Cinemática de Mecanismos

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1 inemáti de Menismos. álulo Vetoril Pulo Flores J.. Piment lro Universidde do Minho Esol de Engenhri Guimrães 007

2 ÍNDIE. álulo Vetoril Generliddes Tipos de oordends Notção Vetoril omponentes de um Vetor Álger Vetoril dição e Sutrção Produto Externo ou Vetoril Produto Interno ou Eslr Multiplição e Divisão Rotção de Eixos no Plno Diferenição Vetoril Resolução de Equções Vetoriis Equções Vetoriis Solução Gráfi Solução nlíti Solução de he... 18

3 . ÁLULO VETORIL It is the glory of geometry tht from so few priniples, fethed from without, it is le to omplish so muh. Is Newton.1. GENERLIDDES Em meâni há dois tipos de grndezs, ser, s eslres e s vetoriis. s primeirs são rterizds por um quntidde numéri, que represent mgnitude ou módulo d grndez, seguid de um unidde dequd. Exemplos de grndezs eslres são mss de um orpo, o tempo, tempertur, entre outrs. s grndezs físis uj omplet espeifição exige, pr lém de um vlor numério, o onheimento de um direção e sentido de tução denominm-se grndezs vetoriis. ssim, por exemplo, o deslomento de um orpo só fi ompletmente espeifido pel rterizção d distâni perorrid e pel direção e sentido ssoidos à trjetóri. s grndezs vetoriis devem ser estudds om se n álger vetoril, omo, por exemplo, resultnte de dois vetores pode ser otid pel regr do prlelogrmo de vetores. rterizção geométri do movimento e ds forçs trnsmitids nos sistems meânios onstitui o erne d nálise inemáti e dinâmi. om efeito, nálise vetoril pode ser plid, quer no estudo de deslomentos, veloiddes e elerções, quer no estudo de forçs e momentos trnsmitidos pelos elementos que onstituem os sistems meânios. representção vetoril form se mtemáti do estudo inemátio e dinâmio de menismos, em omo de outrs áres d meâni. De fto, nálise vetoril permite oter, de form simples e onveniente, expressões mtemátis que de outro modo seri difíil, se não mesmo impossível, de trduzir em lingugem ientífi.. ÁLULO VETORIL 1

4 .. TIPOS DE OORDENDS Os tipos de oordends mis frequentemente utilizdos n álger vetoril plid o estudo inemátio e dinâmio de menismos rtiuldos são s oordends rtesins e s oordends polres, omo ilustr, esquemtimente, figur.1. s oordends rtesins, tmém denominds retngulres, de um ponto são s omponentes x P e y P d posição desse ponto, o psso que em oordends polres o mesmo ponto é lolizdo pel distâni r e pelo ângulo θ. Y y P P Y P r θ x P X X () () Figur.1 Tipos de oordends: () rtesins; () Polres. INEMÁTI DE MENISMOS

5 .3. NOTÇÃO VETORIL onvenionlmente, os vetores são representdos por sets que unem os seus pontos iniil e finl. N figur. está representdo o vetor r que omeç no ponto e termin no ponto, uj mgnitude é igul. r Figur. Representção onvenionl de um vetor. Por simpliidde e omodidde, no presente trlho, os vetores são representdos por um letr miúsul em negrito 1, R, em vez d representção onvenionl, r, omo se ilustr n figur.3. O módulo ou mgnitude de um vetor, que é um grndez eslr, é representdo por um letr minúsul, r = R. R O vetor unitário, ou versor, n direção do vetor R é representdo por ˆ r =. R R rˆ Figur.3 Representção de um vetor e respetivo vetor unitário. Em sum, no presente trlho notção doptd pr representção vetoril enontr-se resumid n figur.4. NOTÇÃO VETORIL TIPO DE LETR SIGNIFIDO EXEMPLO Miúsul Vetor (mgnitude, direção e sentido) omponente vetoril num dd direção R R x Minúsul Mgnitude de um vetor (grndez eslr) Mgnitude de um vetor num dd direção Vetor unitário num dd direção (versor) r r x rˆ Figur.4 Notção vetoril doptd no presente trlho. 1 distinção entre representção de um ponto e de um vetor reside no fto de que, pesr de em mos os sos se usr letrs miúsuls, os pontos serem representdos em itálio, por exemplo, o ponto P, enqunto que os vetores serem representdos em negrito, por exemplo, o vetor R.. ÁLULO VETORIL 3

