Fernando Nogueira Dualidade 1
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- Fábio Bicalho
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1 Dldde Fernndo Noger Dldde
2 Fernndo Noger Dldde M ( ) ( ) ( ) é m lmtnte speror é m lmtnte speror melhor Pr encontrr o lmtnte speror mltplc-se s restrções por constntes postvs e som-se os resltdos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Todo problem de P.L. pode ser sbsttído por m modelo eqvlente denomndo Dl. O modelo orgnl é chmdo Prml. b W c
3 Um vez qe: e Necesst-se qe: O obetvo consste em encontrr o menor lmtnte speror Mn.5.5 W 6.5 Coefcente de Coefcente de 8 Fernndo Noger Dldde
4 Fernndo Noger Dldde Problem Prml Notção Mtrcl Problem Dl Notção Mtrcl M W Mn [ ] e. Seto.. M [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] e.. Seto. W Mn
5 Fernndo Noger Dldde 5 { } { } n... e...m b Seto c M n n Problem Prml Notção Mtrcl e b A Seto c M Problem Dl { } { } m... e...n c Seto b W Mn m m Notção Mtrcl e c A Seto b W Mn Generlzndo
6 Em determnds stções qntdde de cálclos pr resolver o Dl pode ser menor qe pr resolver o Prml. Obs: o Dl de m Dl é o própro Prml. Anlogs entre Prml e Dl ) Um solção vável básc prml não-ótm corresponde m solção básc nvável dl. ) Solção ótm prml é lmtd corresponde solção ótm no dl nvável. ) Solção ótm prml é degenerd corresponde múltpls solções no dl. ) A solção ótm prml corresponde solção ótm dl com W. 5) Os coefcentes ds vráves de controle n fnção-obetvo prml são os vlores ds vráves de folg correspondentes n solção dl. Coefcente de vlor de v (vrável de folg dl). 6) Os coefcentes ds vráves de folg n fnção-obetvo prml são os vlores ds vráves de controle correspondentes n solção dl. Coefcente de vlor de (vrável de controle dl). 7) Os vlores ds vráves de controle no prml são os coefcentes ds vráves de folg correspondentes n solção dl. Vlor de coefcente de v. 8) Os vlores ds vráves de folg no prml são os coefcentes ds vráves de controle correspondentes n solção dl. Vlor de coefcente de. Fernndo Noger Dldde 6
7 Eemplo Prml M Dl Mn W Tbel Smple Ótm Coefcente Vlor. v. v Tbel Smple Ótm v v. 5 Coefcente Vlor... v. v. b c Fernndo Noger Dldde 7
8 Conclsão: ddo m problem de P.L. pode-se optr entre solconr o Prml o o Dl. A escolh deve levr em consderção o esforço comptconl qe por s vez depende do número de restrções vráves de controle de folg e rtfcs. Gerlmente opt-se pelo problem (Prml o Dl) qe tver menor número de restrções. Interpretção Ecônomc do Dl Consderndo o eemplo os vlores de s (.5.5 ) o os coefcentes de s (.5.5 ) ndcm o Vlor de Oportndde dos Recrsos o se cpcdde d ndde de cd recrso gerr lcro o o mámo csto potencl dos recrsos. Assm por eemplo se o recrso (R 6) mentr de m ndde (R 6) o lcro mentrá de.5 resltndo em.5. A nterpretção do vlor de (o ) é qe este recrso é não escsso (bndnte) no sstem e portnto o mento deste recrso não rá mentr o lcro. Os vlores de s são gerlmente trtdos como Shdow Prces (Preços Sombr) o Dl Prces. N Fnção Obetvo Dl cd prcel mede então o Vlor de Oportndde dos Recrsos envolvdos n prodção (estoqe X vlor de oportndde ntáro do recrso o estoqe X mámo csto potencl). A Fnção-Obetvo Dl mede portnto cpcdde do estoqe de recrsos gerr lcro o o mámo csto potencl do estoqe (dí portnto fnção-obetvo no eemplo ser de mnmzção). Fernndo Noger Dldde 8
9 Eemplo (dferente do eemplo pens no coefcente de ) Prml Tbel Smple Ótm M Dl Tbel Smple Ótm Mn W 6 8 v v Coefcente Vlor.5 v. v..5. Coefcente Vlor.. 6. v. v 6. b c Fernndo Noger Dldde 9
