8º CONGRESSO IBEROAMERICANO DE ENGENHARIA MECÂNICA Cusco, 23 a 25 de Outubro de 2007

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1 8º CONGRESSO IBEROAMERICANO E ENGENHARIA MECÂNICA Csco, 3 a 5 de Otbro de 7 MOELAGEM E ERROS GEOMÉTRICOS UTILIZANO A NORMA CHEBYSHEV E FERRAMENTAS E OTIMIZAÇÃO Gacomo, B, Tsnak, RH, Sagawa, JK Unversdade de São Palo, Escola de Engenara de São Carlos, epartamento de Engenara Mecânca, Av Trabalador Sancarlense, 4, , São Carlos - SP, Brasl bgacomo@scspbr, rtsnak@scspbr, sagawa@scspbr RESUMO A compettvdade de ma empresa o prodto está relaconada a m connto de reqstos qe é dnâmco no tempo Anda qe a agldade sea apontada como o prncpal reqsto desta década, a ênfase no atendmento às especfcações de proeto como fator de compettvdade perdra até o presente No qe tange à área de metrologa, á ma demanda por sstemas de medção áges e mas precsos A acracdade destes sstemas, por sa ve, está vnclada à acracdade dos algortmos tlados para tratamento de dados Assm, este trabalo vsa apresentar m connto de rotnas para avalação dos erros de forma nas qas são tlados modelos de Programação Lnear para a astagem das formas geométrcas deas aos conntos de dados epermentas O sstema proposto fo sbmetdo a testes prospectvos e epermentas para valdação e avalação da efcênca Os resltados obtdos com a aplcação do modelo proposto foram comparados com aqeles obtdos tlando-se o Método dos Mínmos Qadrados, evdencando a maor acracdade do prmero modelo Os programas desenvolvdos são fleíves, operando de forma ntegrada às ferramentas comercas de otmação Tempo de processamento e aspectos da nterface sstemasáro foram consderados no desenvolvmento O trabalo também apresenta o cálclo e análse das ncerteas de medção PALAVRAS-CHAVE: Programação Lnear, pré-processador, erro de plancdade, otmação, ncertea

2 INTROUÇÃO Na conntra atal, o mercado de mtos setores sofre nflêncas da globalação; as mdanças no patamar de conecmento e tecnologa são freqüentes; as ferramentas de marketng têm se tornado mas sofstcadas; as les de proteção do meo ambente têm recebdo mas atenção Em sma, os desafos qe as empresas precsam enfrentar para se manterem compettvas têm se tornado maores A capacdade de novação é m mportante fator de compettvdade, e para qe ela sea possível, é essencal prover sstemas de medção em constante melora, compatíves com as tecnologas sendo desenvolvdas Um estdo realado pelo Natonal Insttte of Standards and Tecnolog, NIST, em 5, levanto as necessdades relaconadas à área de medção para sporte a novações em setores ndstras eve-se ressaltar qe, no setor de manfatra de componentes dscretos, o problema de medção mas ctado é acracdade 6% e resolção 3% ante destes argmentos é possível afrmar qe a acracdade dos sstemas de medção é m fator de elevada relevânca na área de Metrologa Mecânca e qe, a acracdade dos algortmos matemátcos tlados na avalação de erros pode, por sa ve, ser destacada como ma mportante componente da acracdade total do sstema Portanto, o obetvo deste trabalo consste em apresentar m algortmo para a avalação de desvos geométrcos qe forneça ma avalação mas precsa em comparação ao Método dos Mínmos Qadrados, MMQ, o qal é tradconalmente aplcado devdo à facldade de obtenção da solção Aplcações deste últmo método são apresentadas em [] e [], entre otros Entretanto, em [3], destaca-se qe o Método dos Mínmos Qadrados fornece ma solção apromada qe não garante o crtéro de mínma ona enncado em na norma ANSI Y45M e se sgere m método alternatvo para avalação do erro de plancdade No método proposto reala-se a modelagem da avalação do desvo de forma como m problema de Programação Lnear, em qe o obetvo é a mnmação de ma fnção de nteresse, denomnada fnção-obetvo, seta a restrções qe refletem o comportamento do fenômeno estdado Este modelo posblta a tlação de algortmos desenvolvdos