Publicação IF E-BOOK 1661/2011 TEORIA DE GRUPOS PARA FÍSICOS

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1 TEORIA DE GRUPOS PARA FÍSICOS Insttuto de Físc, Unversdde de São Pulo, CP , São Pulo, SP, Brsl José M. Flrdo Bsslo Muro Sérgo Dors Cttn Publcção IF E-BOOK 66/ 4/4/

2 JOSÉ MARIA FILARDO BASSALO ( PROFESSOR TITULAR APOSENTADO DA UFPA FUNDAÇÃO MINERVA MAURO SÉRGIO DORSA CATTANI PROFESSOR TITULAR INSTITUTO DE FÍSICA USP TEORIA DE GRUPOS PARA FÍSICOS

3 Os Autores (Bsslo e Cttn dedcm este lvro, respectvmente, : CÉLIA, JÔ, GISA, LUCAS, VÍTOR ÁDRIA, SAULO, ANNA-BEATRIZ e MATHEUS e MARIA LUIZA, MARIA BEATRIZ, MARTA e OLÍVIA

4 PREFÁCIO DA PRIMEIRA EDIÇÃO Este lvro tem o objetvo básco de colocr o letor em contto com um dos rmos ms tvos d Mtemátc dos ds de hoje: Teor de Grupos e su plcção o estudo d Físc. A mportânc do estudo d Teor de Grupos em Físc surgu, bscmente, com o lvro de Hermnn Weyl nttuldo Gruppentheore und Quntenmechnc, publcdo em 98, no qul esse grnde mtemátco lemão mostr que exste um íntm relção entre s Les Gers d Teor Quântc e Teor de Grupos o observr que todos os números quântcos, com exceção do número quântco prncpl n, são índces que crcterzm s representções de grupo. Um ds grndes plcções prátcs d Teor de Grupos em Físc é vst no lvro do físco húngro-norte-mercno Eugene Wgner nttuldo Gruppentheore und hre Awendung uf de Quntenmechnk der Atomspektren. Nesse lvro, publcdo em 9, esse Prêmo Nobel de Físc evdenc que tods s regrs d Espectroscop Atômc podem ser bem entendds fzendo-se o estudo ds smetrs observds nos resultdos espectroscópcos. Nesse estudo ele usou Teor crd pelo mtemátco frncês Évrste Glos, em 8. O grnde momento d plcção em Físc d Teor de Grupos em Prtículs Elementres ocorreu em 96, com publcção de dos rtgos ndependentes dos físcos, o Nobelst norte-mercno Murry Gell-Mnn e o srelense Yuvl Ne emn. Nesses trblhos, dmtndo que Hmltonn de Interções Fortes fosse nvrnte pelo grupo SU ( eles consegurm, entre outros resultdos, um clssfcção coerente dos hádrons (usndo s representções de octetos desse grupo e prevsão d exstênc de novs prtículs elementres, dentre s qus prtícul Ω. Est prtícul fo detectd em 964, em um experênc sobre o esplhmento de káons por prótons o ( K p Ω K K relzd por V. E. Brnes et l. Observe-se que ntes, em 956, o físco jponês Shoch Skt hv sem sucesso usdo o grupo SU ( pr clssfcr s Prtículs Elementres. Observe-se nd que em 964 Gell-Mnn e, ndependentemente, o físco russo-norte-mercno George Zweg usrm um outr representção do SU ( (trpletos pr prever exstênc dos qurks. Estes té o momento não form observdos soldmente. Um outro grnde momento d plcção em Físc d Teor de Grupos ocorreu no começo d décd de 97 qundo os físcos norte-mercnos, o Nobel Kenneth Wlson e Mchel Fsher plcrm o Grupo de Renormlzção os fenômenos crítcos

5 (trnsções de fses, retomndo o que hv sdo consderdo por Gell-Mnn e pelo físco norte-mercno Frncs Eugene Low em 954. Neste lvro, contudo, não trtremos desse Grupo. De modo gerl plcção d Teor de Grupos problems físcos é dvdd em dos esquems: consderções sobre smetr e consderções sobre problems de utovlores. Como exemplo do prmero tpo menconmos o estudo d smetr de um crstl, de fundmentl mportânc n Físc d Mtér Condensd (Espectroscop, Crstlogrf, etc.. No segundo tpo, um exemplo relevnte é o estudo de nvrâncs de equções de utovlores resultntes de trnsformções de coordends (trnslções e rotções. O presente lvro está dvddo em 8 Cpítulos. Nos prmeros três Cpítulos, presentmos prte forml d Teor de Grupos e sus Representções e nos cnco Cpítulos seguntes são dscutds lgums plcções à Físc. No Cpítulo são estudds s Defnções e os Teorems fundments reltvos à teor forml de grupo; no Cpítulo são nvestgds s Representções e os Cráteres de Grupo, bem como seus Teorems Fundments como o Lem de Schur. And nesse Cpítulo, ntroduzmos um estudo sumáro ds Séres e Coefcentes de Clebsch- Gordn utlzdos no estudo d Teor do Momento Angulr e de sus plcções. No Cpítulo, são dscutdos o Grupo de Le e su correspondente Álgebr de Le, de crucl mportânc pr o estudo d Teor Quântc de Cmpo, um vez que est represent o cnddto nturl pr descrção d Físc ds Prtículs Elementres. Nesses três prmeros Cpítulos, vsndo fxr e compreender os lgortmos d Teor de Grupos, mostrmos lguns exemplos de su plcção. São tmbém propostos lguns exercícos pr que o letor poss exerctr o seu prendzdo. No Cpítulo 4 é desenvolvd Teor do Momento Angulr como um ds plcções ds Representções Irredutíves do Grupo de Le SU(. No Cpítulo 5 usmos s Representções Irredutíves do Grupo de Le SU( pr entender clssfcção ds Prtículs Elementres, prncplmente os modelos de Skt, do octeto (Gell-Mnn e Ne emn e dos qurks (Gell-Mnn e Zweg. No Cpítulo 6 estudmos os sstems Gentlôncos bsedos n Esttístc de Gentle, com sus propreddes fundments de smetr descrts pelo Grupo de Smetr Intermedáro S. No Cpítulo 7 concebendo hpótese de que qurks sejm gentíleons, nvestgmos possbldde de consderr s prtículs elementres como sendo sstems Gentlôncos. Esses sstems term smetrs regds pelos grupos S e SU (. Mostrmos que, no contexto gentlônco, o confnmento de qurks é prevsto como conseqüênc de um regr de seleção determnd pelo nvrnte de Csmr d álgebr do grupo S. Por fm,o lvro é concluído com o Cpítulo 8 onde presentmos, brevemente, um ds ms mportntes plcções d Teor de Grupos que é Teor de Guge, usd pr descrever s nterções fundments d Nturez. Mostrmos tmbém, com um plcção 4

6 smples d referd teor, que o Efeto Ahrnov-Bohm pode ser explcdo pel nvrânc de guge do Eletromgnetsmo. Queremos grdecer o professor Frncsco Perer Assunção, Dretor do Centro de Cêncs Exts e Nturs d Unversdde Federl do Prá (CCEN/UFPA, o professor Mnoel Jnuáro d Slv Neto, Chefe do Deprtmento de Físc d UFPA (DF/UFPA, às Srs. Wlquír Lm Souz do Scrmento e Anton Zele Sntn Perer, d Dvsão de Admnstrção do CCEN/UFPA, pelo poo mterl pr edção deste lvro. Agrdecemos, tmbém, à Unversdde de São Pulo (USP e o Conselho Nconl de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco (CNPq, pelo poo fnncero pr publcção do lvro. Belém, gosto de 5. José Mr Flrdo Bsslo Professor do DF/UFPA Muro Sérgo Dors Cttn Professor Ttulr do IF/USP 5

