INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ECONÔMICA 2a. Prova 11/7/2006 Profa. Ana Maria Farias Turma A hs

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1 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ECONÔMICA 2a. rova /7/2006 rofa. Ana Mara Faras Turma A 4-6 hs. Consdere os dados da tabela abaxo, onde temos preços e uantdades utlzadas de materal de escrtóro. Item Undade reço Quantdade apel resma 0,70,48 4,5 8,0 Almofada p/ carmbo und. 0,30 0,35 0,0 6,0 Canetas und. 0,39 0,39 8,0 2,0 Láps dúza 0,48 0,48,0,5 Clps caxa 0,0 0,20 2,0 3,0 (a) Calcule o índce de Laspeyres de preços para 970, com base em 975. (b) Calcule o índce de Laspeyres de uantdade para 970, com base em 975. (c) Utlzando os resultados anterores, mostre ue o índce de Laspeyres não satsfaz a propredade de reversbldade. Obs.: Trabalhe com 6 casas decmas e base. 2. Demonstre ue o índce de Fsher satsfaz a propredade de decomposção das causas. 3. Determne se cada uma das a rmatvas abaxo é falsa ou verdadera, just cando sua resposta em ualuer um dos casos. (a) O índce de Fsher é uma méda harmônca dos índces de aasche e Laspeyres. (b) Embora os índces de Laspeyres e de aasche não satsfaçam ao crtéro da decomposção das causas, o produto cruzado de um Laspeyres de preço por um aasche de uantdade satsfaz. (c) ara calcular o índce de preços de aasche para uma sére de anos reuer-se menos nformação do ue para calcular o índce de Laspeyres. (d) Se em 996 um produto tem preço corrente de R$ 0,00 e preço real de R$ 7,50, em moeda de 995, então houve um decréscmo de 25% dos preços de 995 com relação a Com base nos dados da tabela abaxo: (a) calcule a sére do faturamento real a preços de 2003; (b) calcule a varação anual do faturamento real; (c) calcule a sére de índces do faturamento nomnal com base em Obs.: Trabalhe com 6 casas decmas e base. Ano Faturamento INC () (ml R$) Varação anual (%) , , , , ,38 (*) Fonte: IEADATA

2 INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ECONÔMICA 2a. rova /7/2006 rofa. Ana Mara Faras Turma A 4-6 hs. Consdere os dados da tabela abaxo, onde temos preços e uantdades utlzadas de materal de escrtóro. Item Undade reço Quantdade apel resma 0,70,48 4,5 8,0 Almofada p/ carmbo und. 0,30 0,35 0,0 6,0 Canetas und. 0,39 0,39 8,0 2,0 Láps dúza 0,48 0,48,0,5 Clps caxa 0,0 0,20 2,0 3,0 (a) Calcule o índce de Laspeyres de preços para 975, com base em 970. (b) Calcule o índce de Laspeyres de uantdade para 975, com base em 970. (c) Utlzando os resultados anterores, mostre ue o índce de Laspeyres não satsfaz a propredade de decomposção das causas. Obs.: Trabalhe com 6 casas decmas e base. 2. Demonstre ue o índce de Fsher satsfaz a propredade de reversbldade. 3. Determne se cada uma das a rmatvas abaxo é falsa ou verdadera, just cando sua resposta em ualuer um dos casos. (a) O índce de preços de Laspeyres é uma méda harmônca de relatvos de preços ponderados pelo valor dos bens no período base. (b) O índce de aasche de preços pode ser calculado pela dvsão de um índce de valor por um índce Laspeyres de uantdade. (c) ara calcular o índce de preços de Laspeyres para uma sére de anos reuer-se menos nformação do ue para calcular o índce de aasche. (d) Se um determnado índce de preços com base 00 em 992 assume os valores I e I em 995 e 996, respectvamente, então um produto com preço corrente de R$ 0,00 em 996 tem preço de R$ 7,50, em moeda de Na tabela a segur temos a varação mensal do IG-DI no ano de Mês Jan Fev Mar Abr Ma Jun Jul Ago Set Out Nov Dez % 2,7,59,66 0,4-0,67-0,70-0,20 0,62,05 0,44 0,48 0,60 Fonte: IEADATA (a) Calcule a sére do IG com base em dezembro de (b) Calcule a taxa de varação méda mensal do IG-DI em (c) Em janero de 2003, o saláro mínmo era de R$200,00; em abrl de 2003 passou a vgorar o saláro mínmo de R$240,00, ue só fo reajustado em mao de Calcule a sére do saláro mínmo real a preços de dezembro de Obs.: Trabalhe com 6 casas decmas e base. 2

