Texto 03: Campos Escalares e Vetoriais. Gradiente. Rotacional. Divergência. Campos Conservativos.

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1 1 Unversdade Salvador UNIFACS Crsos de Engenhara Cálclo IV Profa: Ila Reboças Frere Cálclo Vetoral Teto 03: Campos Escalares e Vetoras. Gradente. Rotaconal. Dvergênca. Campos Conservatvos. Campos Escalares e Vetoras Dada ma regão D do espaço podemos asocar a cada ponto de D ma grandea escalar o vetoral Defnções: Sea D ma regão do espaço trdmensonal ( o bdmensonal 1. Sea f ma fnção escalar defnda em D. A cada ponto P(,, D, f assoca ma grandea escalar f(p f(,,. A regão D ntamente com os valores de f em cada m de ses os pontos é chamada de m campo escalar.. Se a cada ponto P(,, de ma regão D do espaço está assocado m vetor qe tem P como ponto ncal, então a regão D ntamente com a coleção de todos esses vetores constt m campo vetoral. Eemplos 1. Sea D m sóldo esférco no espaço. Se a temperatra em qalqer ponto P(,, de D é proporconal à dstânca de P à orgem, então a fnção escalar T(,, defne m campo escalar em D chamado de campo de temperatra em D. Se a cada ponto P(,, de D assocamos a fnção densdade ρ (,, defnmos m campo escalar em D.. Sea D a atmosfera terrestre. Se a cada ponto P(,, de D assocamos o vetor v(p qe dá a velocdade do vento em P defnmos m campo vetoral em D chamado de campo de velocdade.

2 3. Consderemos ma corrente de ága em qe a ága fl horontalmente em qalqer nível e consderemos ma camada de ága nma profnddade específca. Em cada ponto da camada a ága tem ma certa velocdade qe pode ser representada por m vetor naqele ponto. Esta assocação de vetores com pontos nma camada defne m campo vetoral chamado de campo de velocdade 4. De acordo com a Le da Gravtação Unversal de Newton, a Terra eerce ma força atratva sobre ma massa m em dreção ao centro da Terra de grandea nversamente proporconal ao qadrado da dstânca da massa ao centro da Terra. Em cada ponto onde se sta, a massa m tem m vetor força atando. Esta assocação de vetores de força com pontos no espaço é chamada de campo gravtaconal da Terra e defne m campo vetoral chamado de campo de força. Os campos escalares á foram estdados em mtos dos ses aspectos. Vamos agora nos detalhar nos campos vetoras. Consderemos m campo vetoral e m sstema de coordenadas XYZ. Vamos assocar a cada ponto P(,, o vetor F(,,. Uma ve qe as componentes de F(,, dependem das coordenadas podemos escrever F(,, f(,, + g(,, + h(,,, onde f, g e h são fnções escalares nas varáves, e. Um campo vetoral em três dmensões é ma fnção F co domíno D é m sbconnto do R 3, qe assoca cada ponto (,, de D o vetor F(,, f(,, + g(,, + h(,,, onde f, g e h são fnções escalares nas varáves, e. Observações: 1. Analogamente podemos consderar D R e F(, f(, + g(,. Podemos sar ma notação compacta vetoral dentfcando o ponto P(,, com o rao vetor r + + e ndcando smplesmente F(r Eemplo: Consdere o campo vetoral F(, +. Descreva o campo vetoral, representando geometrcamente algns valores para F. Solção: Veamos algns valores: (, F(, (1,1 + ( 1, 1 (1, 1 + ( 1, 1

