DESENVOLVIMENTO DE UM ALGORITMO PARA RECONS- TRUÇÃO DE IMAGENS UTILIZANDO A TÉCNICA DE TOMO- GRAFIA POR IMPEDÂNCIA ELÉTRICA

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1 PUCRS PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA E TECNO- LOGIA DE MATERIAIS Facldade de Engenhara Facldade de Físca Facldade de Qímca PGETEMA DESENVOLVIMENTO DE UM ALGORITMO PARA RECONS- TRUÇÃO DE IMAGENS UTILIZANDO A TÉCNICA DE TOMO- GRAFIA POR IMPEDÂNCIA ELÉTRICA JEFFERSON SANTANA MARTINS BACHAREL EM FÍSICA MÉDICA E LICENCIADO EM FÍSICA DISSERTAÇÃO PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM ENGENHARIA E TECNOLOGIA DE MATERIAIS Porto Alegre Jlho

2 PUCRS PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA E TECNO- LOGIA DE MATERIAIS Facldade de Engenhara Facldade de Físca Facldade de Qímca PGETEMA DESENVOLVIMENTO DE UM ALGORITMO PARA RECONS- TRUÇÃO DE IMAGENS UTILIZANDO A TÉCNICA DE TOMO- GRAFIA POR IMPEDÂNCIA ELÉTRICA Jefferson Santana Martns BACHAREL EM FÍSICA MÉDICA E LICENCIADO EM FÍSICA ORIENTADOR: Prof. Dr. Rbem Máro Fgeró Vargas COORIENTADOR: Prof. Dr. Cásso Sten Mora Trabalho realzado no Programa de Pós-Gradação em Engenhara e Tecnologa de Materas (PGETEMA) da Pontfíca Unversdade Católca do Ro Grande do Sl como parte dos reqstos para a obtenção do títlo de Mestre em Engenhara e Tecnologa de Materas. Trabalho vnclado ao Proeto Imagens Petrobras Porto Alegre Jlho

3 "The dd not know t was mpossble so the dd t! (Jean Coctea) Me desenho não representava m chapé. Representava ma bóa dgerndo m elefante. Desenhe então o nteror da bóa a fm de qe as pessoas grandes pdessem compreender. ( O Peqeno Príncpe de Antone de Sant-Epér)

4 DEDICATÓRIA À Anna Lza Lcane Teresnha Danlo e à vda nesse páldo ponto azl.

5 SUMÁRIO RESUMO... ABSTRACT.... INTRODUÇÃO.... OBJETIVOS Obetvos Específcos REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Introdção a TIE Modelagem do Problema Dreto.... O Método das Dferenças Fntas.... Problema Inverso....5 Recozmento Smlado e o problema nverso da TIE METODOLOGIA Problema Dreto Problema Inverso RESULTADOS Problema Dreto Problema Inverso CONCLUSÃO REFERÊNCIAS... 9 ANEXO A ANEXO B ANEXO C... ANEXO D...

6 Lsta de Ilstrações Fgra : Padrão adacente de neção de corrente elétrca no domíno. Etraído de: TRIGO Fgra : Padrão dametral de neção de corrente elétrca no domíno. Etraído de: TRIGO Fgra : Regão avalada.... Fgra 5: Dscretzação do domíno avalado. Etraído de: SILVA NETO et al. 9.. Fgra 6: A) Estêncl de cnco pontos; B) Estêncl de nove pontos Fgra 7: Esqema mostrando qe a eqação () é soma de das apromações por dferenças fntas com estêncl de cnco pontos.... Fgra 8: Regão Avalada. Etraído de: MENIN 9... Fgra 9: Regão Avalada. Modfcado de: MENIN 9... Fgra : Rótlos atrbídos a cada m dos lados da regão avalada Fgra : Dsposção dos eletrodos no contorno da regão avalada Fgra : Forma da dstrbção de condtvdade tlzada drante os testes. Para a regão em azl ncalmente fo tlzado o valor para condtvdade de.m.c enqanto para a regão em vermelho o valor tlzado fo de.m.c... 5 Fgra : Matrz de números antes do processo de fltragem de baas freqüêncas. 5 Fgra : Matrz de números após do processo de fltragem de baas freqêncas.. 5 Fgra 5: Padrão de neção de corrente dametral. Eletrodos com a mesma cor correspondem a m determnado par de eletrodos onde é netada corrente para determnado connto de meddas. A fgra poss eletrodos com oto dferentes cores cada cor representa m arrano de neção de corrente Fgra 6: Padrão de neção de corrente adacente. Cada número representa m arrano de neção de corrente. As chaves por sa vez representam qas são os pares de eletrodos onde são realzadas as neções. Como é representado pela fgra para o padrão adacente são obtdos doze conntos de meddas Fgra 7: Prmera dstrbção de condtvdade tlzada para solção do problema nverso a regão em vermelho poss condtvdade gal a.m.c. e a regão de cor azl poss condtvdade gal a.m.c Fgra 8: Segnda dstrbção de condtvdade tlzada para solção do problema nverso a regão em vermelho poss condtvdade gal a.m.c. e a regão de cor azl poss condtvdade gal a.m.c

7 Fgra 9: Solção analítca para o PVC apresentada em ma malha 5 5 pontos Fgra : Solção nmérca para o PVC calclada em ma matrz 5 5. A) Solção tlzando o estêncl de cnco pontos; B) solção tlzando o estêncl de nove pontos Fgra : Erro relatvo percental calclado em cada ponto da matrz 55 tlzando as solções nmérca e analítca do PVC. A) Erro para a solção tlzando o estêncl de cnco pontos; B) erro para solção tlzando o estêncl de nove pontos Fgra : Solção analítca para o PVC apresentada em ma matrz Fgra : Solção analítca para o PVC calclada em ma matrz 5 5. A) Solção tlzando o estêncl de cnco pontos; B) Solção tlzando o estêncl de nove pontos Fgra : Erro relatvo percental calclado em cada ponto da matrz 55 tlzando as solções nmérca e analítca do PVC. A) Erro da solção nmérca tlzando a apromação com estêncl de cnco pontos; B) Erro da solção nmérca tlzando a apromação com estêncl de nove pontos Fgra 5: Solção analítca para o PVC apresentada em ma matrz Fgra 6: Solção nmérca para o PVC calclada em ma matrz 5 5. A) Solção tlzando o estêncl de cnco pontos; B) solção tlzando o estêncl de nove pontos Fgra 7: Erro relatvo percental calclado em cada ponto da matrz 55 tlzando as solções nmérca e analítca do PVC. A) Erro da solção nmérca tlzando a apromação com estêncl de cnco pontos; B) erro da solção nmérca tlzando a apromação com estêncl de nove pontos Fgra 8: Solção analítca para o PVC apresentada em ma matrz Fgra 9: Solção nmérca para o PVC calclada em ma matrz. A) Solção tlzando o estêncl de cnco pontos; B) solção tlzando o estêncl de nove pontos Fgra : Erro relatvo percental calclado em cada ponto da matrz tlzando as solções nmérca e analítca do PVC. A) Erro da solção nmérca tlzando a apromação com estêncl de cnco pontos; B) Erro da solção nmérca tlzando a apromação com estêncl de nove pontos Fgra : Solção do problema dreto tlzando o padrão adacente de neção de correntes tlzando o estêncl de cnco e nove pontos para as matrzes e. As regões em azl e em vermelho nos gráfcos são as regões onde estão localzados os eletrodos de neção de corrente

8 Fgra : Gráfcos do perfl do potencal traçado na regão onde estão posconados os eletrodos de neção para a matrz e. A) Gráfco traçado tlzando a apromação (); B) gráfco traçado tlzando a apromação (). 68 Fgra : Solção nmérca do problema dreto tlzando matrzes e para as apromações (9) () e (). As regões em azl e em vermelho nos gráfcos são as regões onde estão localzados os eletrodos de neção de corrente Fgra : Gráfcos do perfl do potencal traçado na regão onde estão posconados os eletrodos de neção para a matrz e. A) Gráfco traçado tlzando a apromação (9); B) gráfco traçado tlzando a apromação (); gráfco traçado tlzando a apromação () Fgra 5: Comparação entre as solções nmércas para m domíno com dstrbção de condtvdade homogênea gal.m.c. e otro com dstrbção de condtvdade heterogênea gal a da Fgra para todos os tamanhos de matrz Fgra 6: Comparação entre as solções do problema nverso para m domíno com dstrbção de condtvdade gal à da Fgra 5. A) reglarzação do problema nverso medante a aplcação do fltro gassano e a mltplcação da matrz M N M N ; B) reglarzação do problema pela matrz de condtvdade k nverso somente através da aplcação do fltro gassano Fgra 7: Solções obtdas para das dferentes reglarzações com crtéro de parada de -6 (.m.p)² e representação da dstrbção de condtvdade do domíno reconstrído. A) reconstrção tlzando a reglarzação ; B) dstrbção de condtvdade do domíno; C) reconstrção tlzando a reglarzação Fgra 8: Comparação entre as solções do problema nverso para m domíno com dstrbção de condtvdade gal à da Fgra 6. A) reglarzação do problema nverso medante a aplcação do fltro gassano e a mltplcação da matrz M N M N ; B) reglarzação do problema pela matrz de condtvdade k nverso somente através da aplcação do fltro gassano /:Fgra 9: Solções obtdas para das dferentes reglarzações com crtéro de parada de -6 (.m.p)² e representação da dstrbção de condtvdade do domíno reconstrído. A) reconstrção tlzando a reglarzação ; B) dstrbção de condtvdade do domíno; C) reconstrção tlzando a reglarzação Fgra : Comparação entre as solções do problema nverso para m domíno com dstrbção de condtvdade gal a da Fgra 5. A) Utlzando T ; B) tlzando T Fgra : Comparação entre as solções do problema nverso para m domíno com dstrbção de condtvdade gal a da Fgra 6. A) Utlzando T ; B) tlzando T.... 8

9 Fgra : Solções obtdas para o domíno da Fgra 5 tlzando três dferentes valores para T com crtéro de parada de -6 (.m.p)² e representação da dstrbção de condtvdade do domíno reconstrído. A) reconstrção tlzando T ; B) reconstrção tlzando T ; C) reconstrção tlzando T ; D) dstrbção de condtvdade do domíno Fgra : Solções obtdas para o domíno da Fgra 6 tlzando três dferentes valores para T com crtéro de parada de -6 (.m.p)² e representação da dstrbção de condtvdade do domíno reconstrído. A) reconstrção tlzando T ; B) reconstrção tlzando T ; C) reconstrção tlzando T ; D) dstrbção de condtvdade do domíno Fgra : solções do problema nverso tlzando o padrão adacente de neção de corrente. A) Para m domíno com dstrbção de condtvdade gal à da Fgra 5. B) Para m domíno com dstrbção de condtvdade gal à da Fgra Fgra 5: Solções obtdas para dos dferentes padrões de neção de corrente com crtéro de parada de -6 (.m.p) ² e representação da dstrbção de condtvdade do domíno (Fgra 5). A) reconstrção tlzando o padrão dametral de neção de corrente; B) dstrbção de condtvdade do domíno; C) reconstrção tlzando o padrão adacente Fgra 6: Solções obtdas para dos dferentes padrões de neção de corrente com crtéro de parada de -6 (.m.p) ² e representação da dstrbção de condtvdade do domíno reconstrído (Fgra 6). A) reconstrção tlzando o padrão dametral de neção de corrente; B) dstrbção de condtvdade do domíno; C) reconstrção tlzando.o padrão adacente... 86

10 RESUMO SANTANA MARTINS Jefferson. Desenvolvmento de m Algortmo para Reconstrção de Imagens Utlzando a Técnca de Tomografa por Impedânca Elétrca. Porto Alegre.. Dssertação de mestrado. Programa de Pós-Gradação em Engenhara e Tecnologa de Materas PONTIFÍCIA UNI- VERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL. Este trabalho faz m estdo matemátco para solção do problema de reconstrção de magens da Tomografa por Impedânca Elétrca. Nesta técnca são posconados eletrodos no contorno/frontera de m volme a ser estdado. Em dos deles são netados padrões de correntes e nos eletrodos restantes são meddos potencas e correntes elétrcas. Através desses dados é possível estmar a condtvdade o resstvdade elétrca no nteror da regão avalada formando assm ma magem da mesma tlzando sas propredades elétrcas. Para fazer esta estmatva é necessáro resolver dos problemas m deles chamado de problema dreto e o otro de problema nverso. O problema dreto consste na solção da eqação generalzada de Laplace a qal rege o potencal no nteror da regão. Para sso são tlzados métodos nmércos como o Método dos Elementos Fntos o Método dos Elementos de Contorno o anda o Método das Dferenças Fntas qe é o método tlzado nesse trabalho. Através da solção do problema dreto e das meddas dos potencas no contorno é resolvdo o problema nverso. Nesse processo os potencas calclados e meddos são colocados dentro de m fnconal de erro e bsca-se a dstrbção de condtvdade qe mnmza o valor desse fnconal. Para sso são tlzados métodos de mnmzação tal como o método de recozmento smlado tlzado neste trabalho. Esse método por sa vez mostro-se capaz de resolver o problema nverso da Tomografa por Impedânca Elétrca. Palavras-chaves: Tomografa por Impedânca Elétrca Métodos Nmércos Imageamento Não nvasvo.

11 ABSTRACT SANTANA MARTINS Jefferson. Development of an Algorthm for Image Reconstrcton Usng the Technqe of Electrcal Impedance Tomograph. Porto Alegre.. Master s thess. Postgradate Program n Materals Engneerng and Technolog PONTIFICAL CATHOLIC UNIVERSITY OF RIO GRANDE DO SUL. Ths work makes a mathematcal std amng to solve the problem of mage's reconstrcton n Electrcal Impedance Tomograph. In ths mage technqe electrodes are postoned on the bondar/border of a volme to be stded. In two of them patterns of crrents are "nected" and n the remanng electrodes electrc potentals are measred. Throgh these data t s possble to estmate the electrcal condctvt or resstvt wthn the regon assessed ths formng an mage of t sng ts electrcal propertes. In order to establsh ths estmate t s necessar to solve two problems: the forward and the nverse problem. The forward problem conssts n solvng the generalzed Laplace eqaton whch governs the potental wthn the stded regon. To accomplsh that nmercal methods are sed sch as the Fnte Element Method the Bondar Element Method or the Fnte Dfference Method whch was the method sed n ths work. B solvng the forward problem and the measrements of the potental contor the nverse problem s solved. In ths process the potental s calclated and measred vales of potental are placed n an error fnctonal and the dstrbton of condctvt that mnmzes the vale of ths fnctonal s searched. A Mnmzaton procedre known as smlated annealng appled to the fnctonal can to resolve the Electrcal Impedance Tomograph's nverse problem. Ke-words: Electrcal mpedance tomograph nmercal methods non-nvasve magng.