6 om efeito, um vetor pode ser representdo e desrito de diferentes modos. ssim, o vetor representdo n figur.5 pode ser esrito omo, R R + R x y = (oordends rtesins) (.1) R = r θ (oordends polres) (.) x R ˆ y = r i + r ˆj (oordends rtesins) (.3) x y R = r + ir (oordends rtesins e notção omplex) (.4) iθ R = re (oordends polres e notção omplex) (.5) onde i ns equções (.4) e (.5) represent unidde omplex, em que i = 1, e e iθ = osθ + isenθ, que represent equção de Euler. Deve notr-se ind que d nálise geométri d figur.5 tem-se que, r x = r osθ (.6) r y = rsenθ (.7) r + x y = ( r ) ( r ) (.8) y r θ = rtg (.9) x r Y P R y R ĵ î θ R x Figur.5 O vetor R loliz posição do ponto P no sistem de oordends XY. X 4 INEMÁTI DE MENISMOS

7 .4. OMPONENTES DE UM VETOR É oportuno reordr lguns oneitos elementres no âmito d nálise vetoril. om efeito, vetores que tum no mesmo plno são denomindos vetores omplnres. Vetores olineres têm mesm direção e mesm linh de ção. Vetores iguis têm o mesmo módulo, mesm direção e o mesmo sentido. Vetor nulo ou zero tem módulo zero e, por isso, su direção não é espeifid. multiplição de um vetor por um eslr é definid omo sendo um vetor om mesm direção e módulo igul o produto d mgnitude do vetor pelo eslr. Um vetor negtivo onsegue-se por simples multiplição por -1, invertendo-se, por isso, o seu sentido. N figur.6 está representdo um vetor R que une origem do sistem de eixos oordendos o ponto P. s omponentes vetoriis de R o longo dos eixos são R x, R y e R z, respetivmente. ind n figur.6 estão representdos os vetores unitários dos eixos X, Y e Z, ou sej, î, ĵ e kˆ, respetivmente. Y R y P Z R z kˆ r x ĵ R î Figur.6 omponentes de um vetor o longo dos eixos oordendos. s grndezs eslres r x, r y e r z representm, respetivmente, o módulo dos vetores R x, R y e R z, pelo que se podem esrever s seguintes relções, R x = ˆi (.10) r y r x R x r z X R y = r y ˆj (.11) R z = r z kˆ (.1) Qundo dois vetores são iguis, então são tmém iguis s sus omponentes. ssim, se os vetores e forem iguis, tl que, x ˆ y i ˆ z = + j + kˆ (.13) então, se-se que, x ˆ y i ˆ z = + j + kˆ (.14) x x = (.15) y y = (.16) z z = (.17). ÁLULO VETORIL 5

8 .5. ÁLGER VETORIL.5.1. dição e Sutrção dição de vetores envolve simplesmente som individul de d um ds omponentes ns direções X, Y e Z. ssim, onsiderndo o vetor omo sendo dição dos vetores e, isto é, =+, tem-se que, x x ˆ y y i ˆ z z = ( + ) + ( + ) j + ( + ) kˆ (.18) em que os vetores, e estão representdos pels sus oordends rtesins. Grfimente, dição de vetores pode representr-se omo n figur.7, em que o vetor é igul à som dos vetores e. ind n figur.7 oserv-se que dição de vetores goz d propriedde omuttiv, isto é, o resultdo é o mesmo independentemente d ordem pel qul os vetores são diiondos. =+ =+ Figur.7 Propriedde omuttiv d dição de vetores. figur.8 ilustr tmém dição gráfi de dois vetores, qul é usd omo se pr se oter um expressão mtemáti que permite lulr o módulo d som de dois vetores. S T =+ β α γ P Q R Figur.8 dição gráfi de dois vetores. D oservção d figur.8 pode esrever-se que, PS + = PR RS (.19) PR = PQ + QR (.0) PR = + osγ (.1) RS = senγ (.) onde e representm os módulos dos vetores e, respetivmente. ssim, ds equções (.19)-(.), o módulo do vetor pode ser expresso por, = + + osγ (.3) 6 INEMÁTI DE MENISMOS