3 Gabarto da prova sobre números índces - rofa. Ana Mara Faras rova da Tarde.. (a). L 70;75 70 p p 70 4; 5 ; ; 0 0; ; 0 0; 39 + ; 0 0; ; 0 0; 20 4; 5 0; ; 0 0; ; 0 0; 39 + ; 0 0; ; 0 0; 0 4; 6 ; ; 95 (b). L 75;70 75 p p 75 8; 0 0; ; 0 0; ; 0 0; 39 + ; 5 0; ; 0 0; 0 8; 0 ; ; 0 0; ; 0 0; 39 + ; 5 0; ; 0 0; 20 6; 0 0; ; 44 (c) A propredade de reversão dz ue I 0;t I t;0 ; ou euvalentemente, I 0;t I t;0 : COm os dados acma temos ue L 70;75 L 75;70 :4236 0: ; Assm, mostra-se, com um contra-exemplo, ue Laspeyres não satfaz a propredade de reversão ou reversbldade. 2. Como ueremos provar ue a propredade é verdadera, não podemos usar números! Temos ue provar no caso geral! A propredade de decomposção das causas dz ue I0;t I Q 0;t IV 0;t V t : V 0 ara o índce de Fsher temos: F0;t F Q 0;t L 0;t 0;t L Q 0;t Q 0;t : L 0;t 0;t LQ 0;t Q 0;t r L 0;t Q 0;t L Q 0;t 0;t I V 0;t IV 0;t IV 0;t Au usamos o fato de ue Laspeyres e aasche satsfazem decomposção das causas, desde ue msturemeos os índces, ou seja: L 0;t Q 0;t 0 p t 0 p 0 p t t p t 0 0 p t p 0 p t t t 0 p 0 V t V 0 I V 0;t () Analogamente, L Q p 0;t 0;t 0 t p 0 0 t p t t p 0 p 0 t p 0 t p t t 0 p 0 V t V 0 I V 0;t (2) 3

4 3.. (a) FALSO. O índce de Fsher é uma méda geométrca (não harmônca) dos índces de Laspeyres e aasche. (b) VERDADEIRA. Veja demonstração nas euações () e (2) do exercíco anteror. (c) FALSA. ara calcular a sére de índces de preços de Laspeyres, para cada produto precsamos das seguntes grandezas: Laspeyres: 0; p 0; p ; : : : ; p t ou seja, precsamos dos preços em todos os períodos de tempo e das uantdades na época base. ara o índce de aasche de preços, precsamos: aasche: 0; p 0; ; p ; : : : ; t; p t ou seja, precsamos de preços e uantdades em todos os períodos. Logo, aasche reuer mas nformação; daí segue ue a metodologa dos índces de preço ao consumdor (tpo INC) em geral envolve índces de Laspeyres e não aasche. (d) O preço real do produto a preços de 995 é obtdo dvdndo-se o preço corrente pelo índce de preço do período. elos dados do problema, sso sgn ca ue 7; 50 0 ) I 95;96 0 ; 3333 I 95;96 7:50 Logo, os preços em geral (n ação) aumentaram 33,3% em 96 com relação a 95, o ue sgn ca (pela propredade da nversão) ue, para os preços de 95 com relação a 96, a varação fo de : :50 7; 5 0 0; 75 ou seja, houve uma ueda de 25%. A A rmatva é VERDADEIRA. 4. Note ue a sére de índces de preços (INC) dada é do tpo t(t ): Temos ue construr a sére do INC com base xa em 2003 para obtermos os faturamentos a preços de Uma prmera solução é construr a sére do INC com base em 998 e depos mudar a base para Outra manera é aplcar as propredades de reversão e crculardade. Vamos ver as 2 soluções. Em ambas as soluções temos ue trabalhar com os RELATIVOS. Não podemos multplcar ou dvdr taxas! Veja a observação mas adante. Solução : ara construr a sére com base em 998, basta aplcar a propredade crcular: INC Base: ; 0843 ; :0843 :0527 ; :0843 :0527 :0944 :4443 :0944 : :0843 :0527 :0944 ; 474 :24995 :474 : :0843 :0527 :0944 ; 474 ; 038 : ; 038 ; Então a sére do INC com base em 998 é INC Base: ; ; ; : : ;

