Aplicação de Métodos Numéricos Adaptativos na Integração de Sistemas Algébrico-Diferenciais Caracterizados por Frentes Abruptas

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1 Palo Mgel Perera de Brto Aplcação de Métodos Nmércos Adaptatvos na Integração de Sstemas Algébrco-Dferencas Caracterados por Frentes Abrptas Departamento de Engenhara Qímca Facldade de Cêncas e Tecnologa Unversdade de Combra COIMBRA 998

2 APLICAÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS ADAPTATIVOS NA INTEGRAÇÃO DE SISTEMAS ALGÉBRICO-DIFERENCIAIS CARACTERIZADOS POR FRENTES ABRUPTAS Palo Mgel Perera de Brto Tese sbmetda à Facldade de Cêncas e Tecnologa da Unversdade de Combra para Mestrado em Engenhara Qímca, área de Processos Qímcos Trabalho sbsdado pela JUNTA NACIONAL DE INVESTIGAÇÃO CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA (J. N. I. C. T.) através de ma Bolsa de Mestrado PRAXIS XXI / BM / 77 / 94 COIMBRA Março de 998

3 Aos mes Pas

4 Agradecmentos Pela sa mportante contrbção no desenrolar deste trabalho gostara de agradecer: ao Prof. Dr. Antóno A. T. G. Portgal, me spervsor, pela orentação atenta e nteressada qe sobe manter, drante a eecção do presente trabalho; ao Eng. Belmro Darte, pelo nteresse e apoo qe sempre manfesto; a todos os mes amgos no Departamento de Engenhara Qímca (DEQ), qe me acompanharam neste percrso; ao Departamento de Engenhara Qímca (DEQ), na pessoa do se presdente, Profª. Drª. Mara Margarda L. Fgeredo, pelas condções de trabalho ceddas e pelo nteresse demonstrado; à Jnta Naconal de Investgação Centífca e Tecnológca (JNICT) pelo sporte fnancero conceddo.

5 Resmo O objectvo do presente trabalho consste no desenvolvmento e estdo de algortmos adaptatvos de ntegração para sstemas de Eqações Dferencas Parcas/Algébrcas evoltvas e ndmensonas. Estes algortmos baseam-se em estratégas de adaptação espacal da malha, assocados a dscretações caracteradas por apromações de dferenças fntas. Os referdos métodos foram escolhdos de forma a representarem dos tpos de estratégas alternatvas no tratamento de solções problemátcas qe desenvolvam frentes abrptas e/o choqes móves e, qe, tradconalmente colocam bastantes dfcldades de ntegração, através de métodos baseados em malhas, temporal e espacalmente, fas. Ambos os algortmos apresentam ma estrtra semelhante, podendo ser dvddos em dos estágos dstntos. ❶ Estágo I Identfcação de sbdomínos onde a ntrodção de ma estratéga de adaptação se revela necessára. Este estágo é eqvalente em ambos os algortmos, sendo efectado através da comparação dos perfs de solção obtdos pela ntegração do problema em das malhas fas de tamanho dferente (ma malha fna e otra esparsa); ❷ Estágo II Integração dos sbproblemas gerados, para cada m dos sbdomínos detectados no estágo anteror, pela ntrodção de m procedmento adaptatvo, na resolção do problema orgnal. Neste estágo, as estratégas de adaptação da malha base dferem bastante entre cada m dos algortmos. Assm, tem-se: Algortmo de Refnamento caracterado pelo refnamento scessvo de cada ma das sbmalhas detectadas até à satsfação do crtéro de precsão prevamente estabelecdo. Algortmo de Malha Móvel caracterado pela ntrodção de ma estratéga de mobldade nodal dnâmca em cada ma das sbmalhas referdas anterormente. Para cada m dos algortmos fo desenvolvda ma package de carácter geral, de forma a se tornar possível a sa aplcação prátca. Estas packages foram testadas em dversas condções, tanto para Eqações Dferencas Parcas (P.D.E. s) escalares e vectoras, como para Sstemas Mstos Algébrco Dferencas (P.D.A.E. s). A aplcação da dscretação espacal a cada modelo transforma o problema orgnal nm sstema de Eqações Dferencas Ordnáras (O.D.E. s), qe é ntegrado no tempo por ntermédo do ntegrador mplícto DASSL. No qe d respeto à avalação da solção em abcssas ntermédas, em relação às posções nodas das malhas base, fo estdada a nflênca de dos tpos de nterpolação: lnear e através de Splnes cúbcas, tendo-se verfcado a melhor adeqação das apromações lneares para perfs com varações do gradente mas elevadas e brscas. A qaldade da performance de cada método fo analsada, tendo como referênca os resltados apresentados por Darte [9], baseados na tlação de ma formlação do Método dos Elementos Fntos Móves, qer no qe d respeto à precsão das solções obtdas, como dos esforços comptaconas egdos.

6 Resmo - Em geral, ambos os algortmos se revelaram robstos na resolção de m varado conjnto de problemas. No entanto, o Método de Malha Móvel, mostro-se partclarmente aproprado para problemas qe desenvolvem frentes abrptas móves, onde as magntdes das dervadas espacas são especalmente elevadas. No caso do Método de Refnamento, os resltados são comparatvamente de qaldade nferor, revelando maores dfcldades de aplcação em modelos de ntegração mas dfícl. Foram analsados dos procedmentos dferentes para o tratamento das condções fronteras nterores dos sbproblemas gerados, tendo-se conclído qe a estratéga adoptada no Método de Refnamento, baseada na fação de condções de Drchlet artfcas, não se revela satsfatóra, podendo ocasonar dfcldades acrescdas na ntegração de modelos específcos. Pelo contráro, a estratéga aplcada no Método de Malha Móvel, baseada na smlação da evolção temporal da solção, mostro-se bastante robsta, em todos os problemas testados. Desenvolveram-se, galmente, dversas sbrotnas para a avalação de dervadas de dferentes ordens, através de correlações de dferenças fntas de tpo e gra de precsão mto varados, para malhas arbtraramente espaçadas, em sstemas coordenados de dmensão máma três. Consderam-se város processos para a avalação dos pesos assocados a cada ma destas apromações.