7 PREFÁCIO DA SEGUNDA EDIÇÃO Est Segund Edção de Teor de Grupos e Algums Aplcções em Físc (EDUFPA, 5, gor com o título Teor de Grupos pr Físcos, fo revst e umentd, tendo em vst letur crítc de lguns mgos, em prtculr o físco brslero José Crlos de Almed Azevedo, ex-retor d Unversdde de Brsíl, os qus grdecemos. Com o objetvo de melhor entendmento dos Gentíleons, o Cpítulo 6 fo crescentdo de cnco novos tens, com dos Apêndces. Nesses novos tens estudmos o Prncípo d Indstngubldde de Prtículs Idêntcs em Mecânc Quântc, o Grupo de Permutção e sus Representções nos Espços de Confgurções e de Hlbert, Sstems de Prtículs e Sstems Compostos por N Prtículs Idêntcs e seu Prncípo Esttístco. No Apêndce I nlsmos com detlhes s Representções do Grupo S N no Espço de Confgurção e no Espço de Hlbert, bem como mostrmos construção ds Forms e Operdores de Young, ds Funções Bse e ds Autofunções de Energ e clculmos s Representções Irredutíves dos Grupos S e S. No Apêndce II mostrmos conexão entre o Grupo de Permutção S com e s Rotções de um Trângulo Eqülterl em um Espço Eucldno. Agrdecemos à Unversdde de São Pulo pelo poo fnncero à d dgtção do texto e o Edtor José Roberto Mrnho, d Edtor Lvrr d Físc, pel publcção deste lvro. Belém, junho de 7. José Mr Flrdo Bsslo Professor Ttulr Aposentdo d UFPA e d Fundção Mnerv Muro Sérgo Dors Cttn Professor Ttulr do IF/USP 6

8 SUMÁRIO PREFÁCIO DA PRIMEIRA EDIÇÃO / PREFÁCIO DA SEGUNDA EDIÇÃO / x CAPÍTULO / Grupo /. Prmers Defnções /. Exemplos de Grupos /. Teorems Elementres e outrs Defnções / 6.4 Isomorfsmo e Homomorfsmo / CAPÍTULO / 5 Representções de Grupos / 5. Prmers Defnções / 5. Teorems Fundments sobre Representções de Grupos / 55.. Interpretção Geométrc do Teorem d Ortogonldde / 64. Cráteres ds Representções / 65.. Interpretção Geométrc do Teorem d Ortogonldde dos Crcteres de um Grupo / 67.4 Produto Dreto de Representções / 85.5 Bses pr Representções / 9.6 Séres e Coefcentes de Clebsch-Gordn / 94 CAPÍTULO / 99 Grupos e Álgebrs de Le / 99. Grupos de Le / 99 7

9 . Exemplos de Grupos de Le /. Trnsformções Infntesms e Prâmetros de Grupos / 6.4 Constntes de Estrutur /.5 Álgebr de Le / 5.6 Teorems gers sobre s Álgebrs de Le / 45 CAPÍTULO 4 / 59 Teor do Momento Angulr / Representções Irredutíves do Grupo SU( / Representções Spnors / Representções por Mtrzes Rotção / Representções por Hrmôncos Esfércos / 7 4. Operdor de Momento Angulr / Momento Angulr Orbtl: Conceto Clássco / Momento Angulr Orbtl: Conceto Quântco / A Álgebr dos Operdores de Momento Angulr / Auto-funções e Auto-Vlores dos Operdores L e L z / Operdor de Momento Angulr Totl / Operdores ldder ( escd / Adção de Dos Momentos Angulres / Operdores Tensors e o Teorem de Wgner-Eckrt / CAPÍTULO 5 / Teor de Grupo e Clssfcção ds Prtículs Elementres / 5. O ( e o Potencl Esfercmente Smétrco / 8

10 5. SU( e os Multpletos de Isospn / Introdução Hstórc / Álgebr e Representções do SU( / Dgrms de Pesos ds Representções Irredutíves do SU( / Séres e Coefcentes de Clebsch-Gordn do SU( / 9 5. SU(, os Supermultpletos de Mesmo Spn-Prdde (J p e os Qurks / 5.. Introdução Hstórc / 5.. Álgebr e Representções Irredutíves do SU( / Dgrms de Pesos ds Representções Irredutíves do SU( / Séres e Coefcentes de Clebsch-Gordn do SU( / Ftores Isoesclres e Teorem de Wgner-Eckrt / Modelos em SU( pr s Prtículs Elementres / Modelo de Skt / Modelo do Octeto / Modelo de Qurks / CAPÍTULO 6 / 7 O Prncípo d Indstngubldde e o Grupo de Permutção: Férmons, Bósons e Gentíleons / 7 6. Gentíleons / Introdução / A Indstngubldde de Prtículs Idêntcs em Mecânc Quântc / 8 6. O Grupo de Permutção e sus Representções nos Espços de Confgurção e de Hlbert / 6. Sstems com N Prtículs / 9

11 6.4 Sstems Compostos por N Prtículs Idêntcs. O Prncípo Esttístco / Sumáro e Conclusões / 9 Apêndce A6.I Representções do Grupo S N no Espço de Confgurção ε (N e no Espço de Hlbert L (ε (N / Apêndce A6.II. Permutções no ε ( e s Rotções de um Trângulo Eqülterl em um Espço Eucldno E / Os Sstems Gentlôncos Ms Smples / Introdução / Propreddes de Smetr do Estdo Quântco Gentlônco Y(, / Spn e Esttístc / A Smetr S e os Auto-Estdos SU( / Propreddes Fundments dos Sstems g / Os Hádrons Gentlôncos / Um Cromodnâmc Quântc pr os Hádrons Gentlôncos / 68 CAPÍTULO 7 / 7 O Grupo de Smetr Intermedáro S e o Confnmento de Qurk / 7 7. Introdução / 7 7. Rotções no Espço de Cor, Guge de Cor e Confnmento / 74 CAPÍTULO 8 / 8 Teor de Guge / 8 A Invrânc de Guge do Eletromgnetsmo e o Efeto Ahronov-Bohm / 89 REFERÊNCIAS / 95 ÍNDICE ONOMÁSTICO / 4

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13 CAPÍTULO Grupo. Prmers Defnções Defnção.. Um conjunto G consstndo dos elementos, b, c,... G {,b,c,...} {G, *} é chmdo de Grupo pr um dd operção (*, se seus elementos stsfzem às seguntes propreddes:,b ε G, *b c ε G (Condção de Fechmento; b,b,c ε G, (*b*c *(b*c (Condção de Assoctvdde; c e ε G, tl que: ε G, *e e* (e é chmdo o Elemento Undde; d ε G, tl que: * * e ( é chmdo o Elemento Inverso de. Defnção.. Se pr,b ε G tem-se *b b*, dz-se que o grupo é Comuttvo ou Abelno. Defnção.. O número de elementos de um grupo é chmdo de ordem do grupo. Os grupos podem ser fntos ou nfntos. Defnção..4 Um grupo cujos elementos são crcterzdos por um número de prâmetros contínuos é chmdo Grupo Contínuo. Est prte deste Cpítulo fo mnstrd pelo professor José Mr Flrdo Bsslo no Curso de Extensão, relzdo em 985, n UFPA, sobre Teor de Grupo.