5 ara mudar a base para 2003, basta dvdr toda a sére acma (ue está com base xa) por,58205, o ue resulta em: INC Base: ; ; ; ; ; ; ; 4443; ; :24995; ; :433326; ; ; 58205; ; Note ue au andamos para frente multplcando os relatvos. Solução 2: Temos ue 03 0; ; ; 474 0; ; ; 0944 ; 474 0; 7247 ; ; 0527 ; 0944 ; 474 0; ; ; 0843 ; 0527 ; 0944 ; 474 0; ; 038 Note ue au andamos para trás dvdndo os relatvos. Em ambas as soluções, estamos usando as propredades de reversão e crculardade ue são aproxmadamente verdaderas para índces compostos. A notação utlzada é um pouco mprecsa, uma vez ue o INC é um índce composto e não o preço de um únco bem. Mas essa forma de expressar os resultados faclta a compreensão do ue está sendo feto. OR QUE NÃO OSSO TRABALHAR COM TAXAS? OU SEJA, OR QUE NÃO OSSO DIVIDIR OU MULTILICAR ELAS TAXAS? Vamos entender o ue sgn ca uma varação de p%. Suponha ue o preço de um produto tenha aumentado 2% em janero, com relação a dezembro, e 3% em feverero com relação a janero. Então, 5

6 se o preço em dezembro era 5, em janero o preço é 5 + 0; ; 0: Em feverero, o preço é 5; 0 + 0; 03 5; 0 5; 0 ; 03 5; 253: A varação de preços entre feverero e dezembro é fev 5; 253 ; 0506 dez 5 ou seja, houve um aumento de 5,06% e não um aumento de 2% 3% 6%! or sso temos ue trabalhar com índces. NÃO SE MULTILICAM TAXAS! NÃO SE DIVIDEM TAXAS. As propredades ue vmos ser váldas eram váldas para os relatvos e não para as taxas! Contnuando com a solução da uestão, para obter a sére do faturamento real a preços de 2003, temos ue dvdr a sére do faturamento nomnal pelo INC do período em uestão, com base em 2003: INC Base: 2003 Varação anual ; ; ; ; ; ; ; ou 5; 9 56% ; ; ; ; ; ou 3; 0 88% ; ; ; ; ; 328 ou 32; 8% ; ; ; ; ; ou 9% 6

7 Gabarto da prova sobre números índces - rofa. Ana Mara Faras rova da Note.. (a). L 70;75 70 p p 70 4; 5 ; ; 0 0; ; 0 0; 39 + ; 0 0; ; 0 0; 20 4; 5 0; ; 0 0; ; 0 0; 39 + ; 0 0; ; 0 0; 0 4; 6 ; ; 95 (b). L Q 70;75 p70 75 p ; 70 8; 0 + 0; 30 6; 0 + 0; 39 2; 0 + 0; 48 ; 5 + 0; 0 3; 0 0; 70 4; 5 + 0; 30 0; 0 + 0; 39 8; 0 + 0; 48 ; 0 + 0; 0 2; 0 6; 0 ; ; 95 (c) A propredade de decomposção das causas dz ue I I Q I V problema temos ue V t V 0 : Com os dados do V 70 p ; 95 V p 75 23; 44 Logo I V 23; 44 9; 95 2; L 70;75 L Q 70;75 ; 4236 ; ; Assm, mostra-se, com um contra-exemplo, ue Laspeyres não satsfaz a decomposção das causas. 2. Como ueremos provar ue a propredade é verdadera, não podemos usar números! Temos ue provar no caso geral! A propredade de reversão dz ue I 0;t ; ou euvalentemente, I 0;t I t;0 I t;0 : F0;t Ft;0 L 0;t 0;t L t;0 t;0 L 0;t 0;t L t;0 t;0 s 0 p t t p t t p 0 0 p 0 0 p 0 t p 0 t p t 0 p t 3.. (a) FALSA. O ìndce de Laspeyres é uma méda artmétca (não harmônca) de relatvos de preços ponderados pelo valor dos bens na época base. 7

