Professor: Computação Gráfica I. Anselmo Montenegro Conteúdo: - Curvas interativas. Instituto de Computação - UFF

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1 Comptação Gráfca I Professor: Anselmo Montenegro Conteúdo: - Crvas nteratvas Insttto de Comptação - UFF 1

2 Constrção nteratva de crvas: ntrodção Crvas e sperfíces são objetos matemátcos fndamentas na modelagem de objetos gráfcos. Uma das representações mas tlzadas para crvas e sperfíces é a baseada em fnções paramétrcas. Insttto de Comptação - UFF 2

3 Constrção nteratva de crvas: ntrodção As formas de parametrzação apresentadas anterormente (ver alas sobre objetos gráfcos), apesar de poderosas, não são aproprados para nteração. Um caso extremo é o de representações lneares por partes. Como vmos anterormente, representações lneares podem reqerer a descrção de m número mto grande de dados. Insttto de Comptação - UFF

4 Constrção nteratva de crvas: ntrodção Consdere, por exemplo, m projetsta qe precsa edtar m forma mto complexa, alterando a posção de cada m dos pontos de ma malha densa. Esta forma de nteração é mto poco prátca e nefcente. Para contornar este problema é necessáro formas de representação mas compactas e qe facltem o processo de cração e modfcação. Insttto de Comptação - UFF 4

5 Constrção nteratva de crvas: crvas nteratvas Um esqema de representação aproprado para nteração é o baseado em tpo especal de representação paramétrca. Tal representação é caracterzada por dos conjntos: Um conjnto de pontos dscretos denomnados pontos de controle. Um conjnto de fnções de base o fnções de mstra (blendng fnctons). Neste crso serão abordadas representações para crvas. Representação para sperfíces são extensões das técncas aq apresentadas. Insttto de Comptação - UFF 5

6 Constrção nteratva de crvas: representação de crvas - defnção Consdere m conjnto de pontos de controle P 0,P 1,P 2,P onde P,=0,.., e Px,Py,Pz ndcam as coordenadas de cada ponto P. P 1 P 2 P 0 P Insttto de Comptação - UFF 6

7 Constrção nteratva de crvas: representação de crvas - defnção Pode-se determnar m crva paramétrca Q() através de ma expressão qe pondere a contrbção das coordenadas de cada ponto de controle, para cada ponto assocado a m valor de no espaço de parâmetros. A ponderação é feta através da defnção de ma fnção de base para cada ponto de controle. P 1 P 2 x(),y(),z() x( ) = y( ) = z( ) = n = 0 n = 0 n = 0 Px B ( ) Py B ( ) Pz B ( ) P 0 P Insttto de Comptação - UFF I 7

8 Constrção nteratva de crvas: representação de crvas - propredades Dferentes fnções de base possem dferentes propredades. Uma das propredades dz respeto ao fato delas gerarem crvas qe nterpolam o aproxmam os pontos de controle. Otras propredades estão relaconadas a contndade e localdade da crva. P 1 P 2 P 2 P 1 P P 0 P Crva nterpolando os extremos e aproxmando os pontos nterores do polígono de controle P 0 Crva nterpolante Insttto de Comptação - UFF 8

9 Constrção nteratva de crvas: propredade de contndade de crvas Qando dos segmentos de crvas são jntados, a contndade da crva é alterada dependendo da forma de jnção: Contndade geométrca G 0 - dos segmentos são colados em m ponto comm. Contndade geométrca G 1 - os vetores tangentes aos segmentos no ponto de contato tem dreções gas, mas magntdes dferentes. Contndade C 1 - a dreção e magntde dos vetores tangentes são gas. Contndade C n a dreção e magntde das n-ésmas dervadas dos segmentos contato dão gas. d n dt [ Q() ] no ponto de Insttto de Comptação - UFF 9

10 Constrção nteratva de crvas: crvas cúbcas Em Comptação Gráfca é comm a tlzação de crvas cúbcas pelos segntes motvos: São poderosas o sfcente para representar as mas dversas formas. São crvas verdaderamente espacas e não planares (crvas qadrátcas são determnadas por pontos de controle e estão restrtas a m plano no espaço). Crvas de gra mas elevado ntrodzem cstos e dfcldades adconas. Insttto de Comptação - UFF 10

11 Insttto de Comptação - UFF 11 Constrção nteratva de crvas: crvas cúbcas Um crva cúbca espacal pode ser descrta da segnte forma: x(),y() e z() são polnômos cúbcos no parâmetro. 1 onde 0 ) ( ) ( ) ( = = = dx c b a z dx c b a x dx c b a x z z z y y y x x x