7 Índce. Introdção. Problemas Físcos e Métodos de Integração 4. - Classfcação de P.D.E. s 4. - Apresentação de P.D.E. s Típcas qe Ebem Solções com Perfs Abrptos Móves e/o Choqes Métodos Nmércos de Resolção de P.D.E. s Integral de Convolção Método das Característcas Robste e Fabldade dos Métodos Nmércos Dspersão e Dsspação Nmércas 3 3. Métodos de Malha Adaptatva Introdção Vantagens de Utlação de Métodos de Malha Adaptatva Revsão Bblográfca Introdção Métodos Nmércos de Malha Adaptatva Métodos Adaptatvos Aplcados a Problemas de Valor Frontera (B.V.P.) Métodos Adaptatvos de Redstrbção Nodal Estátca Métodos Adaptatvos de Redstrbção Nodal Dnâmca Métodos Adaptatvos Baseados em Apromações de Volmes Fntos 7 4. Algortmos Nmércos Adaptatvos Formlação Matemátca Geral dos Modelos Método de Refnamento de Malha Método de Malha Móvel Adaptatva Eqação de Movmentação Nodal Implícta Interpretação Geométrca da Eqação de Movmentação Nodal Eqações de Movmentação Nodal de Aplcação Mas Geral Descrção do Algortmo Tratamento dado às Fronteras nos Sbproblemas Gerados Comparação do Desempenho dos Métodos Nmércos Método das Dferenças Fntas Método de Refnamento de Grelha Método Dnâmco de Movmentação Nodal 97

8 Índce - v 6. Apresentação e Comentáro dos Resltados Posto de Trabalho Aplcação dos Métodos Nmércos a P.D.E. s Eemplo : Adsorção nm Leto Fo Eemplo 3: Reactor Pstão Dfsonal Eemplo 4: Combstão Eemplo 5: Dfsão, Convecção e Reacção nma Partícla Plana Aplcação dos Métodos Nmércos a Sstemas de P.D.E. s Eemplo 6: Propagação de ma Chama Eemplo 7: Reactor Tblar Não Isotérmco Eemplo 8: Propagação de Ondas Eemplo 9: Ectação de m Nervo Eemplo : Adsorção nm Leto Fo Aplcação dos Métodos Nmércos a Sstemas Mstos de P.D.A.E. s Eemplo : Reactor Tblar Não Isotérmco Eemplo : Colna de Adsorção/Reacção Conclsões e Sgestões para Trabalho Ftro Conclsões Sgestões para Trabalho Ftro 77 Notação Geral 79 Bblografa 8 Apêndce A Apresentação Resmda do Integrador Implícto DASSL 9 Apêndce B Apêndce C Descrção Resmda do Método de Elementos Fntos Móves (M.E.F.M.) 9 Métodos de Dedção de Fórmlas para a Estmatva de Dervadas Espacas 95 C. - Introdção 95 C. - Aplcação das Séres de Taylor para a Estmatva de Dervadas 96 C.. - Malhas Unformes Eemplo da dedção das fórmlas para o cálclo de prmeras dervadas através de dferenças fntas centradas de qarta ordem 96 C.. - Generalação para Malhas Não Unformes Dferenças fntas centradas de qarta ordem para prmeras dervadas 99 C..3 - Caso Partclar Estmatva da segnda dervada, em pontos frontera descrtos por condções de Nemann, através de fórmlas de qarta ordem C.3 - Geração de Fórmlas de Dferenças Fntas em Grelhas Arbtraramente Espaçadas

9 Índce - v Apêndce D Descrção da Estrtra dos Códgos 5 D. - Algortmo de Refnamento Programa REFIN 5 D.. - Estrtra Geral 5 D.. - Apresentação de m Eemplo D. - Algortmo de Malha Móvel Adaptatva Programa MMOVEL 6 D.. - Estrtra Geral 6 D.. - Apresentação de m Eemplo

10 Índce de Fgras. Representação de perfs típcos de dfsão e dsspação nmérca 4 3. Esqema de grelhas com m nível de refnamento crescente 3 4. Esqema resmdo da metodologa de refnamento 8 4. Flograma referente ao método de refnamento Interpretação geométrca das eqações de movmentação nodal [9] Ilstração do problema dos cramentos nodas [9] Flograma referente ao método de malha móvel adaptatva 86 D. Esqema smplfcado da estrtra do códgo de refnamento 6 D. Esqema smplfcado da estrtra do códgo de malha móvel adaptatva 7 v

11 Índce de Gráfcos 5. Resltados obtdos com Dferenças Fntas Centradas de 4ª ordem (tolint= -5, =.5) 9 5. Resltados obtdos com Dferenças Fntas Based Upwnd de 4ª ordem (tolint= -5, =.5) Resltados obtdos pelo método de refnamento em todos os rns para t= Resltados obtdos pelo método de refnamento em todos os rns para t= Resltados obtdos pelo método de refnamento em todos os rns para t= Resltados obtdos pelo método de refnamento para o rn (até t=) Resltados obtdos pelo método de refnamento para o rn (até t=) Resltados obtdos pelo método de refnamento para o rn (até t=) Resltados obtdos pelo método de refnamento para o rn (até t=) Gra de refnamento egdo pelo método nas condções do rn e rn para t= Gra de refnamento egdo pelo método nas condções do rn e rn para t= Gra de refnamento egdo pelo método nas condções do rn e rn para t= Gra de refnamento egdo pelo método nas condções do rn e rn para t= Resltados obtdos pelo método dnâmco de malha móvel em todos os rns para t= Resltados obtdos pelo método dnâmco de malha móvel para o rn5 (até t=) Resltados obtdos pelo método dnâmco de malha móvel em todos os rns para t= Resltados obtdos pelo método dnâmco de malha móvel para o rn (até t=) 5.8 Resltados obtdos pelo método dnâmco de malha móvel para o rn (até t=) 5.9 Resltados obtdos pelo método dnâmco de malha móvel para o rn (até t=) 5. Resltados obtdos pelo método dnâmco de malha móvel para o rn (até t=) 5. Resltados obtdos pelo método dnâmco de malha móvel para o rn3 (até t=) 5. Resltados obtdos pelo método dnâmco de malha móvel para o rn3 (até t=) 5.3 Resltados obtdos pelo método dnâmco de malha móvel para o rn4 (até t=) 5.4 Resltados obtdos pelo método dnâmco de malha móvel para o rn4 (até t=) 5.5 Resltados para a movmentação nodal da malha nas condções do rn 5.6 Resltados para a movmentação nodal de metade dos pontos da malha nas condções do rn 5.7 Resltados para a movmentação nodal da malha nas condções do rn3 5.8 Resltados para a movmentação nodal da malha nas condções do rn4 6. Resltados obtdos pelo método de refnamento para o Caso A do eemplo 6 6. Resltados do nível de refnamento para o Caso A do eemplo Resltados obtdos pelo método de refnamento para o Caso B do eemplo Resltados do nível de refnamento para o Caso B do eemplo Resltados obtdos pelo método de malha móvel para o Caso B do eemplo Evolção da malha ncal de nível para o Caso B do eemplo 6.7 Resltados obtdos pelo método de malha móvel para cada rn (t=.) 6.8 Resltados obtdos pelo método de malha móvel para cada rn (t=.3) 6.9 Resltados obtdos pelo método de refnamento no Caso A do eemplo 3 (tfnal=.5) 4 6. Resltados obtdos pelo método de refnamento no Caso A do eemplo 3 (tfnal=.5) 4 6. Resltados do nível de refnamento para o Caso A do eemplo Resltados obtdos pelo método de refnamento no Caso B do eemplo 3 (tfnal=.5) Resltados obtdos pelo método de refnamento no Caso B do eemplo 3 (tfnal=.) 5

