Inicia-se este capítulo com algumas definições e propriedades para uma seqüência de funções tal como

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1 . Métodos de Resídos Ponderados. Defnções áscas Inca-se este capítlo com algmas defnções e propredades para ma seqüênca de fnções tal como x ( x ( x ( x ( (. ( 3 4 n x Tas fnções são assmdas satsfazerem determnadas condções de admssbldade com relação à condções de contorno e gra de contndade. As fnções podem ser combnadas lnearmente por exemplo α + β (. na qal α e β são números denomnados elementos de m espaço lnear R e as segntes propredades segem: + + ( α + β α + β α( + α + α (.3 O prodto nterno de das fnções e é denotado por ( (.4 e representa a operação sobre e de modo qe x ( x ( x ( x (.5a o

2 8 t c τ ( τ ( ( t dτ (.5b A segnda defnção é chamada de convolção. Apenas a prmera defnção será consderada. Em algns textos o prodto nterno é denotado como. Para fnções reas o prodto nterno tem as segntes propredades: ( ( α( ( α ( + 3 ( + ( 3 ( > se se (.6 na qal é ma fnção nla qe exste no espaço R. Defne-se a norma da fnção como a raz qadrada do prodto nterno de por s mesma e denota-se por. ( (.7 A seqüênca de fnções tal como (. é dta ser lnearmente ndependente se α α + + α n (.8 + n apenas qando todos os α são nlos. Uma seqüênca de fnções lnearmente ndependentes é dta ser completa se m número e m connto de α podem ser encontrados de forma qe dada ma otra fnção admssível totalmente arbtrára reslte α < ε (.9

3 9 na qal ε é qalqer qantdade peqena. As fnções são chamadas fnções de base e os coefcentes α são os coefcentes de Forer. Se as fnções de base normalzada são mtamente ortogonas se (. se ( Cada termo adconado na seqüênca lnearmente ndependente e completa ntrodzrá m novo coefcente α. Para ma aproxmação com termos ( Deste modo α ( qando (. A norma de ( para ma seqüênca completa mtamente ortogonal (se a seqüênca não é ortogonal ela sempre poderá ser redzda para ma seqüênca ortogonal é: ( α α α α ( (. e desde qe ( se tem-se ( ( α (.3 Cada termo no somatóro da Eq. (.3 é postvo deste modo ( aproxma de por baxo qando amenta.

4 ( ( M com < M (.4 Um operador L ( é defndo como m processo qe qando aplcado a ma dada fnção prodz otra fnção p. L ( p (.5 Um operador é lnear se L ( α β αl + βl( ( + (.6 Esta defnção é geral para qalqer operador. Um exemplo de m operador dferencal é: ( ( L ( a( x + b( x + c( x x ( Com este embasamento consdere o problema representado por m connto de eqações homogêneas no nteror de m domíno L ( x (.7 Forma-se então o prodto nterno de ( L com ma otra fnção v ( L ( v realza-se ntegrações por parte até elmnar as dervadas em. Sponha qe o resltado possa ser escrto na forma ( ( v ( L ( v + ( F( v G( L F( G ( v ds S (.8 na qal S é a sperfíce externa do domíno e F G são operadores dferencas resltantes natralmente do processo de ntegração por partes. Por defnção F (v contém os termos v resltantes da prmera fase de ntegração parcal e G ( contém os termos. Algns exemplos lstratvos segrão logo.

5 ( O operador L ( é chamado o adnto de L (. Se L ( L( L é dto ser ato-adnto. este caso G G o operador. O connto F ( prescrto é chamado de condções de contorno essencas e o connto G ( prescrto é chamado de condções de contorno não essencal o condções de contorno natras. Consderando S e S partes complementares do contorno S do domíno pode-se estabelecer para ( L L : F( prescrto sobre G( prescrto sobre S + S S S S (.9 Um operador ato-adnto é dto postvo defndo se ( ( > L (. para todo não trval qe satsfaz a forma homogênea das condções de contorno. Exemplo. ( Consdere d L ( < x < (a d d vl( v vd d dv d d dv dv v v ` dv d dv + v L(v + F(vG( F(G (v (b Usando a Eq (.8 obtém-se

6 F( F(v v G( L L d G(v dv (c e portanto o operador é ato-adnto. A condção de contorno essencal é prescrto e d a condção de contorno natral é prescrto. Exercíco. erfcar se os operadores a segr são ato-adntos e especfcar as C.C.E. (condção de contorno essencal e C.C.. (condção de contorno natral d d ( ( ( + 3 ( < < + d d L a x a x a x x d d L ( + + < x < Um conceto mportante em elementos fntos é de contndade de ma fnção o de ma classe de fnções. Uma fnção f de váras varáves é dta ser de classe ( m C nm domíno se todas sas dervadas parcas até e nclndo a m-ésma ordem exstem e são contínas em. Exemplos: Se f é de classe podem ser descontínas Se f é de classe C em D então f é contína (.e. C em D então f f e f y f e são contínas. f y exstem mas Se f é de classe C em D então f f f f y f y f y e f y são contínas. Os problemas de nteresse podem ser classfcados em problema de valor de contorno o problema de valor ncal e problema de atovalor. Estes tpos de problemas serão lstrados a segr:

7 3 a problema de valor de contorno d d a f < x < (. d ( d a g (. x b problema de valor ncal d ρ + a f < t t (.3 dt d ( v (.4 t c problema de valor ncal e de contorno < x < a + ρ f ( x t (.5 t < t t ( t d ( t a g ( t ( x ( x (t (.6 x d problema de atovalor d d a λ < x < (.7 d ( a (.8 x na qal λ são os atovalores e são as atofnções.

8 4. Métodos de Resídos Ponderados Para qe o letor possa dstngr os métodos de elementos fntos convenconas (FEMs do método de elementos fntos por volmes de controle (CFEMs apresenta-se a segr m resmo sobre o método de resídos ponderados qe se constt na base matemátca dos prncpas métodos nmércos tas como: métodos de volmes fntos e métodos de elementos fntos. Consdere por exemplo ma eqação dferencal escrta nma forma compacta como: L( S ; (.9 com condções de contorno apropradas. L é m operador dferencal por exemplo L pode ser o operador defndo por ( ( L( a( + Γ. (.3 x ~ Se for ma aproxmação para onde são fnções de ~ nterpolação; pode-se defnr o resído como R L( S. Se a fnção de aproxmação representa exatamente a fnção solção procrada o resído deve ser nlo. zero na forma: As eqações dscretzadas podem ser obtdas fazendo o resído ponderado ser WRd. o ( R W < R W > (.3 O número de fnções de ponderação o fnções peso; W; deve ser gal ao número de desconhecdas obtendo-se m sstema algébrco de dmensões por. A ntegração por partes da eqação ntegral do resído e a sbsttção das fnções de nterpolação dentro da eqação resltante condz a obtenção das eqações dscretzadas.

9 5 Algns métodos de resídos ponderados (MWR em fnção de como são defndas as fnções peso W são descrtos resmdamente a segr: Método de Galerkn: MWR com W resltando R > ; daí reslta < d L( d S. (.3 o caso de elementos fntos as fnções de nterpolação são defndas para cada elemento (tranglar qadrlateral etc. como será mostrado posterormente. Método de Petrov-Galerkn: MWR com W p resltando + ( + p L( d ( + p S d (.33 Com p sendo ma pertrbação para fazer m determnado tpo de pwnd. Swamnathan & oller (99b defnem p na forma: p A U ; (.34 ( onde A depende do número de Peclet defndo no elemento e do passo de tempo e pode ser encontrado no trabalho de Swamnathan & oller (99b. Método de Mínmos Qadrados: Defnndo m fnconal na forma I R ( x d ; (.35

10 6 a mnmzação deste fnconal reqer qe I / e portanto R Rd. (.36 reslta Assm este é m MWR com W R. Para m operador lnear este método d L( L( d L( S Método de Colocação: MWR com W δ x y z onde δ é a fnção delta de Drac defnda por ( f ( x δ ( x ξ d f ( ξ. (.39 A partr das eqações (.3 e (.39 obtém-se: δ ( x x y y z z Rd o R ( x y z. (.4 L( S em...n pontos do domíno. (.4 Método de Sbdomíno: no sbdomíno MWR com W o qe reslta Rd ; (.4 fora do sbdomíno o

11 7 L ( d Sd (.43 Esta últma classe ncl os métodos de volmes fntos (FMs; de dferenças fntas por volmes de controle (CFDMs e de elementos fntos por volmes de controle (CFEMs..3 Formlação Fraca Consdere a segnte eqação de transporte: t + ( k S em (.44 seta as condções ncas e de contorno (.45 ( x ( x k n sobre Γ sobre Γ Γ Γ Γ (.46 A formlação representada pelas eqações (.44-(.46 no método de elementos fntos é denomnada de formlação forte (strong formlaton. Mltplcando a Eq. (.44 por ma fnção W e ntegrando no domíno reslta W d + t W d W ( k d W S d (a O ntegrando pode ser obtdo a partr de ( W k W k + W ( k (b