9 direção do vetor pode filmente ser onheid se o vlor do ângulo α for luldo, pelo que plindo lei dos senos o triângulo PQS vem que, = = (.4) senβ senα sen( 180 γ) onsiderndo, gor, os vetores, e e ind o eslr s, verifim-se s seguintes proprieddes em relção à álger vetoril, + = + (propriedde omuttiv d dição) (.5) + ( + ) = ( + ) + (propriedde ssoitiv d dição) (.6) s = s (propriedde omuttiv d multiplição) (.7) s ( + ) = s + s (propriedde distriutiv d multiplição) (.8) sutrção de dois vetores é em tudo semelhnte à dição de vetores nteriormente presentd. ssim, onsiderndo o vetor omo sendo sutrção dos vetores e, isto é, =- ou =+(-), tem-se que, x x ˆ y y i ˆ z z = ( ) + ( ) j + ( ) kˆ (.9) Grfimente, sutrção de vetores é otid somndo-se o primeiro vetor om o negtivo ou oposto do segundo, omo ilustr figur.9. - =- Figur.9 Sutrção de dois vetores. Deve notr-se que sutrção de vetores não goz d propriedde omuttiv, omo se demonstr grfimente n figur =- =- - Figur.10 Propriedde não omuttiv d sutrção de vetores..5.. Produto Externo ou Vetoril O produto externo ou vetoril de dois vetores e é definido omo sendo um vetor perpendiulr o plno definido por e. O produto vetoril é representdo por ou. O sentido do vetor resultnte do produto vetoril é o orrespondente o sentido do vnço de um prfuso de ros direit que rod de pr. Um prfuso de ros direit vnç n direção de um polegr qundo se. ÁLULO VETORIL 7

10 olo mão direit n form indid n figur.11, isto é, om os dedos pontr no sentido de rotção. Deve notr-se que mior prte dos prfusos são de ros direit. Por outro ldo, d definição de produto vetoril deorre que, = (.30) um vez que o sentido de rotção do prfuso é invertido qundo ordem dos dois vetores é lterd, pelo que o produto vetoril é ntiomuttivo. θ Figur.11 Representção do produto externo ou vetoril de dois vetores. Um outr regr simples, que permite ser o sentido do produto vetoril, é em onheid regr d mão direit, qul pode ser resumid do seguinte modo, o olor o dedo polegr, o dedo indidor e o dedo médio d mão direit n posição ilustrd n figur.1, se o indidor e o dedo médio pontrem nos sentidos de e, respetivmente, então o polegr indi o sentido de. Figur.1 Regr d mão direit usd no produto vetoril de dois vetores. mgnitude ou módulo do produto vetoril = pode ser luld por, = senθ (.31) em que e representm os módulos dos vetores e, respetivmente, e θ define o ângulo formdo pelos dois vetores onsiderdos. 8 INEMÁTI DE MENISMOS

11 Deve notr-se que é nulo o produto vetoril de dois vetores prlelos, um vez que é nulo o ângulo por eles formdo e, onsequentemente, é tmém nulo o seno desse ângulo. om efeito, pode onluir-se que ondição neessári e sufiiente pr grntir o prlelismo entre dois vetores é dd pelo seu produto vetoril, ou sej, = 0 (.3) Deve ind oservr-se que o produto vetoril dos vetores unitários ssoidos os eixos oordendos X, Y e Z present os seguintes resultdos, ˆ i ˆ i = 0 (.33) ˆ j ˆ j = 0 (.34) k ˆ k ˆ = 0 (.35) ˆ i ˆj = kˆ (.36) ˆj ˆi = kˆ (.37) ˆ j = ˆi (.38) kˆ ˆj = ˆi (.39) kˆ ˆi = ˆj (.40) ˆi = ˆj (.41) Qundo os vetores são expressos pels sus omponentes rtesins, x ˆ y i ˆ z = + j + kˆ (.4) x ˆ y i ˆ z = + j + kˆ (.43) então, o produto vetoril de por é ddo por, y z z y ˆ z x x z i ˆ x y y x = ( ) + ( ) j + ( ) kˆ (.44) equção (.44) pode ser esrit n form mis ompt de um determinnte d seguinte mtriz,.5.3. Produto Interno ou Eslr ˆi ˆj kˆ x y z = (.45) x y z O produto interno ou eslr de dois vetores e é definido omo sendo um eslr resultnte do produto dos seus módulos pelo oseno do ângulo por eles formdo. O produto eslr é representdo por. Mtemtimente, o produto eslr é esrito omo, = osθ (.46). ÁLULO VETORIL 9