12 Índce de Gráfcos - v 6.4 Resltados do nível de refnamento para o Caso B do eemplo Resltados obtdos pelo método de malha móvel no Caso B do eemplo 3 (tfnal=.5) Resltados obtdos pelo método de malha móvel no Caso B do eemplo 3 (tfnal=.) Evolção da malha ncal de nível para o Caso B do eemplo Perfs de resltados obtdos pelo método de malha móvel adaptatva no rn adconal para o Caso B do eemplo 3 (tfnal=.5) Perfs de resltados obtdos pelo método de malha móvel adaptatva no rn adconal para o Caso B do eemplo 3 (tfnal=.) 8 6. Evolção da malha ncal de nível para o rn adconal do Caso B do eemplo Resltados obtdos pelo método de refnamento no eemplo 4 6. Resltados do nível de refnamento para o eemplo Resltados obtdos pelo método de malha móvel no eemplo Evolção da malha de nível para o eemplo Resltados obtdos pelo método de refnamento no eemplo 5 (tfnal=.5) Resltados obtdos pelo método de refnamento no eemplo 5 (tfnal=.5) Resltados do nível de refnamento para o eemplo Resltados obtdos através de refnamento no rn adconal do eemplo 5 (tf=.5) Resltados obtdos através de refnamento no rn adconal do eemplo 5 (tf=.5) Resltados do nível de refnamento para o rn adconal do eemplo Resltados obtdos pelo método de refnamento para o rn do eemplo 6 (varável ) Resltados obtdos pelo método de refnamento para o rn do eemplo 6 (varável v) Resltados do nível de refnamento para o rn do eemplo Resltados obtdos pelo método de refnamento para o rn do eemplo 6 (varável ) Resltados obtdos pelo método de refnamento para o rn do eemplo 6 (varável v) Resltados do nível de refnamento para o rn do eemplo Resltados obtdos pelo método de malha móvel para o rn do eemplo 6 (varável ) Resltados obtdos pelo método de malha móvel para o rn do eemplo 6 (varável v) Evolção da malha ncal de nível para o rn do eemplo 6 (varável ) Evolção da malha ncal de nível para o rn do eemplo 6 (varável v) Resltados obtdos pelo método da malha móvel para cada rn (t=., var. ) Resltados obtdos pelo método da malha móvel para cada rn (t=., var. v) Resltados obtdos pelo método da malha móvel para cada rn (t=.6, var. ) Resltados obtdos pelo método da malha móvel para cada rn (t=.6, var. v) Resltados obtdos pelo método de malha móvel para o rn3 do eemplo 6 (varável ) Resltados obtdos pelo método de malha móvel para o rn3 do eemplo 6 (varável v) Evolção da malha ncal de nível para o rn3 do eemplo 6 (varável ) Evolção da malha ncal de nível para o rn3 do eemplo 6 (varável v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo 7 (tf=., var. ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo 7 (tf=., var. v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo 7 (tf=., var. ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo 7 (tf=., var. v) Resltados do nível de refnamento para o rn do eemplo 7 (tfnal=.) Resltados do nível de refnamento para o rn do eemplo 7 (tfnal=.) Comparação dos perfs de nível obtdos para o rn e o rn do eemplo 7 (t=.5) Comparação dos perfs de nível obtdos para o rn e o rn do eemplo 7 (t=.) Comparação dos perfs de refnamento obtdos para o rn e o rn do eemplo 7 (t=.5) Comparação dos perfs de refnamento obtdos para o rn e o rn do eemplo 7 (t=.) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo 7 (tf=., var. ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo 7 (tf=., var. v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo 7 (tf=., var. ) 4

13 Índce de Gráfcos Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo 7 (tf=., var. v) Resltados do nível de refnamento para o rn do eemplo 7 (tfnal=.) Resltados do nível de refnamento para o rn do eemplo 7 (tfnal=.) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn3 do eemplo 7 (tf=., var. ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn3 do eemplo 7 (tf=., var. v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn3 do eemplo 7 (tf=., var. ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn3 do eemplo 7 (tf=., var. v) Resltados do nível de refnamento para o rn3 do eemplo 7 (tfnal=.) Resltados do nível de refnamento para o rn3 do eemplo 7 (tfnal=.) Resltados obtdos pelo método de malha móvel para o eemplo 7 (tf=., var. ) Resltados obtdos pelo método de malha móvel para o eemplo 7 (tf=., var. v) Evolção da malha ncal de nível para o eemplo 7 (tf=., varável ) Evolção da malha ncal de nível para o eemplo 7 (tf=., varável v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo 8 (varável ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo 8 (varável v) Comparação entre os perfs de cada varável para o rn do eemplo Resltados do nível de refnamento para o rn do eemplo Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo 8 (varável ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo 8 (varável v) Comparação entre os perfs de cada varável para o rn do eemplo Resltados do nível de refnamento para o rn do eemplo Resltados obtdos pelo método de malha móvel para o eemplo 8 (varável ) Resltados obtdos pelo método de malha móvel para o eemplo 8 (varável v) Evolção da malha ncal de nível para o eemplo 8 (varável ) Evolção da malha ncal de nível para o eemplo 8 (varável v) Resltados obtdos pelo refnamento para o eemplo 9 (varável ) Resltados obtdos pelo refnamento para o eemplo 9 (varável v) Comparação entre os perfs de cada varável para o eemplo 9 (t=.) Resltados do nível de refnamento para o eemplo Resltados obtdos pelo método de malha móvel para o eemplo 9 (varável ) Resltados obtdos pelo método de malha móvel para o eemplo 9 (varável v) Evolção da malha ncal de nível para o eemplo 9 (varável ) Evolção da malha ncal de nível para o eemplo 9 (varável v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (tf=5., varável ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (tf=5., varável v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (tf=5., varável ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (tf=5., varável v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (tf=.3, varável ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (tf=.3, varável v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (tf=5., varável ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (tf=5., varável v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (tf=5., varável ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (tf=5., varável v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. C) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. H) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. T) Resltados do nível de refnamento para o rn do eemplo Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. C) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. H) 64

