Capítulo VI GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO

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1 Cítulo VI GEOMERIA ANALÍICA NO LANO

2 Cítulo VI Geometri Anlític no lno Cítulo VI istem de Coordends no lno. Dois sistems, de coordends rectngulres no lno dizem-se igulmente orientdos se for ossível trnsortr um destes sistems rigidmente no lno té coincidir com o outro. Em cso contrário, diz-se ue orientção dos sistems é oost. O sistem, d figur seguinte, or eemlo, não ode ser trnsortdo rigidmente no lno de modo coincidir com o sistem, d A nov figur seguinte. O ue crcteriz os O A sistems ds dus figurs é ue o eio coincidirá com o eio em resultdo d rotção de π O ângulo do eio ens se est rotção se relizr no sentido nti-horário no rimeiro cso e no sentido horário, no segundo. O conceito de orientção ode ser estendido uluer r ordendo de vectores não colineres. Assim, ddo um sistem de coordends rectngulres,, sej, - or est ordem um r de vectores não colineres com origem num onto A. Consideremos trnsformção do r, - num r de vectores ortogonis constituid ds seguintes ets: A O O O N rimeir et o r, trnsort-se rigidmente no lno de modo ue A coincid com O. N segund, efectu-se rotção do r té ue duir direcção e o sentido de. N terceir, efectu-se rotção de - sem ue o ângulo entre e se torne igul ou π - té ue resulte, 8 rof. Alzir Dinis

3 Cítulo VI Geometri Anlític no lno comreendido no eio. e o sentido do vector ue result dest trnsformção coincidir com orientção de - isto é, se ertencer o semi-lno suerior ós s dus rimeirs ets d trnsformção diz-se ue o r, e o sistem, são igulmente orientdos. ejm i, j os vectores unitários ue têm mesm direcção e sentido ue os eios,, resectivmente. Um vector ritrário de coordends (, ) ode então ser eresso n form (, ) i j. r o verificr, st oservr ue i (, ), j (,), e então tem-se j (,) (,) (,) (, ) (, ) i. Identificção de E com o lno Euclidino. Denomin-se roduto esclr ou interno de dois vectores ( ), ( ),, de E rel s coordends, sendo, or conseguinte, números reis neste cso, i i oderim ser comleos - o número (, ) (, ) definirmos o roduto esclr em. ortnto, se E ssmos flr tmém em lno euclidino. Euções rmétrics e Crtesin d Rect. ejm (,i, j) um sistem de coordends, (, ) e ( ) genérico e um onto ddo, resectivmente, d rect r, e A, um onto v i j um vector com mesm direcção de r :. D eução vectoril d rect r r : A tv (A rect r ss or um onto A e tem (, ) direcção de um vector j não nulo v. r ue um onto do lno ertenç à rect r, é necessário e suficiente ue os vectores A e O i v sejm colineres: A tv, logo A tv ), vem então A tv,, t i j, isto é, ( ) ( ) ( ) ( ) ti tj ( ) i ( ) j ti tj e t t A (, ) t,, ou ind: t, ns uis e não são todos nulos ( v ), são denominds euções rmétrics d rect r, em relção o sistem de coordends fido. A 8 rof. Alzir Dinis

4 Cítulo VI Geometri Anlític no lno rect r é o conjunto de todos os ontos (, ) determindos els euções rmétrics undo t - denomindo râmetro vri de. Eemlo As euções rmétrics d rect r ue ss elo onto ( 3,) A e tem direcção do vector são: (, ) ( 3,) t( i j) ( 3) i ( ) j v i j 3 t 3 t ti tj - euções rmétrics. t t e rect for determind or dois ontos A (, ) e B (, ), s euções rmétrics de r serão: A t( B A) (, ) (, ) t( ) t t ( ) ( )., A e Eemlo As euções rmétrics d rect r ue ss elos ontos (,) B (,) são A t( B A) (, ) (,) t(, ) (, ) (, ) t ( t, t) ou sej - euções rmétrics. t A determinção d eução crtesin fz-se rtir ds rmétrics, determinndo t e sustituindo em t. Logo teremos ue, se t t vem t. rect r : ( ) ( ). eremos ssim eução crtesin d Eemlo A eução crtesin d rect r ue ss elo onto ( 3,) direcção do vector (,) A e tem v será determind trvés ds euções rmétrics: 83 rof. Alzir Dinis

5 Cítulo VI Geometri Anlític no lno 3 t, como vimos trás, logo t se uisermos, 3. t e ( 3) 3 3, ou, e rect for determind or dois ontos A (, ) e B (, ) t( ) rmétrics serão, como vimos, e então: t t( ) ( ), então ( )., s euções, logo Eemlo A eução crtesin d rect r ue ss elos ontos (,) A e (,) B será determind trvés ds euções rmétrics: teremos t e ( ). t. Logo, t Ângulo de Dus Rects. ej um rect r, ue ss or um onto ( ) A e tem direcção de um vector, u (, ), eress els euções: - euções d rect so form simétric. ej, ind, um rect s, ue ss or um onto ( ) direcção de um vector ( ) A e tem, v,, eress els euções ângulo θ ds rects r e s é o mesmo ângulo dos vectores u e v ue definem s u v direcções desss rects, isto é, o ângulo θ é ddo or: cos θ u v.. O 8 rof. Alzir Dinis

