Notas de Aula de Probabilidade A

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1 VII- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS. 7. CONCEITO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: Informalmente, uma varável aleatóra é um característco numérco do resultado de um epermento aleatóro. Defnção: Uma varável aleatóra em um espaço de probabldade (Ω, A, P) é uma função real defnda no espaço Ω, tal que [ ] é um evento aleatóro R;. e., a função : Ω R é varável aleatóra se o evento [ ] A, R. Obs: [ ] A R sgnfca que é uma função mensurável a A. Defnção: Seja ε um epermento e Ω um espaço amostral assocado ao epermento. Uma função, que assoce a cada elemento w pertencente ao Ω um número real é denomnada de varável aleatóra. Ω: Espaço R : Valores possíves de w (w) Obs:.Para cada valor de w Ω corresponderá um valor (w), R será o contradomíno..se (w) corresponder a um valor numérco, a V.A. é undmensonal. 3. Se (w) corresponder a um par ordenado de valores numércos a V.A. é dta bdmensonal. EEMPLO : Seja uma famíla com cranças, v.a. () número de mennos na famíla Ω = {(F,F ); (F,M ); (M,F ); (M,M )} Ω w =(F,F ) w =(F,M ) w 3 =(M,F ) w 4 =(M,M ) 0 R EEMPLO : Dado o epermento: a função(w) V.A. contradomíno da V.A. {0,,} Profa. Sona Isold Marty Gama Müller Págna

2 ε = lançamento de moedas = número de caras obtdos Então: Ω = {(ca,ca), (ca,co), (co,ca), (co,co)} (ca,ca) = (ca,co) = (co,ca) = (co,co) = VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS. Defnção: Sendo um varável aleatóra e se os valores possíves de for fnto ou nfnto numerável, denomnamos de v.a dscreta. EEMPLO: Uma fonte radoatva está emtndo partículas α. A emssão dessas partículas é observada em um dspostvo contador, durante um período de tempo especfcado. = número de partículas observadas R = {0,,,..., n,...} (nfnto numerável) = v.a. dscreta 7.3- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS: Defnção: Sendo uma v.a., suponha que R, o contradomíno de seja um ntervalo ou uma coleção de ntervalos, sto é, a v.a. toma um número nfnto não numeráves de valores. EEMPLO: Uma lâmpada é nstalada em uma geladera. A v.a. é o período que esta lâmpada funcone. Então: = período de tempo que funcone a lâmpada R = { / 0 < } = é uma v.a. contínua DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE: Seja uma v.a. que assume os valores,,..., n com probabldade p, p,..., p n assocadas a cada elemento de, sendo p + p p n = dz-se que está defnda um Dstrbução de Probabldade. - v.a. dscretas Função de Probabldade - v.a. contínuas Função Densdade de Probabldade FUNÇÃO DE PROBABILIDADE: Profa. Sona Isold Marty Gama Müller Págna

3 Seja um v.a. dscreta. A cada possível resultado assocaremos uma probabldade p( ), então p( ) é uma Função de Probabldade se satsfzer as seguntes condções: a) p( ) = = b) p( ) 0 EEMPLO: Ao lançar um dado e seja os valores observados: Então: P( ) /6 /6 /6 /6 /6 /6 6 a) p( ) = 6 / 6 = = b) p( ) = /6 > 0 P( ) / FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE: Se é uma v.a contínua com Função Densdade de Probabldade f () com domíno em R ou no conjunto A R, tem-se: a) f () 0 R + b) f () = c) P(=a) = P(=b) = 0 d) P(a < < b) = f ()d b a EEMPLO : Seja uma v.a.contínua defnda pela f.d.p: Profa. Sona Isold Marty Gama Müller Págna 3