14 Índce de Gráfcos - 6. Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. T) Resltados do nível de refnamento para o rn do eemplo Resltados obtdos pelo refnamento para o rn3 do eemplo (var. C) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn3 do eemplo (var. H) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn3 do eemplo (var. T) Resltados do nível de refnamento para o rn3 do eemplo Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. M) 7 6. Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. * ) 7 6. Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. v * ) 7 6. Resltados do nível de refnamento para o rn do eemplo Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. v) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. M) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. * ) Resltados obtdos pelo refnamento para o rn do eemplo (var. v * ) Resltados do nível de refnamento para o rn do eemplo 7

15 Índce de Tabelas. Resmo dos grpos de métodos de ntegração prncpas [] 3. Resmo das prncpas M.M.P.D.E. s deddas por Hang et al [65] Apresentação resmda das referêncas bblográfcas Condções fadas para a eecção de cada rn (M. Ref.) Condções fadas para a eecção de cada rn (M. M. Móv.) Condções fadas para a eecção de cada rn do modelo de adsorção em leto fo 6. Desempenhos comptaconas para o modelo de adsorção em leto fo 6.3 Desempenhos comptaconas para o modelo do reactor pstão dfsonal Desempenhos comptaconas para o modelo de combstão Desempenhos comptaconas para o modelo de dfsão, convecção e reacção nma partícla plana Condções fadas para a eecção dos rns do modelo de propagação de ma chama (M. Ref.) Condções fadas para a eecção dos rns do modelo de propagação de ma chama (M. M. Móv.) Desempenhos comptaconas para o modelo de propagação de ma chama Desempenhos comptaconas para o modelo do reactor tblar não sotérmco Desempenhos comptaconas para o modelo de propagação de ondas 5 6. Desempenhos comptaconas para o modelo de ectação de m nervo Desempenhos comptaconas para o modelo de adsorção nm leto fo Condções fadas para a eecção dos rns do modelo do reactor tblar não sotérmco Desempenhos comptaconas para o modelo do reactor tblar não sotérmco Desempenhos comptaconas para o modelo da colna de adsorção/reacção 7 D. Resmo das varáves de entrada do programa REFIN fornecdas pelo fchero DATA 8 D. Resmo das varáves presentes nas sbrotnas defndas pelo tlador D.3 Resmo das varáves de entrada do programa MMOVEL fornecdas pelo fchero DATA 9

16 Introdção -. Introdção A smlação de sstemas físcos descrtos por Eqações Dferencas Parcas (P.D.E. s) constt m campo de pesqsa bastante eplorado qe pode apresentar mtas dfcldades partclarmente se as solções desenvolvem frentes móves e abrptas e/o choqes. Estes problemas podem srgr em aplcações físcas tão dstntas como o escoamento de fldos, aerodnâmca, condção térmca, reacção qímca, combstão e propagação de mplsos electroqímcos. Geralmente, a compledade matemátca dos modelos qe descrevem estes fenómenos torna mpratcável o desenvolvmento de solções analítcas. Deste modo, é mperatvo recorrer a smlações nmércas qe consttem as úncas ferramentas efcentes para solconar estes casos. No entanto, para sstemas de grande dmensão, as técncas nmércas desenvolvdas têm qe ser sfcentemente efcentes de modo a possbltarem resltados precsos, tlando tempos comptaconas realstas. As P.D.E. s qe consttem os modelos de smlação, são desenvolvdas a partr de balanços de massa, energa e qantdade de movmento. As dervadas temporas ocorrem em fnção da dnâmca transente, enqanto qe as dervadas espacas têm, normalmente, orgem em fenómenos convectvos o dfsonas. Podem, galmente, ser desenvolvdas Eqações Algébrcas (E.A. s) assocadas às P.D.E. s, qe decorrem geralmente de relações de eqlíbro o de aplcação de prncípos termodnâmcos. Para completar o modelo e torná-lo resolúvel, é necessáro defnr as condções ncas e frontera respectvas qe têm ma nflênca determnante na solção. Mtos dos Métodos Nmércos estentes são baseados em Malhas de Dscretação Fas. Nestes, todos os pontos da malha (desgnados por nodos) são tratados do mesmo modo, ndependentemente do facto de se starem em onas de peqena varação da solção, onde poderam ser removdos sem qalqer rsco de perda de precsão desta. Recentemente, hove a preocpação de desenvolver Métodos de Malha Adaptatva, onde se procra concentrar os nodos preferencalmente nas onas de maor actvdade da solção. Incalmente, estes métodos foram concebdos para a resolção de Problemas de Valor Frontera (B.V.P.), descrtos por Eqações Dferencas Ordnáras (O.D.E. s), sendo posterormente generalados para sstemas evoltvos de dmensão varável. Assm, à medda qe a solção evol no tempo, os nodos são deslocados para as posções com elevados gradentes de solção, sendo o esforço comptaconal centrado nas regões onde é mas necessáro. As estratégas ncas redefnam a malha a partr de crtéros baseados na parametração da solção em ntervalos de tempo dscretos. No entanto, em anos mas recentes foram apresentados métodos nos qas os nodos se movmentam contnamente com o tempo, de acordo com ma propredade característca da solção. No Capítlo apresenta-se ma classfcação geral das P.D.E. s, sendo enncados os tpos de problema descrtos por estas cjas solções podem desenvolver frentes móves e abrptas e descontndades. Referem-se, galmente, os problemas assocados à solção nmérca: dfsão e dsspação. Neste capítlo são referdos os prncpas métodos aplcados na resolção nmérca de P.D.E. s dma forma resmda. O Capítlo 3 constt m resmo das prncpas estratégas desenvolvdas para movmentação dos nodos no conteto dos métodos adaptatvos, já referdos anterormente. Não se pretende qe esta revsão bblográfca seja demasado abrangente o pormenorada, mas qe dê ma dea geral dos dferentes algortmos de redstrbção nodal apresentados.