14 Exercíco.. Mostre que: Se,b G, então pr s equções: *x b e y* b, tem-se, de mner unívoc: x *b e y b* ; b Se,b G, então: defnção, temos (Bk e Lchtenberg, 967: III n ***... *, se n > ; n III n e, se n ; (*b b * ; c Se G e n é ntero, por III n * * *... *, se n <, n então: n * m nm, ( n m nm Exemplos de Grupos Conjunto ZZ. O conjunto dos nteros postvos e negtvos form um grupo nfnto Abelno em relção à dção, pos: II I I,b ZZ ; b b; II,b,c ZZ ; (b c (bc; III e ZZ ; ; IV ZZ, ; ( (.

15 b Vetores no R. O conjunto de vetores no espço trdmensonl form um grupo nfnto Abelno em relção à dção vetorl, pos: II I A, B R ; ( A B C R ; I II A,B,C R ; ( A B C A ( B C ; III e ; A A A ; IV A R, ( A A ; A ( A ( A A Exercíco.. Verfque s propreddes de grupo do conjunto de vetores no R, usndo pr sso regr do prlelogrmo; b Mostre que o conjunto dos rcons (Q form um grupo Abelno em relção à multplcção c Grupo de Rotções. O conjunto de rotções de um vetor no R em torno do exo dos z de um certo ângulo θ, form um grupo contínuo Abelno denotdo por (. Vejmos como. Por defnção, temos: r ' (x', y' R ( θ r (x, y

16 4 A fgur nteror nos mostr que: x' x cosθ y senθ y' x senθ y cosθ. As equções cm podem ser colocds n form mtrcl, d segunte mner: x' y' cosθ senθ senθ x cosθ y x R( θ y. Mostremos, gor, que R(θ form um grupo, com relção à segunte operção defnd por: r ' R( θ r ; r '' R( θ r ' onde: r '' R( θ R( θ r R( θ θ r, cosθ senθ cosθ senθ R ( θ ; R( θ. senθ cosθ senθ cosθ Usndo defnção de produto de mtrzes, vrá: R ( θ cosθ R( θ senθ senθ cosθ cosθ senθ senθ cosθ cos θ cosθ senθ cosθ senθ senθ senθ cosθ cosθ cosθ senθ senθ cosθ senθ cosθ senθ

17 5 cos( θ θ sen( θ θ R( θ θ. sen( θ θ cos( θ θ Portnto: I R(θ R(θ R (θ θ R(θ. A regr d multplcção de mtrzes nos permte fclmente mostrr que: II R(θ [R(θ R(θ ] [R(θ R(θ ] R(θ ; III R( R(θ R(θ R( R(θ; IV R( θ R(θ R(θ R( θ R(, onde: o o cos sen R(. o o sen cos Exercíco.. Demonstre s propreddes II, III e IV do grupo ( d Grupo de Lorentz. As Trnsformções de Lorentz d Reltvdde Restrt formm um grupo. Vejmos como. (Smrnov, 97 por: onde: As Trnsformções de Lorentz dus vráves são defnds x' γ (x vt t' γ (t vx, c

18 6 ( c v ; c v β β γ. Usndo representção mtrcl, teremos: γ γ γ γ t x L(v t x c v v t' x'. Assm, sejm dus Trnsformções de Lorentz L (v e L (v e formemos o seu produto L L. Então: L L γ β γ β γ γ γ β γ β γ γ c c c c γ γ β β γ γ β γ γ β γ γ β γ γ β γ γ β β γ γ γ γ c c c c [γ γ (β β ]. β β β β β β β β ( c c (. Segundo Reltvdde Restrt, temos:

19 7 c v v v v v, portnto: β β β β β β γ γ (. ( c v v c v c v ( c v v c v ( c v ( c v v 4 Por outro ldo, notemos que: c v c v v c v v ( v v v (v c c v 4 4 c v v c v v c v c v ( c v v v c v v c v v v v. Portnto: γ γ ( β β c v γ. Por outro ldo, temos: v c v v v v c c β β β β,

20 8 β β c c β β (v v c vv c v c. Por fm, temos: v L L γ L v c ou sej:, I L L L ; L, L, L ε L(v. A regr de multplcção de mtrzes permte mostrr que: II L (L L (L L L ; III L L LL L ; L L ( ; IV L L LL L ; L L (-v Exercíco.. Mostre s propreddes II, III e IV do Grupo de Lorentz; b Mostre que s Trnsformções de Lorentz espcs formm um grupo. [Chme v β th c ( α ]; c Mostre que o grupo de rotções ( e o Grupo de Lorentz L( dexm nvrntes, respectvmente: y x ' y' x e x' y' x y ;

21 d Mostre que s Trnsformções de Poncré formm um grupo e Grupo de Permutções S n (Smrnov, 98 Defnção.. Sejm n (> objetos que numermos com os números nteros,,,..., n. Com eles podemos formr n! permutções. Sej um dels:... n P (P P P... P n. P P P... Pn Tl permutção sgnfc que o elemento que está n posção ou ordem ndcd por P, v pr prmer posção, o que está n posção ou ordem ndcd por P, v pr segund posção, e ssm sucessvmente. Por exemplo, permutção ndc que permutção que quer se relzr, é obtd d permutção fundmentl (, fzendo com que o seu tercero elemento ( ocupe prmer posção, o seu prmero ( ocupe segund posção e o seu segundo elemento ( ocupe tercer posção. Vejmos um segundo exemplo: ( b c d e ( e b c d. Defnção.. Chm-se de Permutção Invers P - operção que sgnfc fzer com que o prmero elemento d permutção fundmentl ocupe ordem ou posção ndcd por P, o segundo elemento d permutção fundmentl ocupe ordem ou posção ndcd por P, e ssm sucessvmente. Portnto:

22 , P P ( ( b c P b c P. D defnção cm, é fácl mostrr que ( P P. Defnção.. Chm-se Produto de Permutções P P à permutção obtd prmero plcndo P e depos P. Assm, se: P e P, então: P P. Vejmos um outro exemplo: ( ( (. c e d b b c d e b c d e Por outro ldo:

23 ( ( c e d b b c d e , então: Defnção..4 Chm-se de Permutção Untár E, permutção n qul cd elemento é substtuído por ele própro. El é representd por: n... n... E Exemplo.. Mostre que o conjunto de permutções S form um grupo O grupo S é formdo pelos seguntes elementos:. e P P ; P ; P ; P ; E 5 4 Propreddes de Fechmento: E P P ;

24 4 P P P ; 5 P P P ; ; P P P 4. P P P 5 De mner nálog, demonstr-se que: P P P 5 ; P P E; P P P 4 ; P P 4 P ; P P 5 P ; P P P 4 ; P P P 5 ; P P E; P P 4 P ; P P 5 P ; P 4 P P ; P 4 P P ; P 4 P P ; P 4 P 4 P 5 ; P 4 P 5 E; P 5 P P ; P 5 P P ; P 5 P P ; P 5 P 4 E e P 5 P 5 P 4. b Propredde Assoctv: (P P P P (P P. Em vst d propredde nteror, temos: (P P P P 4 P P, P (P P P P 4 P. c Elemento Undde:

25 P E EP P. (,,,, 4, 5. Assm, por exemplo: P E P, EP P. d Elemento Inverso: (,,,, 4, 5 P P P P E.. Assm, por exemplo, usndo Defnção.., vrá: P P P- E, P P 4 P5. Então, em vst do resultdo nteror, temos: - - P 4 P 4 P5 P 4 E; P4 P 4 P4 P 5 E. As propreddes, b, c e d, permtem escrever segunte tbel de multplcção pr o grupo S. E P P P P 4 P 5 E E P P P P 4 P 5 P P E P 4 P 5 P P P P P 5 E P 4 P P

26 4 P P P 4 P 5 E P P P 4 P 4 P P P P 5 E P 5 P 5 P P P E P Exercíco..4 Termne demonstrção ds propreddes do grupo S ; b A tbel de multplcção do grupo S mostr que ele é não-comuttvo. Demonstre frmtv; c Mostre que o conjunto de permutções S 4 form um grupo não-comuttvo Vmos que ddo um conjunto de n (> elementos podemos formr o grupo de permutções S n. Contudo, s permutções pr obter cd elemento ( prtr do elemento nteror desse grupo podem ser um número pr ou número ímpr. O grupo formdo então de tods s permutções pres dos números,,..., n é chmdo de Grupo Alterndo ou Alterntvo A n cuj ordem (número de elementos é n!/ (Jnsen e Boon, 967. Por exemplo, pr os números,,, s permutções formds de deslocmentos pres e ímpres, são:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, pr( ímpr( pr( ímpr( pr( ímpr( Ddo um elemento do grupo de permutções S n, podemos formr um conjunto de permutções que se compõe de subconjuntos consttuídos por Permutções Crculres ou Cíclcs. Assm:

27 (, (,4,5 (,4,5 (,. Pos, como vemos, n permutção consderd exstem dus permutções cíclcs entre os números e, e,4 e 5 respectvmente, ou sej: (, e (,4,5 (5,,4 (4,5,. Vejmos outros exemplos: (,,4 (,5,6 (,5,6 (,,4, pos: (,,4 (4,, (,4, e (,5,6 (6,, Exercíco..5 Encontre s permutções cíclcs de , e f Reflexão Espcl. O conjunto de reflexões espcs em torno d orgem form um grupo. Seus elementos são defndos por: E(x,y,z (x,y,z E( r r ( r r, (Identdde P(x,y,z ( x, y, z P( r ( r. (Prdde Exercíco..6 Mostre que: E e P formm um grupo; b P E g Grupo Untáro U(. O conjunto de elementos defndo por: g(α e α, é um grupo contínuo de um prâmetro (α. (Este é o grupo d Eletrodnâmc Quântc

28 6 Exercíco..7 Mostre que: O conjunto {g(α} form um grupo; b O conjunto U( é untáro Teorems Elementres e outrs Defnções Teorem.. - Teorem do Rerrnjmento. Sej G um grupo de ordem g com os elementos: E,A,A,...,A g. Se A k é um elemento rbtráro desse grupo, então cd elemento ocorre um e somente um vez n seqüênc EA k A k,a A k, A A k,..., A g A k. Demonstrção: Sej X qulquer elemento de G. Sej nd XA k A r ; então XA k A k A r A k X, logo X pertence à seqüênc dd. Por outro ldo, X não pode ocorrer dus vezes n seqüênc dd pos, se A r A k X e A s A k X, então A r A s. Certmente o mesmo contece pr seqüênc: A k E A k, A k A, A k A... A k A g. (É trvés desse teorem que se constró s tbels de multplcção de um grupo fnto. Coroláro.. Se J E, JA,J,...,J, são números ts A Ak que cd elemento X do grupo correspondente um número J então: g Σ ν J Σ J Σ J. A ν g ν A ν X g ν XA ν Exemplo.. Constru tbel de multplcção do grupo G {E, A, B} {G, *}, ddo bxo: * E A B E E A B A A B B

29 7 O elemento (,, sto é, segund lnh e tercer colun não pode ser nem A e nem B, pos hver repetção d lnh ou d colun. Assm: (, E. O mesmo ocorre pr o elemento (,. O Teorem.. permte conclur que: (, B e (, A. É fácl ver que ess tbel goz d Propredde Assoctv, pos, por exemplo: * E A B E E A B A A B E B B E A Exercíco.. Constru s possíves tbels de multplcção do grupo G {E,A,B,C} {G,*}, ndcdo bxo: * E A B C E E A B C A A B B C C Defnção.. Sej x qulquer elemento de um grupo. A seqüênc: E, x, x, x,..., x n E é denomnd período de x e n é chmdo ordem de x. (E*A*B A*B E, E*(A*B E*E E. É fácl ver que o período de x form um grupo Abelno, chmdo Grupo Cíclco, sendo que x é chmdo o gerdor desse grupo. Às vezes, um únco elemento não é sufcente pr gerr o grupo todo, precsndo-se, então, de ms de um gerdor. Assm, o número mínmo de gerdores requerdos pr defnr estrutur do grupo chmmos de gru ( rnk do grupo. Ao conjunto mínmo dos

30 8 elementos que germ o grupo chmmos de bse. Um grupo pode ter ms de um bse Exemplo.. Clcule os períodos do grupo de reflexão espcl, e determne sus ordens Conforme vmos, esse grupo é formdo por E, P. Sendo P E, então ele é de ordem Exemplo.. Clcule os períodos do grupo S, e determne sus ordens O grupo S é formdo por: S {E, P, P, P, P 4, P 5 }. Usndo-se tbel de multplcção desse grupo vst no Exemplo.., vê-se que: P E; logo su ordem é ; b P E; logo su ordem é ; c P E; logo su ordem é ; d P 4 P 5 ; P 4 P 4 P 4 P 5 P 4 E, logo su ordem é ; e P 5 P 4 ; P 5 P 5 P 5 P 4 P 5 E, logo su ordem é Exemplo..4 Sej o grupo G {E, A, B, C} {G, *} ddo pel tbel bxo. Clcule seu gru ( rnk. * E A B C E E A B C A A E C B B B C E A C C B A E

31 9 A tbel nos mostr que: A E ; B E ; C E, A A *A A ; B B ; C C. Portnto, nenhum elemento do grupo é cpz de gerr o grupo todo. Por outro ldo, vemos que: A*B C ; B*A C ; A*C B ; C*A B ; B*C A ; C*B A. Assm, os pres {A,B}, {A,C} e {B,C} são cpzes de gerr o grupo todo, pos: G {A B E ; A;B; A*B } {A C E ; A;C; A*C } {B C E ; B;C; B*C }. Conclu-se, portnto, que o gru ( rnk desse grupo vle, já que bstm pens dos elementos do grupo pr gerr os dems. Por outro ldo, esse grupo possu três bses, sber: {A, B}, {A, C} e {B, C} Exercíco.. Clcule os grus ( rnks e s bses dos grupos defndos pels seguntes tbels de multplcção: * E A B C E E A B C A A B C E B B C E A

32 C C E A B b * E A B C E E A B C A A E C B B B C A E C C B E A Exercíco.. Clcule todos os períodos do grupo S 4 e determne sus ordens; b Mostre que s rízes n d undde formm um grupo cíclco de ordem n em relção o produto. Determne o gerdor desse grupo; c Mostre que l,, l, formm um grupo cíclco Defnção.. Um conjunto H é dto um subgrupo de um grupo G, sto é, H G, se ele stsfz os xoms de grupo. É clro que todo grupo tem dos subgrupos trvs ou mprópros: H {E, G} Exemplo..5 Mostrr que o conjunto de permutções cíclcs do grupo S é um subgrupo própro No Exemplo.., vmos que o grupo S é formdo por: S {E, P, P, P, P 4, P 5 }. As permutções cíclcs formds de S são E, P 4 e P 5, pos:

33 Assm: P P E 4 5. S c {E, P 4 ; P 5 }. Vejmos, gor, se esse conjunto form um grupo. Pr sso é necessáro que ele stsfç à Defnção... Assm, segundo tbel do Exemplo.., temos: Condção de Fechmento: EP 4 P 4 ; EP 5 P 5 ; P 4 P 5 E; b Condção de Assoctvdde: E(P 4 P 5 EE E ; (EP 4 P 5 P 4 P 5 E; c Elemento Undde: EP4 P4E P4; EP5 P5E P5; d Elemento Inverso: P4 P4 P4P4 E, P5 P5 P5P5 E Exercíco..4 Mostre que: O conjunto dos números pres é um subgrupo do grupo dos números nteros em relção à dção; b A S ; c O elemento undde de H é o mesmo de G Defnção.. Pr qulquer subgrupo H G e qulquer elemento G, ms H, H (ou H é dto um clsse lterl

34 ( coset à esquerd (à dret. [Note-se que um clsse lterl ( coset não é necessrmente um subgrupo.] Teorem.. - Teorem de Lgrnge. Sej um grupo fnto G e um subgrupo H G. Se, b G, ms, b H, então: e G E H H H... k H G H E H H... H k, onde k é chmdo de índce de H. Não fremos demonstrção desse Teorem, no entnto, vmos mostrr o seu resultdo trvés de um exemplo (Mejer e Buer, Exemplo..6 Mostre o Teorem de Lgrnge pr o grupo S e o seu subgrupo H. S c Nos Exemplos.. e..5, vmos que G S {E, P, P, H S E, P,. Tomemos {,, } {P, P, P 4, P 5 } e { } c 4 P 5 P, P }, então, usndo tbel do Exemplo.., vrá: P E P H P P4 P ; P P5 P Portnto: P E P H PP4 P ; PP5 P P E P H PP 4 P. PP 5 P G S H H H H H H, sendo, então, o índce de H. Por outro ldo, temos:

35 E P P H P4 P P ; P5 P P Portnto: E P P H P4 P P ; P5 P P E P P H P4 P P. P5 P P G S H H H H H H, o que confrm o índce de H em S. É fácl ver que H ou H não form um grupo, pos, sendo H H {P, P, P }, então, P P P 4 H ou H Exercíco..5 Um clsse lterl ( coset H (H não contém nenhum elemento de H; b Dus clsses lters ( cosets (dreto ou esquerdo ou são dêntcos ou não têm elemento comum; c A ordem m de um subgrupo H de um grupo nfnto G é dvsor nterno de g que é ordem de G; d Mostre o Teorem de Lgrnge pr G S 4 e H S 4. c Defnção..4 Se exste um elemento µ G de tl modo que se, b G, tvermos: µ µ - b (ou µ - µ b, então b é chmdo de conjugdo ou equvlente de, ou sej: ~ b. D defnção cm, fclmente, demonstr-se que: ~ ; b Se ~ b, então b ~ ; c Se ~ b e b ~ c, então ~ c;

36 4 d Se G é Abelno, então todo elemento de G é conjugdo de s própro Exercíco..6 Demonstre s propreddes cm Anlsndo-se Defnção..4 vê-se que se G for um grupo de trnsformções, então ess defnção corresponde à trnsformção de smlrdde. Defnção..5 Ao conjunto de conjugdos ou equvlentes de um elemento G, chm-se de clsse de G. D defnção cm, fclmente demonstr-se que: O elemento pertence à clsse de G reltvo s própro; b Se e b são conjugdos, então clsse de é mesm d de b; c Se e b não são conjugdos, então sus clsses não têm nenhum elemento comum; d Se cd elemento de G pertence um clsse reltv s própro, então podemos decompor G em clsses; e Qulquer elemento de G que comut com todos os elementos de G, form um própr clsse. A dentdde é um exemplo dsso Exercíco..7 Demonstre s propreddes cm; b Encontre s clsses do grupo A 4 ; c Encontre s clsses do grupo S Defnção..6 Um subgrupo H de G é dto norml ou nvrnte, G, então: H - H. D defnção cm, fclmente demonstr-se que:

37 5 As clsses lters ( cosets dreto e esquerdo de H são gus; portnto H, como coleção, comut com todos os elementos de G; b H contém todos os elementos de cd clsse de G, ou não contém nenhum deles; c Cd grupo G sempre contém os subgrupos nvrntes H G e H E Exercíco..8 Demonstre s propreddes cm Defnção..7 Um grupo que não tem seus subgrupos nvrntes mprópros trvs (G e E, é chmdo smples. Se nenhum dos subgrupos nvrntes própros de um grupo é Abelno, então o grupo é chmdo semsmples. Defnção..8 O grupo formdo pels clsses lters ( cosets do subgrupo nvrnte H e pelo própro H é chmdo de grupo ftor de G e denotdo por G/H. se o grupo G for fnto, ordem do grupo ftor é o quocente ds ordens de G e de H, respectvmente Exercíco..9 Mostre que: O conjunto ds clsses lters ( cosets de H nvrnte form um grupo com relção o produto clsse lterl ( coset ; b HH H Exemplo..7 Ddo o grupo S, obtenh sus clsses, seus grupos nvrntes, e seus grupos ftores O grupo S tem os seguntes elementos: {E, P, P, P, P 4, P 5 }. Os nversos desses elementos são:

38 6 E - E; P P ; P P ; P P ; P4 P 5 e P5 P 4, conforme se pode ver usndo-se Defnção... Formemos s clsses de S. Pr sso, usemos Defnção..5 e tbel do Exemplo... Portnto:. C E Como E ~ E, então C E {E}. C P EP E P ; P P P P ; P P P P ; P P P P ; P 4 P P4 P ; P 5 P P5 P. C P {P, P, P }. C P De mner nálog o cso nteror, é fácl ver que: C P C P {P, P, P }. C P De mner nálog o cso de C P C P 4 C P C {P, P, P. P EP 4 E P 4 ; P P 4 P P 5 ; P P 4 P 5 P 4; P 5 P 4 P 5 P 4. Portnto: C {P 4, P 5 }. P 4 C P, é fácl ver que:

39 7 G S E.6 C P 5 De mner nálog o cso nteror, é fácl ver que: C P C 5 P {P 4, P 5 }. 4 Esses resultdos, mostrm que: E C P C P C P E 4 C P E 5 C P C P C P E 4 C P E 5 C P C P C P 4 C P. 5 b Formemos, gor, os grupos nvrntes de S. Pr sso, usemos Defnção..6 e tbel do Exemplo... b. Sej H S C {E, P 4, P 5 } G. Segundo Defnção..6, H será nvrnte se G, então H H. Assm: EHE EEE EP4E EP5 E E P4 EHE P 5 H P HP P EP P P P P P5P 4 4 E P 5 P 4 P HP H De mner nálog demonstr-se que: P HP H; P HP H ; P 4 HP 4 H e P 5 HP 5 H. Portnto S C é um nvrnte.