para a solção de problemas de otmação, mtos dos qas estão dsponíves em pacotes comercas de software Para qe essas ferramentas possam ser aplcadas, é necessáro faer a modelagem do problema e gerar matres de dados de apoo em formato adeqado para serem nserdos como parâmetros de entrada dos algortmos Assm, além da modelagem matemátca dos desvos geométrcos, este trabalo apresenta o desenvolvmento de m pré-processador qe gera as matres e vetores tlados na otmação MOELAGEM MATEMÁTICA Algortmos de avalação de erros de forma reqerem esforços de modelagem matemátca e comptaconal mas elevados em comparação à tlação de técncas convenconas de medção G&T A acracdade egda por algmas aplcações, entretanto, stfca o mesmo torna necessáro o so desses algortmos Além dsso, a maora dos nstrmentos não-convenconas reqer a tlação ntegrada de rotnas para a separação de erros, a avalação de erros geométrcos, entre otros Este é o caso das máqnas de medr a três coordenadas, do nterferômetro laser, do nível eletrônco, dos meddores de forma, do braço de medção, etc A modelagem de erros de forma basea-se na avalação do desvo de m perfl meddo com relação à forma geométrca deal esperada para o perfl Assm, para a avalação dos desvos, é necessáro astar o ente geométrco de referênca ao connto de dados, sto é, determnar ses parâmetros O prncípo fndamental da apromação de fnções dscretas o da astagem de formas geométrcas a m connto de pontos é a mnmação do connto de desvos de cada ponto meddo com relação ao ponto correspondente qe pertence à crva o forma de referênca Assm, estes desvos podem ser representados como na Eq d a, f [ a g ] O desvo total dos pontos pode ser avalado segndo dferentes crtéros medante a aplcação de normas matemátcas, salmente L, L e L A norma L orgna o tradconal Método dos Mínmos Qadrados, em qe os desvos são elevados ao qadrado O prncípo da norma L, também denomnada Norma Cebsev, é a mnmação do desvo dos pontos mas dstantes da forma de referênca astada, sto é, a mnmação dos pontos mámos Por este motvo, essa astagem também pode ser denomnada Mn Nesse caso, o modelo caracterase como m problema de Programação Lnear, PPL, ca fnção-obetvo é apresentada na Eq Mnmar d ;,, m * n

3 Se em m connto de pontos algns desvos são mámos com relação à forma de referênca, é possível afrmar qe todos os pontos do connto apresentam valores de desvo qe são menores o gas a este desvo mámo Estabelecendo-se a mdança de varável apresentada na Eq3, deve-se converter esta últma afrmação na epressão dada na Eq 4, qe constt o connto de restrções do modelo Realando-se as manplações necessáras e consderando-se a Eq de defnção do desvo, obtém-se a forma fnal das restrções, mostrada na Eq5 Geometrcamente, o desvo mámo representa a dstânca dos pontos dspostos smetrcamente à forma geométrca de referênca qe defnem lmtes paralelos a esta referênca abrangendo todos os pontos do perfl d ;,, m * n 3 d ; 4 [ a g ] ; f 5 O Smple e otros algortmos tlados para a solção de PPLs reqerem qe as varáves envolvdas assmam somente valores não-negatvos Os parâmetros da forma geométrca de referênca são varáves lvres, sendo necessáro escrevê-las como ma dferença entre varáves postvas, de acordo com a Eq6 Com base no desenvolvmento apresentado, pode-se escrever o modelo como na Eq7 a a a,,, k Mnmar Seto a [ a a g ] f [ a a g ] f, a, a 6 7 A segr, este eqaconamento é aplcado ao cálclo do desvo de plancdade, vsando eemplfcar a forma matrcal do modelo Neste caso, a forma geométrca de referênca é m plano ecldeano, e as varáves do modelo devem ser defndas segndo a Eq8 A fnção dscreta corresponde às altras meddas na sperfíce, conforme apresentado na Eq9 Se os pontos forem meddos sobre ma mala ortogonal retanglar, os índces das varáves devem varar de acordo com a Eq Realando-se as sbsttções necessáras, obtém-se o PPL apresentado na Eq g, ; g, ; g, f s, t, s,,,, m ; t,,,, n ;,,, m n 8 9 Seto a a a a a, a, a Mnmar a a a a s a s a s s a t t a t t O resltado deste modelo de otmação consste nm plano de referênca para o qal os pontos mas afastados, acma e abao deste plano, localam-se ma dstânca mínma deste plano Em otras palavras, o plano de referênca obtdo é eqüdstante dos pontos qe apresentam desvo mámo Segndo o teorema atrbído a de la Valle Possn, destacado em [4] e [5], estem no mínmo k pontos qe apresentam o desvo mámo com relação

