TRIGONOMETRIA PLANA E ESFÉRICA
|
|
|
- Guilherme Azevedo Carreiro
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 PÊNDICE O CPÍTULO 7 TRIGONOMETRI PLN E ESFÉRIC INTRODUÇÃO Trigonometri Esféri é essenil pr ompreensão dos oneitos e resolução dos prolems de Nvegção stronômi e Nvegção Ortodrômi. É, ind, importnte pr entendimento dos prinípios fundmentis de lguns sistems de Nvegção Eletrôni. Trigonometri Pln é indispensável pr entendimento dos oneitos e resolução dos prolems de derrots loxodrômis, lém de ser usd em outros tipos e métodos de nvegção. ssim, ntes de prosseguir, é neessário reordr s noções e s fórmuls d Trigonometri Pln e d Trigonometri Esféri, o que possiilitrá melhor ompreensão dos ssuntos orddos nos Cpítulos seguintes. TRIGONOMETRI PLN I CONCEITOS E SINIS DS LINHS TRIGONOMÉTRICS ) Primeiro Qudrnte: 0º 90º (figur 7..) Figur 7.. Primeiro Qudrnte sen PM OQ ; sinl positivo (+) os OP QM ; sinl positivo (+) sen T ; sinl positivo (+) os se OT ; sinl positivo (+) os ose OS ; sinl positivo (+) sen o S ; sinl positivo (+) Nvegção stronômi e derrots 589
2 ) Segundo Qudrnte: 90º 80º (figur 7..) Figur 7.. Segundo Qudrnte sen PM OQ ; sinl positivo (+) os OP QM ; sinl negtivo ( ) sen T ; sinl negtivo ( ) os se ose o OT ; sinl negtivo ( ) os OS ; sinl positivo (+) sen S ; sinl negtivo ( ) ) Tereiro Qudrnte: 80º 70º (figur 7..3.) Figur 7..3 Tereiro Qudrnte sen PM OQ ; sinl negtivo ( ) os OP QM ; sinl negtivo ( ) sen os T ; sinl positivo (+) se os OT ; sinl negtivo ( ) ose sen OS ; sinl negtivo ( ) o S ; sinl positivo (+) 590 Nvegção stronômi e derrots
3 d) Qurto qudrnte: 70º 360º (figur 7..4) Figur 7..4 Qurto Qudrnte sen PM OQ ; sinl negtivo ( ) os OP QM ; sinl positivo (+) sen T os ; sinl negtivo ( ) se os OT ; sinl positivo (+) ose sen OS ; sinl negtivo ( ) o S ; sinl negtivo ( ) II RESUMO DOS SINIS DS LINHS TRIGONOMÉTRICS QUDRNTE LINH PRIMEIRO SEGUNDO TERCEIRO QURTO 0º 90º 90º 80º 80º 70º 70º 360º SENO + + COSSENO + + TNGENTE + + SECNTE + + COSSECNTE + + COTNGENTE + + III VRIÇÕES DS LINHS TRIGONOMÉTRICS QUDRNTE SENO COSSENO TNGENTE COTNGENTE SECNTE COSSECNTE o o o o Nvegção stronômi e derrots 59
4 IV PRIMEIRS RELÇÕES ENTRE S FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICS sen ( ) sen ( ) se ( ) se os ( ) os o ( ) o ose ( ) ose sen (80º ) sen (80º ) os (80º ) os o (80º ) o sen (80º + ) sen (80º + ) os (80º + ) os o (80º + ) o sen (90º + ) os (90º + ) o os (90º + ) sen o (90º + ) V IDENTIDDES D TRIGONOMETRI PLN Em um írulo de rio unitário (r ), teremos: sen + os sen os o os o o o sen sen + sen + sen sen se + se ose + o ose os sen 59 Nvegção stronômi e derrots
5 VI SOM, SUTRÇÃO, MULTIPLICÇÃO E DIVISÃO DE RCOS sen ( + ) sen. os + os. sen sen ( ) sen. os os. sen os ( + ) os. os sen. sen os ( ) os. os + sen. sen + ( + ). sen sen. os os os sen sen os + os + os + os + + os ( ) sen os +. sen. os os sen + os os os sen VII FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO No triângulo retângulo C (figur 7..5) temos: Figur 7..5 Triângulo Retângulo sen teto oposto hipotenus os teto djente hipotenus se ose o teto oposto teto djente os sen Nvegção stronômi e derrots 593
6 ^ ^ ind no triângulo retângulo C, e C são ângulos omplementres, isto é: ^ + C ^ 90º. Então: sen os C os (90º ) os sen C sen (90º ) o C o (90º ) se ose C ose (90º ) ose se C se (90º ) o C (90º ) VIII RESOLUÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Considerm-se 4 sos n resolução dos triângulos retângulos: o CSO: Ddos hipotenus e um ângulo gudo ( e, respetivmente) Ldos:. sen Ângulo: C 90º. os Áre: S. sen 4 o CSO: Ddos um teto e um ângulo gudo ( e, respetivmente) Ldos: sen Ângulo: C 90º. o Áre: S. o 3 o CSO: Ddos os dois tetos ( e ) Ângulos: Hipotenus: sen C 90º Áre: S 4 o CSO: Ddos hipotenus e um teto ( e, respetivmente) Ângulos: sen Ldo: ( +)( ) C 90º Áre: S ( +)( ) 594 Nvegção stronômi e derrots
7 IX TRIÂNGULO PLNO OLIQUÂNGULO Sej o triângulo oliquângulo C d figur s seguintes Leis são úteis pr resolução desse tipo de triângulo: Figur 7..6 Triângulo Plno Oliquângulo Lei dos Senos: sen sen sen C Lei dos Cossenos: + os C X RESOLUÇÃO DO TRIÂNGULO OLIQUÂNGULO Conforme os ddos do prolem, distinguiremos os 4 sos possíveis (figur 7..6). o CSO: Ddos um ldo e dois ângulos quisquer (, e ) Ldos:. sen Ângulo: C 80º ( + ) sen. sen C Áre: S. sen. sen ( + ) sen sen o CSO: Ddos dois ldos e o ângulo que eles formm (, e C) Ângulos: + o C Ldo:. sen C sen. o C. sen C Áre: S + ou:. sen C. os C e: 80º ( + C) 3 o CSO: Ddos os três ldos (, e ) Perímetro : + + p Áre : S p(p )(p )(p ) Ângulos: sen (p ) (p ) ; ou : os + sen (p ) (p ) ; ou : os + C sen (p ) (p ) ; ou : C 80º ( + ) Nvegção stronômi e derrots 595