12 em que e representm os módulos dos vetores e, respetivmente, e θ define o ângulo formdo pelos dois vetores onsiderdos. Deve notr-se que é nulo o produto eslr de dois vetores perpendiulres, um vez que é igul 90º o ângulo por eles formdo e, onsequentemente, é nulo o oseno deste ângulo. om efeito, pode onluir-se que ondição neessári e sufiiente pr grntir perpendiulridde entre dois vetores é dd por um produto interno, isto é, = 0 (.47) Deve ind oservr-se que o produto eslr dos vetores unitários ssoidos os eixos oordendos X, Y e Z present os seguintes resultdos, ˆ i ˆ i = 1 (.48) ˆ j ˆ j = 1 (.49) k ˆ k ˆ = 1 (.50) ˆ i ˆ j = 0 (.51) ˆ j k ˆ = 0 (.5) k ˆ ˆ i = 0 (.53) Qundo os vetores são expressos pels sus omponentes rtesins, x ˆ y i ˆ z = + j + kˆ (.54) então, o produto eslr de por é ddo por, x ˆ y i ˆ z = + j + kˆ (.55) x x y y z z = + + (.56) O produto eslr de um vetor por ele próprio, isto é,, é ddo por, = (.57) lgums onsiderções diionis em relção o produto eslr de vetores devem ind ser tids em linh de ont. Em primeiro lugr deve referir-se que o produto eslr goz d propriedde omuttiv, isto é, = (.58) propriedde distriutiv é tmém pliável o produto eslr de vetores, ( + ) = + (.59) Deve notr-se ind equivlêni entre os produtos eslres e vetoriis de vários vetores, tl omo exemplifi equção (.60). x y z x y z ( ) = ( ) = ( ) = (.60) x y z 10 INEMÁTI DE MENISMOS

13 .5.4. Multiplição e Divisão Nest seção são pens presentdos os sos d multiplição e divisão de dois vetores, usndo pr o efeito notção omplex. ssim, onsiderndo os vetores e expressos em notção omplex, multiplição destes dois vetores pode ser express omo, iθ iθ = e e = os( θ + θ ) + isen( θ + θ )] (.61) [ De modo nálogo, divisão de dois vetores e expressos em notção omplex pode ser luld omo, iθ iθ / = e / e = / )[ os( θ θ ) + isen( θ θ )] (.6).5.5. Rotção de Eixos no Plno ( rotção dos eixos oordendos om o intuito de definir novos sistems de eixos é um neessidde frequente n nálise de menismos. figur.13 ilustr um vetor R uj notção em oordends polres, reltivmente o sistem de eixos XY, pode ser esrit omo, R = r θ (.63) e reltivmente o sistem de eixos X Y roddo de um ângulo γ em relção o sistem de eixos originl, é expresso por, R = r ( θ γ) (.64) Deve notr-se que est téni pode ser prtiulrmente útil e interessnte no so de se pretender determinr mgnitude ds omponentes oordends de um vetor, sendo onheid su direção, pois desde que se proed um rotção de vlor igul θ, então, pós rotção vem que, R = r (.65) ou sej, r ' x = r (.66) y' r = 0 (.67) Y Y X R θ Figur.13 Rotção de um vetor. γ X. ÁLULO VETORIL 11