12 Constrção nteratva de crvas: Crvas de Bérzer Uma crva de Bérzer é ma parametrzação qe tlza a base de Bérzer, também denomnadas fnções de mstra de Bernsten. A base de Bérzer de gra é dada pelos segntes termos: B B B B 0, 1, 2,, = (1 ) 0.8 B 0, 2 (1 ) = (1 ) = = B 1, B 2, B, Insttto de Comptação - UFF 12

13 Constrção nteratva de crvas: Crvas de Bérzer forma geral O conjnto de fnções de mstra para m polnômo cúbco é m caso partclar das fnções de base de gra n: B, n ( ) n = C( n, ) (1 ) De fato, ma crva de Bérzer de gra n tem a segnte forma: Q( ) = n = 0 PB, n( ) Note qe para m crva de gra n são necessáros n1 pontos de controle. Insttto de Comptação - UFF 1

14 Insttto de Comptação - UFF 14 Constrção nteratva de crvas: Crvas de Bérzer O polnômo descrto pela base de Bérzer cúbca e qatro pontos de controle é dado por: O em forma matrcal ) (1 ) (1 ) (1 ) ( P P P P Q = [ ] = = ) ( P P P P UBP Q

15 Constrção nteratva de crvas: Crvas de Bérzer A movmentação dos pontos de controle P 0,P 1,P 2 e P altera a forma da crva. P 0 e P são os extremos da crva. Dervando-se Q() com relação a é possível mostrar qe Q Q (0) (1) = ( P 1 = ( P 2 P P 0 ) ) P Q (0) e Q (1) dão os vetores tangentes nos P 0 pontos extremos e P 1 e P 2 estão sobre eles. Insttto de Comptação - UFF 15

16 Constrção nteratva de crvas: como jntar segmentos de crva de Bérzer Segmentos de crva defndos por m conjnto de qatro pontos de controle podem ser conectados para gerar formas mas complexas. O resltado é ma crva polnomal por partes. A conexão reqer restrções nos pontos de jnção. Q 1 Q 2 R 1 R Q 1 Q 2 R Q =R 0 Q 0 Q =R 0 R 2 Q 0 R 1 R 2 Contndade G 0 - o extremo do prmero segmento concde com o nco do segndo Contndade G 1 - as arestas dos polígonos de controle no ponto de jnção são colneares. Os vetores tangentes são gas a menos de ma constante, sto é (Q -Q 2 )=k(r 1 -R 0 ) Insttto de Comptação - UFF 16

17 Constrção nteratva de crvas: como jntar segmentos de crva de Bérzer Uma alternatva é amentar o gra do polnômo. Isto ntrodz ma maor complexdade matemátca e comptaconal. É bem mas smples partconar ma crva em segmentos cúbcos. Insttto de Comptação - UFF 17

18 Constrção nteratva de crvas: smáro das propredades da crva de Bézer O gra do polnômo é m a menos qe o número de pontos de controle. Em geral tlzamos polnômos de gra. A crva sege a forma do polígono de controle e está contda no fecho convexo de tal polígono. O fecho convexo pode ser entenddo como a forma obtda passando-se ma fta elástca em torno dos pontos. R 1 R Fecho convexo R 0 R 2 Insttto de Comptação - UFF 18

19 Constrção nteratva de crvas: smáro das propredades da crva de Bézer A crva se restrnge ao fecho convexo ma vez qe as fnções de base somam 1 (m) para todo valor de. Os pontos de controle não exercem controle local. Mover m ponto de controle move toda a crva (As fnções de base são dferentes de 0 em todo o domíno exceto em =0 e =1). Insttto de Comptação - UFF 19

20 Constrção nteratva de crvas: smáro das propredades da crva de Bézer Os vetores tangentes à crva nos pontos extremos concdem com a prmera e últma aresta do polígono de controle. A crva não oscla sobre nenhma reta mas do qe oscla o polígono de controle (propredade de mnmzação de varação). A crva pode ser transformada por transformações afns (translações e rotações) defndas sobre os pontos de controle. Insttto de Comptação - UFF 20

21 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes Crvas de Bézer possem das grandes desvantagens: O controle exercdo pelos pontos de controle não é local. A movmentação de m ponto altera toda crva, apesar de sa nflênca ser maor na vznhança de tal ponto. Não é possível defnr ma crva de Bérzer cúbca para aproxmar o representar m conjnto de n pontos sem tlzar múltplos segmentos de crva. Uma representação qe não poss tas defcêncas é a baseada em crvas denomnadas B-splnes. Insttto de Comptação - UFF 21