8 4 o CSO: Ddos dois ldos e o ângulo oposto um deles (, e ) Ângulos: sen. sen Ldo:. sen C sen C 80º ( + ) Áre: S. sen C 3 TRIGONOMETRI ESFÉRIC I FINLIDDE D TRIGONOMETRI ESFÉRIC O nvegnte dmite que Terr tem form esféri, om o propósito de simplifir solução dos prolems de Nvegção stronômi. Por outro ldo, os stros são supostos estr projetdos sore superfíie intern de um imens esfer, denomind Esfer Celeste, de rio infinito e onêntri om Terr. Eis porque, qundo um nvegnte efetu Nvegção stronômi, o seguinte proedimento se impõe: o. Oservr stros que lhe preem estr n superfíie intern d Esfer Celeste; e o. resolver triângulos esférios pertenentes à superfíie intern dess esfer (figur 7..7). Figur 7..7 Triângulo Esfério n Esfer Celeste RESOLUÇÃO DESTES TRIÂNGULOS ESFÉRICOS CONSTITUI, PR O NVEGNTE, O FIM PRINCIPL D TRIGONOMETRI ESFÉRIC. 596 Nvegção stronômi e derrots
9 s Táus pr Nvegção stronômi (PU. 9, PU. 49, RDLER, NORIE, et.) onstituem, n relidde, um série de soluções pré-omputds de triângulos esférios, pr tods s ominções possíveis de Ltitude, Delinção e Ângulo Horário (ou ângulo no pólo), fim de filitr o nvegnte resolução do triângulo de posição e determinção rápid e preis do ponto no mr. II PRINCIPIS PROPRIEDDES DOS TRIÂNGULOS ESFÉRICOS TRIÂNGULO ESFÉRICO é porção d superfíie esféri ompreendid entre três ros de irunferênis máxims, d um deles inferior 80º. Os ângulos do triângulo esfério C (figur 7..8) são simolizdos om s letrs,, C e os ldos opostos, om s minúsuls respetivs:,,. d triângulo esfério C, de ldos menores que 80º, orresponde um ângulo triédrio onvexo, 0 C, ujo vértie está no entro O d esfer. Os ldos do triângulo esfério têm por medid s fes respetivs do ângulo triédrio orrespondente. Relmente, medid de d ldo é igul à medid do respetivo ângulo entrl: ldo ângulo entrl OC ldo ângulo entrl OC ldo ângulo entrl O Figur 7..8 Triângulo Esfério C Os ângulos do triângulo esfério têm por medid os diedros do ângulo triédrio orrespondente: diedro OC diedro OC C diedro OC Nvegção stronômi e derrots 597
10 Proprieddes dos triângulos esférios:. som dos 3 ldos de um triângulo esfério é mior que 0º e menor que 360º. 0º < + + < 360º. som dos 3 ângulos de um triângulo esfério é mior que retos e menor que 6 retos. 80º < + + C < 540º 3. Cd ldo de um triângulo esfério é menor que som e mior que diferenç dos outros dois. < < + < < + < < + 4. Se ldos de um triângulo esfério são iguis, os ângulos opostos tmém são iguis. reípro é verddeir. Se, então (e reipromente) 5. o mior ldo se opõe o mior ângulo e vie-vers. 6. som de dois ângulos é menor que o tereiro resido de 80º e diferenç é menor que o suplemento do tereiro. + < C + 80º < 80º C III FÓRMULS GERIS D TRIGONOMETRI ESFÉRIC Trigonometri Esféri estelee relções onvenientes entre os 6 elementos de um triângulo esfério (3 ldos e 3 ângulos), tornndo possível o álulo de 3 desses elementos, qundo forem onheidos os outros 3. ssim, d elemento desonheido é luldo em função de outros 3, proporionndo, em d so, um ominção de 4 elementos. Como são 6 os elementos de um triângulo, temos que ver qunts ominções poderemos fzer om esses 6 elementos 4 4. C n m n 4 m 6 6 x 5 x 4 x 3 5 P P x x 3 x 4 n 4 Deste modo, om 5 fórmuls teremos rngido todos os sos de resolução seguir expostos. o CSO: COMINÇÃO DE 3 LDOS CD UM DOS ÂNGULOS D figur 7..9, otém-se: L K se OL se OK 598 Nvegção stronômi e derrots
11 Figur 7..9 Os triângulos plnos retilíneos KOL e KL permitem-nos esrever: KL OL + OK x OL x OK x os KL L + K x L x K x os Igulndo e sustituindo: ou sej: se + se. se. se. os +... os. se. se. os se + se.. os Dividindo por ( ) mos os memros d iguldde im, teremos: se. se. os +.. os Multiplindo mos os memros dess iguldde por os. os, virá:.. os. os. os os. os + sen. sen. os. os. os os os os os Donde os os. os + sen. sen. os Por dedução semelhnte, hegrímos às outrs dus ominções, ompletndo ssim o grupo ds hmds FÓRMULS FUNDMENTIS D TRIGONOMÉTRIC ESFÉRIC: os os. os + sen. sen. os os os. os + sen. sen. os os os. os + sen. sen. os C o CSO: COMINÇÃO DE 3 ÂNGULOS CD UM DOS LDOS Por simples plição d propriedde do triângulo polr ou suplementr, hegrímos o seguinte onjunto de fórmuls: Nvegção stronômi e derrots 599
12 os os. os C + sen. sen C. os os os. os C + sen. sen C. os os C os. os + sen. sen. os 3 o CSO: COMINÇÃO DE ÂNGULOS LDOS OPOSTOS (NLOGI DOS SENOS OU LEI DOS SENOS) Prtindo ds fórmuls fundmentis, por fáeis sustituições lgéris, deduzirímos: sen sen sen sen sen sen C 4 o CSO: COMINÇÃO DE 4 ELEMENTOS CONSECUTIVOS (FÓRMUL DS COTNGENTES), NOS SENTIDOS MOSTRDOS N FIGUR 7..0 Figur 7..0 C Com origem ns fórmuls fundmentis, hegrímos às últims 6 fórmuls, tingindo o totl ds 5 ominções prourds: o.sen o.sen o.sen o.sen o.sen o.sen o.sen + os. os o.senc + os. osc o.senc + os. osc o.sen + os. os o C.sen + os. os o C.sen + os. os Todo o trlho restnte d Trigonometri Esféri se resume, prtimente, n simplifição dests fórmuls geris, que são sufiientes pr resolver qulquer so lássio que se presente. 600 Nvegção stronômi e derrots
