Determinação da Incerteza de Medição na Calibração da Área de Aberturas Circulares RESUMO

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1 Prodto & Prodção, vol. 11, n. 1, p , fev. 010 Edção Metrologa Determnação da Incerteza de Medção na Calbração da Área de bertras Crclares Pedro B. Costa Wellngton S. Barros Insttto Naconal de Metrologa Normalzação e Qaldade Indstral - Inmetro pbcosta@nmetro.gov.br RESUMO O Laboratóro de Metrologa Dmensonal do Inmetro está mplementando m sstema para a medção de áreas de abertras crclares tlzadas em meddas radométrcas e fotométrcas. s medções são realzadas através da determnação das coordenadas dos pontos ao longo da borda da abertra. Dessa forma, é possível determnar o dâmetro médo, e, conseqentemente, a área da abertra. Neste trabalho será descrto a metodologa para o calclo da ncerteza de medção assocada a este tpo de metodologa. Palavras chave: Incerteza de medção, bertra crclar, Medção sem contato. 1 INTRODUÇÃO Orfícos de formato e dmensões bem defndos, também denomnados abertras, são tlzados para a realzação de meddas radométrcas e fotométrcas. ssm, a calbração de áreas de abertras é atalmente m ponto de grande mportânca para garantr a eatdão destas medções [1,]. dvsão de metrologa óptca do Inmetro está atalmente desenvolvendo m projeto para a realzação da grandeza de ntensdade lmnosa, onde é de grande mportânca à determnação da área de abertras crclares tlzadas para essa padronzação [3]. companhando a tendênca dos demas nstttos naconas de metrologa na medção de áreas de abertras, o Laboratóro de Metrologa Dmensonal do Inmetro desenvolve m sstema para medção desse tpo de padrão através de m método sem contato, dferentemente dos métodos tradconas qe tlzam Máqnas de Medr por Coordenadas MMC s o métodos óptcos com a determnação da área através de ajstes de mínmos qadrados [4].

2 DESCRIÇÃO DO SISTEM O sstema desenvolvdo para a medção de abertras crclares é composto por m mcroscópo com ma mesa de deslocamentos horzontas XY e ma câmera CCD. magem amplada da abertra é captrada pela câmera e envada a m mcrocomptador. segr, são determnadas as coordenadas X e Y dos pontos referentes às bordas da abertra, a partr das qas se obtém o dâmetro da abertra e, conseqentemente, sa área. determnação destas coordenadas da borda é realzada atomatcamente através de m software desenvolvdo pelo própro laboratóro com m algortmo específco para a detecção de bordas..1 Software de Medção partr da magem captrada pela câmera CCD, o software Crclar pertre realza ma varredra nas dreções e da magem para determnar as coordenadas, em valores de pel, dos pontos da borda ao longo da abertra. O algortmo tlzado para a determnação dessa borda analsa os valores correspondentes à ntensdade lmnosa de cada pel ao longo de ma lnha. partr destes valores é possível modelar ma crva através de ma fnção f. Os resltados do cálclo dos pontos de nfleão dessa fnção representam os pontos em qe ocorre a transção claro-escro na magem, o seja, representam os pontos das bordas da abertra. O modelo matemátco desenvolvdo para a obtenção da área da abertra tem como prmero passo a determnação do centro da crcnferênca. O valor qe representa o centro da crcnferênca no eo X é encontrado através do cálclo da méda de todas as coordenadas meddas nesta dreção. O mesmo procedmento é realzado para a determnação do centro no eo Y. Uma vez defndo o centro da abertra, calcla-se a dmensão das hpotensas dos trânglos retânglos defndos a partr das coordenadas dos pontos da borda e das coordenadas do centro, conforme mostrado na fgra 1. Estas hpotensas, por sa vez, representam os raos da crcnferênca em cada ponto de medção., 3, 3 1, 1 4, 4 o Fgra. 1. Determnação dos raos através da constrção de trânglos

