Redes de Petri. Definições:

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1 Redes de Petr Defnções: Uma Rede de Petr (PN) é m grafo dreto bpartdo o qal tem dos tpos de nós denomnados lgares (qe representam estados) e transções (qe representam eventos). O estado é alterado pelo evento. Arcos dretos lgam algns lgares a algmas transções o algmas transções a algns lgares. Um arco dreto nnca lga m lgar a m lgar o ma transção a ma transção. Eles representam o flxo entre estados e eventos. Lgares são representados por círclos e transções por retânglos (retas) Marcas (tokens) são tlzadas para representar a exstênca o não de m estado. Cada lgar pode conter ma o mas marcas, representadas por pontos. Estas marcas permtem modelar a dnâmca do sstema. A marcação de ma Rede de Petr é m vetor cos componentes são valores nteros postvos. A dmensão deste vetor é gal ao número de lgares, e se n-ésmo componente é gal ao número de marcas no lgar descrto como n na Rede de Petr. Consdere a Rede de Petr mostrada na fgra a segr. t t p p t3 t4 p4 t5 Fgra. Rede de Petr Esta PN contém qatro lgares deescrtos por p, p, e p4, e cnco transções, descrtas como t, t, t3, t4 e t5. Sa marcação é o vetor M = [,, 4, 3]. Exste m peso assocado a cada arco. Este peso é m número ntero postvo. Qando o peso não é especfcado nos arcos, assme-se qe ele é ntáro. Formalmente, ma Rede de Petr é ma qíntpla PN = (P, T, A, W, M ) onde: P = {p, p,...p n } é m connto fnto de lgares; T = {t, t,...t q } é m connto fnto de transções; A (P x T) (T x P) é m connto fnto de arcos; W: A {,,...} é a fnção peso assocada aos arcos; M : P {,,,...} é a marcação ncal. Obs.: P T =

2 Dnâmca das Redes de Petr t é o connto dos lgares de entrada da transção t é o connto dos lgares de saída da transção t p é o connto das transções de entrada do lgar p t p é o connto das transções de saída do lgar p Uma transção está habltada se para qalqer p t, M(p) W(p,t). Isto sgnfca qe t está habltada se cada m dos lgares de entrada contém, pelo menos o número de marcas gal ao valor do peso do arco lgando este lgar à transção t. Assm, para Redes de Petr ordnáras, t está habltada se cada m dos lgares de entrada poss ao menos ma marca. Se t T está habltada, ela pode ser dsparada (fred). Tal dsparo, de ma transção, consste em: Remover W(p,t) marcas de cada p t; adconar W(p,t) marcas a cada p t ; Formalmente, o dsparo de ma transção t consste em transformar a marcação ncal da Rede de Petr, M, na marcação M, defnda como sege. M(p) = M (p) - W(p,t) se p t M (p) + W(p,t) se p t M (p) caso contráro Exemplo : Consdere a Rede de Petr mostrada na fgra, com marcação ncal M = [,,4,3]. t t p p t3 t4 p4 t5 O dsparo da transção t leva à marcação M = [,3,4,4]. Se, partndo de M, dspararmos t 5, obteremos M = [,3,5,3]. Se, posterormente dspararmos, então a marcação rá tornar-se M 3 = [,,5,3]. Neste caso, dzemos qe alcançamos M3 de M pelo dsparo da seqüênca σ = < t, t 5, >, denotado por: σ M M 3 A seqüênca σ é dta "dsparável" (o possível).

3 Exemplo : Consdere a Rede de Petr mostrada na fgra, com marcação ncal M = [3,,]. p t p t 3 t3 Fgra. Rede de Petr com pesos não ntáros. Os números nteros colocados sobre os arcos são ses pesos. Consdere qe a seqüênca de dsparo σ = < t, t, > é dsparada n vezes. O resltado esperado é a marcação fnal, o sea, M σ M n Após a prmera seqüênca de dsparo, a marcação torna-se M 3 = [5,,3], á qe: o dsparo de t remove ma marca de p e adcona das marcas a p e tres marcas em p 3 ; o dsparo de t remove ma marca de p e adcona ma marca a p ; o dsparo de remove ma marca de p 3 e adcona das marcas a p ; p p p 3 Marcação M 3 Dsparo de t - 3 Dsparo de t - Dsparo de - Marcação M 5 3 Podemos afrmar qe, comparado a M, exstem das marcas a mas em p e p 3 e ma marca a mas em p. Concl-se, portanto, qe M n = [ 3 + n, + n, + n]