13 IV SIMPLIFICÇÃO DS FÓRMULS GERIS NOS CSOS DOS TRIÂNGULOS ESFÉRICOS RETÂNGULOS E RETILÁTEROS TRIÂNGULO ESFÉRICO RETÂNGULO é quele que tem um ângulo igul 90º. TRIÂNGULO ESFÉRICO RETILÁTERO é quele que tem um ldo igul 90º. Fzendo prte dos 3 elementos ddos de um triângulo esfério um ângulo igul 90º (triângulo esfério retângulo), ou um ldo igul 90º (triângulo esfério retilátero), é evidente que este elemento irá simplifir ominção esolhid, omo se verifi no qudro seguir, no qul são presentds s fórmuls geris e s fórmuls simplifids que tendem à resolução de qulquer so dos triângulos esférios retângulos e retiláteros. FÓRMULS GERIS FÓRMULS SIMPLIFICDS 90º 90º os os. os + sen. sen. os os os. os os o. o os os. os + sen. sen. os os sen. os os os. os + sen. sen. os C os sen. os C os os. os C + sen. sen C. os os o. o C os os. os C os os. os C + sen. sen C. os os sen C. os os C os. os + sen. sen. os os C sen. os sen sen sen sen. sen sen sen. sen sen sen sen sen sen sen. sen C sen C sen. sen sen sen C sen sen sen sen C o. sen o. sen + os. os o o. os o os. o o. sen o. sen C + os. os C o o. os C o os. o C o. sen o. sen C + os. os C o o. sen C o. sen o. sen + os. os o o. sen o. sen o C. sen + os. os o o C. sen o. sen o C. sen + os. os o C o. sen Nvegção stronômi e derrots 60
14 V FÓRMULS EMPREGDS N RESOLUÇÃO DOS TRIÂNGULOS ESFÉRICOS OLIQUÂNGULOS o CSO: DDOS OS TRÊS LDOS (,, ) + sen (p ). sen (p ) sen p. sen (p ) ; sendo + + p + sen (p ). sen (p ) sen p. sen (p ) C + sen (p ). sen (p ) sen p. sen (p ) o CSO: DDOS OS TRÊS ÂNGULOS (,, C) + os S.os (S ) os (S ).os (S C) ; sendo + + C S + os S.os (S ) os (S ).os (S C) + os S. os os (S ). os (S C) (S ) 3 o CSO: DDOS DOIS LDOS E O ÂNGULO COMPREENDIDO (,, ) FIGUR 7.. Figur 7.. C 60 Nvegção stronômi e derrots
15 Pr o álulo do ldo podemos empregr fórmul: os os. os ( ~m) os m Em que o rgumento uxilir m é ddo por m. os ou, então, lnçr mão d fórmul do SEMI-SENO-VERSO: ssv ssv (~ ) + sen.sen.ssv É oportuno reordr que se denomin semi-seno-verso (ssv) de um ângulo à expressão: ssv ( - os ) sen É fáil demonstrr iguldde im, desde que nos lemremos ds seguintes identiddes: sen + os os os sen multiplindo segund fórmul por ( ), teremos: os os + sen somndo d um dos memros, firá: - os os + sen omo: sen + os, teremos: os sen + os os + sen ou, então: os sen ; e ( os ) sen Nvegção stronômi e derrots 603
16 O semi-seno-verso (ssv) é empregdo n solução do triângulo de posição em váris Táus pr Nvegção stronômi. Em inglês, é denomindo hversine (hv). É est notção empregd n Táu Norie. Qunto os ângulos e C, podem ser otidos por meio ds NLOGIS DE NEPER: os + C + os. o sen C + sen. o O ldo tmém pode ser otido, pós o álulo dos ângulos e C, utilizndo N- LOGI DE NEPER: + C os C os. + 4 o CSO: DDOS DOIS ÂNGULOS E O LDO COMPREENDIDO (LDO COMUM) Ddos:,, C Utiliz-se resolução pel deomposição em triângulos retângulos. N figur 7.., o ângulo pode ser luldo pel fórmul Figur 7.. sen ä. os os sen Ø C Y d 604 Nvegção stronômi e derrots
17 Em que o rgumento uxilir Y é ddo por o Y. os, e o ângulo d C Y. Ou, então, lnçndo mão d fórmul do SEMI-SENO-VERSO: ssv (80º ) ssv ( + C) sen. sen C. ssv Os ldos e podem ser luldos por meio ds NLOGIS DE NEPER: + C os + C os. sen sen C + C. Cluldos os ldos e, pode-se utilizr fórmul seguinte, pr lulr o ângulo, otid d NLOGI DE NEPER: o + os os. + C 5 o CSO: DDOS DOIS LDOS E O ÂNGULO OPOSTO DE UM DELES (,, ) Figur 7..3 C Y d m d N figur 7..3, temos: Nvegção stronômi e derrots 605
18 sen sen. sen sen m + d m os. os d os m. os os C Y + d o Y os. os d os Y. Sinis de d e d: s grndezs m e Y serão sempre positivs. s grndezs d e d serão positivs qundo e forem do mesmo qudrnte; qundo e não forem do mesmo qudrnte, os vlores de d e d serão preedidos do sinl (menos). Os sinis de d e d sem diretmente ds fórmuls im, pr os d e os d. 6 o CSO: DDOS DOIS ÂNGULOS E O LDO OPOSTO UM DELES (,, ) Figur 7..4 C Y d m d N figur 7..4, temos: sen sen. sen sen o. os m m + d o m os. os d o C Y + d Y os. os d os Y. os os 606 Nvegção stronômi e derrots
19 Sinis de d e d: Os sinis de Y e m são sempre positivos. Os sinis de d e d são sempre iguis, pois estes são sempre do mesmo qudrnte (o que ontee, igulmente, om m e Y). Os sinis de d e d sem diretmente ds fórmuls im, pr os d e os d. Nvegção stronômi e derrots 607
Trigonometria FÓRMULAS PARA AJUDÁ-LO EM TRIGONOMETRIA
Trigonometri é o estudo dos triângulos, que contêm ângulos, clro. Conheç lgums regrs especiis pr ângulos e váris outrs funções, definições e trnslções importntes. Senos e cossenos são dus funções trigonométrics
MATEMÁTICA. Equações do Segundo Grau. Professor : Dêner Rocha. Monster Concursos 1
MATEMÁTICA Equções do Segundo Gru Professor : Dêner Roh Monster Conursos 1 Equções do segundo gru Ojetivos Definir equções do segundo gru. Resolver equções do segundo gru. Definição Chm-se equção do º
Bateria de Exercícios Matemática II. 1 Determine os valores de x e y, sabendo que os triângulos ABC e DEF são semelhantes:
Colégio: Nome: nº Sem limite pr reser Professor(): Série: 1ª EM Turm: Dt: / /2013 Desonto Ortográfio: Not: Bteri de Exeríios Mtemáti II 1 Determine os vlores de x e y, sendo que os triângulos ABC e DEF
Material Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos Cossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Senos e Lei dos Cossenos - Parte 1
Mteril Teório - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos ossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulres Lei dos Senos e Lei dos ossenos - Prte 1 Nono no utor: Prof. Ulisses Lim Prente Revisor: Prof. ntonio min M.