4 0 para < 0 f ( ) = k para 0 0 para > então: Para que seja satsfeta a propredade: + f () = a área do trângulo compreenddo entre 0 e deve ser untáro bh k = = resulta que k=/ k 0 Proposta: Calcular a P(0 < <) EEMPLO : Uma v.a. tem f.d.p. dada por: f() = c c < < 3 0 c / c a) determne a constante c. b) P( > ) c) P( ½ < < 3 / ) Proposta: Calcular P ( 3 / < < 5 / ) 7.5- FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO: 7.5.-DEFINIÇÃO: Seja uma v.a. Defne-se a função F como a Função Dstrbução (Acumulada) da v. a. como F () = P( ), R PROPRIEDADES: P: 0 F() para < < Profa. Sona Isold Marty Gama Müller Págna 4

5 lm F() = F( - ) = 0 lm F() = F( ) = Se aumentaf() também tende a aumentar ( ou pelo menos não dmnur) P: Se. F( ) F( ) ( F é não decrescente) Demo: Se [ ] [ ] P( ) P( ) F( ) F( ) P3: lm o+ F() = F( o ) F() é contínua à dreta DETERMINAÇÃO DE PROBABILIDADE ATRAVÉS DA FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO: Se F() P( ) então:. P( > a) ( a) ( > a) = Ω P( a) + P( > a) = P(Ω) = P( > a) = - P( a ) = - F(a). P(a < b) ( a) (a < b) = ( b) P( a) + P(a < b) = P( b) P(a < b) = P( b) - P( a) = F(b) - F(a) FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO PARA V.A. DISCRETAS: Defnção: Uma v.a. dscreta pode ser caracterzada como aquela cuja Função Dstrbução F() se desenvolve aos saltos. As úncas contrbuções não nulas para F() ocorrem em conjuntos dscretos de pontos: [= ] para = 0,,,... Desta manera, pode-se defnr uma função que assuma valores não nulos somente em. p() = P[ = ] Profa. Sona Isold Marty Gama Müller Págna 5

6 Esta função é denomnada de Função de Probabldade para v.a.dscretas,e tem as seguntes propredades: a) p() = 0 p/ b) 0 p( ), p/ qquer do domíno c) p( ) = P[ = ] = A relação entre F() e p() e: F() = P( )= P( = ) = P( = ) F() = P( = ) E: Dos dados são lançados. A v. a é defnda como a soma dos pontos obtdos: = P( ) /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 F( ) /36 3/36 6/36 0/36 5/36 /36 6/36 30/36 33/36 35/36 0 < e > / 36 = e = / 36 = 3 e = p() = M 5 / 36 = 6 e = 8 6 / 36 = 7 F() = 0 < / 36 < 3 3 / 36 3 < 4 M 35 / 36 < FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO PARA V.A. CONTÍNUAS: Defnção: Uma v.a é contínua se sua Função Dstrbução (F()): a) For contínua b) f() = F () c) Sua dervada for secconalmente contínua Profa. Sona Isold Marty Gama Müller Págna 6

7 Então o domíno de consstrá em um ou mas ntervalos, fntos ou nfntos. P( = ) = 0 P( = ) P(-h <<) F() - F(-h) 0 quando h 0 + se F() é contínua Sendo uma ntegral a generalzação natural da soma, defn-se no caso, a Função Densdade de Probabldade (f()) pela propredade b f() = F () F() = F() - F(-8 )= = d F(t) dt = dt f(t) dt b P(a < b) = F(b) - F(a) = a f(t) dt A função f() = F () possue as seguntes propredades: a) f() = 0 se não pertencer ao domíno de ( uma vez que fora deste domíno F() é contante e sua dervada é nula). b) f() 0 para todo (dado que F() é uma função não-decrescente) + c) f() d = fazendo + em F()= f(t) dt + = d) f() é secconalmente contínua. f(t) dt = F(+ )- F( )= - 0 = EEMPLO : Uma v.a. tem f.d.p dada por: f() = c/c Determne: a) F() b) P(/ < < ) c) P( /3 ) d) P( < 3/5) Profa. Sona Isold Marty Gama Müller Págna 7