12 . INTRODUÇÃO A técnca de tomografa por mpedânca elétrca (TIE) é m método de mageamento não nvasvo onde são tlzadas nformações elétrcas de m obeto para formar magens de ma seção transversal do se nteror. Por propredades elétrcas se entende especfcamente a condtvdade e a permssvdade elétrca. Assm sendo no processo de obtenção de magens por TIE é necessáro alocar eletrodos no contorno de ma determnada regão do obeto em connto com ma fonte de corrente. A fonte de corrente por sa vez tlza dos dos eletrodos alocados no contorno para netar corrente no nteror do domíno e através das meddas dos potencas elétrcos realzadas nos demas eletrodos obter magens de m plano transversal do corpo onde cada pel da magem representa m valor estmado da mpedânca o condtvdade desse corpo em determnada posção do plano transverso analsado. Uma das vantagens apresentadas pela TIE pelo menos do ponto de vsta teórco está relaconada a m possível ganho de contraste da magem em relação a otras técncas de mageamento não nvasvo como a tomografa comptadorzada a qal tlza raos X para obtenção de magens. Isso pode ser compreenddo ao ser comparada a condtvdade elétrca ao coefcente de atenação de raos X para algns tecdos do corpo hmano. Ao ser confrontada a condtvdade do osso com a condtvdade dos músclos e do sange nota-se qe a condtvdade do prmero é das ordens de grandeza menor qe a condtvdade dos otros dos. Fazendo a mesma comparação em relação ao coefcente de atenação de raos X para os mesmos tecdos a dferença não passa de ma ordem de grandeza (MENIN 9). O coefcente de atenação de raos X é a grandeza responsável pelo contraste em magens prodzdas por tomografa comptadorzada convenconal.

13 Otras vantagens da TIE são a sa portabldade a sa facldade de mantenção e o preço do eqpamento para obtenção das magens. De forma efetva m tomógrafo por mpedânca elétrca consste bascamente de ma fonte de ectação (corrente o tensão) de eletrodos e de m comptador. O sstema é peqeno e pode ser nstalado mesmo em locas com poco espaço. Em relação ao valor do eqpamento estmatvas apontam para m bao csto do tomógrafo por mpedânca elétrca em comparação a m tomógrafo comptadorzado por raos X (AGUILAR 9). Além dsso por não tlzar radação onzante o eqpamento de TIE pode ser mantdo conectado a pacentes o amostras por longos períodos de tempo sem apresentar danos aos mesmos nem a terceros. Entretanto apesar dessas vantagens a TIE necessta anda melhorar a resolção espacal das magens prodzdas e dmnr o tempo comptaconal necessáro para fazer a reconstrção das magens devdo à compledade dos algortmos tlzados. As prncpas aplcações da TIE estão relaconadas à sa capacdade de prodzr magens do nteror de obetos. Assm sendo estem dversas áreas em qe ela pode ser aplcada tas como: Medcna Geofísca Cêncas Ambentas Qímca Engenhara e em testes não destrtvos em materas. Na Medcna é possível destacar: a detecção de êmbolos em plmões o montoramento de apnéa o montoramento da fnção esofágca e gastrontestnal o montoramento do flo sangíneo do coração e a detecção de câncer. Em Geofísca e em Cêncas Ambentas a TIE é útl para localzação de depóstos mneras localzação de mnéros sbterrâneos montoramento de flos de fldos netados na terra na etração de petróleo e para detecção de vazamentos em tanqes de armazenamento sbterrâneo. Na Qímca a TIE pode ser empregada para o acompanhamento de reações em recpentes fechados o no flo de reagentes. Em Engenhara pode ser tlzada a técnca de TIE para acompanhar o flo de gases líqdos o bolhas no nteror de encanamentos fechados. Em testes não destrtvos a TIE pode ser aplcada na detecção de corrosão e peqenas fssras o vazos em metas (AGUILAR 9). Do ponto de vsta matemátco os algortmos tlzados para reconstrção de magens para TIE devem resolver m problema nverso mal condconado e qe apresenta grande sensbldade em relação a rídos epermentas

14 e erros nmércos. Na maora das abordagens tlzadas a reconstrção de magens da TIE pode ser dvdda em das etapas. A prmera delas bsca resolver o chamado problema dreto da TIE. Nele tenta-se calclar os potencas no contorno e no nteror do domíno a partr do valor da corrente netada e de ma dstrbção de condtvdade qalqer. A segnda etapa pretende resolver o problema nverso da TIE o qal corresponde à determnação da dstrbção condtvdade no nteror da regão avalada a partr das meddas realzadas no contorno da regão e dos potencas calclados na solção do problema dreto (HERRERA 7). Bscando colaborar para o desenvolvmento de m eqpamento de TIE este trabalho desenvolve estdos nmércos aplcados na solção do problema dreto e propôs e testo ma solção para o problema nverso de reconstrção de magens tlzando essa técnca. Este trabalho está vnclado a m proeto de pesqsa o qal pretende prodzr magens de depóstos sedmentares em tanqes de sedmentação de materas de nteresse geológco. A dsposção dos eletrodos no tanqe de deposção constrído para os testes e smlação poss geometra retanglar. Por sso para a solção do problema dreto tendo em vsta a sa smplcdade do ponto de vsta matemátco e ses bons resltados para geometra retanglar fo tlzado o Método das Dferenças Fntas (MDF). Para a solção do problema nverso fo escolhda ma técnca de mnmzação qe tlza ensaos aleatóros. Neste grpo de técncas a bsca pelo ponto de mínmo é realzada de forma seqencal tlzando varações aleatóras da condtvdade. Entre aqelas técncas onde são empregados ensaos aleatóros fo tlzada a técnca de recozmento smlado (smlated annealng) porqe esta técnca consege convergr para mínmos globas mesmo sem ma boa apromação ncal para a dstrbção de condtvdade no domíno avalado. Este trabalho começa por ma breve descrção do problema dreto e nverso da TIE. Logo após é apresentado m modelo teórco responsável por modelar o potencal no nteror do domíno avalado sendo de vtal mportânca

15 5 para solção do problema dreto. Em segda é apresentado o MDF e sa aplcação ao problema dreto da TIE. Sendo qe prmeramente ele é aplcado para apromar a solção do problema dreto em m domíno retanglar com condtvdade constante e a segr ele é aplcado para calclar a dstrbção do potencal em m domíno com condtvdade varável. Para sso foram apresentadas e comparadas três dferentes eqações ma da lteratra e das propostas pelo ator. Por últmo é abordado o problema nverso sendo eplcada e aplcada a técnca de recozmento smlado. Ela por sa vez fo tlzada para nferr a dstrbção de condtvdade em dos domínos fctícos crados comptaconalmente.

16 6. OBJETIVOS Realzar estdos nmércos com obetvo de contrbr para solção do problema dreto da Tomografa por Impedânca Elétrca e ndcar possbldades para solção do se problema nverso.. Obetvos Específcos. Resolver o problema dreto da TIE para m domíno com dstrbção de condtvdade homogênea;. Resolver o problema dreto da TIE para m domíno com dstrbção de condtvdade heterogênea;. Propor ma solção para o problema nverso da TIE;. Desenvolver m algortmo matemátco qe mplemente a solção do problema nverso proposto.

17 7. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA A revsão bblográfca deste trabalho fo dvdda em qatro partes. Na prmera parte é apresentada ma ntrodção à TIE. Posterormente é realzada a eposção do modelo teórco necessáro para a solção do problema dreto. Em segda tlzando o Método das Dferenças Fntas foram abordadas três apromações para a eqação generalzada de Laplace. Para fnalzar é proposta ma solção para o problema nverso da TIE tlzando o método de recozmento smlado.. Introdção a TIE A TIE é ma técnca de mageamento não nvasvo onde são prodzdas magens através do mapeamento da condtvdade o permssvdade elétrca do nteror de ma regão de nteresse medante a neção de corrente elétrca e meddas de potencas no contorno da regão. Para fazer a neção de corrente no domíno e a medda dos potencas no se contorno é necessáro dspor eletrodos na frontera da seção reta onde se desea prodzr a magem. A corrente aplcada no contorno obedece a certo padrão de ectação este padrão pode ser adacente o dametral. No padrão adacente a corrente é aplcada tlzando dos eletrodos vznhos. Já no padrão dametral a corrente é aplcada em dos eletrodos em posções dametralmente opostas (LIMA 6). As Fgras e são representações desses dos procedmentos de obtenção de dados epermentas para TIE.

18 8 Fgra : Padrão adacente de neção de corrente elétrca no domíno. Etraído de: TRIGO 6. Fgra : Padrão dametral de neção de corrente elétrca no domíno. Etraído de: TRIGO 6. Nos dos casos os potencas elétrcos são meddos nos eletrodos restantes efetando a medda sempre em pares de eletrodos adacentes com eceção dos pares formados pelos eletrodos de neção da corrente. Para m total de N eletrodos posconados no contorno da regão de nteresse são obtdas N N e N N meddas ndependentes de potencas para as confgrações adacente e dametral respectvamente. Estem otras confgrações com múltplas fontes de correntes qe netam corrente e medem poten-

19 9 cas em todos os eletrodos smltaneamente. No entanto nesse trabalho serão tratados apenas esses dos casos (BEVILACQUA ). Do ponto de vsta epermental m crcto eletrônco se encarrega de dstrbr as correntes pelos eletrodos e medr as dferenças de potencal. Os dados das meddas são passados a m comptador qe tlzando m algortmo adeqado pode fazer a estmatva da dstrbção de condtvdade (o resstvdade) no plano avalado. A cada ponto da regão medda é assocado m pel o qal corresponde ao valor da condtvdade estmada (LIMA 6). Os algortmos qe fazem a reconstrção das magens de TIE resolvem bascamente dos problemas matemátcos: o problema dreto e o problema nverso. De modo geral os problemas dretos envolvem a determnação de m efeto a partr de ma casa conhecda (CEZARO 6). No caso especfco da TIE o problema dreto envolve a determnação dos potencas no nteror da regão avalada e da resposta no contorno spondo conhecda a dstrbção da condtvdade o da permssvdade no nteror (MENIN 9). No entanto na TIE não se conhece a dstrbção da mpedânca elétrca do materal no nteror da regão. As úncas nformações dsponíves são as de ectação (neção de corrente elétrca no domíno) e as de resposta (meddas de potencas elétrcos no contorno) por sso para fazer a reconstrção de magens tlzando a TIE também é necessáro resolver m segndo problema o chamado problema nverso. Problemas nversos são problemas onde são determnadas casas a partr de efetos (CEZARO 6). No caso da TIE o se problema nverso procra a partr dos dados de ectação e resposta determnar a dstrbção da mpedânca o condtvdade elétrca no nteror de ma regão de nteresse (MENIN 9). A solção do problema dreto da TIE é de etrema mportânca para a solção do problema fndamental de reconstrção de magens tlzando esta Efetos nm modelo matemátco são as propredades calcladas a partr de m modelo dreto como o campo de temperatra concentração de partíclas corrente elétrca - etc. (Problemas dretos e nversos). Casas nm modelo matemátco são as condções ncas e de contorno termos de fontes/smdoros e propredades do sstema (materal). (Problemas dretos e nversos).

20 técnca o chamado problema nverso. Por sso é necessáro tecer algns comentáros sobre a relação estente entre esses dos problemas. A abordagem fnconal mas tlzada para fazer a resolção do problema nverso bascamente faz a comparação de dados obtdos a partr de dos modelos dferentes m nmérco resolvdo comptaconalmente e otro epermental obtdo a partr de meddas reas (MENIN 9). O modelo nmérco faz stamente a solção do problema dreto o qal deve prodzr ma solção ao mesmo tempo precsa e qe não necesste de grande poder comptaconal tendo em vsta a necessdade de prodzr ma magem de qaldade em crto espaço de tempo. No caso específco deste trabalho o tempo de processamento tem prordade menor em comparação com a resolção da magem. A comparação entre os dados nmércos e epermentas é realzada na maora das vezes medante a cração de m fnconal do erro capaz de avalar a dferença entre as nformações obtdas pelos dos modelos. Este deve ser mnmzado através de m processo de otmzação tas como os Algortmos Genétcos o Método de Otmzação Topológca e/o o Smlated Annealng (MENIN 9). A segr será apresentado o modelo nmérco qe fo tlzado neste trabalho capaz de modelar a dstrbção de potencal no domíno consderando dstrbções de condtvdades não homogêneas.. Modelagem do Problema Dreto Esta parte do trabalho nca a abordagem teórca necessára para fazer a apromação da solção do problema dreto da TIE. Sendo assm ncalmente fo defnda a regão a ser avalada a qal será tlzada para constrr a solção nmérca. Ela por sa vez será aq representada pelo símbolo Ω e é ma regão bdmensonal com contorno. Por sa vez é possível dvdr em das partes e de modo qe. Essa dvsão do contorno é necessára para separar os dados de ectação e resposta. A Fgra lstra o domíno analsado.

21 Fgra : Regão avalada. O problema dreto da TIE envolve a determnação da dstrbção dos potencas no nteror de Ω e a resposta em spondo conhecda a dstrbção da condtvdade. A modelagem matemátca desse problema é realzada consderando ma sperfíce com dstrbção de condtvdade dependente apenas das coordenadas de posção e spondo qe esta regão apresenta característcas pramente condtvas. Com sto é obtda ma eqação dferencal parcal capaz de modelar o potencal em Ω sa dedção pode ser vsta no aneo A e ela é apresentada a segr:. no nteror de Ω () Onde é o potencal e é a condtvdade elétrca em m ponto qalqer no nteror da regão. Como á menconado a TIE é ma técnca qe constró magens de ma determnada regão através da estmatva das propredades elétrcas dessa regão em cada ponto do domíno analsado. A grandeza responsável por fazer esta estmatva é a mpedânca elétrca. Propredades elétrcas tas como a mpedânca elétrca e a permssvdade elétrca determnam o comportamento de materas qando sbmetdos a campos elétrcos eternos. A mpedânca elétrca é o nverso da admtânca a qal é representada por m número compleo onde a parte real é dada pela

22 condtvdade elétrca e a parte magnára é dada pela freqênca anglar da corrente elétrca mltplcada pela permssvdade do meo como mostrado na eqação a segr: ( ) ( ) ( ) () Onde σ é a condtvdade ω é a freqüênca anglar da corrente netada e ε é a permssdade elétrca do meo. Sendo assm teorcamente sera possível constrr m modelo teórco consderando a condtvdade apresentada por Ω a qal sera tlzada para prodzr magens. Estas magens seram formadas a partr da estmatva do valor da condtvdade em cada ponto analsado do domíno. De otro modo também podera ser constrído m modelo levando em consderação apenas a permssvdade do meo. Logo magens prodzdas por esse modelo seram ma estmatva da permssvdade apresentada em cada ponto analsado do domíno. Esses dos modelos podem ser tlzados separados o conntamente para prodzr magens de m determnado domíno. No entanto como pode ser observado através da eqação () neste trabalho o modelo teórco consdera Ω ma regão pramente condtva desse modo só a condtvdade está sendo levada em consderação. Este ma nfndade de fnções qe satsfazem a eqação (). Por sso para determnar ma solção para essa eqação dferencal parcal (EDP) é necessáro adconar condções de contorno (CC) as qas para o problema da TIE correspondem aos valores de correntes/potencas aplcados e meddos no contorno. Matematcamente elas correspondem às segntes epressões: em Ω (Condção de contorno de Drchlet) () J n em Ω (Condção de contorno de Nemann) () n Onde é o potencal no contorno da regão n é m versor normal à sperfíce do obeto e J n é o flo de corrente na dreção do versor n.