3 3 Gradente. Dvergênca e Rotaconal Uma classe mportante de campos vetoras srge na determnação de gradentes de fnções escalares. Lembremos qe se f é ma fnção de três varáves o gradente de f fo defndo como f f f sendo o vetor f. No caso de f ser fnção de das varáves temos f f f Assm, o gradente de f é m campo vetoral defndo por F(,, f f f f (,, (,, (,, (,, e é chamado de campo gradente Usando ma notação mas compacta f(,, f (,, + f (,, + f (,, Eemplo: Determne o campo gradente de f(, + O campo gradente de f é f(, +, o sea, é o mesmo em cada ponto (, Vamos agora defnr das operações mportantes dos campos vetoras: a dvergênca e o rotaconal do campo. Se F(,, f(,, + g(,, + h(,, defnmos: a dvergênca de F, denotada por dv F, como a fnção escalar f g h dvf o rotaconal de F, denotado por rot F, pela fnção vetoral h g f h g f rotf Observações: 1. Tanto dv F como rot F dependem do ponto em qe estão sendo calclados. O mas aproprado é escrever dvf(,, e rotf(,,, mas, para facltar a notação escrevemos smplesmente dvf e rotf fcando sbentenddo qe devem ser calclados no ponto (,,.

4 4. A dvergênca tem valores escalares e o rotaconal valores vetoras sendo, portanto, ele própro, m campo vetoral. 3. Os nomes dvergênca e rotaconal orgnaram-se no estdo do flo de m fldo. 4. A dvergênca refere-se à manera como o fldo fl para, o afasta-se de m ponto. Qando a dvergênca é postva em m ponto de m fldo, a sa densdade está dmnndo com o tempo e o fldo está se epandndo. Qando a dvergênca é negatva vale o oposto e se a dvergênca é ero em todos os pontos de ma regão o flo de entrada é gal ao de saída. 5. O rotaconal se refere às propredades de rotação do fldo nm ponto. Tem também mportânca na análse de campos de forças eletromagnétcos. O rotaconal de m campo elétrco nlo, por eemplo, caractera qe somente forças eletrostátcas estão presentes no campo elétrco. Antes de darmos eemplos do cálclo do rotaconal e da dvergênca vamos relaconar essas operações com o gradente. O operador Vamos nterpretar o símbolo do gradente como m operador, o sea, ( chamado de operador Del o nabla qando aplcado sobre a fnção f f f escalar f(,, prod o gradente f. Podemos faer analoga com o operador dervada d d qe qando aplcado a f( prod f (. O operador nos permte reescrever as defnções de rotaconal e dvergênca sando ma notação vetoral e relaconando-os com os prodtos escalar e vetoral Se F(,, f(,, + g(,, + h(,,, então a dvergênca de F é dada por dvf. F (. (f(,, + g(,, + h(,, f g h Se F(,, f(,, + g(,, + h(,,, então o rotaconal de F, é dado por rot F F f g h h g f h g f

5 5 Observações: 1. O prodto escalar da dvergênca não é verdaderamente m prodto escalar. Tem a forma de m prodto escalar. O mesmo vale para o determnante do rotaconal.. Os prodtos.f e.g e.h qe aparecem em ambas as epressões devem ser f g h nterpretados como,,, etc. Eemplo: Para a fnção F(,, ( calcle: rotf e dvf Solção: dvf.f (. (( (3 ( ( rotf F 3 ( ( (3 ( ( (3 + ( 1 Propredades do gradente, do rotaconal e da dvergênca Seam F(,, e G(,, campos vetoras, f(,, e g(,, fnções escalares e ma constante. Spondo qe todas as dervadas envolvdas estem e são contínas, valem as segntes propredades: 1. (f f. (f + g f + g 3. (fg f g + g f 4. dv ( F dv F 5. dv( F + G dv F + dv G 6. dv ( f F f dv F + f. F 7. rot( F + G rot F + rot G 8. rot(f F f rot F + f F 9. dv rotf rot( f 0 Vamos dar eemplos para confrmar as propredades 9 e 10

6 6 Eemplo: Seam F(,, + + e f(,, Verfqe qe a dv rotf 0 Solção: rotf F ( ( ( ( ( ( dv ( 0 b rot( f 0 Solção: f ( ( ( rot( f 3 ( (3 ( ( (3 ( Campos Conservatvos Uma qestão qe se coloca é: dado m campo vetoral F(,,, será qe F é m campo gradente? O sea, este ma fnção escalar (,, tal qe F(,, (,,? Se este, qal é esta fnção? Este problema é mto mportante em váras aplcações e tas campos têm ma termnologa própra qe colocaremos a segr Demos qe m campo vetoral F é conservatvo nma determnada regão se for o campo gradente de algma fnção escalar naqela regão, o sea, F é conservatvo se este (,, tal qe (,, F(,, A fnção (,, nesse caso é chamada de fnção potencal e (,, é o potencal no ponto P(,,