22 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes Orgnalmente, ma splne é ma ferramenta de desenho. Consste em ma tra de metal flexível sada para desenhar crvas fxando-se pesos a pontos denomnados nós. Insttto de Comptação - UFF 22

23 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes Assm como as crvas de Bézer, B-Splnes não passam pelos pontos de controle. Uma B-Splne é ma crva completa polnomal por partes consstndo de m conjnto de segmentos. P P 0 P 4 P 1 P 2 P 5 Insttto de Comptação - UFF 2

24 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas Uma B-splne é composta por ma sére de m-2 segmentos de crva Q,Q 4,,Q m defndos por m1 pontos de controle P 0,P 1,,P m, m. Cada segmento de crva é defndo por qatro pontos de controle e 4 fnções de mstra. Cada ponto de controle nflenca somente 4 segmentos de crva. P P 0 Q 5 P 4 Q Q 4 P 1 P 2 Q é defndo por P 0 P 1 P 2 P e ponderado por B 0 B 1 B 2 B Q 4 é defndo por P 1 P 2 P P 4 e ponderado por B 0 B 1 B 2 B Q 5 é defndo por P 2 P P 4 P 5 e ponderado por B 0 B 1 B 2 B P 5 Para facltar a notação remos abordar apenas B-Splnes cúbcas, apesar de exstrem B-Splnes de qalqer gra. Insttto de Comptação - UFF 24

25 Insttto de Comptação - UFF 25 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas A formlação de m segmento Q () B-splne cúbca é a segnte: Onde é o número do segmento e k é o índce do ponto de controle correspondente ao segmento. O valor de para m únco segmento está contdo no ntervalo 0 1. Isto é, é m parâmetro local qe vara entre 0 e 1 para defnr m únco segmento. [ ] = = = = ) ( ) ( ) ( k k k s B P Q P P P P P UB Q

26 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas É possível defnr todo o conjnto de segmentos através da expressão: Q( ) = m k = 0 PB ( ) Nesse caso é m índce global para os pontos de controle, assm como é m parâmetro global. Insttto de Comptação - UFF 26

27 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas Um conjnto de múltplos segmentos de Bérzer também admte controle local ao csto da ntrodção de restrções para contndade. B-splnes não necesstam de restrções adconas para controle local. Insttto de Comptação - UFF 27

28 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas A movmentação de m ponto de controle de ma B-splne afeta, no por caso, somente m conjnto de 4 segmentos. Na fgra abaxo a movmentação de P 4 afeta somente Q 4 e Q 5 mantendo Q ntacto. P 4 P P 4 P 0 Q 5 P 4 P 2 P 1 Q Q 4 P 5 Insttto de Comptação - UFF 28

29 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas - contndade Um B-Splne exbe contndade C 0 (posconal), C 1 (da prmera dervada) e C 2 (da segnda dervada). O mecansmo qe garante a contndade C 2 está no compartlhamento dos pontos de controle por segmentos de crva adjacentes. Insttto de Comptação - UFF 29

30 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas nformes Os pontos assocados a jnções de dos segmentos adjacentes são denomnados nós. P P 0 P 4 P 1 P 2 P 5 O valor de correspondente a m nó é denomnado valor do nó. nó Uma B-splne é dta nforme se valores dos nós são galmente espaçados no espaço do parâmetro. Insttto de Comptação - UFF 0

31 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas nformes as fnções de base Cada fnção da base de fnções de ma B-splne é por s própra ma ma fnção cúbca composta de 4 segmentos. Uma fnção da base é dferente de zero em 4 ntervalos consectvos no espaço de parâmetros. B () Insttto de Comptação - UFF 1

32 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas nformes as fnções de base No caso de B-splnes nformes os ntervalos são de mesmo comprmento. Isto sgnfca qe os valores dos nós são galmente espaçados e as fnções da base são cópas transladadas. Uma B-splne com m1 pontos de controle poss m5 nós B 1 () B 2 () B () B 4 () B 5 () B 6 () Fnções de base de ma B-splne nforme com 6 pontos de controle Insttto de Comptação - UFF 2

33 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas nformes as fnções de base Um segmento de crva está defndo em m ntervalo de a 1. B 0 () B 1 () B 2 () B () B 4 () B 5 () De fato, avalamos 4 bases no ntervalo 1 B B B B = 1/ = 1/ 6( = 1/ 6( = 1/ 6(1 ) ) 4) Obs.: as eqações acma não defnem ma base e sm os pedaços das bases qe defnem m segmento da crva P 0 Q Q 4 P 1 P 2 Insttto de Comptação - UFF P 5 P Q 5 P 4