23 Na epressão () é dado o valor da varável de nteresse (potencal) no contorno essa condção de contorno é chamada de CC de Drchlet. Na epressão () em vez da varável de nteresse é dada a sa dervada na dreção normal ao contorno essa CC é chamada de CC de Nemann. O problema dreto pode assm ser defndo matematcamente como a solção da eqação () para a condção de contorno formada pelas epressões () e (). A resolção do problema dreto na maora dos casos não pode ser realzada de forma analítca por sso são tlzados métodos nmércos de dscretzação para a sa solção (MENIN 9). Entre eles algns dos mas tlzados são: o Método das Dferenças Fntas (MDF) o Método dos Elementos Fntos (MEF) e o Método dos Elementos de Contorno (MEC) (MENIN 9). A segr será apresentada ma descrção smplfcada do MDF bem como m eemplo tlzando este método para apromar a solção de ma eqação dferencal parcal com valores de contorno.. O Método das Dferenças Fntas Os métodos nmércos são ntrodzdos para resolção de problemas compleos qe não possem solção analítca. Tratando especfcamente do MDF este é tlzado há mtas décadas em engenhara para resolção de dferentes tpos de problemas. Ele é m dos métodos nmércos mas tlzados entre otros motvos pela efcênca dos ses algortmos ma vez qe é possível obter formlações eplíctas qe não necesstam de resolção de sstemas algébrcos o nversão de matrzes sendo por sso o método mas tlzado qando se trata de problemas qe envolvam malhas com grande número de nós (BARTOLO ). Além dsso o MDF poss maor facldade de mplementação comptaconal e maor smplcdade matemátca em comparação com otros métodos nmércos como MEF sem no entanto perder em precsão em relação às respostas fornecdas (BARTOLO ). Bascamente a essênca dos métodos nmércos está na dscretzação do contíno. É essa dscretzação qe torna fnto m problema vablzando a sa solção através da tlzação de comptadores (CUNHA ). Por sso

24 como anterormente menconado para prodzr ma solção nmérca ncalmente é necessáro dscretzar a regão onde a solção é procrada. Nesse passo será defnda ma malha qe é m número fnto de pontos freqentemente chamados de nós da malha (CUNHA ). No MDF o domíno é dscretzado na forma de retânglos o qadrados como mostra a Fgra 5. Fgra : Dscretzação do domíno avalado. Etraído de: SILVA NETO et al. 9. Utlzando ma malha retanglar como a da fgra acma dvdda em ntervalos defndos por N e N M onde N e M são números nteros M postvos qe representam o número de dvsões do domíno na coordenada e respectvamente (CARNAHAN et. al. 969). Portanto o ponto nodal poss as coordenadas dadas por e. O número mámo de lnhas em é denotado por ma N e o número total de lnhas em é denotado por M ma. No MDF o segndo passo consste em dscretzar as dervadas presentes na eqação dferencal. a: Consderando a condtvdade constante em Ω a eqação () se redz

25 5 (Eqação de Laplace) (5) Fazendo a epansão por séres de Talor da fnção à dreta e à esqerda do ponto são obtdas as segntes eqações:...!! h h h h (6) e...!! h h h h (7) Somando (6) e (7) e eplctando a dervada de segnda ordem de em relação à é obtdo: ) ( O (8) Segndo o mesmo racocíno para a coordenada em : ) ( O (9) Sbsttndo (8) e (9) em () é obtda a segnte eqação: ) ( ) ( O O () Consderando h e solando na eqação (): O h () Para lstrar a tlzação do MDF ao fazer a apromação da solção de eqações dferencas com dados de contorno o método fo aplcado à solção de m problema de condção de calor essa solção é mostrada no Aneo B.

26 6 Como ma alternatva para a apromação () o potencal no nteror de Ω pode também ser apromado através da eqação () mostrada a segr reprodzda do trabalho de Adams Levege & Yong (988). O h 6 () A eqação () poss maor acráca em comparação à eqação (). A prncpal dferença entre as das está relaconada ao tamanho do estêncl tlzado para apromação do potencal no ponto. O tamanho do estêncl depende bascamente da qantdade de pontos empregados para apromação. Na eqação () a apromação do potencal é realzada através do cálclo da méda dos potencas nos qatro pontos mas prómos ao ponto. O estêncl tlzado na eqação () por relaconar o potencal de cnco pontos no nteror do domíno Ω é chamado de estêncl de cnco pontos. A eqação () por sa vez emprega os oto pontos mas prómos para fazer a apromação do potencal em o sea relacona o potencal de nove dferentes pontos do domíno dscretzado. Por sso o estêncl empregado pela eqação () é chamado de estêncl de nove pontos. A Fgra 6 apresentada a segr mostra o estêncl tlzado pela eqação () e pela eqação () A B Fgra 5: A) Estêncl de cnco pontos; B) Estêncl de nove pontos. Caso sea necessáro apromar a solção de m PVC com CC de Nemman o de Cach também é necessáro dscretzar a dervada na dreção normal à sperfíce.

27 7 Uma dervada dreconal é defnda como o prodto escalar do gradente de por m versor neste caso m versor normal à sperfíce de Ω como mostra a defnção matemátca dada a segr: n n D n () onde n é m versor normal à sperfíce. A apromação por dferenças fntas das dervadas de prmera ordem presentes em () depende do gra de precsão escolhdo. Estem dversas maneras de fazê-lo no entanto neste trabalho foram tlzadas apenas das dferentes apromações para o contorno. Uma dessas apromações pode ser obtda tlzando ma epansão por séres de Talor da fnção () a esqerda do ponto :...!! h h h h () Utlzando a eqação (6) até o tercero termo à dreta da galdade e solando ( ) é obtda a segnte apromação para dervada parcal em relação à no ponto : ) ''( (5) Fazendo na eqação (5) ) '( ' O é obtda a segnte apromação para : O (6) Logo por smetra: O (7)

28 8 Sbsttndo (6) em () omtndo o termo do erro assocado a apromação e tlzando a mesma apromação para a coordenada a eqação () torna-se: n D n (8) fazendo o mesmo para (7) n D n (9) A otra apromação por dferenças fntas tlzada neste trabalho para fazer a apromação das dervadas dreconas no contorno fo etraída do lvro Mathematcs and Algorthms (http://reference.wolfram.com/mathematca/ttoral/ndsolvepde.html) ela é apresentada a segr: O () Logo por smetra O () Sbsttndo () em () omtndo o termo do erro assocado a apromação e tlzando a mesma apromação para a coordenada a eqação () tornase: n D n ()

29 9 Sbsttndo () em () e tlzando a mesma apromação para a coordenada é obtda a segnte epressão: n D n () O vetor ntáro n em coordenadas cartesanas é defndo como sen n cos onde é o ânglo entre n e o eo da coordenada no plano. Para a solção do problema dreto da TIE é necessáro consderar anda a varação da condtvdade no domíno. Portanto para apromar a solção do problema dreto pelo MDF é necessáro fazer a dscretzação da eqação (). Isso pode ser realzado como eposto a segr:.. () Eplctando os operadores nabla e laplacano temos:. (5) Dvdndo os dos lados da eqação por σ e calclando o prodto escalar fcamos com (6) Isolando o termo à dreta da eqação chegamos a (7)

30 Dscretzando os dos lados da eqação por dferenças fntas tlzando as segntes apromações para as dervadas de prmera ordem O h O h e fazendo é obtda a segnte epressão: O h (8) Isolando e omtndo o termo do erro assocado a apromação vemos qe: 6 (9) A eqação (9) qando aplcada a m domíno com dstrbção de condtvdade homogênea se redz a eqação (). Neste trabalho foram testadas anda otras das dferentes apromações para o potencal elétrco para regões com condtvdade heterogênea. Uma dessas apromações fo etraída do trabalho de Km & Lee (5). Assm como a eqação (9) esta eqação se redz a eqação () em m domíno com condtvdade homogênea como pode ser observado abao: () Onde e são os valores da condtvdade em pontos localzados centralmente entre os pontos e e e e e respectvamente. A condtvdade nesses pontos pode ser obtda através do cálclo da méda harmônca da condtvdade entre As mesmas apromações foram tlzadas para apromar e é realzada apenas a troca da varável pela varável.

31 as regões adacentes avaladas. Portanto a condtvdade no ponto médo entre os pontos b a e o ponto sendo a e b números nteros qasqer é dada por: b a b a b a () Além das eqações () e (9) tlzando a eqação () e a própra apromação () fo proposta ma tercera eqação para apromar o potencal nma regão com condtvdade heterogênea. Como á menconado a eqação () aproma o potencal em m ponto tlzando os oto pontos adacentes mas prómos a ele (estêncl de nove pontos). No entanto fazendo algmas manplações em () é possível mostrar qe ela na realdade é ma combnação de das apromações por dferenças fntas com estêncl de cnco pontos. Para demonstrar essa afrmação é necessáro rearranar a eqação () como mostrado a segr: () O prmero termo a dreta da galdade é dêntco à eqação () mltplcada pelo número enqanto o segndo termo à dreta do snal de galdade é ma segnda apromação por dferenças fntas com estêncl de cnco pontos. A segr é apresentada ma representação esqemátca mostrando como pode ser obtda a eqação () a partr da soma de das apromações por dferenças fntas com estêncl de cnco pontos.

32 Fgra 6: Esqema mostrando qe a eqação () é soma de das apromações por dferenças fntas com estêncl de cnco pontos. Partndo das observações epostas no esqema acma é possível propor ma nova apromação por dferenças fntas para o potencal em ma regão com condtvdade heterogênea. Para tal a eqação no nteror do grande retânglo vermelho da Fgra 7 (eqação ()) deve ser sbsttída pela eqação (). Além dsso a segnda eqação localzada no nteror do grande retânglo azl da Fgra 7 deve ser sbsttída por ma apromação análoga a essa para ma regão com condtvdade heterogênea. Essa eqação fo obtda através de ma comparação com a eqação (). Ela é apresentada a segr: () Fazendo as sbsttções na eqação () e solando é obtda a segnte epressão:

33 5 5 () É nteressante observar qe a eqação () qando aplcada a ma dstrbção de condtvdade homogênea se redz a eqação (). Antes de termnar este capítlo é mportante tecer algns comentáros a respeto do erro assocado às apromações por dferenças fntas até o momento epostas. Para cada apromação tanto para dervada de prmera qanto para dervada de segnda ordem prodzdas tlzando dferenças fntas este certo erro assocado. Este erro está relaconado à qantdade de termos da sére de Talor tlzados para fazer a apromação. Por eemplo para chegar até eqação (8) foram empregados os três prmeros termos da sére de Talor. Desse modo o tercero termo da sére dado por! h é o termo qe defne a ordem de grandeza do erro assocado à apromação prodzda; nesse caso o erro é da ordem de h. O conhecmento do erro por sa vez é deveras mportante prncpalmente para aqeles PVCs qe possem condções de contorno do tpo Nemann. Esse conhecmento é necessáro porqe não é adeqado tlzar apromações mas precsas como a apromação () conntamente com otras de menor precsão como a apromação (). Por sso nesta dssertação para a apromação da solção do problema dreto e de m PVC com condções de contorno de Nemann foram tlzadas apenas determnadas combnações de eqações. As escolhas das apromações do contorno e para o nteror da regão avalada serão eplcadas na Metodologa do presente trabalho. A segr será apresentada ma ntrodção ao problema nverso da TIE em connto com ma proposta para sa solção.. Problema Inverso O problema nverso da TIE bsca obter ma apromação para a condtvdade no nteror de Ω a partr das meddas dos potencas elétrcos no con-

34 torno da regão de nteresse. Este problema é dfícl de ser resolvdo porqe é não lnear e prncpalmente é mal condconado. Ser mal condconado sgnfca qe grandes mdanças de condtvdade no nteror de Ω prodzem peqenas varações nos valores das dferenças de potencal meddas no contorno. Esse fato faz da TIE ma técnca de mageamento etremamente sensível a erros de meddas e rídos epermentas (MENIN 9). A solção do problema nverso geralmente é ncada através da solção do problema dreto a partr de ma dstrbção de condtvdade ncal arbtrára. Os potencas calclados no contorno pelo problema dreto são comparados aos potencas meddos através do cálclo da dferença qadrada entre ambos nas regões do contorno onde foram dspostos os eletrodos. Scessvamente o problema dreto é resolvdo até ser encontrada a dstrbção de condtvdade qe mnmza a dferença entre as meddas e os valores obtdos drante a smlação. Para procrar a dstrbção de condtvdade qe mnmza a dferença entre os potencas são tlzados métodos de otmzação. Na lteratra estem três conntos prncpas de métodos de otmzação: métodos determnístcos métodos estocástcos e métodos enmeratvos (SOARES 997). Os métodos de otmzação determnístcos geralmente calclam e tlzam dervadas e/o ma apromação do gradente para procrar o ponto de mínmo. Esses métodos apresentam grande velocdade de convergênca em comparação com otros métodos de otmzação. No entanto mtas vezes eles convergem para pontos de mínmos locas e não globas necesstando de ma apromação ncal acrada para atngrem o ponto de mínmo global do sstema (SOARES 997). O método dos mínmos qadrados é m dos métodos determnístcos empregados para solção do problema nverso da TIE como pode ser vsto no trabalho de Chene (99). Os métodos enmeratvos procram analsar todas as combnações de domínos possíves e a partr dsso encontrar aqela confgração do domíno qe otmza o valor da fnção de nteresse. O grande problema desses métodos é o tempo comptaconal necessáro para analsar todas as confgrações possíves de domíno prncpalmente qando ele for de grande dmensão e/o

35 5 dscretzado tlzando ma grande qantdade de pontos (SOARES997). Na lteratra não foram encontrados trabalhos tlzando métodos enmeratvos para solção do problema nverso da TIE. Os métodos estocástcos são aqeles qe empregam ensaos aleatóros para encontrar a dstrbção de condtvdade deseada. Estes métodos possem a desvantagem de convergrem para m mínmo de forma mas lenta em comparação aos métodos determnístcos. No entanto técncas pertencentes a esse grpo não necesstam de boas apromações ncas para atngrem mínmos globas. Na lteratra é comm encontrar trabalhos qe tlzam métodos baseados em ensaos aleatóros para solção do problema nverso da TIE. Dos métodos estocástcos commente tlzados são os algortmos genétcos e o recozmento smlado (smlated annealng) o prmero fo abordado no artgo de Olm et al. () e o segndo na dssertação de mestrado de Herrera (7). Os dos métodos foram testados conntamente no trabalho de Cheng e Chen (998). O método de recozmento smlado é m método herístco baseado nma analoga com o processo de recozmento físco. Bascamente esse método consste em obter os estados de mas baa energa de m sóldo através do aqecmento do sóldo até o se estado líqdo. Esse processo é então segdo por m processo de arrefecmento até o regresso do sóldo a temperatra ambente. Qanto maor a temperatra e menor a taa de arrefecmento ao fnal do processo mas prómo da estrtra crstalna de menor energa estará o sóldo (KIRKPATRICK GELATT E VECCHI98).. O recozmento smlado fo o método de otmzação escolhdo para solconar o problema nverso neste trabalho sso se deve a sa facldade de aplcação e prncpalmente a sa convergênca para mínmos globas e não locas. A segr é descrto com mas detalhes o método do recozmento smlado e a sa aplcação ao problema nverso da TIE.