40 8 b. Sej o conjunto S' {E, P, P, P }. Como P P P 4 S', então esse conjunto não é subgrupo de E e, portnto, não podemos nem testr defnção de nvrânc. b. Sej o conjunto H {E, P (,,, 4, 5} É fácl ver que: P H P H, portnto, H não é nvrnte. c Obtenção do grupo ftor de G. Pr sso, usemos Defnção..8 e tbel do Exemplo... Vmos no tem b., que o subgrupo S C é um nvrnte. Portnto, s clsses lters ( cosets de S C H {E, P 4, P 5 }, são: P H; P H; P H; P 4 H e P 5 H, então, o grupo ftor de G será: G/H {P H, P H, P H, P 4 H, P 5 H}. Ts clsses lters ( cosets vlem, respectvmente: P E P P H P P4 P ; P P5 P PH P H 4 {P,P,P }; {P,P,E}; 4 5 PH {P,P,P} ; P H {P,E,P } As dus últms clsses lters ( cosets (P 4 H; P 5 H, mostrm que: HH H. O resultdo do tem cm mostr que: S H P H H P H H P H Exemplo..8 Sej o grupo S e tomemos o grupo lterntvo A S C formdo pels permutções cíclcs de S. Mostre que S é um grupo não smples e não-semsmples Sendo S {E, P, P, P, P 4, P 5 } e A {E, P 4, P 5 }, então: EP 4 P 4 ; EP 5 P 5 ; P 4 P 5 E, portnto, A é Abelno. No Exemplo..7 mostrmos que A é nvrnte. Or, como A é um subgrupo 5 5 4

41 nvrnte não-trvl de S e Abelno, logo, segundo Defnção 9..7, S é não-smples e não-semsmples Exemplo..9 Sej o espço vetorl R. Clcule o grupo ftor desse espço vetorl. O sub-espço vetorl R formdo pelos vetores do plno xoy é um subgrupo nvrnte de R, pos: r v R r v R r, onde v R. Tomemos, gor, um vetor z r pertencente o R e que estej studo no exo dos z. Então, o conjunto de vetores formdo pel som vetorl de z r com vetores do R r, ou sej, z R é um clsse lterl ( coset de R. Esse conjunto é representdo por todos os vetores que têm sus extremddes studs em um plno z perpendculr o exo dos z e prlelo o plno xoy, conforme mostr fgur. Assm, cd um desses plnos corresponde um clsse lterl ( coset de R e form um sére contínu. O grupo ftor de R é consttuído pels projeções dos vetores pertencentes às clsses lters ( cosets no exo oz, ou sej, o elemento F z do grupo ftor é obtdo desprezndo-se os vetores

42 dferenç entre os dferentes vetores cujs extremddes encontrm-se no plno z. Em Mtemátc sto é representdo pelo símbolo de congruênc: ( mod R r r r v v' v'' K. Ess notção sgnfc que esses vetores são gus, se desprezrmos o vetor dferenç que está studo no plno z. Assm, o grupo ftor será R /R OZ R. É oportuno observr que podemos generlzr o que cbmos de ver, o plcá-lo o cso do espço vetorl R n. Assm, R n é um grupo de dmensão n e, por seu ldo, H é um subgrupo nvrnte de dmensão m < n, então, o grupo ftor F será consttuído pelos vetores v r r r, v ', v' ',..., de tl modo que: r r r v v ' v '' K, ( mod H e dmensão de F G/H será m-n, e represent projeção sobre um exo, plno ou hperplno..4 Isomorfsmo e Homomorfsmo Defnção.4. Isomorfsmo. Sejm dos grupos G e G, tl que:. A cd elemento g G corresponde um e somente um elemento g G, sto g G g G ;. Se g g j g k, então g g j g k, pr todos os elementos de G e G.

43 Deste modo, G e G, são dtos somórfcos, ou sej: G G. Portnto, eles têm mesm tbel de multplcção Exemplo.4. Mostre que o grupo S é somorfo o grupo que mntém um trângulo eqülátero dêntco s própro O grupo que mntém um trângulo eqülátero dêntco s própro é defndo por (vej s fgurs segur. E: Operção d dentdde, qul dex fgur dêntc s própr; P : Reflexão em torno d lnh A, sto é, troc o vértce por ; P : Reflexão em torno d lnh B, sto é, troc o vértce por ; P : Reflexão em torno d lnh C, sto é, troc o vértce por ; P 4 : Rotção de º no sentdo horáro em torno do centro o, sto é, o vértce v pr o lugr de, este pr o lugr de, e este pr o lugr de ; P 5 ; Rotção de º no sentdo nt-horáro em torno do centro o, sto é, o vértce v pr o lugr de, este pr o lugr de, e este pr o lugr de. É fácl ver que esse grupo stsfz à mesm tbel de multplcção do grupo S e que fo construíd no Exemplo... Por exemplo P P P 4, pos:

44 Outro exemplo: P 4 P P Exercíco.4. Complete tbel de multplcção do Exemplo.4..

45 b Mostre que o grupo S é somorfo o grupo de reflexões espcs Defnção.4. Homomorfsmo. Dos grupos G e G são homomórfcos, se os elementos de G podem ser postos em um correspondênc (não um um com os elementos de G e desde que est correspondênc preserve s les de multplcção dos dos grupos. O dgrm segur esclrece defnção dd. Obs: O conceto de Homomorfsmo é muto usdo em crstlogrf Exemplo.4. Sej S n o grupo de permutções de n (> objetos. Ao conjunto de permutções pres ssocmos o número, e o de permutções ímpres, o número. O

46 4 conjunto formdo por e form um grupo multplctvo e é homomórfco do grupo S n. O elemento corresponde o Grupo Alterntvo de S n, sto é, A n, e à su clsse lterl ( coset (Mejer e Buer, Teorem.4. Se um grupo G possu um subgrupo nvrnte H, então G é homomórfco o grupo ftor G/H Exercíco.4. Se G é homomórfco G, e se E é o elemento de undde de G, mostre que: I O conjunto de elementos de G que corresponde E form um subgrupo nvrnte de G; II G é somórfco o grupo ftor G/H. b Mostre últm frmção do Exemplo.4..

47 5

48 CAPÍTULO Representções de Grupo. Prmers Defnções Defnção.. Um representção de um grupo é um grupo de dentddes mtemátcs homomórfcs o grupo bstrto orgnl. Um representção lner é um representção em termos de operdores lneres. Assm, se fzermos um plcção homomórfc de um grupo rbtráro G num grupo de operdores D (G L, dzemos que D (G é um representção de G no espço de representções L. Se dmensão de L é n dzemos que representção tem dmensão n. qundo representção é dd em form de mtrzes, el é denotd por D j (G. Como pode hver várs representções pr um mesmo grupo, então denotremos D (µ (G [ou D µ j (G] pr um dd representção de dmensão µ. Os elementos de um representção devem ter s seguntes propreddes: D (RS D (R D (S, R, S G; b D (R [D (R] -, R G; c D (E I ; E : Elemento untáro de G. A defnção cm permte trr dus conclusões: Est prte deste Cpítulo fo mnstrd pelo professor José Mr Flrdo Bsslo no Curso de Extensão, relzdo em 985, n UFPA, sobre Teor de Grupo.