4 Dz-se qe a Rede de Petr mostrada na fgra é não-lmtada pela marcação ncal (M ) á qe é possível ncrementar a marcação de pelo menos m lgar até nfnto. Transções com Característcas especas Uma transção t sem lgares de entrada é denomnada transção fonte. Tal transção está sempre habltada. Uma transção t sem lgares de saída é denomnada transção snk. Tal transção pode ser dsparada se está habltada. Neste caso, as marcas são removdas dos lgares de entrada segndo a regra geral, mas não são propagadas marcas como saída. Na fgra 3, t é ma transção fonte e ma transção snk. t4 t t t3 p p a) Marcação Incal: M = [,] t4 t t t3 b) Marcação após a seqüênca de dsparo σ = <t, t,, t 4,, t : M = [3,] Fgra 3. Rede de Petr com transções fonte e Snk. Crctos Elementares e Ato-Loops p Um crcto elementar é m camnho dreto qe parte de m nó (lgar o transção) e retorna a ele, passando por otros nós. Exemplo: p t3 t t p p p4 p5 Fgra 4. Crctos elementares. t4

5 Esta rede poss dos crctos elementares: e γ = < t,p, t,p 3, t 4,p 5, t > γ = < t,p, t,p,,p 4, t 4,p 5, t > Algortmo tlzado para o cálclo de crctos elementares. Um Ato-Loop (p,t) é tal qe p é m lgar de entrada e m lgar de saída para t. Exemplo: p t t t3 p Fgra 3. Um ato-loop. Dz-se qe ma Rede de Petr é pra se ela não contém ato-loops. Redes de Petr tlzadas na modelagem de sstemas de manfatra nnca são pras. Redes de Petr com capacdade fnta. Uma Rede de Petr com capacdade fnta é ma Rede co número de marcas em cada lgar p P é lmtado a ma qantdade Q(p) denomnada capacdade de p. Em tal Rede de Petr, ma transção t está habltada se as condções ctadas sas estão satsfetas e, adconalmente, as marcações dos lgares de t não excederão sas capacdades se t dsparar. Na rede da fgra 5, a segr, a transção t não está habltada á qe a marcação do lgar p 3 será gal a 5 depos do dsparo de t e a capacdade de p 3 é somente 4. C= C= p p t 3 p4 C=4 C=3 C=4 p5 Fgra 5. Uma transção a qal não está habltada em ma Rede de Petr com capacdade fnta.

6 É sempre possível transformar ma Rede de Petr com capacdade fnta em ma Rede de Petr com capacdade nfnta. Consdere a fgra 6 a segr. 3 p C=5 t t a) Uma Rede de Petr com capacdade fnta p* 3 3 p C=5 t t b) A Rede de Petr eqvalente com capacdade nfnta O comportamento da Rede de Petr dada na fgra 6 b é eqvalente ao comportamento da Rede da fgra 6 a, assmndo qe a soma das marcações de p e p* é gal à capacdade de p. Uma condção adconal é qe o número da marcas deve permanecer constante no loop qe fo ntrodzdo para dervar a Rede de Petr de capacdade nfnta da Rede de Petr de capacdade fnta. Para satsfazer esta condção, as segntes galdades devem ser mantdas: Peso de (p,t ) = Peso (t, p*) Peso de (p*,t ) = Peso (t, p) Redes de Petr com capacdade fnta são apropradas para a modelagem de bffers qe tem ma capacdade fnta em Sstemas Flexíves de Manfatra. Arvore de Alcançabldade, Árvore de Cobertra e Grafo de Cobertra O obetvo do so da árvore de alcançabldade é procrar todas marcações qe podem ser alcançadas partndo da marcação ncal M. A árvore de cobertra é dervada da árvore de alcançabldade. Ambas são tlzadas para analsar o comportamento de Redes de Petr. Sas raízes são a marcação ncal M. Exemplo:

7 p p t t Marcação ncal: M = [,,] a qal hablta as transções t e. O dsparo de t leva à marcação (M ) = [,,] e o dsparo de leva à marcação (M ) = [3,,]. Este é o prmero nível da árvore de alcançabldade. (M ) hablta t, t e. O dsparo destas transções leva respectvamente às marcações (M ) = [,3,], (M ) = [,,] e (M ) 3 = [,,]. A marcação (M ) somente hablta t. O dsparo de t leva à marcação (M ) 4 = [,,] a qal é, de fato, (M ) 3. Este representa apenas o segndo nível da árvore de alcançabldade. Árvore de Alcançabldade em três níves. Marcação Consderada Transção Dsparada Marcação Obtda (M ) = [,3,] t (M 3 ) = [,,] = (M ) (M ) = [,3,] (M 3 ) = [,,] (M ) = [,,] t (M 3 ) 3 = [,,] = (M ) (M ) = [,,] (M 3 ) 4 = [3,,] = (M ) (M ) 3 = [,,] t (M 3 ) 5 = [,,] = (M 3 ) (M ) 3 = [,,] t (M 3 ) 6 = [3,,] = (M 3 ) 4 (M ) 3 = [,,] (M 3 ) 7 = [3,,],, t t,3, t t t,, 3,, t t,,,,,, t,,,,,, 3,,,, 3,, 3,, Para lmtar o tamanho da árvore, sege-se o segnte crtéro:

8 . ma marcação qe á fo obtda em níves anterores da árvore é marcada como "old" (não são dsparadas transções a partr desta marcação);. se ma marcação M* obtda de m dado nível é tal qe exste ma marcação M no camnho lgando M a M* a qal mplca em M*(p) M(p) para todos o lgares p da Rede de Petr; M*(p*) > M(p*) para pelo menos m lgar p* da Rede de Petr; então a marcação de p* é denomnada "ω", onde ω tende a nfnto. A marcação de p* permanecerá ω em todas as marcações dervadas de M* e a regra () também se aplca às marcações qe contém ω; 3. m nó correspondente a ma marcação a qal não hablta ma transção é marcada como "dead-end"; 4. m nó qe não é "old" e também não é "dead-end" é marcado como "new". A árvore obtda tlzando-se estes crtéros é denomnada Árvore de Cobertra da Rede de Petr. Ela contém menos nformações qe a árvore de alcançabldade, porém se tamanho permanece lmtado. O algortmo tlzado para constrr a árvore de cobertra é mostrado a segr.. Incalze a árvore ntrodzndo sa raz, a qal representa a marcação ncal M. Marqe este nó com "new";. Enqanto exstr m nó marcado como "new":. Selecone m nó A marcado como "new". Faça M a marcação correspondente a este nó;. Se, no camnho lgando a raz até A, exstr m nó B ca marcação correspondente é M, então marqe A como "old". Vá para..3 Se nenhma das transções é habltada por M, então marqe A com "dead-end". Vá para..4 Se pelo menos ma transção está habltada por M, então, para cada transção habltada:.4. Calcle M' dervada de M pelo dsparo de t. O nó correspondente é denotado por C;.4. Se, no camnho da raz até C, exste m nó D ca marcação correspondente é M" tal qe M'(p) M"(p) para qalqer p P, e M'(p) > M"(p) para pelo menos m lgar p P, então faça M'(p) = ω para qalqer p P tal qe M'(p) > M"(p); Adcone C à árvore, ntrodza o arco lgando A a C, e marqe este arco com t; Se á exste m nó o qal corresponde a M', então marqe C como "old", caso contráro marqe C como "new"..5 Vá para. A fgra 7, a segr, mostra a árvore de cobertra obtda pelo so do algortmo.

9 Raz,, new t,, new 3,, t t t new,3, new,, old,,ω new t t, t, t,,ω new t,,3,ω new,,ω old 3,,ω t,,ω new old,,ω old Fgra 7. Árvore de cobertra. Matrz ncdênca e Eqação de Estado A matrz ncdênca U = [ ], =,,...,n; =,,...,q, de ma Rede de Petr Pra é defnda como: W ( t, p ) se t p = W ( p, t ) se t p caso contráro n é o número de lgares e q o número de transções da Rede de Petr sob consderação. W(x,y) é o peso do arco (x,y). Exemplo:

10 A matrz ncdênca correspondente a esta Rede de Petr é a matrz U dada a segr. As das matrzes a segr são também defndas: onde: Se consderarmos a matrz U acma, obtemos as segntes matrzes: A segnte relação é válda: U = U + - U - p t t p t p4 t 4 = U [ ] [ ] + + = = U U,, e ) (, e ), (,,,, Mn Max = = + = + U = U