Questão 02. Determine o valor da excentricidade da cônica dada pela equação. Questão 03

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1 IME "A mtemátic é o lfeto com que Deus escreveu o mundo" Glileu Glilei Questão A se de um prism reto ABCA BC é um triângulo com o ldo AB igul o ldo AC. O vlor do segmento CD vle x, onde D é o ponto médio d rest lterl AA. Sendo que α é o ângulo ACB e β é o ângulo DCA, determine áre lterl do prism em função de x, α e β. A B C D l A l x E 8 l h B C y Do triângulo EDC : = x cos β h = xsenβ Aplicndo Lei dos senos no triângulo ABC : y = sen(8º α) senα y = senα senα senα y= senα x cos βsenα y= senα x cos β senα cos α y= senα y = x cos β cos α A áre lterl ( A ) é dd por: A = yh + h A = x cos β cos α xsenβ + x cos β xsenβ A = 4 x cos βsenβ ( + cos α ) A = x senβ ( + cos α )

2 Questão Determine o vlor d excentricidde d cônic dd pel equção x 3xy+ y + 6 =. A equção qudrátic pode ser escrit como: 5 3 x [ x y] + 6 = () 5 3 y Encontrndo os utovlores: λ 5 3 = 5 3 λ ( λ)( λ) 75= λ λ 64 = λ 4 ou λ= 6 Portnto, equção () pode ser escrit em um se de utovetores d seguinte form: 4 u [ u v] + 6 = 6 v 4u + 6v = 6 u v = (Hipérole!) 4 =, = = + = c c 5, excentricidde = 5. Questão 3 Sejm = + 6i e = 4+ 6i, onde i é unidde imginári, e um número complexo tl que determine o módulo do número complexo ( 7 9i ). Os.: rg ( w ) é o rgumento do número complexo w. rg π =, 4 Representndo no plno crtesino: y 6 θ 4 r s N figur, os ângulos θ e rg π =. 4 4 π θ+ vêm d iguldde 4 π 4 As equções ds rets r e s são y 6= tg θ+ ( x ) ( x ) y 6= tgθ 4 respectivmente. e x

3 A interseção de r e s nos dá o lugr geométrico dos fixos de : y 6 tgθ+ tgθ= e y 6= ( x ) x 4 tgθ y 6 y 6 x 4 x 4 y 6 x y+ = x+ y x ( y 6) = + ( x ) ( )( ) ( )( ) xy x y + y + y = x x + xy y x = x y x y = x x y y ( x 7) ( y 9) 8 circunferênci de centro ( 7, 9 ) e rio 3, portnto + =, que é equção de um 7 9i = 3 Questão 4 Os números m,.68 e n fem prte, ness ordem, de um progressão geométric crescente com rão dd por q. Se-se que: existem, pelo menos, dois elementos entre m e.68 ; n é o sexto termo dess progressão geométric; n 8.. Determine os possíveis vlores de m e n, sendo que m, n e q são números nturis positivos. Ds condições do prolem, temos três situções possíveis: i) (m,, 3, 4, 68, n) 3 4 Como 68 = 3 5 7, notmos que únic possiilidde pr P.G. seri um rão igul 3. A sequênci seri então (8, 84, 5, 756, 68, 684) m = 8 e n = 684 ii) (m,, 3, 68, 5, n) Agor rão poderi ser, 3 ou 6, porém 6 ou 3 como rão gerrim um n > 8, logo: (835, 567, 34, 68, 4536, 97) m = 835 e n = 97 iii) (, m, 3, 4, 68, n) Neste cso, s rões que determinm m e n nturis positivos serim, 3 ou 6, dí: 835,835,567,34,68,4536 m = 835 e n = 4536 ( 8, 84, 5, 756, 68, 684 ) m = 84 e n = 684 5,5, 63,378,68,368 6 m = 5 e n = 368 Questão 5 Sej ABC um triângulo onde α, β e γ são os ângulos internos dos vértices A, B e C, respectivmente. Esse triângulo está inscrito em um círculo de rio unitário. As issetries interns desses ângulos interceptm esse círculo nos α β γ AAcos + BBcos + CCcos pontos A, B e C, respectivmente. Determine o vlor d expressão. sen α+ sen β+ sen γ 3

4 A M B I C A D Lei dos senos temos que: BC = R =, logo BC = senα sen α sen α sen α Do Δ BAC temos cos =, BA = BA cos O Δ BIA é isósceles de se BI AM = AI cos = p BC = p sen α AA = IA+ AI sen α Ms IA = BA =, logo teremos cos AA cos α IA cos α AI cos α = + AA cos = sen α+ p sen α AA cos = p sen α () e por nlogi teremos β BB cos = p senβ ( ) e γ CC cos = p sen γ ( 3) β γ AA cos + BB cos + CC cos = 3p sen α senβ sen γ E voltndo n rão ser clculd e de (), ( ) e ( 3 ) somndo-se teremos 3p BC AC AB e tirndo d lei dos senos = = = R = sen α + senβ+ sen γ sen α senβ sen γ BC AC AB BC = senα, AC = senβ, AB = senγ, logo sen α=, senβ= e sen γ= sen α+ senβ+ sen γ= p 3p 3 p = = 4