34 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas nformes as fnções de base No exemplo abaxo, a crva soma a ndade no ntervalo 6 B 0 () B 1 () B 2 () B () B 4 () B 5 () Para << 1, qatro bases estão atvas P Para = apenas estão atvas, e ma base é atvada assm qe otra é desatvada. P 0 Q Q 4 P 1 P 2 Q 5 P 4 P 5 Insttto de Comptação - UFF 4

35 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas nformes nterpolando pontos No caso geral, ma B-splne não nterpola pontos de controle. É possível fazer com qe ma B-splne nterpole m ponto de controle através da replcação de vértces. Inttvamente, replcar m vértce faz com qe a crva seja atraída para tal ponto de controle, já qe se peso na ponderação é maor. P Q 5 P 0 P 1 Q Q 4 P 2 Q 6 Q 7 P 4 P 5, P 5, P 5 Insttto de Comptação - UFF 5

36 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas nformes nterpolando pontos O preço pago pelo so da replcação de pontos é a perda da contndade C 2 da crva. Exemplo da replcação em pontos de controle nterores: P, P P, P, P P 0 P 4 P 0 P 4 P 2 P 1 P 5 P 2 P 1 P 5 Insttto de Comptação - UFF 6

37 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas não-nformes Um B-Splne é não-nforme qando os ntervalos paramétrcos entre valores de nós scessvos não são necessarmente gas. Isto sgnfca qe as fnção da base não são translações mas das otras. São completamente dstntas. O caso mas comm é aqele em qe algns ntervalos tem comprmento zero. Isto é feto através da nserção de nós múltplos. Insttto de Comptação - UFF 7

38 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas não-nformes O número de valores de nós dêntcos é denomnado mltplcdade do nó. Efeto da mltplcdade de nós em ma base B-splne cúbca Insttto de Comptação - UFF 8

39 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes cúbcas não-nformes Comparação de ma B-splne nforme e ma não nforme: B-splne nforme P B-splne não nforme P P 0 Q 5 P 4 P 0 Q Q 4 P 1 P 2 P 2 P 1 P 5 B 1 () P 5 B 2 () B () B 4 () B 5 () B 6 () B 1 () B 2 () B () B 4 () B 5 () B 6 () Nós:[0,1,2,,4,5,6,7,8,9,10] Nós:[0,0,0,0,1,2,,,,,] Insttto de Comptação - UFF 9

40 Constrção nteratva de crvas: B-Splnes - smáro Smáro das propredades de ma crva B-splne: Sege a forma do polígono de controle e é restrta a permanecer no fecho convexo dos pontos de controle. Exbe propredade de mnmzação de varação. Pode ser transformada através de ma transformação afm (translação rotação) aplcando-se a transformação sobre os pontos de controle. Exbe controle local. Insttto de Comptação - UFF 40

41 Constrção nteratva de crvas: NURBS NURBS são B-Splnes não nformes dadas pela razão de de dos polnômos. n = 0 n = 0 Pw B w B, k, k ( ) ( ) Ordem da crva. A ordem é o gra do polnômo 1. Os valores w assocados a cada ponto de controle são pesos qe podem ser vstos como parâmetros extras. Os w afetam a crva apenas localmente. A crva é atraída para m ponto P se o w correspondente amenta e é afastada de P se w dmn. Os w podem ser compreenddos como parâmetros de acomplamento da crva aos pontos de controle. Insttto de Comptação - UFF 41

42 Insttto de Comptação - UFF 42 Como determnar as eqações para B-splnes não nformes? Fnções dependem dos ntervalos entre os nós. Eqações de recorrênca pra B-splnes cúbcas. Constrção nteratva de crvas: Crvas e OpenGL ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0, caso contráro 1, ) ( 1, 1 4 4,,4 1,2 1,2 2, 1, ,1 1,2 1,1 B B B B B B B B B B = = = < =

43 Constrção nteratva de crvas: Crvas e OpenGL Eqações de recorrênca geral para B-splnes " B,1 () = 1,! < 1 # $ 0, caso contráro B,k () = % k%1 % B,k%1 () k % k % 1 B 1,k%1 () Insttto de Comptação - UFF 4

44 Constrção nteratva de crvas: Crvas e OpenGL OpenGL sporta crvas e sperfíces através de mecansmos denomnados evalators (avaladores). Os evalators calclam valores ntermedáros para os polnômos qe descrevem crvas e sperfíces, dada ma seqüênca de pontos de controle. Os evalators da OpenGL são avaladores de Bézer. Evalators cram splnes e sperfíces baseadas em bases de (Bernsten-Bézer). Insttto de Comptação - UFF 44