12 8 como W ( k ( W k W k (c Sbsttndo (c em (a obtém-se W d + t W d + W k d ( Wk d W S d (d a eqação (d a tercera ntegral da dreta para esqerda pode ser escrta tlzando o Teorema de Green na forma ( W k d Γ n W k Γ Γ W k dγ W k n dγ dγ + n Γ W k dγ n (e Em contornos nos qas a varável é especfcada forma a partr de (d a eqação: W deve ser nla. Desta W d + t W d + W k d W S d + Γ W k dγ n (.47 A Eq. (.47 é denomnada de forma fraca pos as dervadas de mas alta ordem desapareceram no processo de ntegração por partes. As dervadas foram redstrbídas entre as fnções e W. A últma ntegral na Eq. (.47 é ma ntegral no contorno e srge natralmente qando se obtém a forma da eqação. Por sso a segnda eqação (.46 é denomnada de condção de contorno natral em elementos fntos. As condções de contorno essencas devem ser mpostas no processo de solção como será vsto posterormente. Sbsttndo a segnda Eq. (.46 em (.47 obtém-se

13 9 W + t d W d + W k d W S d + W Γ d Γ (.48 A forma fraca da eqação além de ser eqvalente à forma forte faz com a ordem de contndade das fnções sea mas baxa e também permte a ntrodção natral das condções de contorno de segndo e tercero tpos. Exercíco 3: Análse o caso em qe k + h h n no contorno Γ..4 Fnconas Fnconas são fnções defndas por ntegras cos argmentos são em s fnções. Matematcamente m fnconal é m operador I mapeando dentro de m escalar I ( na forma b ( F x I ( ; (x ; a d (.49. Um fnconal l ( é dto ser lnear em se e apenas se ele satsfaz a relação: l ( α βv αl( + βl( v + (.5 para qasqer escalares α e β e varáves dependentes e v. Um fnconal ( v é dto ser blnear se ele é lnear em cada m de ses argmentos e v ( α β v α( v + ( v + lneardade no o argmento (.5 β ( α v βv α( v + β( v + lneardade no o argmento (.5 nas qas v v v são varáves dependentes. Uma forma blnear ( v é dta ser smétrca em ses argmentos e v se

14 3 ( v ( v (.53 para todo e v. Exemplos: L dv( L l( v vf + M (.54 na qal f f (x e M são qantdades conhecdas. L dv dw (vw a (.55 em qe a a(x é ma fnção conhecda..4. Símbolo araconal Consdere a fnção F ( x. Para x fxo F depende de e. A mdança α v em com α constante e v fnção é chamada varação de e denotada por δ δ αv (.56 e δ é denomnado símbolo varaconal. Assm pode-se obter o varaconal de F como F F δ F δ + δ (.57. Se F ( x o dferencal convenconal de F é calclado na forma F F F df + d + d (.58

15 3 para x fxo reslta F F df d + d (.59 Comparando as Eqs. (.57 e (.59 pode-se dzer qe δ ata como m operador dferencal em relação às varáves dependentes. Algmas propredades do operador varaconal são com segem consderando das fnções F F( e F F ( : δ F ± ± F δf δf. ( δ F + F F δf F δf. ( F FδF Fδ F 3. δ F F n n [ ] n( F δf 4. δ ( F d δ d 5. ( ( αv dv α αv b b 6. δ ( x a δ( x a δ d δ.4. Fnconal Qadrátco Sea os fnconas ( w l( w então L dw d L ( w a e l( w wq + w( L Q. Se ( w l( w (.6 para qalqer w qe satsfaça w no contorno. Fazendo w δ reslta ( δ l( δ (.6 Se é smétrco

16 3 ( δ L L ( δ d a d d a δ L a d δ L δ a d d L δ d d aδ [ ( ] Para o fnconal lnear obtém-se l( δ L δq + δ( L Q L δ q ( L Q δ + [ l( ] Portanto pode-se defnr o Fnconal Qadrátco segnte: I ( ( l( (.6 co m valor extremo pode ser obtdo com a condção δ I ( (.63 Em Mecânca dos Sóldos I ( representa o fnconal energa potencal total e δ I ( é o estabelecmento do Prncípo da Energa Potencal Total..5 Método de Raylegh-Rtz O método de Raylegh-Rtz consste em encontrar a solção de modo qe ( w l( w (.64

17 33 e é eqvalente em mnmzar o fnconal I ( ( l( (.65 Spondo ma nterpolação na forma + c (.66 na qal c são chamados coefcentes de Rtz e são determnados de forma qe ( w de forma qe sando a Eq. (.64 c + l( ( (.67 Qando o operador é blnear reslta ( c l( ( ( o ( F l( ( ( c F ; (.68 ( deve ser lnearmente ndependente para qe a matrz de coefcentes possa ser nvertda. Por otro lado tem-se sbsttndo a nterpolação (.66 na eqação (.65: I( c c + c + c l c+ o

18 34 ( ( ( ( ( l c l c c c I + (.69 A dervada parcal de ( I em relação a cada coefcente c é obtda na forma ( ( ( ( l c c I + (.7 A condção de mnmzação do fnconal é qe ( c I (.7 obtendo-se o mesmo resltado da Eq. (.68 ( ( ( ( l F F c ; (.7