8 (b) Nas euações () e (2) acma demosntra-se ue L 0;t Q 0;t I V 0;t L Q 0;t 0;t I0;t V ) 0;t IV 0;t L Q ) a rmatva VERDADEIRA 0;t (c) VERDADEIRA. ara calcular a sére de índces de preços de Laspeyres, para cada produto precsamos das seguntes grandezas: Laspeyres: 0; p 0; p ; : : : ; p t ou seja, precsamos dos preços em todos os períodos de tempo e das uantdades na época base. ara o índce de aasche de preços, precsamos: aasche: 0; p 0; ; p ; : : : ; t; p t ou seja, precsamos de preços e uantdades em todos os períodos. Logo, Laspeyres reuer menos nformação, já ue só precsamos das uantdades na época base, motvo pelo ual é o índce empregado no INC, por exemplo. (d) O preço do produto em 96 a preços de de 95 é dado pela razão do preço corrente de 96 e do índce de preço de 96 com base em 95, ou seja: Mas sabemos ue real corrente I 95;96 I 92; I 92; Logo, e o preço real é I 95; ; ; 50 Reas de 995 ) a rmatva VERDADEIRA 4. As observações geras sobre a solução desse exercíco são as mesmas fetas para sobre a prova da tarde. Assm, a segur são dados só os resultados. Na tercera coluna da prmera tabela temos o cálculo do IG com base dez/02. A sére de índce é calculada multplcando os relatvos dados na coluna 2. ara mudar para base dez/03 basta dvdr toda a sére com base em dez/02 por, Na segunda tabela, temos um procedmento análogo partndo da sére com base em jan/03. ara calcular o saláro mínmo real a preços de dez/03, basta dvdar a sére do saláro nomnal pela sére do IG com base em dez/03. Analsando os valores do saláro mínmo real, podemos ver ue houve de ação (pelo IG) nos meses de mao, junho e julho - note ue há aumento do SM real nesses meses. 8

9 IG % Relatvo dez/02 dez/03 dez/02, , jan/03 2,7,02700, , fev/03,59,05900, , mar/03,66,06600, , abr/03 0,4,00400, , ma/03 0,67 0,993300, , jun/03 0,7 0,993000, , jul/03 0,2 0,998000, ,96873 ago/03 0,62,006200, ,97479 set/03,05,00500, , out/03 0,44,004400, , nov/03 0,48,004800, , dez/03 0,6,006000,076630, IG % Relatvo jan/03 dez/03 jan/03 2,7,02700, , fev/03,59,05900, , mar/03,66,06600, , abr/03 0,4,00400, , ma/03 0,67 0,993300, , jun/03 0,70 0,993000, , jul/03 0,20 0,998000, ,96873 ago/03 0,62,006200, ,97479 set/03,05,00500, , out/03 0,44,004400, , nov/03 0,48,004800, , dez/03 0,60,006000,053764, Saláro mínmo Nomnal A preços de dez/03 jan/ ,75 fev/ ,45 mar/ ,07 abr/ ,88 ma/ ,53 jun/ ,26 jul/ ,75 ago/ ,22 set/ ,67 out/ ,60 nov/ ,44 dez/ ,00 9