RESPOSTAS DA LISTA 2 - Números reais: propriedades algébricas e de ordem
List de Mtemáti Bási 009- (RESPOSTAS) 4 RESPOSTAS DA LISTA - Números reis: proprieddes lgéris e de ordem Pr filitr onsult, repetimos qui os xioms e s proprieddes lgéris e de ordem listds em ul. À medid
GEOMETRIA DESCRITIVA PASSO A PASSO PROF. JAIR ROBERTO BÄCHTOLD UDESC
GEOMETRIA DESCRITIVA PASSO A PASSO PROF. JAIR ROBERTO BÄCHTOLD UDESC Tópio 01 Tópio 02 Tópio 03 Tópio 04 Tópio 05 Tópio 06 Tópio 07 Tópio 08 Tópio 09 Tópio 10 Tópio 11 ÍNDICE Sistems de Projeções Estudo
Resoluções de Atividades
VOLU 1 GOTRI Resoluções de tividdes Sumário pítulo 1 Rzão e proporção...1 pítulo Teorem de Tles.... pítulo Teorem d issetriz etern... pítulo Semelhnç... pítulo Teorem d issetriz intern... pítulo 1 Rzão
Hewlett-Packard O ESTUDO DO PONTO. Aulas 01 a 05. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Hewlett-Pkrd O ESTUDO DO PONTO Auls 0 05 Elson Rodrigues, Griel Crvlho e Pulo Luiz Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... Alguns elementos do plno rtesino... Origem... Eios... Qudrntes... Bissetrizes
P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 3
P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 3 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. O número de csos possíveis é. Como se pretende que o número sej pr, então pr o lgrismo ds uniddes existem
INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois
INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois
Material Teórico - Módulo Teorema de Pitágoras e Aplicações. Algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras. Nono Ano
teril Teório - ódulo Teorem de Pitágors e plições lgums demonstrções do Teorem de Pitágors Nono no utor: Prof. Ulisses im Prente Revisor: Prof. ntonio minh. Neto 30 de mrço de 2019 1 Teorem de Pitágors
Matemática Régis Cortes FUNÇÃO DO 2 0 GRAU
FUNÇÃO DO 2 0 GRAU 1 Fórmul de Bháskr: x 2 x 2 4 2 Utilizndo fórmul de Bháskr, vmos resolver lguns exeríios: 1) 3x²-7x+2=0 =3, =-7 e =2 2 4 49 4.3.2 49 24 25 Sustituindo n fórmul: x 2 7 25 2.3 7 5 7 5
VETORES. Problemas Resolvidos
Prolems Resolvidos VETORES Atenção Lei o ssunto no livro-teto e ns nots de ul e reproduz os prolems resolvidos qui. Outros são deidos pr v. treinr PROBLEMA 1 Dois vetores, ujos módulos são de 6e9uniddes
Matemática B Superintensivo
GRITO Mtemátic Superintensivo Eercícios 0) 4 m M, m 0 m N tg 0 = b = b = b = = cos 0 = 4 = = 4. =.,7 =,4 MN =, +,4 + MN =,9 m tg 60 = = =.. = h = + = 0 m 04) 0) D O vlor de n figur bio é: (Errt) 4 sen
C Sistema destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET RACIOCÍNIO LÓGICO
Pr Ordendo RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 06 RELAÇÕES E FUNÇÕES O pr ordendo represent um ponto do sistem de eixos rtesinos. Este sistem é omposto por um pr de rets perpendiulres. A ret horizontl é hmd de eixo
20 29 c) 20 b) 3 5, é TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. 1) No triângulo abaixo, o seno do ângulo B vale:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ) (UNISINOS) O ldo do qudrdo ABCD, d figur ixo, mede m e M é o ponto médio do ldo CD. 1) No triângulo ixo, o seno do ângulo B vle: 9 ) 0 9 ) 1 0 ) 9 0 1 1 9 ) (UFRGS)
Matemática para Economia Les 201. Aulas 28_29 Integrais Luiz Fernando Satolo
Mtemátic pr Economi Les 0 Auls 8_9 Integris Luiz Fernndo Stolo Integris As operções inverss n mtemátic: dição e sutrção multiplicção e divisão potencição e rdicição A operção invers d diferencição é integrção
Objetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.
MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função
Resolução: a) o menor valor possível para a razão r ; b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a.