4 à fnção astada Portanto, para o plano, devem ser observados no mínmo qatro pontos nestas condções O erro de plancdade avalado segndo a norma L pode ser defndo como das vees o valor do desvo mámo mnmado Em geral, o modelo apresentado deve ser convertdo em forma matrcal para ser resolvdo por ferramentas de otmação dsponíves comercalmente PRÉ-PROCESSAMENTO E AOS Os pré-processadores tem papel mportante em facltar a aplcação de ferramentas de solção de PPLs genércos na avalação de erros de forma Sa tlação em otmações de engenara é destacada em [6] e [7] O pré-processador desenvolvdo neste trabalo é responsável pela ntegração entre o programa de aqsção de dados e as ferramentas de otmação qe serão tladas na solção do PPL Consste nm connto de rotnas qe realam a letra do arqvo qe contêm os dados da medção e geram as matres e vetores de coefcentes correspondentes ao modelo apresentado As prncpas sbrotnas eectadas são mostradas na Fg F Gerar gráfco da sperfíce A Ler arqvo de dados do perfl E Converter a matr de dados do perfl em vetor colna Informações eternas adconas Informação sobre o no de pontos meddos Seqüênca de armaenamento dos dados do perfl B Gerar vetor de restrçoes de snal CGerar vetor de coefcentes da fnçãoobetvo Gerar matres de coefcentes das restrções Relação f s, t G Ferramenta de Otmação H Parâmetros do plano de referênca, valor mínmo de Fg agrama de sbrotnas do pré-processador Conforme apresentado no bloco A desta fgra, o programa nca-se com a letra da matr de dados do perfl da sperfíce A nformação sobre as dmensões dessa matr é tlada para a defnção das dmensões das demas matres e vetores tlados na otmação efndas as matres, o pré-processador cama a sbrotna de otmação qe fa as terações e fornece a solção Todas estas rotnas foram desenvolvdas em ambente Matlab Utlo-se a ferramenta lnprog, a qal fa parte do pacote de otmação do software Os argmentos báscos reqerdos por esta sbrotna são o vetor de coefcentes da fnção obetvo; as matres de coefcentes das restrções na forma de desgaldades e o vetor de termos ndependentes, qe, no modelo apresentado, corresponde ao vetor de altras meddas Como argmentos nãoobrgatóros, a ferramenta também admte ma matr de restrções na forma de galdades Além dsso, podem-se defnr vetores com valores de lmte speror e nferor para os valores a serem assmdos pelas varáves Esses argmentos adconas permtem anda qe ma forma íbrda sea tlada na modelagem, qe combna restrções em forma de desgaldades e galdades, como a apresentada em [8] Ao fnal do processamento, a ferramenta retorna o valor ótmo da fnção-obetvo e os valores-solção de todas as varáves, sto é, os parâmetros do plano de referênca astado e o valor do desvo mámo mnmado, do qal se obtém o valor do erro de plancdade Tomando por base a modelagem matemátca apresentada, podem ser desenvolvdos pré-processadores em otras lngagens, por eemplo VBA, para so ntegrado com otras ferramentas de otmação do Ecel, dentre váras otras alternatvas