17 Introdção - Pretende-se apenas dar atenção aos algortmos aplcados em dscretações baseadas em esqemas de Dferenças Fntas. No Capítlo 4 são desenvolvdas as estratégas adaptatvas selecconadas para estdo no presente trabalho e apresentam-se os respectvos algortmos, desenvolvdos para a sa aplcação. Cada método consderado basea-se nma estratéga de manplação nodal, nserda em cada m dos dos grpos geras em qe se podem dvdr os métodos de ntegração adaptatvos mas freqentemente tlados: ❶ Estratéga de ntrodção e remoção de nodos Método de Refnamento: Caracterado pelo refnamento das malhas base na regões do domíno espacal, onde se verfqem maores erros no avanço da solção temporal. ❷ Estratéga de movmentação dos nodos Método de Malha Móvel: Baseado na ntrodção de estratégas de movmentação nodal dnâmca, para a ntegração temporal, nas regões do domíno onde se constatem a ocorrênca de estmatvas para o erro espacal mas elevadas. A selecção das sbregões do domíno espacal, onde se revela necessára a aplcação de m procedmento adaptatvo, é realada da mesma forma em cada ma estratégas anterores, recorrendo-se à comparação das solções obtdas por ntegração temporal em das malhas arbtráras de espaçamento local dstnto. Desta forma, é possível efectar-se a estmatva do erro assocado à dscretação espacal, em cada nodo da malha. Para cada m dos métodos acma referdos, é desenvolvda ma package de carácter geral para a resolção de sstemas de Eqações Dferencas Parcas/Algébrcas (P.D.E./A. s) No Capítlo 5 procede-se à comparação do desempenho nmérco de cada m dos métodos consderados, tomando como eemplo a eqação víscda de Brgers (desgnada por Eemplo ). Esta eqação de carácter não lnear, já amplamente estdada por varados atores, orgna, em certas condções predomnantemente hperbólcas, ma frente móvel bastante abrpta, consttndo por sso, ma ferramenta efca para o teste dos códgos de resolção de P.D.E. s. Para ma melhor avalação da performance de cada método, tlamse como referênca os resltados apresentados por Darte [9], obtdos através da aplcação de ma formlação do Método de Elementos Fntos Móves (M.E.F.M.), com apromações polnomas cúbcas de Hermte. A comparação entre os desempenhos de cada método consderado, é efectada essencalmente, a dos níves: a qaldade dos resltados nmércos, o seja a sa precsão; o esforço comptaconal egdo para a sa eecção. No Capítlo 6 são apresentados e dsctdos os resltados obtdos pela aplcação dos métodos referdos anterormente, na resolção de ma vasta gama de problemas, desde problemas caracterados por P.D.E. s escalares até sstemas de eqações algébrcodferencas. Os eemplos consderados consttem-se como modelos típcos, qe tradconalmente ssctam dfcldades consderáves na sa resolção. Desta forma, torna-se possível realar m estdo pormenorado do desempenho de cada m dos algortmos, nas condções mas varadas, permtndo a constatação das sas potencaldades e lmtações. Os eemplos consderados são apresentados de segda:

18 Introdção P.D.E. s Escalares: Eemplo Adsorção nm leto fo (M.Ref. e M.M. Móvel); Eemplo 3 Reactor pstão dfsonal (M.Ref. e M.M. Móvel); Eemplo 4 Combstão (M.Ref. e M.M. Móvel); Eemplo 5 Dfsão, convecção e reacção nma partícla plana (M.Ref.). - Sstemas de P.D.E. s: Eemplo 6 Propagação de ma chama (M.Ref. e M.M. Móvel); Eemplo 7 Reactor tblar não sotérmco (M.Ref. e M.M. Móvel); Eemplo 8 Propagação de ondas (M.Ref. e M.M. Móvel); Eemplo 9 Ectação de m nervo (M.Ref. e M.M. Móvel); Eemplo Adsorção nm leto fo (M.Ref.). 3 - Sstemas de P.D.A.E. s: Eemplo Reactor tblar não sotérmco (M.Ref.); Eemplo Colna de adsorção-reacção (M.Ref.). O teste ao Método de Refnamento é mas eastvo do qe o correspondente ao Método de Malha Móvel dnâmco. No entanto, este revela-se mas efca do qe o anteror (nos eemplos em qe é aplcado), possbltando resltados concordantes com a bblografa, com tempos de comptação raoáves. Por otro lado, as solções obtdos a partr do refnamento, são relatvamente satsfatóras, na generaldade dos eemplos aplcados, apesar do método revelar algmas dfcldades de desempenho, em determnadas condções. Fnalmente, no Capítlo 7, apresentam-se as prncpas conclsões do trabalho, defnndo-se algmas ndcações geras, qe possbltem ma tlação mas efcente das packages desenvolvdas, por parte de m tlador não famlarado com as característcas dos algortmos respectvos. Enmeram-se, galmente, dversas propostas potencalmente nteressantes, como áreas de estdo ftro.

19 Problemas Físcos e Métodos de Integração - 4. Problemas Físcos e Métodos de Integração Neste Capítlo apresentam-se algns dos crtéros de classfcação mas mportantes para P.D.E. s, assm como as eqações cjas solções desenvolvem tpcamente perfs abrptos móves e/o choqes. Referem-se resmdamente os prncpas grpos de métodos tlados na resolção de eqações dferencas.. - Classfcação de P.D.E. s Na formlação matemátca da maor parte dos problemas dnâmcos em engenhara são envolvdas taas de varação em relação a mas de ma varável ndependente, nomeadamente o tempo e ma o váras dmensões espacas. Obtém-se, desse modo eqações, desgnadas por Eqações Dferencas Parcas, qe é necessáro ntegrar, para a resolção do problema. Com a aplcação dos prncípos de conservação de massa, energa e momento a eqação geral, δ δ δ δ δ a + b + c + d + e + f + g = (.) δ δ δ y δ y δ δ y é obtda com bastante freqênca sendo desgnada por Eqação Parcal Dferencal bdmensonal de segnda ordem. Portanto, sendo esta a P.D.E. geral mas comm desenvolvda em problemas de engenhara, é tlada como base para a classfcação de P.D.E. s. Estas dferencam-se nas sas propredades, pela forma como os dversos coefcentes são defndos. Os concetos apresentados de segda poderão ser alargados a otros tpos de eqações o sstemas de eqações, de dferentes ordens o dmensões. A ordem de ma P.D.E. é defnda pela maor ordem das dervadas nela envolvdas. No caso de m sstema de P.D.E. s, esta é determnada pela eqação de ordem mas elevada qe o compõe. A eqação (.) pode ser classfcada qanto à sa lneardade como: Lnear Se todos os coefcentes dependerem apenas das varáves ndependentes e y. Qaslnear Se os coefcentes forem galmente defndos em fnção da varável dependente e/o os coefcentes a, b e c dependerem das prmeras dervadas de. Sem-Lnear Se apenas os termos ndependentes dependerem da varável dependente (Caso partclar da Eqação Qaslnear). Não-Lnear Todos os otros casos.