O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de um Progressão Aritmétic (PA) de números inteiros, de rzão r, formm, nest ordem, um Progressão Geométric (PG), de rzão q, com qer ~ (nturl diferente de
Notas de aulas 1 IFSP Mecânica Técnica
Nots de uls 1 IFSP Meâni Téni 1. Revisão de trigonometri. Sistems de uniddes. Algrismos signifitivos. 2. Coneito de vetor. Som de vetores. Deomposição de forçs. 3. Equilírio de um ponto mteril. 4. Digrm
A B C Para colocar letras nas figuras, escrevem-se as letras segundo o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
Ângulos e triângulos Unidde 6 PLIR 1. Oserv figur. Nos pontos e estão plntds árvores. Pretende-se plntr um árvore num ponto de modo que os pontos, e pertençm à mesm ret. z três desenhos indindo o ponto
Matemática Básica II - Trigonometria Nota 02 - Trigonometria no Triângulo
Mtemátic ásic II - Trigonometri Not 0 - Trigonometri no Triângulo Retângulo Márcio Nscimento d Silv Universidde Estdul Vle do crú - UV urso de Licencitur em Mtemátic mrcio@mtemticuv.org 18 de mrço de 014
Trigonometria - Primeira Parte
Cpítulo 7 Trigonometri - Primeir Prte 7 Introdução Triângulo é um polígono om ângulos internos, logo ldos Podemos lssiá-los de dus mneirs: qunto os tmnhos dos ldos: equilátero - ldos de mesmo omprimento,
MATEMÁTICA. Capítulo 5 LIVRO 1. Teorema de Pitágoras Relações Métricas nos Triângulos. Páginas: 190 à 201
MATEMÁTICA LIVRO 1 Cpítulo 5 Teorem de Pitágors Relções Métris nos Triângulos Págins: 190 à 01 Teorem de Pitágors: II ² III IV ² II ² I I IV III "A áre do qudrdo formdo om o ldo d hipotenus é igul som
a) 3 ( 2) = d) 4 + ( 3) = g) = b) 4 5 = e) 2 5 = h) = c) = f) = i) =
List Mtemátic -) Efetue s dições e subtrções: ) ( ) = d) + ( ) = g) + 7 = b) = e) = h) + = c) 7 + = f) + = i) 7 = ) Efetue s multiplicções e divisões: ).( ) = d).( ) = g) ( ) = b).( 7) = e).( 6) = h) (
INTEGRAL DEFINIDO. O conceito de integral definido está relacionado com um problema geométrico: o cálculo da área de uma figura plana.
INTEGRAL DEFINIDO O oneito de integrl definido está reliondo om um prolem geométrio: o álulo d áre de um figur pln. Vmos omeçr por determinr áre de um figur delimitd por dus rets vertiis, o semi-eio positivo
TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
TRIGONOMETRI ESFÉRI Dr. Dniele rro Mrr lve Dr. Joé Milton rn Deprtmento de rtogrfi Fuldde de iêni e Tenologi Unep mpu de Preidente Prudente 017 SUMÁRIO 1. TRIGONOMETRI ESFÉRI... 3 1.1. oneito áio... 3
3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR
3 CÁLCULO INTEGRAL EM IR A importâni do álulo integrl em IR reside ns sus inúmers plições em vários domínios d engenhri, ms tmém em ísi, em teori ds proiliddes, em eonomi, em gestão 3 Prtição de um intervlo
AB AC BC. k PQ PR QR AULA 1 - GEOMETRIA PLANA CONCEITOS BÁSICOS SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS. Triângulos isósceles
AULA - GEOMETRIA PLANA Triângulos isósceles CONCEITOS BÁSICOS Rets prlels cortds por um trnsversl São queles que possuem dois ldos iguis. Ligndo o vértice A o ponto médio d bse BC, germos dois triângulos
o Seu pé direito na medicina
o Seu pé direito n medicin UNIFESP //006 MATEMÁTIA 0 Entre os primeiros mil números inteiros positivos, quntos são divisíveis pelos números,, 4 e 5? 60 b) 0 c) 0 d) 6 e) 5 Se o número é divisível por,,
Vetores. Capítulo. UNIDADE C Vetores e grandezas vetoriais: Cinemática vetorial
UNI etores e grndezs vetoriis: inemáti vetoril pítulo 7 etores s vetores são entes mtemátios mplmente utilizdos em Físi. les representm grndezs que só fim definids qundo são onheidos seu módulo, su direção
CÁLCULO INTEGRAL. e escreve-se
Primitivs CÁLCULO INTEGRAL Prolem: Dd derivd de um função descorir função inicil. Definição: Chm-se primitiv de um função f, definid num intervlo ] [ à função F tl que F = f e escreve-se,, F = P f ou F
Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semiretas orientadas) a partir de um ponto comum.
O conceito de ângulo Ângulo é reunião de dois segmentos de ret orientdos (ou dus semirets orientds) prtir de um ponto comum. A interseção entre os dois segmentos (ou semi-rets) é denomind vértice do ângulo
AULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9
www.mtemticemexercicios.com Integris (volume ) Índice AULA Introdução AULA Proprieddes e teorem fundmentl do cálculo 5 AULA Integris indefinids 7 AULA 4 Integrção por sustituição 9 AULA 5 Integrção por
Conjuntos Numéricos. Conjuntos Numéricos
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA.. Proprieddes dos números
1 Assinale a alternativa verdadeira: a) < <
MATEMÁTICA Assinle lterntiv verddeir: ) 6 < 7 6 < 6 b) 7 6 < 6 < 6 c) 7 6 < 6 < 6 d) 6 < 6 < 7 6 e) 6 < 7 6 < 6 Pr * {} temos: ) *, * + e + * + ) + > + + > ) Ds equções (I) e (II) result 7 6 < ( 6 )
3. LOGARITMO. SISTEMA DE LOGARITMO
0. LOGARITMO. SISTEMA DE LOGARITMO.. LOGARITMO ritmo. Agor que já "semos" o que é, podemos formlizr definição de Definição Sejm e números reis positivos, om. Chm-se ritmo de n se, o epoente que stisfz
Cinemática de Mecanismos
inemáti de Menismos. álulo Vetoril Pulo Flores J.. Piment lro Universidde do Minho Esol de Engenhri Guimrães 007 ÍNDIE. álulo Vetoril...1.1. Generliddes...1.. Tipos de oordends....3. Notção Vetoril...3.4.