6 Cítulo VI Geometri Anlític no lno Eemlo Clcule o ângulo ue rect r, eress els euções: form com rect s, dd els euções:., 6 3 As comonentes do vector u ue define direcção d rect r são: 6. As 3 comonentes do vector v ue define direcção d rect s são:. O ângulo θ u v ds rects r e s é o mesmo ângulo dos vectores u e v, isto é, cos θ u v Logo 6 8 θ rccos 9,. 8 rlelismo Entre Dus Rects. A condição de rlelismo entre dus rects r e s é mesm dos vectores u ( ) e ( ),. v, ue definem s direcções desss rects, isto é: u m v ou Eemlo A rect r ue ss elos ontos A ( ) e (, ) 3, ue ss elos ontos A ( ) e ( ), B e rect s B, são rlels. De fcto, s 3 euções d rect r são: e s euções d rect s são: Os râmetros directores d rect r são: 8 e os râmetros directores d rect 6 s são:. A condição de rlelismo de dus rects é: 3 8 6, o ue rov serem rlels s rects r e s. 3 e neste cso 8 rof. Alzir Dinis

7 Cítulo VI Geometri Anlític no lno e tivermos um rect r, ue ss or um onto ( ) um vector ( ) A e tem direcção de, u,, el é eress els euções:. Quluer rect s, rlel à rect r, tem râmetros directores, roorcionis os râmetros directores, de r. Em rticulr,, são râmetros directores de uluer rect rlel à rect r. Nests condições, se ( ) A é um onto uluer do, lno, eução d rect rlel à rect r, ue ss or A, é:. Ortogonlidde Entre Dus Rects. A condição de ortogonlidde ds rects r e s é mesm dos vectores ( ) ( ) u, e v, ue definem s direcções desss rects, isto é: u v ou. 3 Eemlo A rects r eress els euções: e rect s eress 8 6 els euções: são ortogonis. De fcto: s comonentes do vector u ue 3 define direcção d rect r são: 8 e s comonentes do vector v ue define 6 direcção d rect s são: 3. A condição de ortogonlidde de dus rects é u v, isto é,. No cso resente: o ue rov ue s rects r e s não são ortogonis. Distânci Entre Dois ontos. A distânci δ entre os ontos ( ) e ( ), fórmul ( ) ( ) δ. é clculd de cordo com, 86 rof. Alzir Dinis

8 Cítulo VI Geometri Anlític no lno Eemlo Clcule distânci entre os ontos A ( 7,3) e (, ) B. A distânci δ entre os ontos A e B é: δ ( ) ( ). De cordo com os ddos do rolem: 7,, 3,. Logo, δ ( 7) ( 3) Distânci Entre Um onto e Um Rect. ejm um onto ( ) e um rect r eress el eução, A rect r, como se se, ss elo onto ( ) (,),. e tem direcção do vector v. A distânci δ do onto à rect r é medid sore erendiculr à rect r ue ss or :. A figur mostr ue (, ) distânci δ do onto à rect r é ltur do rlelogrmo cujos u δ r ldos são os vectores v i j e u j H v ( ) i ( )j. (, ) A rect r ss or (, ) e tem O i v,. As euções direcção do vector ( ) rmétrics são (, ) (, ) t( ) ( ) ( ) t t oter, t t. e determinrmos t t i t e j t, odemos, eução d rect n form simétric. Ms ( ) ( ) i j. e fizermos A, B e C, otemos eução A B C, denomind eução gerl d rect. Vmos considerr ue rect r tem então eução A B C, sendo H ( 3, 3 ) o é d erendiculr trçd de r r, então Um vector erendiculr à rect r, será então R ( A, B) δ distânci H.. Este vector é coliner com H e, ortnto, eiste k R, tl ue H kr. or outro ldo, como 87 rof. Alzir Dinis

9 Cítulo VI Geometri Anlític no lno H vem, sucessivmente, H k ( ) (, ) k( A, B) H 3 3 ka kb, com R R k. E, como H ( ) r 3 3, 3 3,, s sus coordends 3 3 verificm eução d rect: A( ka) B( kb) C A B C A ka B kb C. Então k. ustituindo este vlor A B 3 ka k ns eressões otínhmos s coordends do é H d 3 kb erendiculr id do onto r rect. ou Voltndo H kr, tem-se H k R e como H δ e R A B, vem A B δ, em ue B C A B C A é eução gerl d rect e (, ) s coordends de um onto ue dist um untidde δ d rect r. Est fórmul ermite clculr directmente distânci de um onto um rect. Eemlo A distânci do onto (, ) à rect de eução 3 é 3 clculd ssndo eução r fórmul gerl: ( ) 3( 3) , logo δ ( ) Cónics. Chm-se cónic tod curv ln ue ode ser reresentd or um eução do segundo gru em e : c d e f. or outrs lvrs, cónic é o lugr geométrico dos ontos M do lno cujs coordends e, num sistem crtesino ortogonl, stisfzem eução do segundo gru: c d e f. 88 rof. Alzir Dinis