8 7.6- ESPERANÇA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA: DEFINIÇÃO: Esperança ou Epectânca de uma v. a. é um valor médo dos possíves valores de, ponderado conforme sua dstrbução,.e.; é uma méda ponderada onde os pesos são as probabldades p( ). É anda, o centro de gravdade da undade de massa que é determnada pela função densdade de. Assm E() é uma medda de localzação ou centro de v.a CASO DISCRETO: E() = = p( ) EEMPLO: Em uma especulação comercal, um homem pode ter um lucro de R$ ,00; com uma probabldade de 60%, ou um prejuízo de R$ 0.000,00; com a probabldade de 40%. Determne sua esperança no negóco. E() = ,6 + (-0.000) 0,4 = = CASO CONTÍNUO: E ( ) = + f ( ) d EEMPLO: Seja uma v.a contínua com f.d.p dada abao, determne sua esperança : f ( ) = 0 0 < c/c + E() =.f () d = Proposta: Calcule a medana da v.a.. 0 d = 4 3 Profa. Sona Isold Marty Gama Müller Págna 8

9 PROPRIEDADES:. E(=c) = c Demo: E( ) = +. E(c) = ce() Demo: E ( c ) =. f ( ) d = + c.. f ( ) d c. f ( = c. ) d = c.= c.f() d = ce() 3. E(a + b) = a.e() + b Demo : decorrente das demonstrações acma VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA: 7.7.-DEFINIÇÃO: Se é uma v.a., defnmos a varânca de como a dspersão da densdade de em relação ao seu valor de localzação central de densdade(e()) e é dada por: V() = E[-E()] = E(-µ) = E{ - E() + [E()] } = = E( ) - E()E() + [E() ] = (E() é um constante) = E( ) - [E()] // OBS: E( ) = p( ) para o caso dscreto e = + E ( ) = f () d para o caso contínuo CASO DISCRETO: CASO CONTÍNUO: = ( ) V ( ) = µ P ( ) V ( + ) = ( µ ). f ( ) d PROPRIEDADES:. V( + c) = V() Profa. Sona Isold Marty Gama Müller Págna 9

10 Demo: V( + c) = E[(+c) - E(+c)] = E[(+c) - E()-c] = E[ - E()] = V(). V(c) = c.v() Demo: V(c) = E(c) - [E(c)] = c E( ) - c [E()] = c {E( ) - [E()] ] = c V() EEMPLO : Seja uma dstrbução de probabldade dada por: - 0 P() ¼ ½ ¼ Determne a E() e V(). (R: E() = 0 e V()= ½) EEMPLO : Seja a f.d.p dada abao, calcule a E() e V(): f ( ) = 0 0 c/c R: E() = /3 e V() = / EERCÍCIOS: Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 pretas. Etraem-se bolas aleatoramente, sem reposção. Seja o número de bolas brancas escolhdas. Determne: a) função de probabldade. b) Função Dstrbução c) Esperança d) Varânca e) P( ) Resolva o eercíco anteror supondo que as etrações sejam fetas com reposção Seja Y um v.a. que represente o número de caras menos o número de coroas em duas jogadas de uma moeda honesta. Determne: a) função de probabldade b) Função Dstrbução c) Esperança d) Varânca e) P(Y>) Profa. Sona Isold Marty Gama Müller Págna 0

11 Dada a tabela abao, determne: 3 4 P() /8 /8 3/8 /8 a) F() b) P( 3) c) P( ) a) P(<3,3) Determne a esperança e varânca das seguntes dstrbuções: a) 3 P() /3 / /6 b) -5-4 P() /4 /8 / /8 c) P() 0,4 0, 0, 0,3 d) f ( ) k, = 0 se 0 0 c/c e) f (, 0 < ) = 0 c/c f) f ( 3 ) = 0, - 0 c/c Determne as respectvas funções de dstrbução acumulada para as dstrbuções de probabldade do eercíco anteror. Profa. Sona Isold Marty Gama Müller Págna

12 Um v.a. tem função densdade de probabldade: c. f () = 0 Determne: a) a constante c b) F() c) P(/<<) d) P(=) para c/c Um v.a. tem Função Dstrbução: 3 c. F() = 0 Determne: a) a constante c b) f() c) P(<<) para para para < 0 Profa. Sona Isold Marty Gama Müller Págna