36 6.5 Recozmento Smlado e o problema nverso da TIE Métodos baseados em ensaos aleatóros como forma de apromar o ponto ótmo de ma fnção chamaram a atenção da comndade centífca a partr de década de 6 (TAVARES E CORREIA 999). Qando não é conhecda a epressão analítca qe se desea otmzar parece ser ma va nttva ensaar pontos do domíno com o ntto de dentfcar pontos canddatos a pontos de otmzação (TAVARES E CORREIA 999). No problema nverso da TIE é necessáro mnmzar ma fnconal E onde σ é a condtvdade do domíno a qal é representada por ma matrz de tamanho N M. A solção desse problema tlzando a versão mas smples de m algortmo qe tlza ensaos aleatóros é realzada medante a tlzação do algortmo descrto a segr: ) Para ma determnada nteração k é necessáro gerar ma matrz de números aleatóros M N d com valores entre e ; ) Todos os valores da matrz M N d são mltplcados por m número real L chamado de passo gerando ma nova matrz M N ; ) É realzada a soma da matrz de condtvdade atal M N nteração k- pela matrz M N gerando ma nova matrz condtvdade M N ; k k obtda na ) É resolvdo o problema dreto tlzando a nova matrz de condtvdade M N ; k 5) Calcla-se o valor de E k ;

37 6) Se E k < E k é aceta a nova dstrbção de condtvdade M N senão é mantda a matrz condtvdade M N k é repetdo até esse satsfazer m crtéro de parada. k 7 e o processo O algortmo descrto acma (baseado em m algortmo descrto no lvro de Tavares e Correa (999)) é bastante semelhante ao algortmo costmeramente tlzado para mplementar o recozmento smlado. A únca dferença entre ambos é a adção de m termo eponencal defndor de ma probabldade P necessára para smlação do processo de recozmento físco. Assm qando ma nova confgração de condtvdade k é gerada como no algortmo anterormente eposto no recozmento smlado ela também será aceta se for melhor qe a confgração antecedente. No entanto esta nova confgração mesmo sendo por poderá também ser aceta no recozmento smlado. Isso dependerá do valor de m número aleatóro localzado no ntervalo entre e gerado a cada nteração k e do valor da probabldade P defnda pela eqação mostrada a segr: P e E E k C k k (5) Onde C k é m valor qalqer qe dmn com o amento de k (TAVA- RES E CORREIA 999). Fazendo algmas modfcações no algortmo apresentado na págna anteror adconando a smlação do processo de recozmento físco é obtdo o segnte algortmo: ) Para ma determnada nteração k é necessáro gerar ma matrz de números aleatóros M N d com valores entre e ; ) Todos os valores da matrz M N d são mltplcados por m número real L chamado de passo gerando ma nova matrz M N ;

38 ) É realzada a soma da matrz de condtvdade atal M N na nteração k- pela matrz M N gerando ma nova matrz condtvdade M N ; k k obtda 8 ) É resolvdo o problema dreto tlzando a nova matrz de condtvdade M N ; k 5) Calcla-se o valor de E k ; 6) É calclado o valor de C k defndo pela eqação C F( ) onde F(k) é ma fnção qalqer dependente de k; C k k 7) Calcla-se o valor de P através da eqação (); 8) É gerado m número aleatóro R entre e ; 9) Se E k < k E o R<P é aceta a nova dstrbção de condtvdade M N caso contráro é mantda a matrz condtvdade M N k processo é repetdo até esse satsfazer m crtéro de parada. e o k As partes sblnhadas do algortmo apresentado acma são aqelas necessáras para smlar o recozmento smlado. Mas detalhes sobre esse o smlated annealng podem ser encontrados em KIRKPATRICK GELATT E VECCHI (98). A aplcação desse algortmo para solção do problema nverso da TIE será mas bem dsctda na segnda parte da metodologa deste trabalho..

39 9. METODOLOGIA A metodologa desta dssertação fo dvdda em das partes. Na prmera é abordada a solção do problema dreto tlzando o MDF em geometra cartesana. Nessa parte também será eplcada a avalação das apromações tanto do ponto de vsta da precsão como também de aspectos relaconados à convergênca. Na segnda parte da metodologa o problema nverso é abordado sendo apresentados os testes e o método de otmzação tlzado para fazer a solção desse problema.. Problema Dreto Tendo em vsta o obetvo ncal deste trabalho de resolver o problema dreto da TIE foram mplementados dos algortmos no ambente vrtal Matlab capazes de solconar PVCs qe envolvam a Eqação de Laplace e a Eqação (). Esses algortmos foram desenvolvdos pelo ator com base em métodos nmércos dsponíves na lteratra (CUNHA ) onde algns algortmos para solção de PVCs tlzando o MDF são apresentados. Algns destes algortmos tlzam o método teratvo de Gass-Sedel enqanto otros empregam o algortmo teratvo de sobre-relaação scessva (SOR). No Aneo D os dos algortmos são apresentados com maores detalhes. O MDF fo ncalmente aplcado para solção de dos PVCs em geometra cartesana etraídos do trabalho de Menn (9). Esses problemas reglados pela eqação de Laplace são mostrados a segr: PVC CC:

40 ca solção analítca é. Fgra 7: Regão Avalada. Etraído de: MENIN 9 PVC CC: cos n n senh cos ca solção analítca é senh

41 Regão: Fgra 8: Regão Avalada. Modfcado de: MENIN 9 No PVC a condção de contorno é do tpo Drchlet no PVC a condção de contorno é formada tanto por CC de Nemann qanto por CC de Drchlet. A solção das eqações fo realzada tlzando três dferentes malhas reglares com matrzes de e. Para a solção do sstema lnear fo tlzado o algortmo teratvo SOR o qal para esse problema apresenta maor velocdade de convergênca se comparado ao algortmo de Gass-Sedel. Fo realzada a apromação do valor da varável de nteresse em cada nó por meo das eqações () e (). Em relação ao PVC foram tlzadas as eqações (8) e (9) para apromar os valores das dervadas do contorno como mostrado a segr: Para a eqação (8) com e ânglo de 9º. n cos 9 sen 9

42 n Isolando temos: (6) Para a eqação (9) com e ânglo de 7º vemos qe: sen n 7 7 cos n Isolando chegamos a: (7) Utlzando as eqações () e () são obtdas as segntes apromações para as dervadas no contorno do PVC: Para a eqação () com e ânglo de 9º sen n cos n Isolando vemos qe: (8)

43 cos n Para a eqação () com e ânglo de 7º obtemos: 7 sen n Isolando chegamos a (9) 7 As eqações (6) e (7) foram tlzadas assocadas à eqação () enqanto as eqações (8) e (9) foram tlzadas conntamente à eqação () para a apromação da solção do PVC. O erro assocado a cada apromação fo o fator prncpal consderado para a escolha do connto de eqações tlzadas drante a solção nmérca. No caso das eqações (6) e (7) elas possem erro da ordem de h² de acordo com o lvro Mathematcs and Algorthms (http://reference.wolfram.com/mathematca/ttoral/ndsolvepde.html) da mesma ordem de grandeza da eqação (). Enqanto de acordo com essa referênca o erro assocado às eqações (8) e (9) é apromadamente gal a h 6 eatamente a mesma ordem de grandeza assocado à eqação () (KUO & LEVY 987). Se as eqações (6) e (7) fossem tlzadas colgadas à eqação () por possírem menor precsão elas dmnram a eatdão da solção apromada. Por otro lado tlzar as eqações (8) e (9) mas compleas qe as eqações (6) e (7) conntamente à eqação () não melhora a acráca da apromação prodzda pos a precsão estara lmtada pelo erro assocado a (). A escolha de dos conntos de eqações para os testes m tlzando estêncl de nove pontos e otro de cnco pontos teve por obetvo testar a ac-

44 ráca e o csto comptaconal de cada ma das apromações. Certamente se as apromações tlzando nove pontos apresentarem razoável ganho de precsão sem o com peqeno amento do csto comptaconal sa aplcação para a solção do problema dreto em relação a apromações com estêncl de cnco pontos se stfca. Isso porqe sera possível prodzr solções com precsão gal o maor em malhas de peqena dmensão dmnndo o tempo para prodzr a solção. Sendo assm drante a solção do problema nverso sso pode amentar a velocdade para fazer a reconstrção da magem e/o prodzr magens com maor resolção. Após a ntrodção das CC e a obtenção do valor da varável de nteresse em cada nó fo calclado o erro relatvo para as solções apromadas em relação à solção analítca. O erro relatvo fo calclado em cada m dos nós da malha sendo obtda assm ma dstrbção para esse índce no domíno. Os valores calclados foram dspostos em gráfcos bdmensonas onde as cores dos gráfcos representam os valores de determnada varável de nteresse em todos os nós da malha. Por sa vez os gráfcos constrídos representam todos os dados obtdos na solção nmérca na solção analítca e no cálclo do erro relatvo. O erro podera ser representado pelo erro médo em cada ponto da malha sendo epresso assm de forma mas smples apenas por m número. No entanto a representação gráfca poss a vantagem de facltar a vsalzação das regões onde as dscrepâncas entre a solção nmérca e a solção analítca são mas acentadas possbltando a elaboração de estratégas capazes de mnmzar o erro nessas regões. Posterormente neste trabalho fo resolvdo o problema dreto da TIE para ma geometra retanglar consderando m domíno com condtvdade constante. Em relação à dscretzação do contorno nos pontos onde não hava presença de eletrodos de neção de corrente a dervada normal à sperfíce do potencal fo consderada como possndo valor zero. Assm qatro dscretzações para o contorno dependendo do lado do retânglo consderado foram

45 5 obtdas. Para facltar a compreensão das qantzações realzadas cada lado fo chamado de L L L e L como mostrado na Fgra apresentada a segr. Fgra 9: Rótlos atrbídos a cada m dos lados da regão avalada. Nos eletrodos de neção de corrente o valor da densdade sperfcal de corrente J defnda como a razão entre o valor nomnal da corrente e a área sperfcal do eletrodo fo estmado como mostra a eqação a segr: J () A Ela também pode ser defnda como: J () n A epressão () é eqvalente à epressão () onde representa a condtvdade no contorno da regão Ω. As dscretzações por dferenças fntas foram obtdas galando o termo à dreta da epressão () ao termo à dreta da epressão () e valendo-se das eqações (8) (9) () e () para L L L e L. As eqações prodzdas a partr das apromações da dervada no contorno (8) e (9) foram tlzadas conntamente com a eqação () em m domíno com condtvdade homogênea e com as eqações (9) e () para

46 6 ma regão com condtvdade heterogênea. Já as eqações prodzdas por meo das apromações () e () foram tlzadas com a eqação () para m domíno com condtvdade homogênea e com a eqação () para ma regão com condtvdade heterogênea Todas as apromações obtdas para o contorno estão rendas na Tabela e Tabela. A dedção de todas as apromações pode ser vsta no Aneo C. Tabela : Dscretzação do contorno tlzadas para a solção do problema dreto tlzando apromações com estêncl de cnco pontos Lado Regão de neção de corrente Regão sem neção de corrente L A L A. L A L A.

47 Tabela : Dscretzação do contorno tlzadas para a solção do problema dreto tlzando apromações com estêncl de nove pontos. 7 Regão sem neção de Lado Regão de neção de corrente corrente L A L A L A L A O domíno analsado conta com 6 eletrodos dspostos em m qadrado com dmensões ndades de medda de área (.m.a.) sendo qe qatro eletrodos foram arranados em cada face do domíno. Todos os eletrodos possem formato qadrado com dmensões.m.a.. O valor de é nmercamente gal ao valor de valor o qal rá depender do tamanho da matrz. Para os testes em m domíno com dstrbção de condtvdade homogênea fo tlzado apenas m valor para condtvdade ndades de medda de condtvdade (.m.c). Qanto à dscretzação três dstntos tamanhos de matrzes drante os testes foram empregados: e elementos de matrz. Desse modo poss três dstntos tamanhos: ndades de medda de comprmento (.m.cp.).m.cp. e.m.cp. respectvamente. A Fgra a segr mostra o domíno analsado.

48 8 Fgra : Dsposção dos eletrodos no contorno da regão avalada. Qanto à solção do sstema lnear o algortmo teratvo de SOR fo tlzado pos este apresenta taa de convergênca mas alta em comparação ao algortmo de Gass-Sedel para a apromação da solção do problema dreto em m domíno com condtvdade homogênea. Antes de contnar descrevendo a metodologa empregada é necessáro eplcar algns crtéros consderados drante o processo de avalação das apromações tlzadas. A avalação das apromações procro avergar parâmetros como convergênca (se para determnada condções de contorno e no caso de domíno com condtvdade heterogênea se para determnado domíno a apromação converga) e precsão 5 (varação dos valores de potencal calclados pela solção nmérca para dferentes tamanhos de matrzes e apromações propostas). 5 Precsão é o gra de varação dos resltados de ma medção. Nesse trabalho por sa vez consdera-se precsão o gra de varação de ma solção em relação a otra solção prodzda a partr de otras apromações o tamanho de matrz. Além dsso a precsão será consderada como snônmo de acráca.