49 I Cd grupo tem um representção undmensonl que é denotd pelo número ; II O determnnte de cd mtrz representção é tmbém um representção, pos: det D (R. det D (S det [D (R D (S] det [D (RS] Exercíco.. Usndo propredde d Defnção.., demonstre s propreddes b e c Defnção.. Qundo correspondênc entre os elementos de G e os de D (G é um somorfsmo, representção é dt fel ( fthful. Neste cso, ordem de D (G é mesm de G. Defnção.. Dus representções D (G e D (G são dts equvlentes, se R G, exste um trnsformção de smlrdde S, tl que: D (R S D (R S. Defnção..4 Um representção mtrcl é dt redutível se, por trnsformções de smlrdde, su mtrz pode ser post n form: D D (R ( (R A(R, D(k (R onde D ( (R (,,..., k são tmbém representções do mesmo grupo. El é dt completmente redutível se A (R ;

50 b Qundo el não pode ser escrt ness form, el é dt rredutível; c Um representção totlmente redutível é som dret de representções rredutíves (ests podem precer várs vezes, sto é: D Σ D( ν, ν onde { ν } são números nteros postvos e dmensão de D é som ds dmensões de D (ν. (É oportuno slentr que ess som não represent som de mtrzes! Exercíco.. Demonstre que cd representção mtrcl D(G de um grupo fnto G é equvlente um representção untár; ν b Demonstre que:, se Gn G j G D j (Gn,, se Gn G j G onde G k G, é um representção fel de G e denomnd regulr Exemplo.. Encontre um conjunto de representções rredutíves do grupo S O grupo S, conforme vmos no Exemplo.., é ddo por: E ( ; P ( ; P ( ; P ( ; P 4 ( ; P 5 ( com segunte tbel de multplcção:

51 4 E P P P P 4 P 5 E E P P P P 4 P 5 P P E P 4 P 5 P P P P P 5 E P 4 P P P P P 4 P 5 E P P P 4 P 4 P P P P 5 E P 5 P 5 P P P E P 4 Prmermente vmos encontrr s representções un-dmensons de S. A tbel de multplcção cm nos mostr que: então: então: Anlogmente: P E ; P E ; P E, D (P D (E D (P D (P D (P D (P, Por outro ldo, temos: então: D (P ±. D (P D (P ±. P P ; P P P P P E, P P ; P P P P P E, D (P D (P P D (P D (P D (P D (E,

52 5 logo: D (P4,t, t, onde: t. Anlogmente: D (P. 5 D (P4,t, t Exmnndo-se, nd, tbel de multplcção de S, vê-se que: P P P 4 e P P P 5, então: D (P P D (P D (P D (P 4 (± (± D (P 4. Anlogmente: D (P P D (P 5, vê-se, então, que ds três soluções de D(P 4 D(P 5, pens solução é stsftór. Assm, temos pens dus representções undmensons de S : D ( (g, g S, D ( (E D ( (P 4 D ( (P 5, D ( (P D ( (P D ( (P. Ts representções são Homorfsmos. b Agor, vmos encontrr um representção b-dmensonl de S. Sendo D ( (E I, então ( D (E.

53 6 Por outro ldo, temos (vde tbel de multplcção: então: P P P E, D ( ( P D ( (E I; (,,. Sej: então: b, ( D (P c d c b d c b d bc ; b bd c cd ; bc d. Tomemos equção: b bd b (d b (ou d. Tommos, no entnto, b. Então, sendo: bc ±. Por outro ldo, temos: c cd c (d c (ou d. Tomemos, no entnto, c. Então, sendo: bc d d d ±.

54 Assm, podemos ter três possblddes pr representção D ( (P : 7 ; ;. Vmos escolher prmer dels e supor que: ( D (P -. Se, no entnto, fzermos: ( ( - D (P e D (P, - - veremos que, sendo [vmos descrregr o índce (]: P P P 5, então D (P P D (P (P D (P 5. Or: D (P D (P D (P D (P 5. Por outro ldo: Or: D (P D (P D (P P D (P 4, pos P P P 4. D (P D (P D (P D (P 4. Por fm:

55 8 D (P D (P D (P P D (P 5, pos P P P 5. Or: D (P D (P D (P D (P 5. Agor, vmos escolher um outr possbldde pr s representções D (P (,,, sto é: (P D ; (P D ; (P D. De mner nálog o cso nteror, demonstr-se que: D (P D (P D (P 5 D (P P, D (P D (P D (P 4 D (P P. Tomemos, gor, um outr lterntv, qul sej: (P D ; (P D ; (P D. Portnto, com esses vlores, é fácl ver que: D (P D (P D (P 5 D (P P, D (P D (P D (P 4 D (P P, D (P D (P D (P 5 D (P D (P.

56 9 Assm, só nos rest um de três possblddes: D (P - ou D (P - ou D (P - -. Procuremos, gor, outrs representções. Sendo: (P 4 (P 5 E, então: D (P 4 D (P 5 D (E. Tomemos, portnto: b D (P 4. c d Exste um nfndde de soluções. Vmos, nclmente, escolher um mtrz rel e untár, sto é, ortogonl. Então, teremos: D (P 4 [D j (P4] T c D j (P 4. b d A nvers dess mtrz será: - d -b c D j (P 4 Cof D j detd (d-bc -c b d. Portnto:

57 d d bc b ; d bc c c ; d bc b ; d bc d. Tomemos: d e d d bc d bc d d (d bc d bc (d bc ±. Se: d bc d e b c. Ou, se: d bc d e b c. Assm: (d bc D (P 4 b -b ou D (P 4 b c -. Escolhendo: D (P 4 b -b. Sendo, nd: b D (P 4 I, então: -b, com b,

58 vrá: b -b b-b. -b b - b -b Portnto: b, b ( b b ou b. A solução b é descrtável, senão representção ser redutível. Tomemos, portnto, segund solução: b 4 ±. b b ± 4 Por outro ldo, temos: b ( b. -, Fnlmente, escolhendo b, teremos: - -. D (P 4 -

59 Sendo: D (P 5, então - D (P 5, - - já que tommos b. Anterormente, vmos que D (P tem três possblddes. Vmos escolher segunte: - D (P. Agor, vmos determnr s outrs representções restntes, sto é, D (P e D (P. Sendo: D (P D (P D (P P D (P 4, teremos: b c d - ; b ; c e d, então: -. D (P - - Por fm: D (P D (P D (P P D (P 4, então:

60 - b - - ; b ; c d - c e d -, então:. D (P - Em resumo, um ds representções rredutíves de S terá o segunte qudro (os índces A e B dferencm s representções undmensons: D A ( D B ( D ( E P P P P 4 P 5

61 4 Exercíco.. Encontre: rredutível e b-dmensonl de S ; Os gerdores do grupo S ; b Um outr representção c Tods s representções rredutíves do grupo ddo pel segunte tbel de multplcção: E A B C E E A B C A A E C B B B C E A C C B A E Exemplo.. Encontre um representção trdmensonl e regulr pr o grupo lterntvo A O grupo lterntvo A é formdo por: G (; G (; G (, de modo que é fácl ver que: G G G ; G G G ; G G G ; G G; G G ; G G. sto é: Agor, usremos defnção de representção regulr,, se G G G ( n j D j {G n}, nos dems csos. Portnto [vmos descrregr o índce (]:

62 5 D (G ; D (G ; pos G G G, D (G ; pos G G G, D (G ; pos G G G ; D (G ; ; pos G G G, D (G ; pos G G G ; D (G ; pos G G G, D (G ; pos G G G ; D (G ; pos G G G. Logo [vmos crregr o índce (]:. ( D (G De mner nálog, demonstr-se que: ( ( D (G e D (G Exercíco..4 Clcule D (G e D (G do Exemplo..; b Encontre um representção 6 dmensonl regulr pr S ; equvlentes d representção regulr de A, pr: c Encontre representções S e S ;

