Mania de Pitágoras Euclides Rosa

Transcrição

1 Texto omplementr Mni de Pitágors Eulides Ros MTEMÁTI 1

2 Mtemáti ssunto: Geometri Mni de Pitágors Elish Sott Loomis, professor de Mtemáti em levelnd, Ohio (Estdos Unidos), er relmente um pixondo pelo teorem de Pitágors. urnte 20 nos, de , oleionou demonstrções desse teorem, grupou-s e s orgnizou num livro, o qul hmou The Pythgoren Proposition ( Proposição de Pitágors). primeir edição, em 1927, ontinh 230 demonstrções. N segund edição, pulid em 1940, esse número foi umentdo pr 370 demonstrções. epois do fleimento do utor, o livro foi reimpresso, em 1968 e 1972, pelo Ntionl ounil of Tehers of Mthemtis dquele pís. O Professor Loomis lssifi s demonstrções do teorem de Pitágors em simente dois tipos: provs lgéris (seds ns relções métris nos triângulos retângulos) e provs geométris (seds em omprções de áres). Ele se dá o trlho de oservr que não é possível provr o teorem de Pitágors om rgumentos trigonométrios porque iguldde fundmentl d Trigonometri, os 2 x 1 sen 2 x 5 1, já é um so prtiulr dquele teorem. omo semos, o enunido do teorem de Pitágors é o seguinte: áre do qudrdo ujo ldo é hipotenus de um triângulo retângulo é igul à som ds áres dos qudrdos que têm omo ldos d um dos tetos. Se, são s medids dos tetos e é medid d hipotenus, o enunido equivle firmr que oumentos histórios mostrm que os egípios e os ilônios, muito ntes dos gregos, onheim sos prtiulres desse teorem, expressos em relções omo e O fto de que o triângulo de ldos 3, 4 e 5 é retângulo er (e ind é) útil os grimensores. Há tmém um mnusrito hinês, dtdo de mis de mil nos ntes de risto, onde se enontr seguinte firmção: Tome o qudrdo do primeiro ldo e o qudrdo do segundo e os some; riz qudrd dess som é hipotenus. Outros doumentos ntigos mostrm que n Índi, em ntes d Er ristã, si-se que os triângulos de ldos 3, 4, 5 ou 5, 12, 13 ou 12, 35, 37 são retângulos. O que pree erto, todvi, é que nenhum desses povos si demonstrr o teorem. Tudo indi que Pitágors foi o primeiro prová-lo. (Ou lguém d su Esol o fez, o que dá no mesmo, pois o onheimento ientífio nquele grupo er propriedde omum.) mis el prov Qul foi demonstrção dd por Pitágors? Não se se o erto, pois ele não deixou trlhos esritos. miori dos historidores redit que foi um demonstrção do tipo geométrio, isto é, sed n omprção de áres. Não foi que se enontr em Os Elementos, de Eulides, e que é ind hoje muito enontrd nos livros de Geometri, pois tl demonstrção pree ter sido oneid pelo próprio Eulides. demonstrção de Pitágors pode muito em ter sido que deorre ds figurs seguir. o qudrdo que tem 1 omo ldo, retiremos 4 triângulos iguis o ddo. Se fizermos isso omo n figur à esquerd, oteremos um qudrdo de ldo. Ms, se mesm operção for feit omo n figur à direit, restrão dois qudrdos, de ldos e, respetivmente. Logo, áre do qudrdo de ldo é som ds áres dos qudrdos ujos ldos medem e. 1

3 Ess é, provvelmente, mis el demonstrção do teorem de Pitágors. No livro de Loomis, entretnto, el pree sem destque, omo vrinte de um ds provs dds, não sendo ontd entre s 370 numerds. presentmos seguir lgums demonstrções do teorem de Pitágors que têm lgum interesse espeil, por um motivo ou por outro. s qutro primeirs onstm d list do Professor Loomis. prov mis urt É tmém mis onheid. sei-se n onsequêni d semelhnç de triângulos retângulos: Num triângulo retângulo, d teto é médi geométri entre hipotenus e su projeção sore el. ssim, se m e n são respetivmente s projeções dos tetos e sore hipotenus, temos 2 5 m, 2 5 n, enqunto m 1 n 5. Somndo, vem m demonstrção do presidente Jmes rm Grfield, presidente dos Estdos Unidos durnte pens 4 meses (pois foi ssssindo em 1881), er tmém generl e gostv de Mtemáti. Ele deu seguinte prov do teorem de Pitágors sed n figur seguir: áre do trpézio om ses, e ltur 1 é igul à semissom ds ses vezes ltur. Por outro ldo, mesm áre é tmém igul à som ds áres de 3 triângulos retângulos. Portnto, 1 ( 1 ) , e, simplifindo, n demonstrção de Leonrdo d Vini O grnde gênio ridor d Mon Lis tmém oneeu um demonstrção do teorem de Pitágors, que se sei n figur seguir. Os qudriláteros, E, GHI e GEJI são ongruentes. Logo os hexágonos E e GEJIH têm mesm áre. í result que áre do qudrdo EJH é som ds áres dos qudrdos G e EG. G E H J I 2