49 9 Fo realzado apenas m teste para analsar a convergênca das apromações. Esse teste obvamente fo realzado somente para as apromações tlzadas em domíno com dstrbção de condtvdade heterogênea. Resmdamente foram tlzados domínos com dferentes varações de condtvdade e fo verfcado se determnada solção converga o não. Na contndade da metodologa será eplcado mas detalhadamente o teste realzado. Em relação à precsão a avalação das apromações pode ser agrpada em dos grpos mesmo qe cada avalação possa característcas específcas. Em m dos grpos estão rendos aqeles testes onde as solções prodzdas foram comparadas entre s tlzando como referênca a solção prodzda a partr da apromação etraída da lteratra o caso se conheça a apromação mas precsa. A segnda categora agrega aqeles testes onde é realzada a comparação das solções prodzdas a partr de determnada apromação para dferentes tamanhos de matrz. Após fazer a apromação do potencal foram realzadas comparações entre dferentes tamanhos de matrz. Isso fo realzado medante a constrção de gráfcos do potencal em fnção de o para m o especfco. Bascamente as regões escolhdas para traçar os gráfcos foram as regões do contorno mas especfcamente aqelas regões onde estavam dspostos os eletrodos de neção. O prncpal obetvo desse teste é observar a dferença entre os potencas calclados por ma mesma apromação para dferentes tamanhos de matrz. Após os testes em m domíno com condtvdade homogênea a solção do problema dreto fo apromada em domínos com condtvdade heterogênea. Os testes realzados valeram-se das eqações (9) () e () para apromar o potencal no nteror de Ω. As eqações (9) e () foram tlzadas conntamente com as apromações da Tabela enqanto qe para a eqação () as apromações empregadas foram aqelas apresentadas na Tabela.

50 5 A dstrbção de condtvdade tlzada para os testes de precsão poss dos dstntos valores. Nmercamente eles são.m.c. e.m.c. para regão em azl e vermelho respectvamente da Fgra apresentada a segr. Fgra : Forma da dstrbção de condtvdade tlzada drante os testes. Para a regão em azl ncalmente fo tlzado o valor para condtvdade de.m.c enqanto para a regão em vermelho o valor tlzado fo de.m.c Uma corrente de.m.cr. e malhas de e foram empregadas para obter as solções. Para solção do sstema de eqações lneares fo empregado o algortmo teratvo de Gass-Sedel pos o algortmo teratvo SOR não converg. A prmera das avalações procro testar a confabldade das apromações do potencal prodzdas por cada ma das solções em domínos com dstrbção de condtvdade gal à ebda na Fgra. Tendo em vsta esse obetvo os resltados obtdos empregando as dferentes apromações foram comparados à solção do problema dreto para m domíno com dstrbção de condtvdade homogênea gal a.m.c.. Isso fo realzado medante o cálclo do módlo da dferença entre os potencas elétrcos calclados

51 5 para das dstrbções de condtvdade em cada m dos pontos da malha consderando todas as apromações e tamanhos de matrz empregados. Esperava-se qe a dferença mas acentada entre os valores de potencal fosse encontrada na regão onde as dstrbções de condtvdade são dstntas o sea na regão de formato qadrado representada pela cor vermelha e localzada no centro da Fgra. Na avalação segnte foram realzadas comparações entre dferentes tamanhos de matrz 6. Para realzar essa comparação gráfcos de perfl do potencal foram prodzdos naqelas regões do contorno onde estavam localzados os eletrodos de neção de corrente. Os dados obtdos foram dspostos em gráfcos do potencal em fnção de o para m par e específco. Esse teste para m domíno com dstrbção de condtvdade heterogênea tem obetvo dferente daqele realzado em domínos com dstrbção de condtvdade homogênea. Em domínos com dstrbção de condtvdade homogênea o obetvo do teste fo observar a dferença entre as dstntas solções sendo qe era conhecda a apromação de maor acráca. Isso permt observar qal das apromações varava menos com o amento o a dmnção da matrz empregada drante a solção. No caso de domínos heterogêneos o obetvo do teste é observar o comportamento das solções em relação à apromação qe tlza a eqação (). Essa avalação além de observar a varação das solções em comparação a ma apromação permte anda fazer a avergação da forma do potencal no contorno ao ser varada a condtvdade para todas as apromações avaladas. O últmo teste procro analsar a convergênca de cada ma das apromações em relação a dferentes dstrbções de condtvdade. O prncpal obetvo desse teste fo verfcar se determnada apromação nmérca converga qando aplcada a domínos com varações abrptas de condtvdade. Para realzar essa avalação ma dstrbção de condtvdade com das dstntas regões com o mesmo formato da dstrbção apresentada na Fgra fo tlzada. O valor da condtvdade na regão em azl (Fgra ) fo fado 6 Esse teste também á fo abordado na págna 9 do presente trabalho qando o mesmo fo aplcado para avalar as apromações () e ().

52 5 em.m.c e para a regão em vermelho foram testados os valores de.m.c.m.c.m.c e.m.c. Para cada valor da condtvdade testada para regão em vermelho fo verfcado se a solção empregada converga. Nas prómas págnas é eposta a segnda parte da metodologa a qal tem por obetvo apresentar a abordagem tlzada para solconar o problema nverso da TIE.. Problema Inverso Para fazer a solção do problema nverso da TIE tlzando o método do recozmento smlado é necessáro adaptá-lo a esse problema. Antes de tdo no entanto por ser m problema mal condconado é necessáro adconar nformação ao problema a qal tem por obetvo torná-lo bem condconado processo esse chamado de reglarzação. No caso da TIE geralmente é tlzado o método de reglarzação generalzada de Tkhonov (KIM ET AL. 5) mas detalhes sobre esse método podem ser obtdos no lvro de HAYKIN (999) e em TIKHONOV e ARSENIN (977). Neste trabalho a reglarzação do problema nverso fo realzada de manera dferente daqela commente apresentada na lteratra. No entanto antes de eplcar a reglarzação tlzada é necessáro tecer algns comentáros sobre problemas nversos e métodos de reglarzação. Os problemas nversos são formlados como problemas de otmzação com restrções matematcamente mn A f onde A é a solção do problema dreto e f são dados meddos emprcamente. A reglarzação pode ser realzada adconando à fnção a ser mnmzada m operador matemat- camente mn A f onde é o operador de reglarzação e é m número real qalqer chamado de parâmetro de reglarzação (TIKHONOV & ARSENIN 977). O operador de reglarzação é o termo responsável por garantr a savdade (reglardade) da solção fazendo com qe o problema se torne bem

53 5 condconado. Ele ata de modo a representar a rreglardade da solção o sea em ma dada teração mesmo se a dferença entre a solção do problema dreto e os dados empírcos dmnírem a fnção a ser mnmzada pode ter m acréscmo no se valor porqe ocorre amento na rreglardade da solção nessa teração. Assm sendo consderando processos estocástcos de mnmzação somente varações saves para matrz de condtvdade são acetas garantndo a savdade da solção procrada. Por otro lado qando é realzada a solção do problema nverso da TIE sem empregar reglarzação tlzando o recozmento smlado ao fnal do processo qando o algortmo satsfaz o crtéro de parada não é obtda ma magem de m domíno qalqer qe se qer reconstrr mas sm ma magem sem qalqer padrão reconhecível. Isso acontece devdo (como á referdo) ao ma condconamento do problema nverso e à técnca de ensaos aleatóros empregada. Como o problema aceta dversas solções e scessvamente a matrz de condtvdade M N é somada a ma matrz de números aleatóros M N k d mto poco reglar ao fnal do processo de reconstrção é obtda ma magem bastante rreglar sem qalqer smlardade com o domíno avalado. No entanto sso pode ser contornado caso a matrz d M N passe por m processo de fltragem de baas freqêncas antes de ser adconada a M N. Esse processo dea a matrz M N k conseqênca dea também M N k sea necessáro tlzar o operador de reglarzação. d mas save e por mas reglar fazendo com qe não Devdo aos motvos epostos anterormente no algortmo testado neste trabalho após o processo de geração da matrz de números 7 aleatóros d M N a matrz gerada passa por m processo de fltragem de baas freqêncas através da tlzação de m fltro gassano com anela dado pela matrz G ebda a segr: 7 Olhar as págnas 5 e 6 desse trabalho.

54 5 G () 9 As Fgras e representam ma matrz de números aleatóros gerados em m ntervalo entre - e antes e depos da fltragem gassana demonstrando a savzação da matrz d M N 8 após esse processo. Fgra : Matrz de números antes do processo de fltragem de baas freqüêncas. Fgra : Matrz de números após do processo de fltragem de baas freqêncas. A reglarzação pode anda ser melhorada mltplcando a matrz d M N pela matrz de condtvdade M N k na nteração k. Inttvamente parece ser lógco pensar qe em determnada teração k a matrz de cond- 8 Para gerar a matrz de números aleatóros fo tlzado o comando rand(ab) e o comando sgn(ab) do Matlab. O prmero gera ma matrz de tamanho ab de números aleatóros entre zero e m. O segndo gera ma matrz aleatóra com os números e -. A mltplcação das matrzes reslta em ma matrz de números aleatóros entre - e.

55 tvdade M N contenha nformação do domíno fnal procrado. Isso k stfca a mltplcação dos elementos de M N por M N k 55 d e como será mostrado nos resltados na prátca esse procedmento melhora a velocdade e a acráca das reconstrções prodzdas. Modfcando o algortmo apresentado na págna 6 para adconar o processo proposto para reglarzação do problema nverso este passa ter a segnte estrtra (as partes sblnhadas são aqelas adconadas ao algortmo da págna 6): ) Para ma determnada nteração k é necessáro gerar ma matrz de números aleatóros M N d com valores entre e ; ) Todos os valores da matrz M N d passam por m processo de fltragem de baas freqêncas tlzando m fltro gassano com anela gerando ma nova matrz M N d ; ) Todos os valores da nova matrz M N d são mltplcados por m número real L chamado de passo gerando ma nova matrz M N ) Os valores da matrz M N ; são mltplcados pelos valores M e N correspondentes da matrz de condtvdade M N matrz M N ; k 5) É realzada a soma da matrz de condtvdade atal M N nteração k- pela nova matrz M N gerando ma nova matrz condtvdade M N ; k gerando ma nova k obtda na 6) É resolvdo o problema dreto tlzando a nova matrz de condtvdade M N ; k 7) Calcla-se o valor de E k ;

56 8) É calclado o valor de C k defndo pela eqação C k C F( ) onde F(k) é ma fnção qalqer dependente de k; k 56 9) Calcla-se o valor de P através da eqação (); ) É gerado m número aleatóro R entre e ; ) Se E k < k E o R<P é aceta a nova dstrbção de condtvdade M N senão é mantda a matrz condtvdade M N k é repetdo até esse satsfazer m crtéro de parada. e o processo k Qanto às meddas estas foram consderadas como sendo as dferenças de potencal (ddp) entre os eletrodos. Em relação aos padrões de neção tanto o padrão adacente como o padrão dametral de neção de corrente foram tlzados. No padrão dametral são obtdos oto conntos de meddas m para cada par de eletrodos de neção de corrente os qas são representados esqematcamente na Fgra 5 esta é apresentada a segr: Fgra : Padrão de neção de corrente dametral. Eletrodos com a mesma cor correspondem a m determnado par de eletrodos onde é netada corrente para determnado connto de meddas. A fgra poss eletrodos com oto dferentes cores cada cor representa m arrano de neção de corrente. Para o padrão adacente são obtdos doze conntos de meddas representados pela Fgra 6 mostrada abao:

57 Fgra 5: Padrão de neção de corrente adacente. Cada número representa m arrano de neção de corrente. As chaves por sa vez representam qas são os pares de eletrodos onde são realzadas as neções. Como é representado pela fgra para o padrão adacente são obtdos doze conntos de meddas. Para cada padrão de neção de corrente tanto adacente qanto dametral as meddas das ddp são realzadas em eletrodos adacentes. Assm sendo para cada padrão de neção são obtdas meddas ndependentes do potencal no contorno. Isso sgnfca qe tlzando o padrão dametral de neção são obtdas 96 meddas ndependentes do potencal enqanto qe para o padrão adacente são obtdas meddas ndependentes do potencal. A solção do problema nverso fo ncada medante a defnção de dos domínos com dstrbção de condtvdade heterogênea e com a solção do problema dreto para ma qantdade n de padrões de corrente netadas nesses domínos. As dstrbções de condtvdade empregadas possem dos dferentes valores assm como mostram a Fgra 7 e a Fgra 8 a segr:

58 58 Fgra 6: Prmera dstrbção de condtvdade tlzada para solção do problema nverso a regão em vermelho poss condtvdade gal a.m.c. e a regão de cor azl poss condtvdade gal a.m.c.. Fgra 7: Segnda dstrbção de condtvdade tlzada para solção do problema nverso a regão em vermelho poss condtvdade gal a.m.c. e a regão de cor azl poss condtvdade gal a.m.c.. E A fnção erro fo calclada por meo da eqação PI L V U k L( PI ) k onde PI é o número de padrões de corrente tlzados L é o número de ddp meddas no contorno V são as meddas vrtas de ddp e U k são as ddp calcladas para determnada dstrbção de condtvdade.

59 59 Em relação ao prmero teste o padrão de neção de corrente dametral fo tlzado prncpalmente porqe ele necessta menor qantdade de solções do problema dreto em comparação ao padrão adacente. Incalmente para dstrbção de condtvdade da Fgra 7 e matrz de dscretzação 55 o problema dreto fo resolvdo para os oto padrões de neção de corrente. Os dados obtdos com a solção foram consderados como sendo os valores de meddas as qas neste trabalho serão chamadas de meddas vrtas. A solção do problema nverso fo realzada de das maneras ma tlzando o algortmo apresentado na págna 56 e otro tlzando o mesmo algortmo sem o tem o sea sem a mltplcação de m determnado valor () da matrz M N d por determnado valor () da matrz de condtvdade M N na nteração k para e varando de a 5. k Posterormente o problema dreto para todos os padrões de neção de corrente dametral fo resolvdo para a dstrbção de condtvdade mostrada na Fgra 6. A partr dos dados obtdos com o problema dreto o problema nverso fo novamente resolvdo tlzando o algortmo da págna 56 e para este sem o tem. Esses prmeros testes servram tanto para mostrar a efcáca do método como também para testar a reglarzação proposta pelo ator desse trabalho. A comparação entre as solções consdero o número de vezes qe o problema dreto fo resolvdo para cada ma das solções. Isso poss relação com a velocdade para obter a solção e com a qaldade das solções prodzdas. A qaldade por sa vez fo avalada de forma qaltatva através da comparação vsal das solções em relação às dstrbções de condtvdade das Fgras 7 e 8. O algortmo qe apresento os melhores resltados para as das prmeras solções fo tlzado para o restante dos testes enqanto o algortmo de por resltado não mas fo tlzado.