3 área da abertra pode ser calclada em fnção de m rao médo obtdo a partr dos dversos raos calclados. Dessa forma, obtém-se ma epressão para a área de abertra em fnção das coordenadas e dos pontos localzados na borda da abertra Eq. 1. π N N [ C C ] Para qe o algortmo elaborado seja capaz de dentfcar os pontos da borda da abertra e obter o valor das coordenadas destes pontos, é necessáro qe, com ma determnada amplação do mcroscópo, toda a área da abertra esteja contda na magem ebda na tela. Esta egênca assocada ao algortmo e ao mcroscópo tlzado para a medção restrnge a tlzação da metodologa atal desenvolvda à medção de abertras de até 4 mm de dâmetro. 1 3 INCERTEZ DE MEDIÇÃO O modelo matemátco tlzado para obtenção do resltado fnal e avalação da ncerteza de medção derva da Eq. 1. Entretanto, os resltados obtdos por meo da eqação ctada são valores contados em pel. Para qe seja possível obter valores em ndades de área, é necessáro estabelecer a dmensão de m pel, o seja, defnr qanto cada pel vsalzado na tela vale em termos de ma dada ndade de comprmento. Essa defnção do tamanho de m pel na dreção e na dreção fo obtda tlzando-se m laser nterferométrco e ma escala gradada, sada apenas para obter ma magem na tela. O procedmento para a determnação dos valores de tamanho do pel nas dreções e são nserdos no modelo de medção de abertras como m padrão de referenca com valor médo e ncerteza conhecdos. O modelo matemátco fnal para a calbração da área da abertra com os valores convertdos em ndade de comprmento é apresentado na Eq.. Neste modelo, consdera-se também o efeto dlatação térmca sobre a sperfíce medda. {[ C Lp] [ C ] } π bertra 1 β Δt Onde, Coordenadas da borda na dreção em pels C Centro da crcnferênca no eo em pels Lp Comprmento do pel no eo Coordenadas da borda na dreção em pels C Centro da crcnferênca no eo em pels Comprmento do pel no eo β Coefcente de dlatação sperfcal da abertra t Dferença da temperatra da abertra em relação à temperatra de referênca

4 determnação dos valores de C e C são realzadas através da méda dos valores de todos os pontos ao redor da abertra, encontrado pelo programa de medção. Eq. 3 e Eq. 4 C 1 n n n C n Incerteza do Tpo No procedmento proposto para a medção, a abertra fo medda em cnco posções dstntas. No total, foram meddos 3850 pontos. partr de cada m dos pontos calcla-se m valor de área da abertra. ssm, a repettvdade fo avalada a partr do desvo padrão destes valores de área. componente de ncerteza relaconada à repettvdade é relatvamente peqena em comparação às demas, ma vez qe a qantdade de medções é bastante elevada. Os valores apresentados como eemplo, foram retrados da medção de ma abertra crclar de 0,4 mm. O valor médo meddo da abertra fo de 0,0460 mm, e o desvo padrão das medções gal a 0,00198 mm. repettvdade fo determnada de acordo com a eqação 5. 5 s n 0, Obtendo o valor de 0,03 m como contrbção da repettvdade para a ncerteza de medção.

5 3. Incerteza do Tpo B 3..1 Incerteza das Coordenadas de X s ncertezas relaconadas as bordas do eo, determnadas pelo programa, são estmadas como sendo o maor erro possível qe o programa pode cometer na determnação de m ponto na borda da abertra. Esse valor é estmado como sendo de metade de m pel, pos se a borda da abertra não estver eatamente sobre a ntersecção de dos pels, e sm, sobre o meo de m pel, o programa atomatcamente ra detectar a borda como se esta estvesse sobre ma das etremdades deste pel. este valor é atrbída ma dstrbção retanglar pos a probabldade da borda da abertra estar contda em m determnado ponto no nteror de m pel é a mesma para todos os pontos dentro deste pel. O coefcente de sensbldade é calclado através da eqação 6. π C Lp 1 β Δt Incerteza das Coordenadas de ncerteza devdo ao erro na determnação das coordenadas de é calclada de forma smlar a ncerteza das coordenadas de, varando apenas o cálclo do coefcente de sensbldade. Eq 7. 7 π C 1 β Δt 3..3 Incerteza da Determnação do Centro da Crcnferênca Para a determnação do centro da crcnferênca nos eos e, são tlzados os valores das bordas em ambos os eos, o centro é determnado através da méda desses valores. Portanto, o centro da crcnferênca é a méda de ma sére de valores. Como forma de estmar ma dúvda para a determnação do centro da crcnferênca, é calclada a ampltde de todos os possíves valores de centro tlzados no calclo da méda. Este procedmento é valdo para ambos os eos. Para a medção da abertra, ctada no tem 3.1, a ampltde encontrada para os eos e foram de 5,0 e 4,5 respectvamente Valores em ndade de pel. Os coefcentes de sensbldade para ambos os eo são calclados através das eqações 8 e 9.