20 Problemas Físcos e Métodos de Integração - 5 O gra de não-lneardade de ma P.D.E. encontra-se fortemente relaconado com o gra de dfcldade epectável na resolção do problema e, conseqentemente, determna a escolha do método de ntegração a tlar. Este conceto pode ser faclmente generalado para eqações o sstemas de eqações de ordem dferente. Otra forma de classfcação de P.D.E. s de segnda ordem do tpo da eqação (.) é baseada no valor do descrmnante = b - 4.a.c. Assm: b b b 4 a c > P.D.E. Hperbólca 4 a c = P.D.E. Parabólca 4 a c < P.D.E. Elíptca Esta classfcação pode ser galmente estendda a sstemas de n P.D.E. s de prmera ordem do tpo: δ A δ + B = c δ t δ * * (.) em qe: A e B * são matres n n, = [,,..., n ] T - vector das varáves dependentes, c * = [ c, c,..., c n ] T - vector dos termos ndependentes. Mltplcando (.) por A - tem-se: δ δ t δ + B = c (.3) δ Através da dagonalação da matr B, obtém-se a relação: B = S Λ S (.4) onde S e Λ são a matr dos vectores própros e a matr dagonal dos valores própros de B. Ambas as matres B e Λ são qadradas, já qe B apenas é dagonalável se fôr qadrada, o qe mplca qe Λ também o seja. Obtém-se então: δ δ t δ + S Λ S = c δ (.5) Deste modo, o sstema de P.D.E. s é: Hperbólco se os n valores própros forem reas e dferentes; Parabólco se os n valores própros forem reas e gas;

21 Problemas Físcos e Métodos de Integração - 6 Elíptco se os n valores própros forem compleos. Esta classfcação torna-se mpossível de realar se o sstema fôr caracterado por eqações de ordens dferentes e/o envolver eqações algébrcas. A semelhança das classfcações descrtas para sstemas de prmera ordem e eqações de segnda ordem é óbva. Esta relação é mto smples de estabelecer bastando, para tal, transformar a eqação geral de segnda ordem (.) ncal, no sstema de eqações de prmera ordem correspondente, obtendo-se a generalação desta classfcação para estes dos casos.. - Apresentação de P.D.E. s Típcas qe Ebem Solções com Perfs Abrptos Móves e/o Choqes Nesta secção são descrtos város modelos de P.D.E. s cjas solções desenvolvem tpcamente frentes abrptas móves. Tal comportamento pode ser orgnado pela nãolneardade em termos dfsvos, convectvos o geraconas, qer na própra eqação o nas condções fronteras, o smplesmente pela advecção de m perfl ncalmente abrpto. Este tpo de eqações reslta, normalmente, da modelação em estado transente de ndades, cjas propredades em estado estaconáro dependem de dmensões espacas (E: reactores tblares, colnas de destlação). Por ma qestão de smplcdade apenas serão referdos modelos ndmensonas. Dfsão Lnear O eemplo típco deste tpo de eqações é o modelo de dfsão nm meo sotrópco descrto por: δ δ t em qe: δ = D δ (.6) - concentração da sbstânca dfndda, D - coefcente de dfsão. No caso de D ser constante, a eqação (.6) é lnear. Em problemas de dfsão, a velocdade característca é nfnta. Desse modo, a evolção da solção (,t), em qalqer ponto genérco (,t), depende do valor da solção em todo o domíno. Este comportamento defne o carácter global dos problemas de dfsão. Por otro lado, no caso de problemas hperbólcos, as característcas apresentam ma velocdade de avanço fnta sendo, deste modo, de natrea local, já qe a solção em cada ponto do domíno (,t) é apenas nflencada pelo valor desta nessa regão do domíno. Dfsão Lnear com Termos Geraconas Os problemas de dfsão em qe o dfnddo pode reagr qmcamente, são representados pela adção de m termo geraconal à eqação de dfsão lnear:

22 Problemas Físcos e Métodos de Integração - 7 δ δ t δ = D + g( ) (.7) δ No caso de g() ser fortemente não-lnear, as solções deste tpo de eqações desenvolvem, freqentemente, frente abrptas móves. Se o valor de g() fôr bastante elevado, nm ntervalo peqeno [, ], e relatvamente peqeno fora deste ntervalo, então, das frentes abrptas epandr-se-ão em ambas as drecções, a partr de qalqer mplso qe eceda o valor crítco. Os termos geraconas podem galmente estar relaconados com condções frontera dependentes do tempo. Dfsão Não-Lnear Para mtos casos de aplcações físcas, os coefcentes de dfsão dependem da concentração do dfnddo. Uma relação consderavelmente não-lnear pode provocar frentes móves bastante abrptas. Então, a eqação geral tomará a forma: δ δ δ δ t δ D = ( ) (.8) δ Este comportamento ocorre galmente para modelos de dfsão não-lneares acoplados a termos geraconas também não-lneares. Advecção Lnear Os problemas dfsvos referdos anterormente estão relaconados com eqações do tpo parabólco. No entanto, estem eemplos de eqações hperbólcas, onde se desenvolvem frentes abrptas, qe podem orgnar choqes correspondentes a descontndades físcas. O eemplo mas smples deste tpo de eqação é a eqação escalar de onda ndmensonal: δ δ t δ + a = (.9) δ em qe a é ma constante e a solção ncal é defnda por: (,) = () (.) A partr do perfl ncal, a solção movmenta-se com velocdade a, mantendo a sa forma nalterável. Assm, qalqer perfl abrpto em () transforma-se nma frente abrpta móvel. No caso de advecção não-lnear, o seja, para relações de dependênca a() nãolneares, as frentes podem se formar com o tempo e evolr para a forma de choqes. Este comportamento ocorre mesmo no caso da solção ncal apresentar perfs saves. O eemplo mas smples deste tpo de eqações é a eqação nvíscda de Brgers em qe a() = :