45 Constrção nteratva de crvas: Crvas e OpenGL Para tlzar m avalador Bézer emprega-se a segnte fnção: vod glmap1f(glenm target, GLfloat 1, GLfloat 2, Glnt strde, Glnt order, const GLfloat * ponts); Parâmetro Target 1 e 2 Strde Order Ponts Sgnfcado Sgnfcado dos pontos de controle Intervalo para a varável de controle Qantos valores float exstem entre cada elemento do vetor Qantdade de elementos no vetor de pontos de controle Apontador para prmera coordenada do prmero ponto de controle Insttto de Comptação - UFF 45

46 Constrção nteratva de crvas: Crvas e OpenGL Os avaladores servem não somente para gerar crvas de coordenadas, mas também de cores, vetores normas, coordenadas de textra(assnto a ser vsto ftramente), etc. Constante GL_MAP1_VERTEX_ GL_MAP1_VERTEX_4 GL_MAP1_INDEX GL_MAP1_COLOR_4 GL_MAP1_NORMAL Sgnfcado Coordenadas x,y e z Coordenadas x,y,z e w (homogêneas) Índce de cor Cor com RGBA Vetor normal GL_MAP1_TEXTURE_COORD_1 Coordenadas de textra s. GL_MAP1_TEXTURE_COORD_2 Coordenadas de textra s e t. GL_MAP1_TEXTURE_COORD_ Coordenadas de textra s,t e r. GL_MAP1_TEXTURE_COORD_4 Coordenadas de textra s,t,r e q. Uma vez defndo m avalador, deve-se habltá-lo através da fnção glenable sobre algma das constantes da tabela acma. Insttto de Comptação - UFF 46

47 Constrção nteratva de crvas: Crvas e OpenGL A tlzação da constante GL_MAP1_VERTEX ndca qe qeremos apenas a posção de cada ponto ntermedáro. O procedmento de desenho é smples: basta percorrer os pontos ntermedáros desejados e solctar a avalação da crva Bézer por meo da segnte fnção: glevalcoord1f(glfloat ) O valor ndca o valor a ser passado para a Bézer normalmente 0(níco) da crva e 1(fnal). Insttto de Comptação - UFF 47

48 Constrção nteratva de crvas: Crvas e OpenGL Exemplo #fdef WIN2 #nclde <wndows.h> /* Incl header padrão do Wndows */ #endf #nclde <GL/gl.h> /* Incl header da bbloteca gl */ #nclde <GL/glt.h> /* Incl header da bbloteca glt */ #defne TOTAL 5 nt prec = 10; /* Total de pontos ntermedáros */ float pontos[5][] = {{0.0,0.0,0.0},{0.,0.8,0.0},{0.7,0.8,0.0},{1.0,0.0,0.0},{0.5,0.2,0.0}}; /* Pontos de controle */ /* Confgra estados e parâmetros da OpenGL */ vod Int(vod) { glclearcolor (0.0, 0.0, 0.0, 0.0); /* Selecona a cor negra como cor de fndo */ glmap1f(gl_map1_vertex_,0.0,1.0,,total,&pontos[0][0]); /* Defne sgnfcado dos pontos de controle */ glenable(gl_map1_vertex_); /* Atva geração de coordenadas */ } Insttto de Comptação - UFF 48

49 Constrção nteratva de crvas: Crvas e OpenGL Exemplo (contnação) /* Fnção de desenho */ vod Dsplay (vod) { float delta =1.0/(float)prec; glclear(gl_color_buffer_bit GL_DEPTH_BUFFER_BIT); /* Lmpa a tela e o bffer de profnddades */ glcolorf(0,1,0); /* Especfca a cor vermelha */ glbegn(gl_line_strip); /* Desenha a crva */ for (float =0;<=1.01;=delta) glend(); glevalcoord1f(); /* nvoca o avalador para o parâmetro f */ glcolorf(1,0,0); /* Especfca a cor vermelha */ glpontsze(5); /* Especfca o tamanho do ponto */ /* Desenha os pontos de controle */ glbegn(gl_points); for (nt =0;<TOTAL;) glvertexfv(pontos[]); glend(); gltswapbffers ( );/* Troca os bffers */} Insttto de Comptação - UFF 49

50 Constrção nteratva de crvas: Crvas e OpenGL Resltados: pocos pontos ntermedáros Insttto de Comptação - UFF 50

51 Constrção nteratva de crvas: Crvas e OpenGL Resltados: mas pontos ntermedáros Insttto de Comptação - UFF 51