7 7 Eemplo: O campo F(,, é conservatvo pos este a fnção (,, tal qe (,, F(,,. A fnção (,, é a fnção potencal do campo Observações: 1. Vmos qe se m ponto P o ( o, o, o está no domíno de, então o vetor gradente ( o, o, o é normal à sperfíce de nível S de f qe contém P o.. A sperfíce S é o gráfco da eqação (,, ( o, o, o. 3. Todo vetor F( o, o, o em m campo vetoral conservatvo é normal à sperfíce de nível de ma fnção potencal para F, qe contém P o ( o, o, o Um otro resltado mportante é: D] Se F é m campo conservatvo, então este ma fnção escalar (,, tal qe F(,,. Pela propredade 9 rot ( 0 De fato: F(,, + + rotf F Observemos qe as dervadas nos parênteses correspondem respectvamente a 0 ; 0 e 0 ( Teorema de Schwar Sea F(,, f(,, + g(,, + h(,, m campo vetoral tal qe f, g e h são contínas com dervadas parcas contínas em ma determnada regão convenentemente restrta. Então F é conservatvo se e somente se rotf 0 F(,, é m campo conservatvo rotf 0 g h 0 ; h f 0 e f g 0

8 8 No caso do campo F se bdmensonal temos qe, Se f(, e g(, tem dervadas contínas em ma regão D, então f g F(, f(, + g(, é m campo conservatvo, se e somente se O caso bdmensonal é m caso partclar do trdmensonal f g f g 0 Cálclo da Fnção Potencal O método para encontrar a fnção potencal (, é o mesmo tlado na resolção de eqações dferencas eatas f g O Teorema nos d qe se então a F(, para algma fnção. Logo, (, é tal qe f (, ( I e g(, ( II Da condção ( I obtemos qe (, f (, d (, onde a ntegral está sendo calclada em relação à varável, o sea, é consderado constante. Por sso, aparece a fnção ( desempenhando o papel da constante de ntegração. Se encontrarmos a fnção ( a nossa fnção (, está completa e o problema resolvdo. Para encontrarmos a fnção ( aplcamos a condção ( II, o sea, dervamos em relação a e galamos a g. Chegamos a ma epressão para ( e através de ntegração obtemos ( Eemplo: Mostre qe o campo é conservatvo e encontre a fnção potencal nos segntes casos: 1 F(, ( ( + 4 Solção: f(, + 1 e g(, + 4. Este ma fnção (, tal qe f g, logo o campo é conservatvo. f (, 1 ( I e g(, 4 ( II Consderemos a condção (I 1. Podemos ntegrar a fnção, consderando constante e obter (, ( 1d (. A constante de ntegração é ma fnção (, ma ve qe consderamos constante na ntegração.

9 9 Logo, (, + + (. Se encontrarmos a fnção ( o problema está resolvdo. Para sto, aplcamos a condção (II g 4. Dervando em relação a e galando a g(, obtemos: + ( + 4. Logo, ( 4 e ( 4 d + K Logo, a fnção (, + + é ma fnção potencal para o campo F. F(,, sen Solção: rot F sen ( ( (sen ( (( (sen 0 Para encontrarmos a fnção (,, aplcamos a condção qe F, o sea, sen (I; (II; (III De (I temos qe (,, sen d 1(, cos 1(,. Dervando em relação a e galando a (II: 1. Integrando em relação a obtemos 1 (, + ( Temos assm qe (,, cos + ( Dervando em relação a e galando a (III: + ( ( C Como qeremos ma fnção potencal faemos C 0 e a fnção potencal fca (,, cos. Referêncas Bblográfcas: 1. O Cálclo com Geometra Analítca Swoows vol. Cálclo Um novo horonte Anton vol 3. Cálclo C Dva Flemng