10 Cítulo VI Geometri Anlític no lno As coordends e do onto M do lno são s comonentes dos vectores R ue stisfzem eução de um cónic: A eução de um cónic c d e f ode ser eress do seguinte modo: c [ ] [ d e] f, c um vez ue c é um form (, ) ( ) M, udrátic no lno. Considerndo : c d, A e N c, eução e nterior fic: A N f, ue é eução de um cónic so form mtricil. endo em vist ue e ue A D, de cordo com o ue vimos no cítulo nterior, eução A N f fic D N f. Ms:, D e. d e f, isto é, eução de um cónic ode ser reresentd or f, n ul e são os vlores rórios d mtriz simétric rel A, e s comonentes dos vectores Logo, [ ] [ ] n se { (, ), ( )}, dos vectores rórios unitários e, ssocidos e., e deendem ds comonentes Eução Reduzid de Um Cónic. A eução de um cónic ode ser eress or f. uondo e diferentes de zero, ode escrever-se 89 rof. Alzir Dinis

11 Cítulo VI Geometri Anlític no lno rof. Alzir Dinis 9 f ou f f. Fzendo F f e, trvés de um trnslcção:, vem: F e, finlmente, F. A últim eução é eução reduzid de um cónic de centro e, como se vê, o rimeiro memro é form cnónic d form udrátic no lno. e um dos vlores rórios for igul zero,, or eemlo, eução: f, fic f ou f, isto é, f f. Fzendo, trvés de um trnslcção: f, vem. Est eução é eução reduzid de um cónic sem centro. e em vez de, fosse, eução reduzid d cónic sem centro seri. Eemlo Determine eução reduzid d cónic reresentd el eução: 8 7. A eução d cónic so form mtricil é [ ] [ ] Fzendo, A e N, eução fic N A.

12 Cítulo VI Geometri Anlític no lno 7 6 det 6 8 Determinemos os vlores rórios d mtriz A : [ A I] é, ( 7 )( 8 ) , isto, isto é, e. Determinemos os vectores rórios unitários ssocidos os vlores rórios: ustituindo or n mtriz nterior, vem 6 6 t, isto é: e. Este resultdo é otido se t resolvermos o sistem em ordem, e considerndo deois t, um incógnit uluer. odemos resolver o mesmo sistem d form resentd no cítulo nterior. Atrvés de mtrizes torn-se semre mis fácil resolver o sistem em ordem à últim incógnit, clculndo s restntes em função dest. Assim, t(, ) são vectores rórios ssocidos. Fzendo t t - ou sej, o inverso d norm de (, ) - otém-se o vector rório unitário,, ssocido. ustituindo or vem , isto é, e 6 t t. Assim, t t, são vectores rórios ssocidos. Fzendo, t otém-se o vector rório unitário, ssocido. A mtriz A é trnsformd n mtriz D trvés d mtriz ortogonl cujos elementos são s comonentes dos vectores rórios unitários e, ssocidos e :. A eução 9 rof. Alzir Dinis

13 Cítulo VI Geometri Anlític no lno A N ode ser eress, trvés de um trnsformção ortogonl rotção or D N. Considerndo, vem, isto é: [ ] [ ] ou. Fzendo, trvés de um trnslcção:, eução nterior fic: ou, ou ind. Atenção! O fcto de utilizrmos e, em vez de e, n eução reduzid serve ens r relçr o ue foi chmdo à tenção no fim do cítulo V, isto é, ue form reduzid só é idêntic à form não reduzid, r determindos vlores,. de (, ) - ou ( ) Clssificção ds Cónics. A eução de um cónic de centro é F. e e forem do mesmo sinl, cónic será do género elise. e e forem de sinis contrários, cónic será do género hiérole. A eução de um cónic sem centro é: ou género ráol.. Um cónic reresentd or uluer um desss euções é do Eemlo Determine o género de cónic reresentd el eução rof. Alzir Dinis

14 Cítulo VI Geometri Anlític no lno Vimos ue eução reduzid dest cónic é, ue odemos firmr ser eução de um elise cujos semi-eios são CA e CB. endo em vist E e ue, o ângulo θ corresondente à rotção é ddo ue (, ) or. E cosθ E E. or outro ldo, r confirmrmos, (,) E e E,. Logo, cosθ E E e θ rccos 63, 3. emos ssim figur:. θ θ B C A 93 rof. Alzir Dinis