4 demonstrção de Ppus N relidde, não se trt pens de um nov demonstrção, ms de um generlizção stnte interessnte do teorem de Pitágors. Em vez de um triângulo retângulo, tom-se um triângulo ritrário ; em vez de qudrdos sore os ldos, tomm-se prlelogrmos, sendo dois deles quisquer, exigindo-se que o tereiro umpr ondição de ser prlelo H, e om o mesmo omprimento. K E G H M N O teorem de Ppus firm que áre do prlelogrmo E é som ds áres de G e IJ. demonstrção se sei n simples oservção de que dois prlelogrmos om ses e lturs de mesmo omprimento têm mesm áre. ssim, por um ldo, HK tem mesm áre que G e, por outro ldo, mesm áre que MNE. Segue-se que s áres de MNE e G são iguis. nlogmente, são iguis s áres de NM e IJ. Portnto, áre de E é som ds áres de G e IJ. O teorem de Pitágors é so prtiulr do de Ppus. st tomr o triângulo retângulo e três qudrdos em lugr dos três prlelogrmos. O rgumento de Poly No meu entender, entretnto, demonstrção mis inteligente do teorem de Pitágors não está inluíd entre s 370 oleionds pelo Professor Loomis. El se h no livro Indution nd nlogy in Mthemtis, de utori do mtemátio húngro George Poly. O rioínio de Poly se sei n onheid proposição segundo qul s áres de dus figurs semelhntes estão entre si omo o qudrdo d rzão de semelhnç. Lemremos que dus figurs e dizem-se semelhntes qundo d ponto d figur orresponde um ponto em, hmdo o seu homólogo, de tl mneir que, se, são pontos quisquer de e, são seus homólogos em, então rzão é um onstnte k, hmd rzão de semelhnç de pr. Por exemplo, dois triângulos são semelhntes se, e somente se, os ângulos de um deles são ongruentes os ângulos do outro. Por outro ldo, dois qudrdos quisquer, um de ldo, e outro de ldo,, são semelhntes e rzão de semelhnç do primeiro pr o segundo é k 5. Em vez do teorem de Pitágors, Poly prov seguinte proposição mis gerl (que, dig-se de pssgem, já se h nos Elementos de Eulides): Se, e são figurs semelhntes, onstruíds respetivmente sore hipotenus e sore os tetos, de um triângulo retângulo, então áre de é igul à som ds áres de e. I L J 3

5 O enunido im impli que rzão de semelhnç de pr é, de pr é e de pr é. Por simpliidde, esrevmos em vez de áre de, G em vez de áre de G et. Se G, G, G são outrs figurs semelhntes onstruíds sore hipotenus e os tetos, respetivmente, em virtude d proposição im enunid, teremos: G G G, logo 5 G. e modo nálogo teremos: G 5 G. Portnto, G 5 G 5 G 5, digmos. Esrevendo de outro modo: G 5, G 5 e G 5. Que signifim esss três últims igulddes? Els querem dizer que, se onseguirmos hr três figurs semelhntes espeiis, e, onstruíds sore hipotenus e os tetos do nosso triângulo, de tl mneir que se tenh 5 1, então teremos tmém G 5 G 1 G sejm quis forem s figurs semelhntes G, G e G onstruíds do mesmo modo. om efeito, teremos: G 5, G 5 e G 5, logo G 1 G ( 1 ) 5 5 G. gor é só prourr s figurs espeiis. Ms els estão filmente o nosso lne. do o triângulo retângulo, tremos ltur, ixd do vértie do ângulo reto sore hipotenus. figur será o próprio triângulo. Pr esolheremos e pr o triângulo. Evidentemente,, e são figurs semelhntes. Mis evidentemente ind, temos 5 1. ROS, Eulides. Mni de Pitágors. Texto edido pel Soiedde rsileir de Mtemáti, pulido originlmente n Revist do Professor de Mtemáti ( ). n. 74, p ,