60 Nos prmeros testes o parâmetro de temperatra 9 para a prmera teração ( T ) empregado poss valor nmérco nlo. O Recozmento smlado assm se redz ao algortmo mas smples qe tlza ensaos aleatóros descrto na págna 5 deste trabalho. Por sso o segndo teste bsco fazer a reconstrção dos domínos (Fgras 7 e 8) tlzando otros valores para o parâmetro de temperatra na prmera teração. Além de T foram também tlzados os valores de T e T na prmera teração. Por sa vez a 6 cada nteração k o parâmetro de temperatra fo determnado pela eqação T k.9tk onde T k é a temperatra na nteração k e T k é a temperatra na nteração anteror k-. Em todas as solções fo tlzada matrz de dscretzação 55 e os dados da solção foram comparados da mesma manera como fo realzado no teste anteror. A últma avalação bsco testar todos os padrões de neção de corrente obetvando defnr qal deles apresenta melhor resltado para a solção do problema nverso e/o se os dos se eqvalem. Para os domínos das Fgras 7 e 8 tlzando matrz de dscretzação 55 e consderando a temperatra na prmera teração gal a zero ( T ) o problema nverso fo resolvdo tlzando o padrão adacente de neção de corrente e o resltado fo comparado qaltatvamente aos dados obtdos para o mesmo valor para temperatra na prmera teração e tamanho de matrz alcançados por meo do emprego do padrão dametral de neção de corrente. No prómo captlo são apresentados os resltados obtdos para todos os testes realzados drante o desenvolvmento do presente trabalho. 9 Qando for menconada a palavra temperatra neste trabalho essa não corresponde à grandeza físca defnda pela termodnâmca. Por sa vez o termo temperatra no método do recozmento smlado refere-se ao parâmetro qe defne a probabldade de determnada varação da matrz de condtvdade em determnada teração ser aceta mesmo qe essa varação amente o valor da fnção a ser mnmzada

61 6 5. RESULTADOS Assm como fo feto na descrção da metodologa os resltados obtdos drante o decorrer do presente trabalho foram apresentados em das partes. Na prmera os resltados alcançados para a solção do problema dreto foram epostos e dsctdos de modo a tratar as possíves vrtdes e lmtações das apromações nmércas propostas. Na segnda são apresentados e dsctdos os resltados da aplcação dos algortmos de otmzação com a fnaldade de apresentar sas potencaldades e lmtações qando tlzados para a solção do problema nverso da TIE. 5. Problema Dreto Como á menconado os resltados obtdos através da tlzação das apromações nmércas para solção dos PVCs foram dspostos em gráfcos bdmensonas onde cada cor presente no gráfco representa o valor nmérco da varável de nteresse em determnado ponto do domíno analsado. Para os PVCs tratados três dferentes tamanhos de malhas foram tlzados e para cada tamanho de matrz foram constrídos três dferentes gráfcos m representando os dados da solção nmérca otro representando os dados da solção analítca e o tercero representando os dados do erro relatvo da solção nmérca em comparação à solção analítca para todos os pontos de dscretzação do domíno analsado. A segr são apresentados os gráfcos da solção nmérca da solção analítca e do erro relatvo entre as solções para o PVC para os dos dferentes tamanhos de estênces tlzados na dscretzação do laplacano cnco e nove pontos consderando ma matrz de 5 5 e tlzando o método SOR com terações.

62 6 Fgra 8: Solção analítca para o PVC apresentada em ma malha 5 5 pontos. A B Fgra 9: Solção nmérca para o PVC calclada em ma matrz 5 5. A) Solção tlzando o estêncl de cnco pontos; B) solção tlzando o estêncl de nove pontos.

63 6 A B Fgra : Erro relatvo percental calclado em cada ponto da matrz 55 tlzando as solções nmérca e analítca do PVC. A) Erro para a solção tlzando o estêncl de cnco pontos; B) erro para solção tlzando o estêncl de nove pontos. Os resltados obtdos para solção do PVC com matrz 55 mostram ma peqena dferença do erro relatvo calclado a partr das dferentes apromações. No entanto elas apresentaram ótmos resltados como pode ser observado na Fgra onde erro relatvo mámo para cada ma delas fco em torno de - ¹² %. Anda foram prodzdos gráfcos semelhantes tlzando tamanhos de matrz 55 e. Os resltados foram semelhantes aos obtdos para matrz 55. Dferentemente dos resltados apresentados pelo PVC os resltados alcançados para o PVC apresentaram grande dscrepânca entre os dferentes esqemas de dferenças fntas e entre as dferentes matrzes de dscretzação. Isso pode ser observado nas fgras ebdas a segr as qas apresentam os gráfcos da solção nmérca da solção analítca e do erro relatvo entre as solções para as malhas de dscretzação e tlzando o método de SOR para solção do sstema lnear com terações.

64 6 Fgra : Solção analítca para o PVC apresentada em ma matrz 5 5. A B Fgra : Solção analítca para o PVC calclada em ma matrz 5 5. A) Solção tlzando o estêncl de cnco pontos; B) Solção tlzando o estêncl de nove pontos. A B Fgra : Erro relatvo percental calclado em cada ponto da matrz 55 tlzando as solções nmérca e analítca do PVC. A) Erro da solção nmérca tlzando a apromação com estêncl de cnco pontos; B) Erro da solção nmérca tlzando a apromação com estêncl de nove pontos.

65 65 Fgra : Solção analítca para o PVC apresentada em ma matrz 5 5. A B Fgra 5: Solção nmérca para o PVC calclada em ma matrz 5 5. A) Solção tlzando o estêncl de cnco pontos; B) solção tlzando o estêncl de nove pontos. A B ) Fgra 6: Erro relatvo percental calclado em cada ponto da matrz 55 tlzando as S solções nmérca e analítca do PVC. A) Erro da solção nmérca tlzando a apromação com estêncl de cnco pontos; B) erro da solção nmérca tlzando o a apromação com estêncl de nove pontos. l ç ã o

66 66 Fgra 7: Solção analítca para o PVC apresentada em ma matrz. A B Fgra 8: Solção nmérca para o PVC calclada em ma matrz. A) Solção tlzando o estêncl de cnco pontos; B) solção tlzando o estêncl de nove pontos. A B Fgra 9: Erro relatvo percental calclado em cada ponto da matrz tlzando as solções nmérca e analítca do PVC. A) Erro da solção nmérca tlzando a apromação com estêncl de cnco pontos; B) Erro da solção nmérca tlzando a apromação com estêncl de nove pontos.

67 67 Dferentemente do comportamento apresentado pelo PVC o erro relatvo dmn com o amento da matrz de dscretzação para o PVC. Isso pode ser observado ao ser comparado o erro mámo apresentado na Fgra ao erro mámo da Fgra 7 e da Fgra para as das solções prodzdas. Qanto às dferentes solções aqelas prodzdas tlzando o estêncl de nove pontos (eqação ) conntamente as apromações da Tabela como esperado apresentaram resltados sperores em relação à acráca se comparados aos dados obtdos por meo do emprego da apromação () em connto com as dscretzações para o contorno da Tabela. Anda em relação à acráca dos valores obtdos é nteressante observar qe o erro apresentado tlzando o estêncl de nove pontos fo em méda cerca de vezes menor em comparação ao erro obtdo tlzando o estêncl de cnco pontos. Essa constatação é anda mas relevante se for consderado o csto comptaconal o qal não apresento qaltatvamente dferença sgnfcatva entre as das apromações nmércas. Para a solção do problema dreto em m domíno com dstrbção de condtvdade homogênea foram obtdos os segntes resltados ebdos na Fgra : Fgra : Solção do problema dreto tlzando o padrão adacente de neção de correntes tlzando o estêncl de cnco e nove pontos para as matrzes e. As regões em azl e em vermelho nos gráfcos são as regões onde estão localzados os eletrodos de neção de corrente.

68 68 A Fgra apresenta a solção do problema dreto para m domíno com dstrbção de condtvdade constante gal.m.c. Esperava-se m comportamento do potencal semelhante àqele apresentado pelo potencal de m dpolo elétrco. Essa epectatva fo confrmada pelos dados para as das apromações. Apenas tlzando os gráfcos do potencal elétrco em fnção de e é dfícl avalar as dferenças dos resltados obtdos para das as solções nmércas e dferentes tamanhos de matrz. Por sso na regão dos eletrodos regão de maor gradente de potencal foram traçados gráfcos de em fnção de com = (.m.cp). Os gráfcos do perfl do potencal ebdos a segr na Fgra representam os dados obtdos para solções do problema dreto apresentadas na Fgra. Fgra : Gráfcos do perfl do potencal traçado na regão onde estão posconados os eletrodos de neção para a matrz e. A) Gráfco traçado tlzando a apromação (); B) gráfco traçado tlzando a apromação (). Os gráfcos da Fgra representam a solção do problema dreto para todos os tamanhos de matrz e de forma ndvdal apromações (estêncl de cnco e de nove pontos) testadas na regão dos eletrodos de neção de corrente. Nessa regão como o potencal vara de forma mas ntensa spostamente sera mas faclmente observável a dferença entre os potencas calclados tlzando dferentes tamanhos de matrz. Como a epressão () é mas precsa qando comparada à epressão () era esperado qe ela apresentasse menor varação entre as crvas traçadas. Observando a Fgra o gráfco A é aqele aonde há maor dscrepânca entre as crvas do potencal. Como ele fo traçado tlzando os dados da solção nmérca do problema dreto obtdos

69 69 por meo do emprego da epressão () a epectatva em relação aos resltados desse teste se confrmo. A segr são apresentados os resltados da solção do problema dreto para ma dstrbção de condtvdade heterogênea tlzando as apromações () () e (6): Apromação (9) Apromação () Apromação () Fgra : Solção nmérca do problema dreto tlzando matrzes e para as apromações (9) () e (). As regões em azl e em vermelho nos gráfcos são as regões onde estão localzados os eletrodos de neção de corrente. A dstrbção de condtvdade sobre a qal as solções apresentadas na Fgra foram prodzdas é aqela representada na Fgra. Qanto às apromações as eqações testadas apresentaram bons resltados para essa dstrbção de condtvdade. No entanto para melhor fazer a avalação das apromações gráfcos do perfl do potencal em = (.m.cp) foram traçados. Para esses gráfcos era esperado qe a eqação () caso pdesse

70 7 apromar o potencal em m domíno com dstrbção de condtvdade heterogênea apresentara resltados smlares aos resltados obtdos por meo do emprego da apromação (). No entanto as solções prodzdas através do emprego da apromação () para dferentes tamanhos de matrz deveram apresentar menor dferença entre s como fo observado nos gráfcos do perfl do potencal para ma dstrbção de condtvdade homogênea. Qanto à apromação (9) como ela poss acráca semelhante à eqação () os resltados obtdos através do se emprego deveram ser dêntcos o mtos prómos aos resltados apresentados por (). Os gráfcos do perfl do potencal para cada ma das apromações abordadas são apresentados na Fgra a segr: Fgra : Gráfcos do perfl do potencal traçado na regão onde estão posconados os eletrodos de neção para a matrz e. A) Gráfco traçado tlzando a apromação (9); B) gráfco traçado tlzando a apromação (); gráfco traçado tlzando a apromação ().

71 7 Consderando os gráfcos B e C dspostos na Fgra estes apresentaram dferenças entre as crvas traçadas e entre s análogas às dferenças observadas nos gráfcos dspostos na Fgra. Isso ndca qe a apromação () pode ser aplcada para domínos com dstrbção de condtvdade heterogênea. Qanto à eqação (9) como esperado os resltados obtdos para essa dstrbção de condtvdade são eqvalentes aos resltados obtdos tlzando-se (). Otro aspecto mportante a ser pensado sobre as solções dz respeto à pertrbação no formato da dstrbção do potencal calclado em Ω devdo à varação da condtvdade no meo. Por sso neste trabalho as solções para m domíno com dstrbção de condtvdade homogênea apresentadas na Fgra foram comparadas às correspondentes solções prodzdas em m domíno com dstrbção de condtvdade heterogênea (Fgra ) apresentada na Fgra através do cálclo do módlo da dferença entre as solções. A segr na Fgra 5 são apresentados todos os resltados obtdos nessa avalação:

72 7 Apromações (9) e () Apromações () e () Apromações () e () Fgra : Comparação entre as solções nmércas para m domíno com dstrbção de condtvdade homogênea gal.m.c. e otro com dstrbção de condtvdade heterogênea gal a da Fgra para todos os tamanhos de matrz. Na Fgra 5 pode ser observado qe a maor dferença encontrada entre as solções fo stamente na nterface entre as regões com dferentes condtvdades da dstrbção representada na Fgra. Isso ndca qe as apromações empregadas para a solção do problema dreto da TIE repre-

73 7 sentam aparentemente de modo adeqado a dstrbção do potencal para m domíno com condtvdade varável. Os testes de convergênca mostraram qe a eqação (9) não converge qando aplcada a domínos com grandes gradentes de condtvdade. Das dstrbções de condtvdade testadas (ver pág. 5) apenas para aqela com menor varação de condtvdade essa apromação converg. Por sa vez as apromações () e () convergram para todas as dstrbções de condtvdade avaladas. Qanto ao tempo comptaconal não foram realzados procedmentos específcos para analsá-lo. No entanto através da tlzação de m comptador com ggabtes de memóra RAM processador Intel modelo Core Do e consderando o método teratvo de Gass-Sedel para matrzes 55 as solções nmércas foram obtdas em pocos segndos possvelmente o segndos. Em relação às matrzes maores como 55 e o tempo necessáro para obtenção das solções (obvamente) fo maor. Por eemplo consderando matrzes 55 as solções foram obtdas em cerca de o segndos enqanto para matrzes de a mntos foram necessáros para a vsalzação da solção nmérca. Qanto às solções prodzdas tlzando o método de sobre-relaação scessva para todos os tamanhos de matrz empregados as solções foram obtdas em pocos segndos no mámo segndos para matrzes. 5. Problema Inverso Nas prmeras reconstrções realzadas neste trabalho os resltados obtdos tlzando a reglarzação do problema nverso medante a mltplcação de m valor específco da matrz M N d por otro valor específco da matrz de condtvdade M N k (reglarzação ) foram testados. Neste teste os resltados alcançados por dos dferentes algortmos m com o processo de mltplcação e o otro sem este passo (reglarzação ) foram comparados. Os dados para realzar a reconstrção para todos os padrões de neção de corrente dametral foram obtdos medante a solção do problema dreto para as dstrbções de condtvdade representadas nas Fgras 5 e 6.

