Questão 02. são raízes da equação. Os números reais positivos x. b (natural), a IR. x ax a b x, sendo IN. (real) e 1. log

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1 Questão 0 O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de um Progressão Aritmétic ( PA ) de números inteiros, de rzão r, formm, nest ordem, um Progressão Geométric PG, de rzão q, com q e r IN (nturl diferente de zero). Determine: A) o menor vlor ossível r rzão r ; B) o vlor do décimo oitvo termo d PA, r condição do item. A) PG, 5 r, 5r Simlificndo notção: PG, 5 r, 5r 5r 5r 5r 5r 0r 5r 5r 5r 5r r 5 Pr 5, r é o menor vlor de r. B) 5, r r Os números reis ositivos x, x e x são rízes d equção (rel) e Questão 0 x x x, sendo IN xxx x x x.. Determine, em função de e, o vlor de x x x log (nturl), IR x x x 0 x x x () xx xx xx xxx De () vem: x x x x x x x x x x x x x x x

2 Logo: log x x x xxx x x x log log log Questão 0 o Os ângulos de um triângulo otusângulo são 05, e. Sendo que m IR (rel), determine: A) s rízes d equção sec x m cos xsen x cosx sen x, em função de m ; B) o vlor de m r que e sejm rízes dess equção. A) secxm cos xsen x cosx sen x Dividido or cos x : sec tg tg x m x x Lemrndo que sec x tg x : tg x m mtgx tgx 0 tg x m tgxm 0 m 9m m m tg x m m tg x m tg m x tg x m ou tg x S x x rc tg mk ou x K, K B) o 0 e o o o o tg 45 m m. Questão 04 Sej o número comlexo Z i, com e IR (rel) e i. Determine o módulo de Z sendo que. Z i Z i i i i Z i Lemrndo que e vem: Z i( ) Z i Z 8 Como Z Z vem: Z 8 8.

3 Questão 05 Um irâmide regulr tringulr resent um volume V. Determine o rio d circunferênci circunscrit um ds fces lteris d irâmide em função de V, sendo que o ângulo do vértice vle 0º. A áre d fce lterl é ll S onde R é o rio d circunferênci circunscrit. 4R sen 0º Ms, R. 4R Bst oter em função do volume V. sen 75º sen 0º 4 h 8 4 h 4 h h 8 9 h h 5 9 V 4 V 45 7 R V V

4 Questão 0 É dd um ráol de râmetro. Trç-se cord focl MN, que ossui um inclinção de 0º em relção o eixo de simetri d ráol. A rojeção do onto M sore diretriz é o onto Q, e o rolongmento de cord MN intercet diretriz no onto R. Determine o erímetro do triângulo MQR em função do, sendo que N encontrse no interior do segmento MR. M x F N P 0º R A Q d FA 0º 9080º 0º sen FA sen 0º FR FR FR tg FA tg0º AR AR AR Como M está sore ráol, MQ MF x. Por F trcemos um rlel à diretriz d : 90º 80º e 0º, logo 0º. MP MQPQ x MP x x cos cos0º x MF x x FP FP FP sen sen 0º FP MF Como FPQA é retângulo, AQ FP Sej y o erímetro do triângulo MQR : y MQ AQ ARFR MF y y Questão 07 Sejm r e s (inteiro). Prove que r s é múltilo de 7 se e somente se 9r 5s é múltilo de 7. Prov d id: Se r s é múltilo de 7, somr ou sutrir múltilos de 7 ger outros múltilos. r s 0 mod 7 r 4r s7s 0 mod 7 r 0s 0 mod 7 4 9r 5s 0 mod 7 Prov d volt: 9r 5s 0 mod 7 4 r 0s 0 mod 7 r 4r 0s7s 0 mod 7 r s 0 mod 7 c.q.d 4

5 Questão 08 Clcule s rízes de f x em função de, e c, sendo,, c e x (rel) e f x x c x c. c x c x x c x c Sej A e M. c x c x Notemos que det M 0. det A0 detam 0 Clculndo A M : x c xc xc xc x c xc xc xc AM x c x c x c x c x c xc xc xc Logo função olinomil do qurto gru f x det A tem como rízes c, c, c e c, vlores de x que nulm s coluns,, e 4 resectivmente. Considere um ret r que ss elo onto P(, ). A ret r intercet curv x xy y 0 nos ontos A e B. Determine: ) o lugr geométrico definido el curv; ) (s) ossível(is) equção(ões) d ret r, sendo que PAPB 7. ) x xy y 0 y xy x 0 x 4x 4x y xx y y x ou y x Equções de dus rets erendiculres, ois. ) Questão 09 Coordends de A: y x y mx m 5

6 x m m e m m y m Coordends de B: y x y mx m m x e m PAPB 7 m m y m m m m m m m m 5 5mm 5 5mm 5 m 5 m m m 5 5 m m m 7 m m m m m m m m m m m m m m 7 m m m ou m m m m m 0 ou m m 0 ou m ou m As ossíveis rets serim: y0 x y y x y x 5 y x y x m m m 7 m m 7 Questão 0 Os nove elementos de um mtriz M qudrd de ordem são reenchidos letorimente com os números ou, com mesm roilidde de ocorrênci. Determine: ) o mior vlor ossível r o determinnte de M; ) roilidde de que o determinnte de M tenh este vlor máximo. ) O determinnte genérico é: c d e f ei fg cdh gec hf id g h i Com cd termo: ei, fg, cdh,..., id vlendo. É ossível o determinnte ter vlor 4, or exemlo, 4. É imossível vler, orque seri ossível que: ei fg multilicndo: cdefghi cdh

7 gec hf multilicndo: cdefghi id Asurdo. Tmém é imossível o resultdo vler 5, orque sendo qulquer dos termos: ei, fg, cdh, gec, hf, id igul, o máximo d som já será 4. ) Considere os qutro vetores-linh v, v, v, v 4 :,,,,,,,,,,,. Qulquer mtriz M ode ser reresentd escolhendo lgum vetor r cd linh (com reetição), e escolhendo o sinl d linh (v i ou v i, r i 4). São ossíveis, ssim, linh linh linh sinl sinl sinl linh linh linh mtrizes diferentes. Pr que detm sej diferente de zero, devem-se escolher vetores quisquer, sem reetição, orque quisquer são linermente indeendentes. Assim, s mtrizes com detm 0 são: C4,! 4! sinis A roilidde de detm não ser nul é: 4! P Note-se gor que o determinnte não ode vler. Cso isso ocorresse, seri ossível: ei fg cdefghi cdh gec hf cdefghi Asurdo. id E tmém, som de rcels () ou ( ) não ode resultr ímr. P Os resultdos ossíveis e não nulos são ens 4 e 4, equirováveis or simetri. Assim, P'. 7

8 Professores Dougls Lfyette Mrcelo Mores Colordores Aline Alkmin José Diogo Mteus Grngeiro Ruem Jde Thys de Freits Digitção e Digrmção Cristine Sntos Dniel Alves Érik Rezende João Pulo de Fri Vldivin Pinheiro Desenhists Lucino Liso Rodrigo Rmos Vinicius Rieiro Projeto Gráfico Vinicius Rieiro Assistente Editoril Vldivin Pinheiro Suervisão Editoril José Diogo Rodrigo Berndelli Mrcelo Mores Coyright Olimo0 A Resolução Comentd ds rovs do IME oderá ser otid diretmente no OLIMPO Pré-Vestiulr, ou elo telefone () As escolhs que você fez ness rov, ssim como outrs escolhs n vid, deendem de conhecimentos cometêncis e hiliddes esecíficos. Estej rerdo. 8