Recordando produtos notáveis
Recordndo produtos notáveis A UUL AL A Desde ul 3 estmos usndo letrs pr representr números desconhecidos. Hoje você sbe, por exemplo, que solução d equção 2x + 3 = 19 é x = 8, ou sej, o número 8 é o único
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I INFORMAÇÕES GERAIS. Prof.
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I INFORMAÇÕES GERAIS Prof. Bruno Fris Arquivo em nexo Conteúdo Progrmático Biliogrfi HALLIDAY,
Material Teórico - Módulo Teorema de Pitágoras e Aplicações. Algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras - Parte 2. Nono Ano
Mteril Teórico - Módulo Teorem de itágors e plicções lgums demonstrções do Teorem de itágors - rte 2 Nono no utor: rof. Ulisses Lim rente Revisor: rof. ntonio minh M. Neto 27 de ril de 2019 1 lgums plicções
Álgebra Linear e Geometria Analítica
Álger iner e Geometri nlti º Folh de poio o estudo Sumário: ü Operções lgris om mtrizes: dição de mtrizes multiplição de um eslr por um mtriz e multiplição de mtrizes. ü Crtersti de um mtriz. Eerios resolvidos.
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2. MATEMÁTICA III 1 DETERMINANTES
INTRODUÇÃO... DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM... DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM... DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM... PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES... 8 REGRA DE CHIÓ... MENOR COMPLEMENTAR... COFATOR...
Integrais Impróprios
Integris Impróprios Extendem noção de integrl intervlos não limitdos e/ou funções não limitds Os integris impróprios podem ser dos seguintes tipos: integris impróprios de 1 espéie v qundo os limites de
3 : b.. ( ) é igual a: sen. Exponenciação e Logarítmos - PROF HELANO 15/06/15 < 4. 1) Para que valores reais se verifica a sentença
Exponencição e Logrítmos - PRO HELO /06/ ) Pr que vlores reis se verific sentenç x x x x x4 < 4 : ) { x / x } [, ] ) { x / x } ], [ ) Se, e c são reis positivos, então simplificndo ) ) 4 log c log c..
RELAÇÕES MÉTRICAS E TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Mtemáti RELÇÕES MÉTRIS E TRIGONOMETRI NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. RELÇÕES MÉTRIS Ddo o triângulo retângulo io:. RELÇÕES TRIGONOMÉTRIS Sej o triângulo retângulo io: n m Temos: e são os tetos; é ipotenus;
Revisão EXAMES FINAIS Data: 2015.
Revisão EXAMES FINAIS Dt: 0. Componente Curriculr: Mtemátic Ano: 8º Turms : 8 A, 8 B e 8 C Professor (): Anelise Bruch DICAS Use s eplicções que form copids no cderno; Use e buse do livro didático, nele
Prova elaborada pelo prof. Octamar Marques. Resolução da profa. Maria Antônia Conceição Gouveia.
ª AVALIAÇÃO DA ª UNIDADE ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO DISCIPLINA: MATEMÁTICA Prov elord pelo prof. Otmr Mrques. Resolução d prof. Mri Antôni Coneição Gouvei.. Dispondo de livros de mtemáti e de físi, qunts
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prov Escrit de MATEMÁTICA A - 1o Ano 017-1 Fse Propost de resolução GRUP I 1. s números nturis de qutro lgrismos que se podem formr com os lgrismos de 1 9 e que são múltiplos de, são constituídos por 3
GABARITO. Matemática D 16) D. 12z = 8z + 8y + 8z 4z = 2x + 2y z = 2z+ 2y z = 2x x z = = 1 2 = ) C
GRITO temátic tensivo V. ercícios 0) ) 40 b) 0) 0) ) elo Teorem de Tles, temos: 8 40 5 b) elo Teorem de Tles, temos: 4 7 prtir do Teorem de Tles, temos: 4 0 48 0 4,8 48, 48 6 : 9 6, + 4,8 + 9,8 prtir do
Material Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos Cossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Senos e Lei dos Cossenos - Parte 2
Mteril Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos ossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulres Lei dos Senos e Lei dos ossenos - Prte Nono no utor: Prof. Ulisses Lim Prente Revisor: Prof. ntonio minh M.
Funções do 1 o Grau. Exemplos
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Funções do o Gru. Função
CONCURSO DE SELEÇÃO 2003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
CONCURSO DE SELEÇÃO 003 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 41100 0$7(0É7,&$ RESOLUÇÃO PELA PROFESSORA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA $ LOXVWUDomR TXH VXEVWLWXL D RULJLQDO GD TXHVWmR H DV GDV UHVROXo}HV
Resolução A primeira frase pode ser equacionada como: QUESTÃO 3. Resolução QUESTÃO 2 QUESTÃO 4. Resolução
(9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se
Material envolvendo estudo de matrizes e determinantes
E. E. E. M. ÁREA DE CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROFESSORA ALEXANDRA MARIA º TRIMESTRE/ SÉRIE º ANO NOME: Nº TURMA: Mteril envolvendo estudo de mtrizes e determinntes INSTRUÇÕES:. Este
3 Teoria dos Conjuntos Fuzzy
0 Teori dos Conjuntos Fuzzy presentm-se qui lguns conceitos d teori de conjuntos fuzzy que serão necessários pr o desenvolvimento e compreensão do modelo proposto (cpítulo 5). teori de conjuntos fuzzy
Material Teórico - Módulo de Razões e Proporções. Proporções e Conceitos Relacionados. Sétimo Ano do Ensino Fundamental
Mteril Teórico - Módulo de Rzões e Proporções Proporções e Conceitos Relciondos Sétimo Ano do Ensino Fundmentl Prof. Frncisco Bruno Holnd Prof. Antonio Cminh Muniz Neto Portl OBMEP 1 Introdução N ul nterior,
INTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
Cálculo II Prof. Adrin Cherri 1 INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região
Prova de Aferição de Matemática e Estudo do Meio Prova 26 2.º Ano de Escolaridade Braille/Entrelinha 1,5 sem figuras Critérios de Classificação
Prov de Aferição de Mtemáti e Estudo do Meio Prov 26 2.º Ano de Esolridde 2018 Dereto-Lei n.º 17/2016, de 4 de ril Brille/Entrelinh 1,5 sem figurs Critérios de Clssifição 12 Págins Prov 26/Adp CC Págin
TRIÂNGULO 1 - CONCEITO 2 - CLASSIFICAÇÃO. acutângulo 2º) Quanto aos ângulos retângulo obtusângulo. Sejam, não colineares, os pontos A, B, e C A.