74 7 Como crtéro de parada fo tlzado qatro dferentes valores para a fnção erro e -6 ndades de meddas de potencal ao qadrado (.m.p)². A segr na Fgra 6 são apresentados os resltados desse teste para a dstrbção de condtvdade da Fgra 5: A B Fgra 5: Comparação entre as solções do problema nverso para m domíno com dstrbção de condtvdade gal à da Fgra 5. A) reglarzação do problema nverso medante a aplcação do fltro gassano e a mltplcação da matrz M N pela matrz de condtvdade k M N; B) reglarzação do problema nverso somente através da aplcação do fltro gassano.

75 75 Os resltados apresentados na Fgra 6 ndcam qe os algortmos desenvolvdos podem prodzr a solção do problema nverso da TIE. Todava a reglarzação nma avalação qaltatva mostro-se mas efcaz em comparação à reglarzação. Nessa avalação foram observadas característcas como homogenedade forma tamanho e localzação das dferentes regões do domíno analsado. No caso da homogenedade ela está relaconada à reglarzação e pode ser defnda como a constânca dos valores de condtvdade nas dstntas regões do domíno. Em relação à forma ao tamanho e à localzação estas são propredades geométrcas lgadas à qaldade das reconstrções. Uma análse mas acrada das propredades referdas no parágrafo anteror pode ser realzada fazendo-se a comparação das reconstrções consderando o menor crtéro de parada empregado ( -6 (.m.p)²) com o domíno avalado. Na Fgra 7 apresentada a segr estão dspostas lado a lado as fgras do domíno e das reconstrções de modo a favorecer a comparação vsal de cada ma delas. A B C Fgra 6: Solções obtdas para das dferentes reglarzações com crtéro de parada de -6 (.m.p)² e representação da dstrbção de condtvdade do domíno reconstrído. A) reconstrção tlzando a reglarzação ; B) dstrbção de condtvdade do domíno; C) reconstrção tlzando a reglarzação. Na Fgra 7A onde é apresentada a reconstrção realzada tlzando a reglarzação Nota-se ma maor homogenedade comparada à reconstrção apresentada na Fgra 7C realzada com o emprego da reglarzação. Isso pode ser mas bem observado na regão azl das fgras analsadas onde

76 76 a Fgra 7A é aparentemente mto mas homogênea. Em relação ao tamanho das regões claramente a reconstrção representada na Fgra 7A reprodz a dmensão das regões mas precsamente do qe a reconstrção representada na Fgra 7C. Qanto à posção e à forma do contorno das regões qaltatvamente não foram observadas dferenças entre as reconstrções realzadas. A segr na Fgra 8 são apresentados os resltados obtdos para o domíno representado pela Fgra 6:

77 A B Fgra 7: Comparação entre as solções do problema nverso para m domíno com dstrbção de condtvdade gal à da Fgra 6. A) reglarzação do problema nverso medante a aplcação do fltro gassano e a mltplcação da matrz M N pela matrz de condtvdade k M N; B) reglarzação do problema nverso somente através da aplcação do fltro gassano Para o domíno representado pela Fgra 6 as reconstrções realzadas apresentaram qaltatvamente resltados nferores àqelas realzadas

78 78 para o domíno representado pela Fgra 5. Qanto às reglarzações a reglarzação apresento resltados aparentemente eqvalentes aos resltados apresentados pela reglarzação como pode ser melhor observado na Fgra 9 apresentada a segr: /: A B C Fgra 8: Solções obtdas para das dferentes reglarzações com crtéro de parada de -6 (.m.p)² e representação da dstrbção de condtvdade do domíno reconstrído. A) reconstrção tlzando a reglarzação ; B) dstrbção de condtvdade do domíno; C) reconstrção tlzando a reglarzação. Vsalmente a Fgra 9A se mostra mas homogênea em comparação à Fgra 9C ndcando qe a reglarzação com relação à homogenedade prodz reconstrções melhores em comparação à reglarzação. Qanto à dmensão o tamanho das regões do domíno aparentemente a Fgra 9C reprodz de forma mas acrada essa propredade apesar desta ser dfícl de ser analsada qaltatvamente para as reconstrções da Fgra 9 tendo em vsta qe nenhma das reconstrções conseg apromar de forma satsfatóra a forma das dferentes regões do domíno. Como nenhma das reconstrções conseg representar nem de forma apromada o formato das dferentes regões do domíno em relação a essa propredade as reconstrções foram consderadas eqvalentes. Otro aspecto mportante a ser consderado em relação ao problema nverso está relaconado à qantdade de solções do problema dreto necessáras para resolvê-lo. Nesse caso de forma eqvalente pode ser consderado o número de terações necessáras para satsfazer o crtéro de parada do algortmo. Consderando o menor valor da fnção erro tlzado como crtéro de

79 parada para prodzr as solções apresentadas na Fgra 8 ( -6 (.m.p)²) solções essas apresentadas na Fgra 9 para a reglarzação o crtéro de parada fo satsfeto com 96 terações enqanto qe para a reglarzação foram necessáros 98 7 terações para satsfazer o crtéro de parada. Além de ser mas precsa esses resltados mostram qe comptaconalmente a reglarzação é consderavelmente menos dspendosa em relação à reglarzação Utlzando a reglarzação e os mesmos crtéros de parada foram testados dferentes valores para a temperatra na prmera teração T. Para as reconstrções das Fgras 6 e 8 fo empregado o valor de T para as reconstrções epostas a segr nas Fgras e os valores de temperatra tlzados foram de T e T. Estas fgras são apresentadas a segr. 79

80 A B Fgra 9: Comparação entre as solções do problema nverso para m domíno com dstrbção de condtvdade gal a da Fgra 5. A) Utlzando T ; B) tlzando T.

81 A B Fgra : Comparação entre as solções do problema nverso para m domíno com dstrbção de condtvdade gal a da Fgra 6. A) Utlzando T ; B) tlzando T. Qaltatvamente para os domínos das Fgras 5 e 6 as solções tlzando T e T não apresentaram acentadas dferenças entre s. Além dsso vsalmente comparando as três solções prodzdas (consde-

82 rando também as solções apresentadas nas Fgras 6A e 8A) não fo observado melhora o pora na qaldade das reconstrções prodzdas tlzando dferentes valores para o parâmetro T. Para melhor comparar cada ma das solções no entanto como á realzado para as prmeras reconstrções elas foram dspostas lado a lado organzadas de modo à melhor observar sas característcas na Fgra apresentada a segr: 8 A B C Fgra : Solções obtdas para o domíno da Fgra 5 tlzando três dferentes valores para T com crtéro de parada de -6 (.m.p)² e representação da dstrbção de condtvdade do domíno reconstrído. A) reconstrção tlzando T ; B) reconstrção tlzando T ; C) reconstrção tlzando T D ; D) dstrbção de condtvdade do domíno.

83 8 A B C D Fgra : Solções obtdas para o domíno da Fgra 6 tlzando três dferentes valores para T com crtéro de parada de -6 (.m.p)² e representação da dstrbção de condtvdade do domíno reconstrído. A) reconstrção tlzando T ; B) reconstrção tlzando T ; C) reconstrção tlzando T ; D) dstrbção de condtvdade do domíno. Vsalmente os dferentes valores para T empregados drante as dstntas solções do problema nverso realzadas como á referdo não apresentaram acentadas dferenças entre s. Qanto à homogenedade aparentemente as solções prodzdas tlzando T apresentaram peqeno ganho em relação às solções prodzdas tlzando T e T sendo qe as reconstrções com T mostraram-se levemente mas homogêneas se comparadas às reconstrções obtdas com T. Em relação à forma das reconstrções vsalmente as reconstrções com T representaram com mas acráca o formato das regões em comparação as reconstrções com T e T prncpalmente para a solção da Fgra 5. Qanto à posção e ao tamanho das dferentes regões do domíno as reconstrções repre-

84 sentaram de forma eqvalente essas das propredades. Em relação ao csto comptaconal o amento do parâmetro T amento o número de terações necessáras para satsfazer o crtéro de parada. Consderando o domíno da Fgra 6 as reconstrções com T como á referdo satsfzeram o crtéro de parada com 96 terações. Para T foram necessáras 76 terações para satsfazer o crtéro de parada enqanto qe para T foram necessáros terações para satsfazer este mesmo crtéro. Também foram realzados testes para o padrão adacente de neção de corrente. Para esses testes foram reconstrídos os domínos representados nas Fgras 5 e 6 tlzando os mesmos crtéros de parada das smlações 8 anterores e o valor de T para o valor do parâmetro de temperatra na prmera teração. Todas as reconstrções realzadas são apresentadas a segr organzadas na Fgra.

85 A B Fgra : solções do problema nverso tlzando o padrão adacente de neção de corrente. A) Para m domíno com dstrbção de condtvdade gal à da Fgra 5. B) Para m domíno com dstrbção de condtvdade gal à da Fgra 6.

86 86 As reconstrções tlzando o padrão adacente de neção de corrente em comparação ao padrão dametral mostraram-se mas acradas. Isso pode ser mas bem observado ao serem postas lado a lado as reconstrções para os dferentes padrões de neção empregados. Consderando os domínos representados nas Fgras 5 e 6 os resltados das reconstrções para dferentes padrões de neção de corrente para o crtéro de parada de -6 (.m.p)² foram organzados nas Fgra 5 e 6 epostas a segr conntamente com a representação das dstrbções de condtvdade dos domínos reconstrídos. A B C Fgra : Solções obtdas para dos dferentes padrões de neção de corrente com crtéro de parada de -6 (.m.p) ² e representação da dstrbção de condtvdade do domíno (Fgra 5). A) reconstrção tlzando o padrão dametral de neção de corrente; B) dstrbção de condtvdade do domíno; C) reconstrção tlzando o padrão adacente A B C Fgra 5: Solções obtdas para dos dferentes padrões de neção de corrente com crtéro de parada de -6 (.m.p) ² e representação da dstrbção de condtvdade do domíno reconstrído (Fgra 6). A) reconstrção tlzando o padrão dametral de neção de corrente; B) dstrbção de condtvdade do domíno; C) reconstrção tlzando.o padrão adacente

87 87 Em relação à homogenedade ao formato e ao tamanho das das dferentes regões dos domínos reconstrídos como pode ser observado nas Fgras 5 e 6 o padrão adacente de neção de corrente nma análse qaltatva apresento resltados consderavelmente sperores para a solção do problema nverso da TIE qando comparado ao padrão dametral de neção de corrente. Isso possvelmente ocorre devdo ao maor número de meddas ndependentes obtdas tlzando o padrão adacente em relação ao padrão dametral. Por otro lado para satsfazer o crtéro de parada consderando as reconstrções do domíno com dstrbção de condtvdade representada na Fgra 6 foram necessáras terações para satsfazer o crtéro de parada tlzando o padrão adacente cerca de 5 vezes mas terações em comparação às reconstrções tlzando o padrão dametral. Além dsso para cada teração são necessáras solções do problema dreto a mas para o padrão adacente em relação ao padrão dametral. Isso mostra qe o padrão adacente é mto mas precso e ao mesmo tempo dspendoso do ponto de vsta comptaconal em comparação ao padrão dametral.

88 88 6. CONCLUSÃO Neste trabalho o problema de reconstrção de magens de Tomografa de Impedânca Elétrca fo estdado nmercamente. Esse estdo fo realzado de forma separada em das partes. Na prmera o problema dreto da TIE fo abordado e na segnda o problema nverso. Os dos problemas estão ntmamente relaconados porqe para a solção do problema nverso geralmente é necessáro resolver o problema dreto dversas vezes. Sendo assm a solção do problema dreto deve possr das característcas essencas: precsão e velocdade. A precsão das solções do problema dreto está relaconada ao amento também na precsão das solções do problema nverso ao passo qe a velocdade pode estar lgada tanto à precsão qanto à velocdade para obtenção das reconstrções. Necesstando avalar estas característcas o estdo do problema dreto da TIE neste trabalho nco pela abordagem de problemas nmércos semelhantes os qas envolvem a dscretzação da eqação de Laplace com CCs de Nemann e/o de Drchlet. A solção desses PVCs permt a comparação de das apromações nmércas através da tlzação de parâmetros como eatdão e velocdade de convergênca. Uma das apromações tlzo os esqemas por dferenças fntas apresentados na Tabela conntamente a m esqema com estêncl de nove pontos para o laplacano representado pela eqação (). A otra apromação emprego em connto os esqemas epostos na Tabela e m esqema para o Laplacano com estêncl de cnco pontos representado pela eqação (). O cálclo do erro relatvo entre a solção analítca e a nmérca das solções dos PVCs permt avalar a acráca das apromações nmércas. Os resltados mostraram qe o connto formado pelo esqema de nove pontos para o laplacano com as apromações da Tabela é mto mas acrado se

89 89 comparados ao otro esqema por dferenças fntas tlzado para PVCs com CCs de Nemann. Em relação à velocdade para obtenção das solções os dos esqemas mostraram-se eqvalentes. Utlzando as mesmas apromações por dferenças fntas o problema dreto da TIE fo solconado para domínos com dstrbção de condtvdade homogênea. O comportamento das solções fo avalado através da comparação vsal entre elas e prncpalmente através da comparação do comportamento do potencal calclado para cada apromação no contorno especfcamente na regão dos eletrodos de neção para todos os tamanhos de matrz tlzados. Esta avalação posterormente serv para avalar as apromações propostas para domíno com dstrbção de condtvdade heterogênea. O problema dreto da TIE envolve a solção da eqação () com as CCs representadas pela epressão (). Para solção dessa eqação foram tlzadas três dferentes apromações por dferenças fntas das com estêncl de cnco pontos e ma com estêncl de nove pontos. Das apromações de cnco pontos ma delas fo etraída da lteratra (eqação ()) e a otra fo dedzda pelo ator (eqação (9)). Qanto à apromação de nove pontos (eqação ()) esta fo proposta pelo ator tlzando a eqação () e a eqação (). As solções foram obtdas tlzando as apromações (9) e () (separadamente) em connto com as apromações da Tabela e a eqação () em connto com as apromações da Tabela. Dos esqemas por dferenças fntas testados a apromação (9) fo aqela com resltados menos promssores. Em relação à precsão ela é eqvalente à apromação () por otro lado apresento dversos problemas de convergênca dferentemente das otras das apromações. A apromação () eb bons resltados em relação à convergênca convergndo para todas as dstrbções de condtvdade testadas. No entanto consderando os resltados obtdos para os PVCs e para domínos com dstrbção de condtvdade homogênea ela é aparentemente menos precsa em comparação ao esqema qe tlza a eqação ().

