mtemáti II- no letivo 6/7 No entnto, repre que otemos melhor proximção o volume quno umentmos o número e quros. As figurs seguintes mostrm omo s oluns omeçm preer mis om o volume pretenio. m=n=4, v=4,5 m=n=8, v=44,875 m=n=6, v=46,468 Como se etermin o volume exto? Otém o volume exto quno n e m tener pr volume é o pelo seguinte limite : +, ou sej o lim m n + + m n f ( xij, yij ) A = i= j= Ao limite nterior (so exist) hm-se integrl uplo função f(x, ssente no omínio e integrção. Se f(x, pr x, (, orrespone o volume o sólio limito inferiormente pelo plno xy, lterlmente pel superfíie ilínri uj iretriz é fronteir e e superiormente pel superfíie z=f(x,. 4ª ul teóri pág. 8

3 Análise Mtemáti II- no letivo 6/7 Então o volume orreto é o pelo integrl uplo ujo omínio e integrção é o quro e lo e função integrr é que efine superfíie o prolóie elíptio. x 88 V = 6 x y = 6 x y x y = 4y = y = y 4y (mis à frente vi prener lulr este tipo e integris e poer ssim resolver prolems que envolvm o álulo e volumes). Propriees o integrl uplo Sejm f e g: R, om feho e limito, f e g funções ontinus, K (onstnte) R, então: R ) + g( x, = + f g( x, ) = k kf ) = = + Teorem e Fuini Se f(x, for ontínu no retângulo efinio pel região x, y R : x y, então: { } = ( ) A = yx = 4ª ul teóri pág. 9

4 Análise Mtemáti II- no letivo 6/7.. Cálulo e integris uplos Teorem. Sej R um onjunto feho e limito, o tipo = { R : x ψ( y ψ ( } e f : R ontínu, então: ψ ( = y x ψ( y =ψ ( y =ψ ( Not: y ψ ( x ) e y = ψ ( = são funções ontínus. Cálulo o integrl ψ ( x ψ( x = ) y x = ψ ( ) ψ x [ Fy ] ( ) x = Fy ψ ( ) Fy ψ ( )x Teorem.4 Sej R um onjunto feho e limito, o tipo = { R : y ϕ( x ϕ( }, e f: R ontínu, então: ϕ ( = x y ϕ( x = ϕ (y ) x = ϕ ( Not: x ϕ ( y ) e x = ϕ( = são funções ontínus. 4ª ul teóri pág.

5 Análise Mtemáti II- no letivo 6/7 Cálulo o integrl ϕ ( y ϕ( y = ) x y = ϕ( ) ϕ y [ Fx ] ( ) y = Fx ( ϕ(, Fx ( ϕ (, y Exemplos: ) (x + y ) yx, o omínio é limito por: x=, x=, y=, y=x, seno = { R : y x y x )} ) ( x.4. Algums Aplições os Integris uplos Cálulo e áres Sej um onjunto feho e limito, então áre e é por: Are( ) = Exemplo: lule áre o onjunto {(, ) : } = x y R y x x + x Cálulo e Volumes Se z = o, R ( x,, ( feho e limito) e z ontínu, então o volume o sólio efinio inferiormente pelo plno xy, superiormente por f e lterlmente pel gertriz ssente n fronteir e é o seguinte: V = f ( x, y ) 4ª ul teóri pág.

6 Análise Mtemáti II- no letivo 6/7 Exemplos: ) Clule o volume e um uo e lo. ) Clule o volume o sólio limito pelo prolóie e pelo plno z =. z = 4 x y Cálulo áre e superfíies Áre superfíie z = (,, x, é por: σ = + f x + f y.5. Integris uplos em oorens polres. Cálulo e áres Sej um omínio regulr, isto é pr α θ β, ret θ = θ interset φ e φ (em e respetivmente) e o segmento e ret [, ] está totlmente ontio em, então áre e è por: A = ρ ρ θ = β φ = A = α φ ρρθ φ φ θ = θ Exemplos: () Clulr áre e um irunferêni e rio R em oorens polres utilizno os integris uplos () Clulr áre, em. polres, efini pelo onjunto A. ρ, θ, +, π : ρ + sen θ ρ A= {( ) [ [ [ [ } 4ª ul teóri pág.

7 Análise Mtemáti II- no letivo 6/7 Cálulo e volumes Sej F( θ ρ) z=, superiormente pelo gráfio e F( θ ρ),, o volume limito inferiormente pelo plno, e lterlmente pels gertrizes ssentes n fronteir e é o seguinte: V = F ( θ, ρ) ρ ρ θ Exemplo: etermine o volume esfer z + x + y = R 4 R Sol. π 4ª ul teóri pág.