10 Consderndo s vráves de controle como tvddes econômcs qe consomem recrsos fm de prodzr lcro os vlores de v s no eemplo (v.5 v ) o os coefcentes de s (.5 ) ndcm dferenç entre o csto dos recrsos consmdos por ndde e o lcro por ndde de cd vrável de controle. Estes vlores são gerlmente trtdos como Csto Redzdo. v A c [ v v ] [.5 ]. [.5] [.5 ] A vrável poss Csto Redzdo v.5 ndcndo qe o csto dos recrsos consmdos pr prodzr m ndde de é mor qe se lcro ntáro e então est tvdde não deve ser relzd (por sso ): Ns restrções do dl o ldo esqerdo (vlor nterno) ndc o vlor de oportndde de cd tvdde clcldo em fnção dos recrsos enqnto o ldo dreto (vlor eterno) ndc o vlor de oportndde trbído pelo mercdo. Qndo remnerção do mercdo (vlor eterno) cobre o vlor nterno tvdde é relzd e v. O Csto Redzdo dferente de pode ser nterpretdo nd como m penldde qe se pg pr relzr m ndde d tvdde ssocd. No eemplo solção ótm é e 6 com 5. Se terá qe ser 59.5 (não pode ser 6 devdo s restrções) e o lcro será Fernndo Noger Dldde sbsttndo os vlores de s fc:.5
11 Eemplo. Prov o semestre 5 Consdere o segnte problem bo. Determne os vlores dos Shdow-Prces Mmzr seto lvre X -9 X -
12 Shdow-Prce restrção X -6 X6 - Shdow prce > D Shdow-Prce restrção Shdow prce este folg n restrção
13 Shdow-Prce restrção X -7 X -9 Shdow prce > D
14 Generlzção pr otrs forms Até o momento o problem Dl de m problem Prml só é plcável se o Prml estver em s form pdrão: No entnto pr problems em qe form pdrão não se verfc fz-se necessáro tlzr rtfícos pr se obter o problem Dl. Um mner bstnte smples é prtr d segnte regr: se o obetvo do problem Dl é mnmzção então s restrções são tods do tpo e cso contráro e tods s vráves ds são lvres. Eemplo Pr ml M 5 8 M Seto e Pr ml M 5 c (form A b de 8 eqção) Fernndo Noger Dldde Dl Mn W 8 5 lvre Pr regr fnconr precs der tods s cfé com lete > Pegr o eemplo e fzer o dl do dl dele pr voltr no prml lvre
15 Fernndo Noger Dldde 5 Eemplo 5 5 Mn Pr ml 5 5 Mn eqção) de (form Pr ml lvre 5 5 W M Dl Eemplo lvre M Pr ml M eqção) de (form Pr ml lvre W Mn Dl lvre 5
16 Eemplo Pr ml M 8 Pr ml M (form eqção) 8 Obtenção dos vlores ds vráves ds n Tbel Smple Prml de Qndo este restrções do tpo os vlores ds vráves ds não precem dretmente nos coefcentes de m vez qe restrções do tpo não tem folg ms ql o shdow-prce ssocdo ests restrções? Dl Mn W lvre 8 ca c é o vetor dos coefcentes d fnção-obetvo nclsve colocndo s folgs. A é formd pens pels colns correspondentes s vráves báscs n solção ótm porém com os vlores d mtrz A ncl. Fernndo Noger Dldde 6
17 Eemplo!Códgo MPL MIN. X.5 X; SUBJECT TO. X. X <.7;.5 X.5 X 6;.6 X. X > 6; W Tbel Smple Incl b Tbel Smple Fnl b ? Fernndo Noger Dldde 7
18 . A.5.6 c..5. [..5 ] W Tbel Smple Incl b ca [.5. ] -.5. Fernndo Noger Dldde 8
19 Sns dos Shdows Prces Problem de Mmzção Problem de Mnmzção Restrção Shdow Prce Restrção Shdow Prce lvre lvre Fernndo Noger Dldde 9
Fernando Nogueira Dualidade 1
Dldd Frnndo Nogr Dldd Todo problm d P.L. pod sr sbsttído por m modlo qvlnt dnomndo Dl. O modlo orgnl é chmdo Prml. Problm Prml j n j n c j j j j j j b {... n} {...m} Problm Dl Mn W m m b j c {... m} j
Dualidade. Fernando Nogueira Dualidade 1
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(9) - www.elitecmpins.com.br O ELITE RESOLVE MATEMÁTICA QUESTÃO Se Améli der R$, Lúci, então mbs ficrão com mesm qunti. Se Mri der um terço do que tem Lúci, então est ficrá com R$, mis do que Améli. Se
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