14 .5.6. Diferenição Vetoril Se o vetor vrir em módulo e em direção o longo do tempo, então derivd de em ordem o tempo é dd por, d ( t + Δt) ( t) = lim (.68) dt Δt 0 Δt onde Δt represent o inremento de tempo. onsiderndo que os vetores, e e o eslr s são funções que vrim om o tempo, então, qundo inluídos em expressões vetoriis, su diferenição oedee às seguintes regrs, d d d ( + ) = + (.69) dt dt dt d d d ( ) = + (.70) dt dt dt d d d ( ) = + (.71) dt dt dt d d ds ( s) = s + (.7) dt dt dt d d d d [ ( )] = ( ) + ( ) + ( ) (.73) dt dt dt dt tendendo que =-, então ordem pel qul os vetores surgem no produto vetoril não pode ser lterd n diferenição de vetores qundo envolve produtos vetoriis. derivd dos vetores unitários reltivos um sistem de oordends fixo é nul, em virtude de, nem o módulo, nem direção vrirem o longo do tempo. ontudo, derivd dos vetores unitários ssoidos um sistem de oordends móvel não é nul. Qundo os vetores são expressos em termos ds sus omponentes rtesins, derivd em ordem o tempo é otid pel derivção pril de d um ds sus omponentes. onsiderndo um vetor que vri om o tempo tl que, = f (t) (.74) então derivd de em ordem o tempo pode ser representd por, d d = f (t) = & (.75) dt dt De modo nálogo, segund derivd do vetor é representd por, d d d d ( ) = [ f ( t)] = & dt dt dt dt (.76) notção x&, revitur de dx/dt, foi originl e primeirmente empregue por Newton pr o quoiente de dus quisquer derivds. tulmente, signifi sempre derivção d vriável x em ordem o tempo e nun em relção um outr vriável qulquer. 1 INEMÁTI DE MENISMOS

15 .6. RESOLUÇÃO DE EQUÇÕES VETORIIS.6.1. Equções Vetoriis onsiderndo os vetores,, e D ddos pels sus omponentes rtesins, então equção vetoril, D = + + (.77) pode ser esrit omo, xˆ y i ˆ z j kˆ x x x ˆ y y y d d d i ˆ z z z + + = ( + + ) + ( + + ) j + ( + + ) kˆ (.78) qul, por su vez, origin o seguinte sistem de equções eslres, x x x x d = + + y y y y d = + + (.79) z z z z d = + + O sistem ddo pel equção (.79) é pssível de ser resolvido pr um qulquer onjunto de três inógnits, entre os módulos e s direções dos vetores envolvidos. Por exemplo, equção (.79) pode ser resolvid pr determinr d x, d y e d z se s omponentes dos restntes vetores forem onheids. Deve notr-se que pr outrs ominções, o sistem de equções que se otém é ltmente não liner, sendo, por isso, neessário reorrer os métodos numérios itertivos. No espço idimensionl, omo é evidente, resolução de equções vetoriis pens pode ser levd o pr dus inógnits, dus mgnitudes, dus direções ou ominção de um mgnitude om um direção. É onveniente, por vezes, indir se s vriáveis são onheids (ν) ou não (ο), utilizndo pr o efeito o respetivo símolo superior à linh em d vetor, omo por exemplo, n seguinte equção, ον νν νο = + (.80) em que o primeiro símolo se refere à mgnitude e o segundo à direção. N resolução d equção vetoril =+, qutro diferentes situções podem oorrer, ser: - mgnitude e direção do mesmo vetor são desonheids, e.g., e ĉ ; - s mgnitudes de dois vetores diferentes são desonheids, e.g., e ; - mgnitude de um vetor e direção de outro são desonheids, e.g., e ˆ ; - s direções de dois vetores diferentes são desonheids, e.g., â e ˆ..6.. Solução Gráfi Um ds metodologis utilizds n resolução de equções vetoriis sei-se n onstrução ou solução gráfi. De seguid, são presentds s soluções gráfis reltivs d um ds situções desrits n seção nterior. No so em que mgnitude e direção do mesmo vetor são desonheids, equção vetoril (.80) pode ser fáil resolvid reorrendo os oneitos de dição e sutrção dos restntes vetores, ujs rterístis são priori onheids. Este ssunto foi orddo n seção.5.1., e resume-se n figur.14.. ÁLULO VETORIL 13

16 - =+ =- Figur.14 dição e sutrção de vetores. N situção em que s mgnitudes de dois vetores diferentes são desonheids, equção vetoril pode ser esrit omo, νν ον ον = + (.81) Os pssos onernentes à resolução gráfi d equção (.81) estão ilustrdos n figur.15 e podem resumir-se do seguinte modo, - Esolher um sistem de oordends; - Definir um esl de desenho; - Desenhr o vetor ; - onstruir um segmento de ret prtir d origem do vetor e prlelo à direção do vetor ; - onstruir outro segmento de ret prtir do fim do vetor e prlelo à direção do vetor ; - Intersetr os dois segmentos de ret nteriormente desenhdos, resultndo dí s mgnitudes dos vetores e. Deve notr-se que equção (.81) tem solução úni, exeptundo o so em que os vetores e são olineres. Qundo os vetores e são prlelos, s sus mgnitudes são infinits. Y â ˆ X Figur.15 Solução gráfi de equções vetoriis em que s mgnitudes de dois vetores diferentes são desonheids. N situção em que mgnitude de um vetor e direção de outro são s inógnits, equção vetoril é esrit omo, νν ον νο = + (.8) 14 INEMÁTI DE MENISMOS