5 CÁLCULO A INCERTEZA E MEIÇÃO Em algns casos, é mportante avalar a confabldade de ma medção, especalmente qando tolerâncas estretas são reqerdas o stações de saúde o segrança estão envolvdas Esta medda de confabldade é denomnada ncertea de medção e pode ser epressa como m ntervalo qe abrange ma fração sgnfcatva dos valores qe podem ser atrbídos ao mensrando [9] O erro de plancdade, da mesma forma qe mtas otras grandeas, é meddo de forma ndreta, o sea, por meo de ma relação fnconal com otras grandeas de entrada, como apresentado na Eq As ncerteas assocadas às grandeas de entrada do modelo fnconal devem ser combnadas conforme a Eq3 para a obtenção da ncertea da grandea qe está sendo ndretamente mensrada [9] G m FV, V,, V N 3 Para cálclo da ncertea do erro de plancdade resltante da avalação pelo método dos Mínmos Qadrados e pelo método Cebsev-Smple, deve-se ncalmente defnr a relação fnconal para cada m dos métodos No caso do MMQ, esta relação pode ser escrta eplctamente O desvo de plancdade, segndo este método, consste na dstânca entre os pontos mas afastados acma e abao do plano de referênca astado à sperfíce medda, conforme mostrado na Eq 4 e Eq 5 Aplcando-se a Eq3 nas varáves de entrada do modelo fnconal, obtêm-se as epressões para o cálclo da ncertea assocada ao desvo, mostradas na Eq6 e 7 ; mn Mín Má esvo 6 7 A ncertea na determnação das dstâncas mámas e mínmas, como pode ser observado, depende da ncertea na determnação dos coefcentes do plano de referênca No modelo Mn, deve-se observar qe este ma correspondênca entre m dado valor de desvo mámo e o valor dos coefcentes do plano astado, mas esta relação não se caractera ma dependênca fnconal, e, o valor do desvo mámo não é calclado em fnção dos coefcentes do melor plano, como ocorre no MMQ Assm, esse desvo mámo e, portanto, o erro de plancdade, são fnções apenas das altras meddas e sas respectvas coordenadas de medção As epressões da ncertea padrão combnada para este método são mostradas na Eq8 ; 8 As altras da sperfíce são meddas de forma ndreta, ma ve qe o nstrmento de medção, o nível eletrônco, mede ânglos entre dos pontos consectvos Assm, para o cálclo da ncertea padrão de cada altra medda é necessáro formlar o modelo fnconal qe representa esta medção e também aplcar a eqação da ncertea padrão combnada Este eqaconamento fo aplcado ao cálclo da ncertea na determnação do desvo de plancdade RESULTAOS E ISCUSSÕES O modelo matemátco desenvolvdo fo aplcado ao cálclo do erro de retlnedade de das régas de aço e ao cálclo do erro de plancdade de m desempeno de granto A Tab apresenta os valores do desvo de plancdade N m c v v F g c mn esvo c c esvo c 4 5

6 obtdos com a aplcação do modelo Cebsev-Smple e os resltados avalados com a tlação do Método dos Mínmos Qadrados, bem como os valores da ncertea assocada a cada m dos métodos Tab Valores de erro de plancdade de m desempeno de granto esvo de Plancdade µm ferenças Valores de Incertea a 95% µm Teset Método Método MMQ Mcrometros Porcentagem Proposto Proposto s MMQ LS LS / s 3 98% % % Méda 3 97% Para a medção de retlnedade tlo-se m sstema de medção atomatado e dedcado, proposto por [] Este sstema tla m robô artclado, o qe mplca a necessdade de tlação de algortmos de separação de erro, os qas foram desenvolvdos pelos atores ctados Após este processamento de dados, obtêm-se conntos de dados para cada artefato meddo, m deles referente ao perfl de retlnedade do artefato e o otro referente ao perfl de retlnedade do movmento do robô drante a medção A tabela apresenta os valores do desvo de retlnedade para a réga e valores do desvo de retlnedade do movmento do robô na dreção de medção do artefato A tabela 3 apresenta resltados análogos para a réga As fgras a e b apresentam, respectvamente, o perfl de retlnedade da réga e o perfl de retlnedade da movmentação do robô drante a medção da réga O passo de medção é de 8 mm Tab Valores do desvo de retlnedade da réga no e valores do desvo de retlnedade do movmento do robô drante a medção desta réga esvos de Retlnedade da Régaµm ferenças esvos de Retlnedade do Robôµm ferenças Teste Mn MMQ Mcrometros Percentagem Mn MMQ Mcrometros Porcentagem % % % % % % Méda % % Tab 3 Valores