6 C C π C π C Lp 1 β Δt 1 β Δt Incerteza do Comprmento do Pel O comprmento do pel nos eos e são valores obtdos de ma calbração preva da magem. O valor verdadero convenconal para o pel é fornecdo como a méda de n valores com ma ncerteza epandda atrbída, gras de lberdade nfnto e fator de abrangênca gal a dos. No sstema tlzado pelo Lamed os pels possem valores de 0,00091 mm e 0, mm, para os eos e respectvamente. Com ncerteza de 0 nm para ambos os eos. O coefcente de sensbldade relatvo ao comprmento do pel é calclado de acordo com as eqações 10 e 11, mostradas a segr. π Lp π C C Lp 1 β Δt 1 β Δt Incerteza Devdo às Condções mbentas Como forma de consderar as contrbções devdo as condções ambentas fo nserdo no modelo matemátco da calbração a correção relatva a dlatação térmca da abertra. Para o cálclo da ncerteza de medção, são consderadas como grandezas de entrada a dferença entra a temperatra da abertra e a temperatra de referênca 0 ºC e o coefcente de dlatação sperfcal da abertra. Para a estmatva da varação da temperatra t são fetas das consderações. prmera consdera a ncerteza do certfcado de calbração do termômetro, e a segnda é consderada como a máma varação da temperatra observada drante a calbração, nomeada como Osclação no tempo. abertra tlzada neste trabalho poss o coefcente de dlatação de apromadamente 11,5E-6 ço, este coefcente não poss m valor de ncerteza. Como este valor corresponde ao coefcente de dlatação lnear do aço, mltplcamos este valor por dos para obter o coefcente de dlatação sperfcal do padrão e a este valor atrbímos ma estmatva de 1E-5 para o cálclo da ncerteza de medção. varabldade deste valor é jlgada confável a 10%, obtendo assm através da eqação 1, cnqüenta gras de lberdade para esta estmatva.

7 0, Δ ν 1 Os coefcentes de sensbldade relatvos ao coefcente de dlatação e a dferença de temperatra são calclados através das eqações 13 e 14. t t C Lp C Δ Δ 1 β π β 13 β β π Δ Δ 1 t C Lp C t Incerteza Padrão Combnada ncerteza padrão combnada da medção da abertra crclar de 0,4 mm fo calclada de acordo com a eqação 15, e os valores nserdos na eqação foram etraídos da tabela 1. Δ Δ,, C r C C C r C C t t Lp Lp C C C c β β 15 Tabela 1. Contrbções para a ncerteza de medção Grandeza de nflênca Dstrbção / Undade C mm /Undade mm R 0,89 Infnto 7E-4. mm R 0,89 Infnto 7E-4. mm C N, E-4. mm C N, E-4. mm N 30 nm t R ºC Infnto.1E-6. mm / º C 1.1E-08 R ºC Infnto.19E-6. mm / º C 1.45E-07 R 1E-05 1/ºC E-. mm. ºC 6.30E-08 Lp N 10 nm Infnto 96. mm 9.6E-04 N 10 nm Infnto 96. mm 9.6E-04