17 solução gráfi d equção (.8), ilustrd n figur.16, é resumid nos pssos que em seguid são presentdos, - Esolher um sistem de oordends; - Definir um esl de desenho; - Desenhr o vetor ; - onstruir um segmento de ret prtir d origem do vetor e prlelo à direção do vetor ; - justr o ompsso à mgnitude do vetor e desenhr, om entro no fim do vetor, um ro de irunferêni; - Intersetr o segmento de ret om o ro de irunferêni nteriormente desenhdos, donde resultm dus soluções possíveis, ser, (, ˆ ) e (,ˆ ). Y â X Figur.16 Solução gráfi de equções vetoriis em que mgnitude de um vetor e direção de outro são desonheids. Finlmente, no so em que s direções de dois vetores diferentes são desonheids, equção vetoril é dd por, νν νο = + (.83) Os pssos orrespondentes à solução gráfi d equção (.83) estão ilustrdos n figur.17 e podem ser resumidos do seguinte modo, - Esolher um sistem de oordends; - Definir um esl de desenho; - Desenhr o vetor ; - onstruir um ro de irunferêni de rio e entrdo n origem do vetor ; - onstruir outro ro de irunferêni de rio e entrdo no fim do vetor ; - Intersetr os dois ros de irunferêni nteriormente desenhdos, resultndo dus soluções distints, ser, ( â,ˆ ) e (â,ˆ ). νο. ÁLULO VETORIL 15

18 Y X Figur.17 Solução gráfi de equções vetoriis em que s direções de dois vetores diferentes são desonheids Solução nlíti Nest seção é presentd resolução nlíti de equções vetoriis utilizndo notção omplex. om efeito, em notção omplex equção vetoril =+ pode ser esrit do seguinte modo, e e + e iθ iθ iθ = (.84) De seguid, são presentds e disutids s soluções nlítis orrespondentes às qutro situções ordds n seção nterior. ssim, pr o so em que mgnitude e direção do mesmo vetor são desonheids, omo, por exemplo, e θ, om se n equção de Euler pr trigonometri, equção (.84) pode ser reesrit do seguinte modo, osθ + isenθ ) = ( osθ + isenθ ) + ( osθ + isenθ ) (.85) ( Seprndo s prtes rel e imginári vem que, osθ = osθ + osθ (.86) senθ = senθ + senθ (.87) Elevndo o qudrdo s equções (.86) e (.87), igulndo o resultdo, eliminndo vriável θ, e resolvendo em ordem result em, = + + os( θ θ ) (.88) 16 INEMÁTI DE MENISMOS

19 O vlor do ângulo θ pode ser otido dividindo equção (.87) pel equção (.86), e eliminndo vriável, vem que, θ rtg senθ + senθ = (.89) osθ + osθ No so em que s dus inógnits d equção vetoril são s mgnitudes de e iθ, deve omeçr-se por dividir equção (.84) por e, resultndo em, e = + e (.90) i( θ θ ) i( θ θ ) Deve notr-se que divisão de equções polres omplexs pelo vetor unitário iθ e tem o efeito de rodr os eixos rel e imginário de um ângulo θ tl que o eixo rel fi linhdo om o vetor, omo se demonstr n figur.18. Eixo imginário (θ θ ) θ Eixo imginário θ Eixo rel (θ θ ) θ Eixo rel () () Figur.18 Rotção de eixos resultnte d divisão de um equção polr omplex por iθ e : () Eixos originis; () Eixos roddos. Seprndo s prtes rel e imginári d equção (.90) vem que, os θ θ ) = + os( θ θ ) (.91) ( sen θ θ ) = sen( θ θ ) (.9) ( D equção (.9) otém-se mgnitude do vetor, sen( θ θ) = (.93) sen( θ θ ) O vlor d mgnitude do vetor pode ser determindo de form idênti, isto é, iθ dividindo equção (.84) por e, signifindo, por isso, linhr o eixo rel om o vetor e, onsequentemente, vem que, sen( θ θ) = (.94) sen( θ θ ). ÁLULO VETORIL 17