90 Os dados obtdos permtem conclr qe tlzando ma das apromações proposta pelo ator a apromação () é possível resolver o problema dreto com malhas menores mantendo o melhorando a precsão e a velocdade de convergênca das solções qando estas solções são comparadas às solções prodzdas empregando as demas eqações testadas neste trabalho. Sendo assm a eqação () é a mas ndcada para apromar a solção do problema dreto da TIE em malhas retanglares tlzando o MDF. Qanto ao problema nverso para sa solção fo tlzado o método do recozmento smlado. Este é m método nmérco de ensaos aleatóros desenvolvdo a partr de ma analoga com o processo de recozmento térmco dos sóldos. Este método fo escolhdo e tlzado para obter a solção do problema nverso porqe não necessta de boas apromações ncas para atngr mínmos globas. Além de m método de mnmzação para chegar à solção do problema nverso da TIE também é necessáro adconar nformação etra ao problema processo esse chamado de reglarzação. Neste trabalho das dferentes etapas foram propostas para fazer a reglarzação do problema nverso. Na prmera a matrz de números aleatóros passa por m processo de fltragem de baas freqêncas por meo da tlzação de m fltro gassano. Na segnda cada termo da matrz de números aleatóros após a fltragem é mltplcado pelos termos correspondentes da matrz de condtvdade na teração anteror. A avalação das solções do problema nverso fo realzada por meo de ma análse qaltatva (vsal) de parâmetros relaconados à qaldade das reconstrções como homogenedade forma e posção das dferentes regões dos domínos reconstrídos. Qanto ao tempo necessáro para satsfazer o crtéro de parada ele fo obtdo através do número de terações necessáras para prodzr a solção. Bascamente foram realzados testes para avalar a varação na qaldade e no tempo necessáro para obter as reconstrções devdo a alterações dos valores do parâmetro T. Também foram avergadas as dferenças entre 9

91 as reconstrções realzadas para dferentes padrões de neção de corrente e processos de reglarzação. A análse das reconstrções mostro qe tlzando a reglarzação proposta o problema nverso da TIE pode ser resolvdo por meo do método de recozmento smlado. Os testes realzados para dferentes valores do parâmetro T sgerem a não correlação desse parâmetro com a qaldade das reconstrções. Sendo assm por ter apresentado menor csto comptaconal esse parâmetro devera assmr valor nlo drante o processo de reconstrção. No entanto mas testes devem ser realzados com dferentes valores ncas de condtvdade para melhor avalar o mpacto do parâmetro T sobre as reconstrções. Qanto aos dferentes padrões de neção de corrente o padrão adacente nma análse vsal qaltatva das reconstrções mostro-se melhor em comparação ao padrão dametral em relação à qaldade das solções do problema nverso prodzdas. No entanto do ponto de vsta comptaconal o padrão adacente é mto mas dspendoso em relação ao padrão dametral. Em ma possível seqênca deste trabalho será necessáro confrontar os dados nmércos com dados epermentas para o problema dreto. Além dsso para o problema nverso devem ser nvestgados métodos qanttatvos para análse da qaldade das reconstrções. Otro problema nteressante a ser abordado sera a constrção de algortmos para a solção do problema da TIE nas três dmensões espacas e em tempo real dando orgem a ma tomografa trdmensonal em tempo real. Algns capítlos deste trabalho foram dvddos em das partes cada qal abordando m dos dos problemas relaconados ao problema de reconstrção de magens da TIE. Por otro lado apesar da separação os dos problemas formam ma ndade sendo qe essa ndade e não as partes de forma ndvdal é qe deve ser analsada. Por sso a conclsão deste trabalho é m lgamento sobre todos os métodos desenvolvdos o tlzados drante a sa eecção. Sendo assm é possível afrmar qe o connto de algortmos 9

92 desenvolvdos para domínos de formato retanglar o qadrado pode resolver o problema de reconstrção de magens da TIE. 9

93 9 REFERÊNCIAS ADAMS L. M.; LEVEQUE R. J.; & YOUNG; D. M. Analss of the SOR teraton for the 9-pont Laplacan SIAM J. Nmer. Anal. 5 (988) pp AGUILAR Jan Carlos Zavaleta. Estdos Nmércos para o Problema da Tomografa por Impedânca Elétrca. São Palo: USP 9. 9 pág. Tese (Dotorado) Insttto de Matemátca e Estatístca da Unversdade de São Palo Brasl. BARTOLO Leandro DI Modelagem Sísmca Ansotrópca Através do Método das Dferenças Fntas Utlzando Sstemas de Eqações em Segnda Ordem. Ro de Janero: UFRJ.. pág. Tese (Dotorado) Programa de Pós-gradação em Engenhara Cvl COPPE da UFRJ Brasl. BEVILACQUA Joce da Slva; Backproecton: Algortmo para Reconstrção de Imagem Médca. Modelagem em Bomatemátca. São Carlos/SP Pág. -5. CARNAHAN B.; LUTHER H.A.; and WILKES J. O.: Appled Nmercal Methods wle N.Y CEZARO Adrano De. Métodos de Reglarzação Tpo Level Set para Problemas Inversos. Floranópols: UFSC pág. Dssertação (Mestrado) Crso de Pós-Gradação em Matemátca e Comptação Centífca do Centro de Cêncas Físcas e Matemátcas da Unversdade Federal de Santa Catarna Brasl. CHENEY M.; ISAACSON D.; NEWELL J. C.; SIMAKE S. & GOBLE J.: NOSER: An algorthm for solvng the nverse condctvt problem Int J Imag Ss Technol vol. pp CHENG K.; CHEN B. Smlated annealng and genetc algorthms based methods for mpedance mage reconstrcton. nd nt. Conference on Boelectromagnetsm. [S.l.: s.n] 998 p CUNHA Mara Crstna de Castro. Métodos Nmércos. ª ed. Campnas: Edtora da UNICAMP. 76p. FILHO Athal Rangel Palno Dferenças Fntas para Malhas Arbtráras (Va Sére de Talor). Campnas: UNICAMP pág. Tese (Mestrado) Facldade de engenhara de Campnas Programa de Pós-gradação em Engenhara Mecânca Brasl. HAYKIN Smon. Redes neras: prncípos e prátca. ª ed. Porto Alegre: Artmed Edtora S.A p.

94 HERRERA Clada Natála Lara. Algortmo de Tomografa por Impedânca Elétrca Baseado em Smlated Annealng. São Palo: USP Pág. Dssertação (Mestre) Escola Poltécnca da Unversdade de São Palo Brasl. KIRKPATRICK S. GELATT C. VECCHI M.: Optmzaton b smmlated annealng. Scence 67 (98) KIM H. C.; BOO C. J.; & LEE Y. J.; Image reconstrcton sng smlated annealng algorthm n EIT Int. J. Control Atom. Sst. vol. no. pp KIM Y. J. & LEE M.G. Electrcal mpedance tomograph on a resstve network wth nternal crrents. [acesso em: 6 de Setembro de ]. Dsponível em: KUO C. J. & LEVY B. C. Mode-dependent Fnte-dfference Dscretzaton of Lnear Homogeneos Dfferental Eqatons SIAM J. Sc. and Stat. Compt. 9 (987) pp ( pages). LIMA Cícero Rbero de. Estdo da Obtenção de Imagens de Tomografa por Impedânca Elétrca do Plmão pelo Método de Otmzação Topológca. São Palo: USP Pág. Tese (Dotorado) Escola Poltécnca da Unversdade de São Palo Departamento de Engenhara Mecatrônca e de Sstemas Mecâncos Brasl. MENIN Olavo Henrqe. Método dos Elementos de Contorno para Tomografa de Impedânca Elétrca. Rberão Preto: USP 9. 7 pág. Dssertação (Mestrado) Programa de Pós-Gradação em Físca Aplcada à Medcna Facldade de Flosofa Cêncas e Letras de Rberão Preto da Unversdade de São Palo Brasl. Nmercal Solton of Partal Dfferental Eqatons - Wolfram Mathematca 8 Docmentaton. [acesso em: de Jlho de ]. Dsponível em: OLMI R. BINI M. PRIORI S.: A Genetc Algorthm Approach to Image Reconstrcton n Electrcal Impedance Tomograph. IEEE Trans. On Evoltonar Compt.. () 8-87 SILVA NETO G. C.; VALDA L. H. C.; LOPES A. P.. O Método das Dferenças Fntas aplcado a problemas de Transferênca de Calor em Regme Transente. In: XXX Iberan Latn Amercan Congress on Comptatonal Methods n Engneerng 9 Armação dos Búzos-RJ. CILAMCE. Ro de Janero - RJ: Unversdade Federal do Ro de Janero - UFRJ 9. p. -. SOARES Gstavo Lís Algortmos Genétcos: Estdo Novas Técncas e Aplcações Belo Horzonte UFMG pág. Tese (Mestrado) Escola de Engenhara da Unversdade Federal de Mnas Geras Programa de Pósgradação em Engenhara Elétrca Brasl. 9

95 TAVARES Lís Valadares; CORREIA Francsco Nnes. Optmzação lnear e não lnear: concetos métodos e algortmos. ª ed. Lsboa: Edtora FCG p. TIKHONOV A. N. & ARSENIN V.Y. 977 Solton of Ill-posed Problems John Wle & Sons. TRIGO Flavo Celso. Estmação Não Lnear de Parâmetros Através dos Fltros de Kalman na Tomografa por Impedânca Elétrca. São Palo: USP. 5. Pág. Tese (Dotorado) Escola Poltécnca da Unversdade de São Palo Departamento de Engenhara Mecânca Brasl. 95

96 96 ANEXO A Modelagem matemátca. O problema dreto da TIE envolve a determnação da dstrbção dos potencas no nteror da regão avalada e a resposta no contorno spondo conhecda a dstrbção da condtvdade o permssvdade no nteror da regão. Para a modelagem matemátca desse problema consderaremos ma sperfíce S com dstrbção de condtvdade dependente apenas das coordenadas de posção σ () o σ (rθ) (a escolha das coordenadas de posção va depender da geometra tlzada) sendo qe esta regão apresenta característcas pramente condtvas como mostra a Fgra A.. Fgra A.: Representação do domíno a ser analsado. Etraído de: TRIGO 6 O campo eletrostátco resltante nessa regão é descrto pelas eqações de Mawell qe são mostradas em sa forma dferencal a segr: D (A)

97 97 B B E t (A) (A) H D J t (A) Onde: D é o vetor ndção elétrca; E é o vetor campo elétrco; B é o vetor campo magnétco; H é o vetor ntensdade de campo magnétco; é a densdade volmétrca de cargas; J é o vetor densdade de corrente elétrca; Assmndo qe o fenômeno é qase-estátco e qe a regão avalada é pramente condtva as dervadas em relação ao tempo serão galadas a zero. Portanto a eqação (A) torna-se E (A5) De (A5) reslta qe deve estr ma fnção potencal dependente da condtvdade co gradente é gal ao vetor campo elétrco E. Assm temos: E (A6) Onde depende apenas da posção de m determnado ponto sendo o potencal elétrco nesse ponto. Sabendo qe no nteror da regão não estem fontes de corrente temos qe o dvergente do vetor densdade de corrente J deve ser zero dentro da regão assm:

98 98 J (A7) Assmndo qe o vetor densdade de corrente elétrca é ma fnção lnear do campo elétrco (sposção válda para sóldos e solções fracamente onzadas) temos: J E (A8) Isolando E em (A8) e sbsttndo em (A6) temos: J (A9) Sbsttndo (A9) em (A7) temos: (A)

99 99 ANEXO B A Eqação de Laplace modela a condção do calor em m meo homogêneo em m estado estaconáro (onde a temperatra não vara com o tempo em todo contorno e no nteror da regão). Assm a eqação dscretzada tlzada para apromar a solção é gal à eqação (8) com a alteração da varável () para T() sendo qe esta últma representa a temperatra no domíno analsado. O PVC abordado poss condção de contorno de Drchlet e é o segnte: Um qadrado de lado l= com temperatras nas bordas gas a T=75ºC para = e <<l; T=ºC para =l e <<l; T=5ºC para = e <<l; e T=ºC para =l e <<l. Inferr as temperatras no nteror do qadrado. (MENIN 9) Para solção do problema fo escolhda ma malha nterna com nove pontos nos qas a temperatra T fo calclada. O domíno dscretzado do problema tem o aspecto representado na Fgra mostrada a segr. Fgra B.: Domíno qadrado dscretzado pelo MDF. Etraído de: MENIN 9

100 Assm para = e = temos as segntes eqações: T T T T T para = e =; T T T T T para = e =; T T T T T para = e =; Para = e = temos as segntes eqações: T T T T T para = e =; T T T T T para = e =; T T T T T para = e =; Para = e = temos as segntes eqações: T T T T T para = e =; T T T T T para = e =; T T T T T para = e =; Adconando as CC: Para = e = T=75ºC; Para = e = T=ºC Para = e e = T=5ºC Para = e e = T=ºC Assm sendo as temperatras T T T 75º C ; as temperatras T T T º C ; T T T º C e T T T º C. Sbsttndo nas eqações acma fcamos com:

101 T T T 5 para = e =; T T T T 75 para = e =; T T T 75 para = e =; T T T T 5 para = e =; T T T T T para = e =; T T T T para = e =; T T T 5 para = e =; T T T T para = e =; T T T para = e =; Fazendo as segntes trocas de varáves: T =T T =T T =T T =T T =T 5 T =T 6 T =T 7 T =T 8 T =T 9 As eqações acma podem ser representadas na forma matrcal do tpo A.X=B. Onde A é ma matrz qadrada n n e X e B são matrzes do tpo n. Matrz A: A 99

102 Matrz X: T T T T T T T T T X Matrz B: B T T T T T T T T T A solção desse sstema de eqações fo realzada tlzando o método de elmnação de Gass e é apresentada a segr na Tabela B.. Elmnação de Gass é m método tlzado para resolver sstemas lneares transformando o sstema orgnal em m eqvalente smplfcado de mesma solção. Para esta modfcação aplca-se sobre as eqações do sstema A.X=B ma seqüênca de operações elementares escolhdas entre: ) sbsttr das eqações; ) mltplcar ma eqação por ma constante não-nla; ) adconar m múltplo de ma eqação a otra eqação.

103 Tabela B.: Dstrbção das temperatras calclada pelo MDF Para comparação abao são apresentados os valores calclados para o mesmo problema pelo Método dos Elementos de Contorno (MEC) (Fgra B.) e pelo MDF com a solção do sstema lnear sendo realzada pelo método de Gass-Sedel (Fgra B.) Fgra B.: Dstrbção das temperatras calclada pelo MDF com solção do sstema lnear sendo realzada através do método de Gass-Sedel. Etraído de: MENIN 9 Fgra B.: Dstrbção das temperatras calclada pelo MEC. Etraído de: MENIN 9

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