Capítulo 4. Vetores. Recursos com copyright incluídos nesta apresentação:

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1 Cpítulo 4 Vetores Reursos om oprght nluídos nest presentção:

2 Grndes eslres: mss, volume, tempertur,... Epresss por um número e undde Grndes vetors: deslomento, forç,... Requerem módulo, dreção, sentdo e undde

3 Vetor deslomento do ponto P o ponto Q : ou P Q Módulo do vetor : ou Tods s sets representm o mesmo vetor Vetor sndo d tel Vetor entrndo n tel

4 Operão om vetores método geométro Multplção de um vetor por um número Sendo λ um número rel, λ tem, por defnção, dreção de λ < 0, λ tem sentdo oposto de λ > 0, λ tem mesmo sentdo de λ λ - 1,5 0,5

5 É útl seprr o módulo de um vetor de su dreção e sentdo. Pr sto defne-se dreção e sentdo por ˆ O vetor â é denomndo vetor untáro, pos possu módulo gul 1 ˆ 1 O vetor pode ser reesrto n form ˆ Eemplos de vetores e seus untáros â u û e ê

6 Som de vetores Defne-se omo som de om : A som de vetores é omuttv : Logo

7 A som de vetores é ssotv: ( ) ( ) e d d e d e d O vetor que represent som de dos ou ms vetores é hmdo de vetor resultnte

8 Sutrção de vetores Por defnção ( ) Logo - Então -

9 Representção nlít de vetores Representção rtesn 2D : vetores untáros e lnhdos om os eos e O vetor pode ser esrto omo, onde e são s proeções do vetor nos eos e () Pelo teorem de Ptágors 2 2 ()

10 Eemplo Esrev epressão nlít do vetor mostrdo n Fgur o e lule seu módulo. 4 4 e 3 2 Portnto 4ˆ 3ˆ

11 Multplr um vetor por um número λ equvle multplr sus omponentes por λ λ λ )ˆ ( λ ( ) ˆ Somr dos vetores equvle somr sus omponentes em d dreção ˆ ˆ e ˆ ˆ ( )ˆ ( ) ˆ

12 3D: vetores untáros lnhdos om os eos, e (,, ) λ λ λ λ ) ( ) ( ) (

13 Produto eslr de vetores Defne-se o produto eslr dos vetores e, desgndo pelo símolo., por osθ onde θ é o ângulo formdo pelos dos vetores. θ osθ θ Este produto é um grnde eslr. Ele é gul o produto do módulo de um dos vetores pel proeção do outro sore ele.

14 Usndo defnção de produto eslr:. osθ 2. 0 se e são ortogons, ou 0, ou Se λ e η são dos eslres ( λ ) ( η) λη O produto eslr é dstrutvo ( )

15 Epressndo os vetores e em termos de sus omponentes rtesns e utlndo s propreddes nterores. ( ) ( ).. Logo Lemrmos que. osθ Logo osθ osθ útl pr determnr o ângulo entre dos vetores

16 Eemplo - Clule o ângulo entre s dgons de um uo. Solução A Fgur o mostr os vetores e us flehs ondem om dus dgons de um uo. D fgur, otemos l l( ), l( ). l os θ, θ ros l l l l (1 1 1) l l 1 2 θ ros ros 70,5 3l 3

17 Produto vetorl de vetores O produto vetorl dos vetores e é desgndo pelo símolo Em 3D, dos vetores qusquer e defnem um dreção ún, dreção perpendulr mos, se eles não forem prlelos θ θ Convenon-se o sentdo de rtrrmente pel regr d mão dret.

18 Se e forem prlelos não é possível defnr um dreção prtr deles. Isto é resolvdo se o módulo de for defndo por senθ onde θ é o ângulo entre e Se θ 0 ou θ π, tem-se 0 No produto vetorl, ordem dos ftores lter o produto. O produto vetorl é ntomuttvo.

19 Os eos rtesnos form esolhdos de modo que Qulquer permutção íl dos três vetores preserv o tredro dreto: e Por outro ldo -, - e - O produto vetorl é dstrutvo ( )

20 ( ) ( ) ( ) Logo Form nlít do produto vetorl ) ( ) ( A equção nteror pode ser reesrt n form de um determnnte O produto vetorl só é defndo em um espço de três dmensões.

21 Eemplo - Clule o produto dos vetores u e v mostrdos n Fgur o Solução - Pel regr d mão dret, onlu-se que u v é prlelo o untáro. l v u Logo u v uv senθ onde θ é o ângulo entre u e v l l 2 2 θ π /2 e u v l l 2 l Portnto u v2l 2

22 Produto msto de vetores O produto msto de vetores é defndo por ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Ele pode ser esrto omo Um determnnte é nvrnte permutções íls de sus lnhs. Logo ) ( ) ( ) ( Por outro ldo, omo onluímos que ) ( - ) (

23 Cráter tensorl ds grndes físs As les físs são epresss n form de equções mtemáts envolvendo grndes físs. Ests les não dsrmnm dreções dstnts do espço. Ao grrmos o prto de um eperên, s grndes nel envolvds podem ser fetds por tl operção. Eslres são nvrntes mednte um rotção. Vetores mudm mednte um rotção. Pr que s equções que epressm s les físs sem nvrntes mednte um reorentção no espço, s grndes físs têm que se trnsformr de mner muto espeíf qundo grds no espço.

24 Ts grndes são hmds de tensores. Eslres e vetores são tpos de tensores. Eslr é um tensor de ordem ero e vetor é um tensor de ordem um. Pr que um equção fque nvrnte mednte um rotção, el tem que ser d form: eslr A eslr B vetor A vetor B