20 N situção em que s inógnits são mgnitude do vetor e direção do vetor, deve omeçr-se por linhr o eixo rel om o vetor, e seprndo s prtes rel e imginári resultm novmente s equções (.91) e (.9), otendo-se s seguintes soluções pr θ e, sen( θ θ) θ = θ + rsen (.95) = os θ θ ) os( θ θ ) (.96) ( tendendo que função roseno tem solução dupl, n presente situção resultm dus soluções distints, ou sej, (,θ ) e (,θ ). Finlmente, no so em que s inógnits são s direções dos vetores e, isto é, θ e θ, deve linhr-se o eixo rel om o vetor, i( θ θ ) i( θ θ ) = e + e (.97) Seprndo s prtes rel e imginári e rerrnjndo os termos result em, os θ θ ) = os( θ θ ) (.98) sen ( ( θ θ ) = sen( θ θ ) (.99) Elevndo o qudrdo ms s equções e diionndo o resultdo, vem que, = + os( θ θ ) (.100) Est equção trduz lei dos osenos pr um triângulo, qul é resolvid pr θ originndo, + θ = θ m ros (.101) De modo nálogo, mudndo pr o primeiro memro d equção (.98) ntes de elevr o qudrdo e de diionr, resultndo em, + θ = θ ± ros (.10) Os sinis mis-ou-menos ns equções (.101) e (.10) resultm do fto d função rooseno ter solução dupl e, por onseguinte, θ e θ têm tmém dus soluções distints, ser (θ,θ ) e (θ,θ ) Solução de he resolução de equções vetoriis utilizndo os métodos gráfios e nlítios, emor sejm metodologis simples, são de difíil utilizção, stnte lorios e de limitd plição e generlizção à práti d inemáti de menismos. utilizção de álger vetoril é, sem dúvid, um lterntiv extremmente interessnte pr este tipo de prolems. he 3 foi pioneiro n utilizção d nálise vetoril pr oter soluções explíits de equções vetoriis. Nest seção são 3 he, um dos gurus n nálise e síntese de menismos, desenvolveu su tividde doente e de investigção n Universidde de Mihign. 18 INEMÁTI DE MENISMOS

21 presentds s soluções de he pr equções vetoriis reltivs os qutro sos desritos nteriormente. ssim, no so em que mgnitude e direção do mesmo vetor são s inógnits, equção vetoril pode ser esrit omo, οο νν = + (.103) solução é trivil e é dd por, x x ˆ y y = ( + ) i + ( + ) ˆj (.104) No so em que s mgnitudes de dois vetores diferentes são desonheids, equção vetoril é esrit omo, νν ou ind, νν ον ον = + (.105) νν ον ˆ = ˆ + ˆ (.106) solução de he pr este so sei-se n eliminção de um ds inógnits trvés do produto interno d equção (.106) por um vetor dequdmente esolhido. om efeito, por exemplo, o vetor pode ser elimindo se o vetor ˆ k ˆ for esolhido pr efetur o produto interno, resultndo d equção (.106), ˆ ( ˆ ) = ˆ ( ˆ ) + ˆ ( ˆ ) (.107) omo os vetores ˆ k ˆ e ˆ são perpendiulres, d equção (.107) vem que, ˆ ( ˆ ) = ˆ ( ˆ (.108) ) De modo nálogo, solução pr mgnitude do vetor é dd por, ˆ ( ˆ ) = ˆ ( ˆ (.109) ) N situção em que s inógnits são mgnitude de um vetor e direção de outro, equção vetoril pode ser esrit omo, ον ou ind νν ον νο = + (.110) νν ον ˆ = ˆ + ˆ (.111) Pr este so, he sugere omeçr pel eliminção d mgnitude do vetor, pr tl deve esolher-se o vetor ˆ k ˆ pr efetur o produto interno om equção (.111), resultndo em, ˆ ( ˆ ) = ˆ ( ˆ ) (.11) Por definição, o produto interno de dois vetores, R e S, é ddo por, νο R S = rsosθ (.113). ÁLULO VETORIL 19