TRIÂNGULO 1 - ONITO Sejm, não olineres, os pontos,, e utângulo 2º Qunto os ângulos retângulo otusângulo I é utângulo é união dos segmentos, e. m ( = Ldos: m ( = Vérties: m ( = II, e são gudos 2 - LSSIFIÇÃO
As fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno
ul 3 s fórmuls ditivs e s leis do MÓDULO 2 - UL 3 utor: elso ost seno e do cosseno Objetivos 1) ompreender importânci d lei do seno e do cosseno pr o cálculo d distânci entre dois pontos sem necessidde
16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green
ÁLULO VETORIAL álculo Vetoril pítulo 6 6.4 Teorem de Green Nest seção, prenderemos sore: O Teorem de Green pr váris regiões e su plicção no cálculo de integris de linh. INTROUÇÃO O Teorem de Green fornece
11
01 O vlor de 8 6 0,15 é : (A) 8 (B) (C) (E) 6 0 Os números x, y e z são diretmente proporcionis, 9 e 15respectivmente. Sendo que o produto desses números é xyz 960, som será : (A) 5 (B) 8 (C) 6 7 (E) 0
Matemática Básica. A.1. Trigonometria. Apêndice A - Matemática Básica. A.1.1. Relações no triângulo qualquer. Leis Fundamentais:
Apênice A - Mtemátic Básic A.. Trigonometri A... Relções no triângulo qulquer A Mtemátic Básic C A α c β B γ Figur A. - Triângulo qulquer Leis Funmentis: c sen = sen = sen c A- Lei os cossenos: = + c -
Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma correspondência que a cada elemento de A faz corresponder um e um só elemento de B.
TEMA IV Funções eis de Vriável el 1. evisões Ddos dois onjuntos A e B, um unção de A em B é um orrespondêni que d elemento de A z orresponder um e um só elemento de B. Dus unções e são iuis se e somente
Aula 1. Coordenadas Cartesianas
Aluno: Código: Turm: Dt: / / Aul 1. Coordends Crtesins Relembrndo... No Sistem de Coordends Crtesins, o eixo horizontl é chmdo de e indicdo por Ox enqunto o eixo verticl é chmdo e é indicdo por Oy. Cd
Exercícios. setor Aula 25. f(2) = 3. f(3) = 0. f(11) = 12. g(3) = 14. Temos: 2x 1 = 5 x = 3 Logo, f(5) = 3 2 = 9
setor 07 070409 070409-SP Aul 5 FUNÇÃO (COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES) FUNÇÃO COMPOSTA Sej f um função de A em B e sej g um função de B em C. Chm-se função compost de g com f função h definid de A em C, tl que
Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.
9 ENSINO 9-º no Mtemátic FUNDMENTL tividdes complementres Este mteril é um complemento d obr Mtemátic 9 Pr Viver Juntos. Reprodução permitid somente pr uso escolr. Vend proibid. Smuel Csl Cpítulo 6 Rzões
- Departamento de Matemática Aplicada (GMA) Notas de aula Prof a. Marlene Dieguez Fernandez. Integral definida
Interl Deinid Nots de ul - pro. Mrlene - 28-2 1 - Deprtmento de Mtemáti Aplid (GMA) Nots de ul - 28-2 Pro. Mrlene Dieuez Fernndez Interl deinid Oservção: esse teto ontém pens prte teóri desse ssunto, não
Lista de Exercícios Vetores Mecânica da Partícula
List de Eeríios Vetores Meâni d Prtíul 01) Ddos os vetores e, ujos módulos vlem, respetivmente, 6 e 8, determine grfimente o vetor som e lule o seu módulo notções 0) Ddos os vetores, e, represente grfimente:
Universidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 CAPES. FUNÇÕES Parte B
Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl 5 CPES FUNÇÕES Prte B Prof. ntônio Murício Medeiros lves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez UNIDDE FUNÇÕES PRTE B. FUNÇÂO
CONJUNTOS NUMÉRICOS NOTAÇÕES BÁSICAS. : Variáveis e parâmetros. : Conjuntos. : Pertence. : Não pertence. : Está contido. : Não está contido.
CONJUNTOS NUMÉRICOS NOTAÇÕES BÁSICAS,,... A, B,... ~ > < : Vriáveis e prâmetros : Conjuntos : Pertence : Não pertence : Está contido : Não está contido : Contém : Não contém : Existe : Não existe : Existe
Definimos a unidade imaginária j, como sendo um número não real de tal forma que: PROPRIEDADES: j 4 = j 2 x j 2 = ( -1) x ( -1) = 1 ;
TÍTULO: NÚMEROS COMPLEXOS INTRODUÇÃO: Os números complexos form desenvolvidos pelo mtemático K Guss, prtir dos estudos d trnsformção de Lplce, com o único ojetivo de solucionr prolems em circuitos elétricos
Matemática. Resolução das atividades complementares. M24 Equações Polinomiais. 1 (PUC-SP) No universo C, a equação
Resolução ds tividdes complementres Mtemátic M Equções Polinomiis p. 86 (PUC-SP) No universo C, equção 0 0 0 dmite: ) três rízes rcionis c) dus rízes irrcionis e) um únic riz positiv b) dus rízes não reis
Introdução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli
Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento
QUESTÃO 01 Seja f : R R uma função definida pela sentença f(x) = 3 0,5 x. A respeito desta função considere as seguintes afirmativas:
PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - JUNHO DE. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÃO Sej f : R R um
Comprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática
Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr
Hewlett-Packard O ESTUDO DA RETA. Aulas 01 a 05. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Hewlett-Pkrd O ESTUDO DA RETA Auls 01 05 Elson Rodrigues, Griel Crvlho e Pulo Luiz Sumário EQUAÇÃO GERAL DA RETA... 2 Csos espeiis... 2 Determinção d equção gerl de um ret prtir de dois de seus pontos...