8 Para a melhor compreensão da eqação 15, esta pode ser dvdda em das partes. prmera é a parte ncal da eqação onde são combnadas, qadratcamente, todas as grandezas de nflênca, segdas dos ses respectvos coefcentes de sensbldade. segnda parte da eqação, onde ocorre o somatóro dos dos últmos termos da eqação, leva em consderação a correlação entre qatro grandezas dvdas em dos. correlação do modelo de calbração de áreas de abertras crclares ocorre entre a determnação da borda e a determnação do centro da crcnferênca. À medda qe o programa detecta de forma ncorreta m ponto na borda da abertra, o centro da abertra também será determnado de forma ncorreta, ma vez qe este centro é encontrado através das eqações 3 e 4. Essa correlação é consderada das vezes, ma para cada eo. O cálclo da correlação entre as das grandezas fo feto tlzando as eqações 16 e 17, onde as varáres δ C, δ C, δ e δ são obtdas provocando estímlos δ qe casam alterações no resltado da varável C. mesma cosa ocorre para as varáves δ e C. r r δ C δ C, C 1,33E 09 δ C, C 1,38E 09 C δ O valor encontrado no cálclo da ncerteza combnada fo de 0,0015 mm. 4 DETERMINÇÃO D INCERTEZ EXPNDID DE MEDIÇÃO Para a determnação da ncerteza epandda de medção fo tlzada a ncerteza padrão combnada, calclada de acordo com a eqação 15, e o fator de abrangênca k. Para a determnação deste fator de abrangênca fo calclado o gra de lberdade efetvo. Eq 18. ν eff 4 c C C β O valor obtdo no calclo dos gras de lberdade efetvo, de acordo com a tabela para a dstrbção-t, retorna como fator de abrangênca para ma probabldade de 95,45% de confança, o valor de k gal a. Tornando possível a determnação da ncerteza epandda de medção Eq 19. U 95,45% 0, 0030mm 19 18

9 5 CONCLUSÕES Com o método proposto, o laboratóro de metrologa dmensonal do Inmetro está apto a atender as demandas relatvas a calbração de áreas de abertras crclares com a eatdão adeqada e a ncerteza epandda compatível com as reqerdas nas medções radométrcas e fotométrcas realzadas no Inmetro. Portanto a mplantação desta metodologa garante a rastreabldade naconal para este tpo de padrão e conseqüentemente, para as medções radométrcas e fotométrcas. O modelo matemátco apresentado é mas smples qe os modelos tradconas qe tlzam o método de mínmos qadrados, o qe faclta a determnação das ncerteza de medção. Otra vantagem desta metodologa proposta é a obtenção de m valor fnal em medda de área para abertra, sem a necessdade de m cálclo posteror para essa determnação. Em otros sstemas, como apresentado em [6], os resltados fnas da medção são obtdos como m rao médo para a abertra e posterormente a área é calclada. partr da analse do modelo matemátco, a componente relatva ao tamanho do pel é a de maor contrbção qando o dâmetro da abertra é amentado, o seja, a ncerteza de medção é dependente do dâmetro do padrão a ser meddo. Para a medção de menores dâmetros < 1 mm, a maor contrbção passar a ser a determnação do centro da abertra, porém esta contrbção anda é bastante peqena. Com base no qe fo descrto a respeto do sstema atal apresenta-se como sgestão para trabalhos ftros, aprmoramentos no modelo e no sstema de forma a redzr a relação entre a ncerteza e o tamanho da abertra, para qe seja possível alcançar ncertezas menores em abertras menores qe 1 mm, e para tornar possível a medção de abertras maores qe 4 mm. BSTRCT The Laborator of Dmensonal Metrolog of Inmetro s developng a sstem for measrng the area of crclar apertres sed n radometrc and photometrc measrements. The sstem s based on the vsalzaton of the area of the apertre wth a mcroscope and the defnton of the coordnates of the edges on the captred mage. Once ths coordnates are obtaned, the area of the apertre s calclated sng an average rads. The present work ams to present the developed mage processng algorthm, the calclatons sed for the determnaton of the area and the ncertant vales assocated to ths method. Kewords : Crclar apertres, mage analss, non-contact measrng methods.

10 REFERÊNCIS [1] E. Ikonen, P. Tovanen and. Lassla, new optcal method for hghaccrac determnaton of apertre area, Metrologa, vol. 35, pp , [] J. Fowler and M. Ltorja, Geometrc area measrement of crclar apertres for radometr at NIST, Metrologa, vol. 40, pp. S9-S1, 003. [3] L. lves, C. Coelho, F. Res, P. Costa, nálse da medção da área de abertra apara a realzação da candela, 1º Congresso nternaconal de metrologa mecânca, Ro de janero, Brazl, Oct [4]. Rezet, naltcal resolton of Least-Sqare applcatons for the crcle n nterferometr and radometr, Metrologa, vol. 35, pp , [5] ISO -Internatonal Organzaton for Standardzaton, Gde to the epresson of ncertant n measrement. Frst edton, corrected and reprnted, Swtzerland, [6]. Rezet and J. Baste, Uncertant evalaton n non-contact apertre area measrements, Metrologa, vol. 43, pp , 006.