22 então, o segundo memro d equção (.11) pode ser reesrito omo, ˆ ( ˆ ) = ˆ osθ (.114) Por outro ldo, omo ˆ = 1, equção (.114) result em, ˆ ( ˆ ) = osθ (.115) em que θ represent o ângulo formdo pelos vetores e ˆ k ˆ, e, por onseguinte, osθ = ˆ ( ˆ ) (.116) omo os vetores â e ˆ k ˆ são perpendiulres entre si, pode definir-se um sistem de oordends UV, em que os respetivos vetores unitários são ddos por, uˆ = ˆ (.117) ˆ v = ˆ (.118) Neste novo sistem de oordends, o vetor unitário ˆ pode ser esrito omo, ˆ = osθ( ˆ ) + senθˆ (.119) Por outro ldo, sustituindo equção (.116) em (.11) vem que, ˆ ( ˆ k) ˆ osθ = (.10) Pel lei fundmentl d trigonometri tem-se que, 1 senθ = ± [ ˆ ( ˆ )] (.11) Sustituindo s equções (.10) e (.11) n equção (.119), e multiplindo mos os memros por, result que, kˆ kˆ ˆ ˆ ˆ kˆ ˆ = [ ˆ ( ˆ )]( ) ± [ ( )] ˆ (.1) O vetor pode oter-se diretmente d equção (.111), fzendo sutrção de vetores. Em lterntiv, pode sustituir-se equção (.1) em (.111) resultndo em, kˆ kˆ ˆ ˆ ˆ kˆ ˆ = ˆ [ ˆ ( ˆ )]( ) ± [ ( )] ˆ (.13) om referêni à figur.19, os dois primeiros termos do segundo memro d equção (.13) podem ser simplifidos. ind n mesm figur, direção ˆ k ˆ está rodd 90º no sentido horário reltivmente à direção â. ssim, mgnitude ˆ ( ˆ k) ˆ é dd pel projeção de n direção ˆ k ˆ. Por isso, qundo [ ˆ ( ˆ )]( ˆ ) é sutríd o vetor, o resultdo é mgnitude ˆ ˆ n direção â. Pelo que se de expor, equção (.13) pode ser simplifid e esrit omo, kˆ ˆ = [ ˆ ˆ m [ ˆ ( ˆ )] ] ˆ (.14) 0 INEMÁTI DE MENISMOS

23 U ( ˆ k) ˆ uˆ = ( ˆ k) ˆ r v = ˆ ( ˆ ) ˆ V Figur.19 Sistem de oordends uxilir usdo n resolução de equções vetoriis. Finlmente, no so em que dus direções de dois vetores diferentes são desonheids, respetiv equção vetoril pode ser esrit omo, ou ind, νν νο νο = + (.15) νν νο ˆ = ˆ + ˆ (.16) solução pr este so está ilustrd n figur.0, onde vetor e s mgnitudes e são onheidos. ssim, solução deste prolem onsiste em determinr os pontos de interseção dos dois ros de irunferêni de rios e. Deve omeçr-se por definir um sistem de oordends UV, ujs direções dos eixos são ddos por, uˆ = ˆ (.17) νο ˆ v = ˆ (.18) Se s oordends de um dos pontos de interseção dos ros de irunferêni, no sistem de oordends UV, forem s e t, então, ˆ = sˆ u + tˆv (.19) ou ˆ = sˆ u + ( t) ˆv (.130) Por um ldo, equção d irunferêni de rio é dd por, + t (.131) s = Por outro ldo, irunferêni de rio tem equção, + ( t ) (.13) s = + t t + (.133) s =. ÁLULO VETORIL 1

24 INEMÁTI DE MENISMOS Sustituindo equção (.133) em (.131) e resolvendo em ordem t vem que, t + = (.134) Por outro ldo, sustituindo equção (.134) em (.131) e resolvendo em ordem s result em, + ± = s (.135) O último psso dr no sentido de enontrr solução pr â e ˆ onsiste em sustituir s equções (.134) e (.135) em (.19) e (.130), e sustituindo tmém os vlores de û e vˆ de ordo om s sus definições, resultndo em, k ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( ± = (.136) k ˆ ˆ ˆ ˆ ) ( = m (.137) U V s t t Figur.0 Sistem de eixos uxilir usdo n resolução de equções vetoriis em que dus direções de dois vetores diferentes são desonheids.