do desvo de retlnedade da réga no e valores do desvo de retlnedade do movmento do robô esvos de Retlnedade da Régaµm ferenças esvos de Retlnedade do Robôµm ferenças Teste Mn MMQ Mcrometros Percentagem Mn MMQ Mcrometros Porcentagem % % % % % % % % Méda % % As dferenças observadas no erro de retlnedade do movmento do robô, apresentadas nas tabelas e 3, devem-se ao fato de qe este se move ao longo de dferentes lnas de ação dentro de se volme de trabalo drante a medção de cada réga O ponto prncpal a ser ressaltado é o fato de os valores obtdos por meo do modelo proposto serem sempre nferores aos valores fornecdos pelo MMQ A dferença percental entre os resltados de cada método, como no caso da avalação da retlnedade da réga, é bastante sgnfcatva A análse das tabelas também demonstra qe

7 as dferenças percentas médas varam sgnfcatvamente para cada connto de dados epermentas Uma pótese a ser consderada para eplcar essa varação é a dferença de nclnação entre retas astadas por cada método Verfca-se qe qanto maor esta dferença, maor é a dferença observada entre os valores de desvo avalados tlando-se cada método A dferença de nclnação pode ser stfcada, em parte, pela dferença nos prncípos qe fndamentam cada algortmo No Método dos Mínmos Qadrados, a melor crva é astada em fnção de todos os pontos Ao contráro, qando a Norma Cebsev é aplcada, a crva é astada em fnção somente dos pontos qe apresentam m valor de desvo mámo com relação a esta crva, sendo escolda a crva em qe esse valor é mnmado eve-se ressaltar, anda, qe o MMQ também é nflencado pelos pontos mas dstantes, á qe o fato de os desvos serem elevados ao qadrado pode ser nterpretado como m tpo de ponderação, em qe os desvos maores são mltplcados por se própro valor, recebendo maor ênfase na astagem Fg aperfl de retlnedade da réga no, teste e retas de referênca astadas com a tlação de cada m dos métodos; b Perfl de Retlnedade da movmentação do robô drante o teste 3 e retas de referênca Uma qestão qe pode ser colocada nesse caso é se a reta orontal da astagem Cebsev na Fg é ma boa representação para o perfl Sob o aspecto da avalação do valor do erro de retlnedade, a resposta é afrmatva na medda em qe esta reta de referênca reslta em m menor valor de erro do qe aqele obtdo qando m mesmo connto de dados é processado pelo otro método Isso corrobora a acracdade speror do método proposto na avalação do erro Além dsso, a ferramenta tlada é bastante efcente com relação ao tempo comptaconal de solção do modelo, qe fo da ordem de segndos Assm, a capacdade comptaconal atal possblta e estmla o so de algortmos teratvos qe egem maor tempo de processamento, mas qe, por otro lado, fornecem respostas mas precsas Para a avalação do desvo de plancdade, apesar de as dferenças observadas entre as astagens serem de menos de %, á ma dferença sgnfcatva nos valores de ncertea A eplcação para a vantagem apresentada pela astagem Mn está no fato de qe, neste modelo, os parâmetros do melor plano e o valor da máma dstânca são determnados smltaneamente, no mesmo nível da cadea de cálclos Em otras palavras, o cálclo do erro é obtdo somente em fnção dos dados epermentas Assm sendo, a ncertea assocada ao desvo depende dretamente da ncertea na obtenção das altras meddas e sas coordenadas, conforme detalado na seção Cálclo da Incertea No MMQ, ao contráro, os parâmetros do plano de referênca são ncalmente calclados a partr dos dados epermentas e então o valor do desvo é comptado com base nesses parâmetros essa forma, m nível etra de ncertea é ntroddo Assm, o valor da ncertea de medção depende do algortmo tlado para a avalação do desvo CONCLUSÃO Atalmente, dspõe-se de m connto consderável de ferramentas de otmação comercas e a capacdade comptaconal não se constt ma lmtação ao so de algortmos teratvos com mtas varáves As técncas de pré-processamento desempenam ma fnção mportante, permtndo qe tas ferramentas seam aplcadas na modelagem de erros geométrcos Para aplcações não-ordnáras, onde tolerâncas estretas e processos de fabrcação de alta capabldade são reqerdos, torna-se essencal prover sstemas de medção com alta acracdade Estes casos stfcam o so de algortmos mas compleos, como a astagem Mn, ao nvés de procedmentos