4 π. 8 π Considere a função real f, definida por f(x) = 2 x e duas circunferência C 1 e C 2, centradas na origem.
EFOMM 2010 1. Anlise s firmtivs bixo. I - Sej K o conjunto dos qudriláteros plnos, seus subconjuntos são: P = {x K / x possui ldos opostos prlelos}; L = {x K / x possui 4 ldos congruentes}; R = {x K /
Matemática para Economia Les 201
Mtemátic pr Economi Les uls 8_9 Integris Márci znh Ferrz Dis de Mores _//6 Integris s operções inverss n mtemátic: dição e sutrção multiplicção e divisão potencição e rdicição operção invers d dierencição
Propriedades das Linguagens Regulares
Cpítulo 5 Proprieddes ds Lingugens Regulres Considerndo um lfeto, já vimos que podemos rterizr lsse ds lingugens regulres sore esse lfeto omo o onjunto ds lingugens que podem ser desrits por expressões
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prov Escrit de MATEMÁTICA A - o Ano 0 - Fse Propost de resolução GRUPO I. Como comissão deve ter etmente mulheres, num totl de pessos, será constituíd por um único homem. Logo, como eistem 6 homens no
Portal da OBMEP. Material Teórico - Módulo de Lei dos Senos e dos Cossenos. Leis dos Senos e dos Cossenos. Primeiro Ano do Ensino Médio
Mteril Teório - Módulo de Lei dos Senos e dos ossenos Leis dos Senos e dos ossenos Primeiro no do Ensino Médio Prof. ntonio minh M. Neto Portl d OMEP Nest segund ul, estudremos Lei dos Senos e Lei dos
Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Aplicações da Integral
www.engenhrifcil.weely.com Resumo com exercícios resolvidos do ssunto: Aplicções d Integrl (I) (II) (III) Áre Volume de sólidos de Revolução Comprimento de Arco (I) Áre Dd um função positiv f(x), áre A
Exercícios. setor Aula 25
setor 08 080409 080409-SP Aul 5 PROGRESSÃO ARITMÉTICA. Determinr o número de múltiplos de 7 que estão compreendidos entre 00 e 000. r 7 00 7 PA 05 30 4 n 994 00 98 98 + 7 05 n + (n ) r 994 05 + (n ) 7
Platão Comenta Prova Específica de Matemática UEM julho de 2009 Gabarito 1
Pltão Coment Prov Específic de Mtemátic UEM julho de Grito QUESTÃO: GRITO: ) Corret q 6 6 6 6 6. q 6 6 6 6 8 ) Corret q n com *. n n, q > e ) Incorret. n. n ( ). n S n n n. n n. n 6 8) Corret Como < então.
Universidade de Mogi das Cruzes UMC. Cálculo Diferencial e Integral II Parte III
Cálculo Diferencil e Integrl II Págin Universidde de Mogi ds Cruzes UMC Cmpos Vill Lobos Cálculo Diferencil e Integrl II Prte III Engenhri Civil Engenhri Mecânic mrili@umc.br º semestre de 05 Cálculo Diferencil
Mania de Pitágoras Euclides Rosa
Texto omplementr Mni de Pitágors Eulides Ros MTEMÁTI 1 Mtemáti ssunto: Geometri Mni de Pitágors Elish Sott Loomis, professor de Mtemáti em levelnd, Ohio (Estdos Unidos), er relmente um pixondo pelo teorem
Aula 5 Plano de Argand-Gauss
Ojetivos Plno de Argnd-Guss Aul 5 Plno de Argnd-Guss MÓDULO - AULA 5 Autores: Celso Cost e Roerto Gerldo Tvres Arnut 1) presentr geometricmente os números complexos ) Interpretr geometricmente som, o produto
II Números reais: inteiros, racionais e irracionais 26
UFF/GMA - Mtemáti Bási - Prte II - Números reis Nots de ul - Mrlene - 2009-25 Sumário II Números reis: inteiros, rionis e irrionis 26 2 Operções, ioms e proprieddes dos reis 26 2. As operções Som e Produto
V ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } ( r ) 2. Questões tipo exame Os triângulos [ BC Da figura ao lado são semelhantes, pelo que: BC CC. Pág.
António: c ; Diogo: ( ) i e ; Rit: e c Pág Se s firmções dos três migos são verddeirs, firmção do António é verddeir, pelo que proposição c é verddeir e, consequentemente, proposição c é fls Por outro
AULA: Superfícies Quádricas
AULA: Superfíies Quádris Definição : Um equção gerl do gru em três vriáveis é um equção do tipo: A B C D E F G H I J (I), om pelo menos um ds onstntes A, B, C, D, E ou F é diferente de ero. Definição :
Capítulo III INTEGRAIS DE LINHA
pítulo III INTEGRIS DE LINH pítulo III Integris de Linh pítulo III O conceito de integrl de linh é um generlizção simples e nturl do conceito de integrl definido: f ( x) dx Neste último, integr-se o longo
TÓPICOS DE CÁLCULO UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL 1º SEMESTRE 2014
urso: ENGENHRI Professor Responsável: Ms.rlos Henrique Pontução:,0 (dois) TÓPIOS DE ÁLULO UNIVERSIDDE RUZEIRO DO SUL º SEMESTRE 0 UNIVERSIDDE RUZEIRO DO SUL tividde Pontud Disciplin: TÓPIOS DE ÁLULO Limite
Bhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes
1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como
Noção intuitiva de limite
Noção intuitiv de ite Qundo se proim de 1, y se proim de 3, isto é: 3 y + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3, 1,05 3,1 1,0 3,04 1,01 3,0 De um modo gerl: Eemplo de um ite básico Qundo tende um vlor determindo, o ite
x = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x.
Universidde Federl Fluminense Mtemátic II Professor Mri Emili Neves Crdoso Cpítulo Integrl. Diferenciis dy Anteriormente, foi considerdo um símolo pr derivd de y em relção à, ms em lguns prolems é útil