5 Questão 6 Resolv equção 9 + = 5, onde pertence o conjunto dos números complexos. ( + 3) 3 + = 5, sutrindo Dos dois ldos teremos: = = = 5, fendo teremos A = + 3 A = 5 6A, A + 6A+ 5= Logo A = ou A = 5. Voltndo n sustituição feit, = = Δ= = = ± i ou = = Δ = 5 6 = 35 = 5± 35i Sendo S o conjunto solução, temos + i i i 5 35i S =,,, Questão 7 Sej x um número inteiro positivo menor ou igul.. Se-se que de possíveis vlores de x. x =,,3,4,, x =, 4,8,6,3,64,, x =,4,9,6,5,36,49,, ( ) ( ) R =,4,,,4,,,4,,,4,,,4,,,4,,,4,, R =,4,,,4,,,,4,,,4,,,,4,,,4,,, x x é divisível por 7. Determine o número R é sequênci dos restos de x por 7, que repete cd 3 termos, e R sequênci dos restos de x por 7, repete cd 7 termos. Como 3 e 7 são primos entre si, devemos nlisr os primeiros restos pr verificrmos divisiilidde de em pens 6 csos (º, 4º, 5º, 6º, º e 5º termos) temos x x divisível por 7, pois x e Dividindo os termos d sequênci em grupos de termos temos: 8 95 Logo, 6 95 = 57 soluções nos 95 primeiros grupos e mis 4 soluções nos 8 termos restntes. Do exposto, concluímos que quntidde de vlores possíveis pr x é dd por = 576. x x por 7. Dos x deixm o mesmo resto. 5

6 Questão 8 Um pesso lnç um ddo n vees. Determine, em função de n, proilidde de que sequênci de resultdos otidos pelos lnçmentos dos ddos se inicie por 4 e que, em todos eles, prtir do segundo, o resultdo sej mior ou igul o lnçmento nterior. Como tod sequênci de n elementos descrit pelo texto se inici por 4, devemos contr qunts são s sequêncis de ( n ) elementos que podemos montr com os números 4, 5 e 6, (que podem precer em quntiddes diferentes, ms sempre de modo não decrescente). Sendo x, y e s quntiddes de 4's, 5's e 6's, respectivmente, que temos em cd sequênci, então o prolem de contr qunts são s sequêncis é equivlente o prolem de contr qunts são s soluções inteirs e não negtivs pr equção x+ y+ = n. ( ) O número de soluções inteirs e não negtivs pr equção x y ( n ) ( n +! )! ( n )! n + + = é: Como proilidde de cd sequênci de n termos é, temos que proilidde desejd será: 6 n ( n+! ) n( n+ ) P = = n! n! 6 6 ( ) Questão 9 3 Sejm o polinômio p( x) = x 3x + e os conjuntos ( ) { / } C q q = +. Se-se que y = n( A B) n( A C), onde ( ) Determine o vlor de y. Os.: é o conjunto dos números nturis. A= { p k / k e k 999}, B { r / r } = + e n E é o número de elementos do conjunto E. Otendo todos os elementos de A B 3 3 k 3k + = r +, k 3k + = r ( ) ( ) k k + = r só se k + for qudrdo perfeito, logo os vlores de Portnto, n( A B) = 3 +, crescentmos pel solução ( k r ) = ( ) Achndo os elementos de A C + = +, ( 3) 3 k 3k q,,. k + podem ser {,3,5,,63} k k = q só se k 3 for qudrdo perfeito, logo, os vlores de 3. k podem ser {,3,5,,63} Portnto n( A C) = 3 +, crescentmos pel solução ( k, q ) = (, ), concluindo y = n( A B) n( A C) = =.. Questão Mostre que o determinnte ixo present vlor menor ou igul 6 pr todos vlores de, e c, pertencentes o conjunto dos números reis, que stisfem equção + + c = c c+ c+ + + c + c c+ + 6

7 Somndo s dus últims coluns à primeir, teremos: ( + + c) + c c+ + c c+ D = ( + + c) + + c = ( + + c) + + c ( + + c) c+ + c+ + Desenvolvendo o determinnte prtir do teorem de Jcoi, temos: + c c+ D = ( + + c) c = ( + + c)( + + c c c) c D = ( + + c)(8 c c) Consideremos gor seguinte identidde: ( + + c) = + + c + ( + c + c) () De () e d hipótese do prolem, temos: + c + c = ( + + c) 4 Assim: D = ( + + c)[ ( + + c) ] Fendo + + c= s, otemos D = s( s ) Assim, condição D 6 equivle 3 3 s( s ) 6 s s+ 6 s + 64 s 48 ( s+ 4)( s ) () Ness últim desiguldde, ddo que ( s ), rest provr que s + 4 Consideremos gor identidde: ( ) + ( c) + ( c) = ( + + c ) ( + c+ c) Como o primeiro memro é sempre positivo, temos: + + c ( + c+ c) ( + c + c) + + c (3) Sustituindo (3) em (), vem: ( + + c) 3( + + c ) s s 3 ou s 3 Portnto: s 3 s 4 o que complet demonstrção de (). 7

8 Professores Mtemátic Dougls Luís Antônio Mrcelo Mores Mnim Ney Mrcondes Colordores Aline Alkmin Anderson (IME) Henrique José Diogo Orlndo (IME) Pul Esperidião Pedro Gonçlves Digitção e Digrmção Érik Reende Márci Sntn Vldivin Pinheiro Desenhists Deise Lr Lendro Bess Rodrigo Rmos Tís Dourdo Vinícius Rieiro Projeto Gráfico Mrin Fius Vinícius Rieiro Assistente Editoril Vldivin Pinheiro Supervisão Editoril Rodrigo Berndelli Mrcelo Mores Copyright Olimpo A Resolução Comentd ds provs do IME poderá ser otid diretmente no OLIMPO Pré-Vestiulr. As escolhs que você fe ness prov, ssim como outrs escolhs n vid, dependem de conhecimentos, competêncis, conhecimentos e hiliddes específicos. Estej preprdo. 8