23 Problemas Físcos e Métodos de Integração - 8 δ δ t δ + = (.) δ Convecção-Dfsão Em mtos processos físcos, os fenómenos convectvos e dfsvos ocorrem smltaneamente. Apesar da presença da dfsão assegrar qe os gradentes da solção sejam fntos, estes podem apresentar valores mto elevados para casos onde a convecção domna. Formam-se assm, qas-choqes, o seja, frentes bastante abrptas e pratcamente descontínas. O eemplo mas smples deste tpo é a eqação de Brgers: δ δ t δ ε δ = + δ δ (.) A eqação (.) apresenta frentes móves de espessra O(ε) para valores de ε mto baos (ε << )..3 - Métodos Nmércos de Resolção de P.D.E. s A solção de ma P.D.E. pode ser obtda de das formas: através da dedção da sa fnção analítca o recorrendo a ma apromação nmérca da solção analítca. A eactdão das solções analítcas constt ma grande vantagem. No entanto, a sa dedção só se torna possível para o caso de problemas escalares lneares de baa/méda compledade, o qe não acontece para a maora esmagadora dos problemas relevantes na área da Engenhara Qímca. Deste modo, o camnho qe, na maora dos problemas, é mperoso segr consste na obtenção de solções nmércas. A apromação nmérca encontra-se assocada a m erro qe determna a sa qaldade em termos de eactdão. Foram apresentados dversos algortmos de ntegração nmérca, scessvamente aperfeçoados, qe consttem város grpos de métodos nmércos. Cada método representa ma estratéga dstnta de resolção do problema. No entanto, estes algortmos têm em comm, a característca de conversão do problema orgnal, enncado nm espaço defndo pelas varáves ndependentes de natrea contína, nm problema eqvalente nm espaço dscreto. Deste modo, o problema passa a apresentar m carácter algébrco. A solção é calclada em pontos dscretos ao longo do domíno, sendo esta estrtra desgnada por malha o grelha. Em segda, são descrtos dma forma resmda os métodos prncpas de ntegração nmérca de P.D.E. s Integral de Convolção [] Os dferentes métodos de geração de solções nmércas de P.D.E. s não são mas qe a aplcação de dversas ferramentas para a resolção do mesmo problema: obtenção dma apromação nmérca da solção com ma eactdão acetável e tlando tempos comptaconas realstas. Cada ma das estratégas propostas apresentam, necessaramente, vantagens e desvantagens em relação às restantes. Para evdencar essa semelhança, consderase a estênca de ma solção generalada para a P.D.E. ncal na forma do operador lnear:

24 Problemas Físcos e Métodos de Integração - 9 ε=+ (, + ) = ( ) ( +, ) f t τ w ε f ε t dε ε= (.3) em qe: w(ε) - fnção peso o de Kernel escolhda. Pode ser generalada de modo a se tornar dependente do tempo e da solção, no caso de eqações não-lneares; τ - ncremento no tempo; ε - varável espacal alar; f(,t ) - condção ncal; f(,t +τ) - solção desejada após o ntervalo de tempo τ. Por ma qestão de smplcdade a eqação (.3) corresponde ao caso ndmensonal. Assm, os métodos de ntegração dferem entre s pela forma como é defnda a fnção w(ε). É claro qe, de modo a qe o problema seja completamente enncado, torna-se anda necessáro eplctar as devdas condções frontera. Assm, através do so repetdo da eqação (.3) obtém-se a solção do problema de valor ncal até ao cálclo de f(,τ) para o tempo T = N.τ. É galmente possível generalar a eqação para o caso de problemas mstos de valor ncal e problemas às condções frontera. Como fo referdo anterormente, é necessáro converter o problema orgnal para o domíno dscreto. Assm, o ntegral de convolção na forma dgtal tem a forma: k=+ KM n+ n f j = A k f j+ k k = ±, ±,..., ± K (.4) M k= KM onde: A k - ma fnção dscreta análoga a w(ε) e dependente do problema no domíno contíno e do método de conversão tlado. K M é defndo de forma a qe A KM o A -KM não sejam smltaneamente nlos; k - índce de contagem com valor mámo K M ; j - índce espacal de dscretação; n - índce temporal de dscretação; n f j - condções ncas dscretas; f j n+ - solção após o passo temporal t. Como anterormente, é necessáro defnr as condções fronteras apropradas do problema. O ntegral de convolção na forma dgtal é galmente aplcável a algortmos de ntegração do tpo mplícto (através da ntrodção de ma segnda fnção-peso), assm como pode ser generalado para problemas mlt-dmensonas e com das o mas varáves dependentes. A forma como os coefcentes A k são avalados é sbstancalmente dferente para cada método de ntegração. Na Tabela. são apresentados os prncpas grpos de métodos de resolção de eqações dferencas, resmndo-se as dferentes estratégas de cálclo de A k para cada m deles.

25 Problemas Físcos e Métodos de Integração - Método Comptaconal Tabela.: Resmo dos grpos de métodos de ntegração prncpas []. Método de Cálclo dos Coefcentes da Fnção de Kernel A k Dferenças Fntas Elementos Fntos Espectras Esqemas de Fltro Séres de epansão de Taylor. Polnómos de nterpolação (lneares, qadrátcos, cúbcos, etc) o de Hermte e Fnções Splne. Fnções ortogonas (Séres de Forer, Legendre o Polnómos de Chebshev). Transformada de Forer da fnção de resposta do sstema de eqações. Os métodos de Dferenças Fntas e de Elementos Fntos são, sem dúvda, os mas amplamente tlados e estdados, obtendo-se ma maor nformação bblográfca do qe em relação aos restantes. Métodos de Dferenças Fntas A ra do cálclo dos coefcentes da fnção-peso A k para os métodos de Dferenças Fntas é a epansão em sére de Taylor. Por eemplo, consderando a sa epressão genérca: n n f f = n f f f + j+ j δ δ δ +... (.5) 3 δ δ! δ 3! j Assm, rearranjando a eqação anteror obtém-se: n j n j n δ f = δ j f n j+ f n j n δ f δ f 3 3 δ +... (.6) 3! δ 3! j n j Consderando apromações de prmera ordem, o seja trncando a epressão (.6) a partr da segnda dervada, tem-se então: n δ f = δ j f n j+ f n j ( ), O (.7) Apromando desta forma todas as dervadas espacas e temporas, converte-se o problema orgnal nm sstema de eqações algébrcas, a partr do qal, é calclada a apromação da solção em cada nodo da malha. É nesta metodologa qe se basea o Método das Lnhas qe é, de facto, m dos métodos nmércos de ntegração de P.D.E. s mas dvlgados, tlados e, conseqentemente, analsados.