8 convenconas de medção G&T Os resltados apresentados demonstraram qe a dferença entre as avalações do desvo de forma fornecdas pelo método proposto e pelo Método dos Mínmos Qadrados podem ser sgnfcatvas A defnção do melor algortmo de modelagem de desvos geométrcos está condconada a crtéros O modelo proposto apresenta maor acracdade na avalação do valor do desvo, ma ve qe este valor se aproma de m mínmo possível para m connto determnado de dados do perfl Este crtéro da mnmação do desvo total é o mas relevante para a maora das aplcações na área de Engenara e garante maor acracdade do sstema de medção, a qal é ma necessdade relevante na área da ndústra Mecânca, segndo estdos realados por nsttções da área de Metrologa Além dsso, o método proposto poss a vantagem de apresentar menores valores de ncertea assocada à avalação dos desvos geométrcos, sendo assm, segndo esta análse, mas confável AGRAECIMENTOS À Fndação de Amparo à Pesqsa do Estado de São Palo pelo apoo fnancero a este proeto REFERÊNCIAS AB Forbes, Uncertant evalaton assocated wt fttng geometrc srfaces to coordnate data, Metrologa, Vol 43, pp S8-S9, 6 W Gao e S Kono, On-Macne Profle Measrement of Macned Srface Usng te Combned Tree-Pont Metod, JSME Internatonal Jornal, Seres C, Vol 4, No, pp 53-59, ST Hang, KC Fan e JH W, A new mnmm one metod for evalatng flatness errors, Precson Engneerng, Vol 5, No Jan 993, pp 5-3, JE Kelle Jr, An Applcaton of Lnear Programmng to Crve Fttng, Jornal of te Socet for Indstral and Appled Matematcs, Vol 6, No, pp 5-, AA Goldsten, N Levne e JB Heresoff, On te best and least Qt appromaton of an overdetermned sstem of lnear eqatons, Jornal of ACM, Vol 4, Isse 3 Jl 957, pp , SE Benle, K Merkle, T Blacker e L Scoof, Pre- and post-processng for te fnte element metod, Fnte Elements n Analss and esgn, Vol 9, pp 43-6, Lee e S Km, A Knowledge-Based Epert Sstem as a Pre-Post Processor n Engneerng Optmaton, Epert Sstems Wt Applcatons, Vol, No, pp 79-87, B Gacomo, R Tsnak e JK Sagawa, Accrac of Measrement Sstems: A Proposal of a Lnear Programmng for Form Error Assessment, Mem SmpQalta 7, Tanger, Maroc, pp95-3, 7 9 ISO GUM Ga para a Epressão da Incertea de Medção, 998 B Gacomo, R Tsnak e FT Paan, Robot-based dedcated measrng sstem wt data redndanc for profle nspecton, Mem Smp IEEE/RSJ IROS Int Conf, Edmonton, Alberta, Canada, pp , 5 UNIAES E NOMENCLATURA a parâmetros coefcentes da forma geométrca deal dstânca de ponto a plano esvo desvo de plancdade d desvo entre o valor da fnção dscreta e a crva da forma deal, ambos no -ésmo ponto µm F representa ma relação fnconal entre varáves f fnção dscreta; dados meddos o obtdos epermetalmente g cada ma das fnções qe compõem a crva da forma deal G m grandea medda ndretamente g m, v estmatva das grandea G m e V,,V N, respectvamente desvo mámo o dstânca máma para o modelo de astagem Mn, como defndo na Eq3 µm, s, t índces das altras meddas e coordenadas, ca varação é defnda na Eq k número de parâmetros a a serem determnados na astagem m, n número de lnas vertcas e orontas, respectvamente, de ma mala ortogonal sobre a sperfíce valor da ncertea de medção de ma grandea V,,,V N grandeas de entrada do modelo, coordenadas das altras meddas, defndas na Eq9 µm, a coordenada do ponto acma do plano de referênca ca dstânca a este plano é máma altras meddas sobre a sperfíce µm altra do ponto ca dstânca acma do plano de referênca é máma,, coefcentes do plano astado pelo Método dos Mínmos Qadrados