63 6 d Encontre representção regulr pr o grupo cíclco {E, A, B, C}, onde B A ; C A ; E A lneres {O R } defndo por: O R Exemplo.. Mostre que o conjunto de operdores ψ (x r r ψ (Rx r r ; onde x R x, form um grupo. Clcule, então, sus representções. (Esses operdores são chmdos de Operdores de Wgner Vmos mostrr, nclmente, que esse conjunto {O R } form um grupo. (O I Condção de fechmento r r Sej: [ ψ (x] ψ (Rx, então: S O R O R r ψ (x OS [O r (O O ψ (x S R R r r ψ (x] OSψ (Rx r ψ [(SR x]. r ψ [S (Rx] Sendo SR T, então: r ( OSOR ψ (x r ψ (Tx, logo: O S O R O T O SR, é um Operdor de Wgner! II Condção de Assoctvdde: [(O S O R O T ] ψ(x r O S O R [ ψ (Tx r r r ] O S [ψ (RTx] ψ (SRTx. Por outro ldo, temos: r r r r O [(O O ]ψ (x O [O ψ (Tx] O [ψ (RTx] ψ (SRTx, ( S R T S R S

64 7 então: (O S O R O T O S (O R O T. III Elemento Undde: O E r r r r [ψ (x] ψ (Ex ψ (x Eψ (x, O E E. IV Elemento Inverso r r O [O ψ (x] O [ψ (Rx] ψ (R R R R r r r r Rx ψ (Ex ψ (x Eψ (x, então: OR OR E O [O R - R ]. b Agor, vmos mostrr que s mtrzes defnds por: r r n r OR ψ (x ψ (Rx Σ D j (R ψ j (x (, j são representções do grupo {O R }. Clculemos:,..., n, O S O R r ψ (x O S r ψ (Rx O S n ψ Σ D j j (R ψ j r (x n Σ j D j (R O S ψ j r n (x Σ D j j (R n Σ k D k j (S ψ k r (x n n Σ j, k Σ k D j (R D k j (S ψ r [ D (S D (R] ψ (x. k k k r n (x Σ k D k j (S D j (R ψ k r (x

65 8 Por outro ldo, temos: Assm: Então: O O S R r r n r ψ (x O ψ (x Σ D (SR ψ (x. SR k n r n r Σ [D (S D (R] k ψk (x Σ D (SR k ψk (x. k D (S D (R D (SR Exemplo..4 Sej {R} {R, R, R, R 4 } o grupo de rotções do plno (x y em torno do exo dos z, trvés dos ângulos r º, 9º, 8º e 7º, no sentdo nt-horáro. Sej { ψ (x} o conjunto dos Operdores de Wgner defndo por: R k k [ R (x,y] ψ (x,y ψ O ψ (x,y ψ, R [ R (x,y] ψ (y,-x ψ O ψ (x,y ψ, R [ R (x,y] ψ (-x,-y ψ O ψ (x, y ψ, R4 [ R 4 (x, y ] ψ (-y,x ψ4 O ψ (x,y ψ. Clcule s representções de {R} Tomemos o elemento R. Então: k O R 4 ψ Σ D (R ψ O ψ (x, y ψ (x,y ψ. j j l j R Assm:

66 9 ψ D (R ψ D (R ψ D (R ψ D4 (R ψ4. Portnto: Por outro ldo, temos: D 4 (R ; D (R D (R D. O R ψ 4 Σ D (R ψ O ψ (y,-x ψ (y,-x ψ, j j j R ψ D (R ψ D (R ψ D (R ψ D4 (R ψ4 Portnto: D (R ; D (R D (R D 4 (R. Anlogmente, demonstr-se que: D (R ; D (R D (R D 4 (R. D 4 4 (R ; D 4 (R D 4 (R D 4 (R. Assm [crregndo o índce (4]: (4 D (R E b Agor, tomemos o elemento R. Então:.. O R 4 ψ Σ D (R ψ O ψ (x,y ψ (y,-x ψ. j j j R

67 Assm: Portnto: ψ D (R ψ D (R ψ D (R ψ D4 (R ψ4 D 4 Por outro ldo, temos: (R D (R D (R ; D (R.. O R ψ 4 Σ D (R ψ O ψ (y,-x (-x,-y ψ. j j j R Assm: ψ D (R ψ D (R ψ D (R ψ D4 (R ψ4 Portnto: D (R ; D (R D (R D 4 (R. Anlogmente, demonstr-se que, sendo:. e OR ψ OR ψ (-x,-y ψ 4 Σ 4 j D j (R ψ j OR ψ4 OR ψ (-y,x (x, y ψ Σ 4 j D j 4 (R ψ j então: D 4 (R ; D (R D (R D (R, D 4 (R ; D 4 (R D 4 (R D 4 4 (R. Portnto [crregndo o índce (4]:

68 . (4 D (R Exercíco..5 Encontre D (R e D (R 4 do Exemplo..4; b Mostre que o operdor H pr um potencl Coulombno é nvrnte por um reflexão em torno d orgem; c Mostre que {O R } e {R} são Homeomórfcos Teorems Fundments Sobre Representções de Grupos Teorem.. Cd representção mtrcl D {G} de um grupo G é equvlente um representção untár. (Cf. Exercíco... Teorem.. Um mtrz A que comut com cd mtrz D{R} de um representção rredutível de um grupo G é múltpl d mtrz undde, sto é: A λ E. Demonstrção: Por hpótese, temos que: A D (R D (R A, R G. Assm:

69 [A D (R] [D (R A] D (R A A D (R. Pelo Teorem.., D (R é untár, então: D (R D - (R. Portnto: D (R A A D (R. Por outro ldo, segundo Defnção...b, temos: D (R D (R. Chmndo R S, vrá: D (S A A D (S. Assm, T G, teremos: D (T A A D (T, D (T A A D (T. D teor ds mtrzes sbe-se que tod mtrz pode ser sempre decompost em dus mtrzes Hermtns, sto é: A A A -, onde: Portnto: ( A A A A ; A (AA A.

70 D (T A D (T (A A D (T A A D (T (A A D (T Por outro ldo: D (T A D (T A D (T (AA D (T A D (T A A D (T. D (T A (AA D (T D (T A A D (T. A D (T D (T A AD (T Portnto, é sufcente consderr A como um mtrz Hermtn. Sej H ess mtrz, então: D (R H H D (R, onde: D (R D (R E; H H. Se H é Hermtn, pelo Teorem Espectrl d Álgebr Lner, exste um mtrz untár U que dgonlz, ou sej: D (R H U H U ou sej: H D U H U. Fçmos, então, D (R UD (R U, portnto: D U D (R U U D (R U UHU H D D (R H U D (R H U D (R, D H D D (R. U H D (R

71 4 Tomndo-se H {λ δ }, vrá: D D (R λ j j λ D (R D (R (λ λ. j j j j j j j Se: λ λ, D (R, R G. Então, Assm: Portnto: jj j D (R é redutível o que contrr hpótese do teorem. A λ E e A λ E. A A A λ E λ E (λ λ E A λ E C.Q.D. Teorem.. - Lem de Schur. Se {D (R} de dmensão m e {D (R} de dmensão n, são representções de um grupo G e A é um mtrz m x n tl que: então: D (R A AD' (R, Se m n, logo A ou não-sngulr (det A, e neste cso D (R e D' (R são representções equvlentes; b Se m n, logo A é um mtrz nul. Demonstrção: Por hpótese, temos que: D (R A A D' (R, ou: [ (RA] [ AD' (R] D A D (R D' (R A.