26 Problemas Físcos e Métodos de Integração - Através de manplação das eqações, é possível eplctar os coefcentes A k correspondentes a este método, para cada posção j e n. Por otro lado, pode-se obter as epressões relatvas à conversão para o domíno dscreto de dervadas de dferentes ordens, consderando-se váras ordens de apromação e números de pontos envolvdos, o seja, város valores de K M. Fornberg [45,46] desenvolve algortmos recrsvos para o cálclo do valor dos pesos de apromação, no caso de malhas de espaçamento arbtráro. Métodos de Elementos Fntos O método de Elementos Fntos é consderado como pertencente ao grpo de métodos de Resídos Pesados. Neste caso, os coefcentes A k são defndos através de fnções de nterpolação sadas para calclar o valor das varáves ndependentes em todas as posções não-nodas. A escolha das fnções referdas pode varar consderavelmente desde relações lneares até apromações qadrátcas. Podem, galmente, ser escolhdas epressões de ordem speror (Cúbcas, Hermte o otras fnções Splne). No entanto, estas reqerem mas pontos nodas para a sa defnção através de nterpolação. Dma manera geral, pode-se afrmar qe os coefcentes de convolção são defndos pelo enncado do problema no espaço contíno e os gras dos polnómos de nterpolação, através dos qas é realado o processo de conversão. Esta perspectva é semelhante à do método anteror, já qe as epansões de Taylor estão ntmamente relaconadas com polnómos de nterpolação. Deste modo, as úncas dferenças entre os dos métodos referem-se a vantagens relatvas a problemas específcos. Os otros métodos de Resídos Pesados mas commmente sados podem ser dvddos nas classes segntes: Métodos de Sbdomíno; Métodos de Colocação (Fnção δ de Drac); Métodos de Mínmos Qadrados; Métodos de Momentos; Métodos de Galerkn. Obvamente qe a dstnção entre cada m destes métodos se relacona com o tpo de fnção-peso escolhda. No entanto, não é o objectvo deste trabalho o aprofndamento da análse deste tpo de métodos. Métodos Espectras Consttem a aplcação do método de Galerkn tradconal com fnções de tentatva e teste com característcas ortogonas. Os coefcentes de convolção são calclados, neste caso, a partr de fnções ortogonas (E: Séres de Legendre, Polnómos de Chebshev) qe efectam a conversão entre os domínos contíno e dscreto. Métodos de Esqemas de Fltro Este método basea-se na noção de qe qalqer otpt dm sstema lnear o qaslnear pode ser calclado a partr do npt, se a fnção resposta fôr conhecda. Neste caso, a

27 Problemas Físcos e Métodos de Integração - fnção-peso de conversão passa a ser a transformada de Forer da fnção resposta do sstema. Cada m dos qatro grpos de métodos de ntegração referdos anterormente é aplcável a qalqer tpo de problema (hperbólco, parabólco, elíptco o msto). Porém, a lsta apresentada não pretende, de modo algm, ser eastva o demasado pormenorada mas, dar ma dea das prncpas estratégas propostas e posterormente desenvolvdas Método das Característcas É mportante referr m otro tpo de método de ntegração, qe constt ma perspectva algo dferente das referdas anterormente. Nesta estratéga aproveta-se a defnção de crva característca do sstema ncal de P.D.E. s. Pode-se provar qe a solção deste sstema, concde com a solção de m sstema de O.D.E. s ao longo de determnadas trajectóras no espaço, defndas pelas coordenadas ndependentes e qe se denomnam trajectóras o crvas característcas. Deste modo, não é necessáro recorrer à dscretação do problema, pelo menos ao longo dma das coordenadas, não se procedendo a qalqer apromação, o seja, não ocorre perda de eactdão nessa drecção. Introd-se, assm, ma perspectva Lagrangana na resolção das eqações dferencas, já qe, neste caso, os nodos movmentam-se com ma velocdade determnada (velocdade característca) de forma a percorrerem as trajectóras característcas pretenddas. Este método é bastante adeqado para problemas caracterados por frentes abrptas móves e/o descontndades, já qe qalqer choqe nddo no sstema se propagará ao longo das característcas, e nnca através destas, evtando-se gradentes elevados no sstema de eqações ntegrado nessas trajectóras. No entanto, o método é poco geral, o seja, a sa aplcação tem de ser estdada para cada caso, além de se tornar dfícl a avalação das velocdades característcas dos nodos (além da ntegração das O.D.E. s respectvas) em problemas de algma compledade Robste e Fabldade dos Métodos Nmércos As propredades defndas para avalação adeqada da performance de cada método nmérco, aplcado a m determnado problema são: Establdade, Consstênca, Convergênca. A establdade mede a propagação do erro entre dos passos de ntegração scessvos, sendo o crtéro normalmente sado, a condção de Von Nemann. O conceto de establdade pode ser faclmente compreenddo através da análse da epansão nmérca em sére de Forer. Assm, admtndo-se a solção ncal dm problema ndmensonal nm ponto p, na forma: = A e p, N n= n β n ph, p =,,..., N (.8)

28 Problemas Físcos e Métodos de Integração - 3 em qe: A n - ampltde; β n.p.h - fase de onda com β N - número de nodos; h - passo espacal. n = n π ; N h A resolção do sstema de N+ eqações permte a obtenção dos coefcentes A ndependentes do tempo. Para estmar o erro de propagação devdo ao ncremento temporal, consdera-se qe a solção nm ponto p para o tempo q é calclada por: β n, = e ξ q, p =,,..., N (.9) p q onde ξ q = e α t com α - constante complea. Para qe a solção nmérca seja estável, é condção necessára qe ξ q, com q pertencente ao domíno temporal. A consstênca mede a nflênca do ncremento das varáves ndependentes no comportamento de tendênca do erro de trncatra para ero. Por otras palavras, mede a tendênca do modelo gerado pelo método para o modelo real. Fnalmente, a convergênca mede a tendênca da solção nmérca para a solção analítca qando o ncremento das varáves ndependentes tende para ero. O crtéro de convergênca mas tlado é a condção de Corant-Fredrch-Levy qe pode ser resmda da forma segnte: A solção só é convergente no caso da crva característca da eqação, nm ponto genérco P para o tempo t n+, nterceptar a recta correspondente ao nível t n entre os pontos espacas dos qas depende a fórmla de dscretação tlada. Estas propredades são mto mportantes na escolha dos métodos nmércos a aplcar em cada problema, assm como determnam, freqentemente, os valores admssíves para os parâmetros assocados aos algortmos de dscretação Dspersão e Dsspação Nmércas No caso em qe a solção nmérca de m problema prátco, envolvendo P.D.E s o sstemas de P.D.E. s, apresente m comportamento caracterado pela estênca de perfs abrptos e/o choqes, é nevtável a ocorrênca de problemas de dfsão e dsspação nmérca a qando da aplcação de qalqer algortmo nmérco. Estes factores podem ser entenddos através da análse de Forer. Embora o factor de amplfcação ξ q (vd. Eqação (.9)) se mantenha, a ampltde A e a fase β n.p.h (vd. Eqação (.8)) são alteradas pelo método nmérco. A dspersão é provocada pelo facto da propagação de cada ma das ondas se efectar com ma velocdade dferente devdo ao desfasamento provocado. Assm, orgnam-se osclações na solção nmérca (vd. Fgra.). Por otro lado, a dsspação reslta da atenação o amplfcação das ondas, o qe provoca o alargamento da frente qe se estende por ma regão do domíno mas larga.