PROVA 2 Cálculo Numérico. Q1. (2.0) (20 min)

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1 PROVA Cálculo Numérco Q. (.0) (0 mn) Seja f a função dada pelo gráfco abaxo. Para claro entendmento da fgura, foram marcados todos os pontos que são: () raízes; () pontos crítcos; () pontos de nflexão. Para cada uma das sentenças abaxo, dga se ela é verdadera ou falsa, e justfque. Use desenhos para suas justfcatvas. Nas sentenças, x 0 corresponde à condção ncal e x k seu k-ésmo terado, com respeto à teração do Método de Newton. (a) x 0 < b necessaramente mplca x k (b) x 0 > p necessaramente mplca x k p (c) x 0 (b, c) necessaramente mplca x (c, e) (d) exste x 0 tal que c < < x k+ < x k < < x < x 0 Vamos chamar de φ a fórmula de teração de Newton. Os argumentos podem parecer dfíces, mas a correção será mas tranqula. (a) VERDADEIRA Para x < b, φ(x) < x. Isto mostra que a sequênca de terados é decrescente. Se ela convergsse para um valor fnto, esse valor sera ponto fxo de φ e, portanto, raz de f. Logo, converge para. (b) FALSA Exstem pontos x 0 perto de r, à sua esquerda, tal que φ(x 0 ) < b. A partr daí, as terações vão para. (c) FALSA Para x 0 perto de b, à sua dreta, φ(x 0 ) > e (as tangentes fcam quase horzontas e encontram a abscssa tão à dreta quanto queramos). (d) VERDADEIRA Basta tomar x 0 entre c e d. Nessa regão, o argumento de concavdade mplca a afrmação. É possível também tomar x 0 entre p e q, pos neste caso a sequênca de terados decresce monotonamente, convergndo para p, que é maor do que c.

2 Q. (.0) (0 mn) Encontre numercamente os dos pontos crítcos da função x cos x que estão entre 0 e 3π, usando o Método de Newton. Orentações: () () Os pontos crítcos da função são os zeros de sua dervada! Então a f aqu é a dervada da função! As condções ncas podem ser chutadas, a partr de um esboço do gráfco de x cos x. Esse esboço pode ser feto magnando-se o efeto de multplcar o conhecdo cos x por x. Não é precso analsar concavdade para justfcar o x 0. (Estou bonznho hoje) No ntervalo [0, 3π ], a função x cos x tem zeros em 0, π e 3π. Então exste pelo menos um ponto crítco em (0, π ) e um ponto crítco em (π, 3π ). Achar esses pontos crítcos é o mesmo que obter as raízes, contdas em [0, 3π ], da função f(x) = (x cos x) = cos x x sn x. No prmero caso, vamos chutar x 0 = π (o ponto médo do prmero ntervalo), e, no segundo, x 4 0 = π (o ponto médo do segundo ntervalo). A fórmula de teração é Com x 0 = π 4 : Com x 0 = π: cos x x sn x φ(x) = x sn x x cos x x 0 = x = x 3 = x 4 = x 5 = x 0 = x = x = x 3 = x 4 = x 5 = = x + cos x x sn x sn x + x cos x

3 Q3. (.0) (5 mn) Para os pontos da tabela abaxo, ajuste y = a x + algarsmos sgnfcatvos toda vez que anotar o resultado de uma conta. b x, por MMQ, com pesos unformes. Use 4 x y Em números, sso dá: x, x a + x, x b = x, y x, x a + x, x b = x, y Cuja solução é a = e b =.04. Resposta: 04.8 a b = a b = y = x x Observação: Nesta questão, a equação já era lnear. Porém alguns parecem não ter vsto e preferram segur o camnho de reescrever a equação como ( x) a + x b = x( x)y, que também é lnear nos parâmetros, e fazer o ajuste correspondente. Neste caso, o sstema fca Em números: x, x a + x, x b = x, x( x)y. x, x a + x, x b = x, x( x)y 6.5 a +.05 b = a b = 7.8, cuja solução é a =.05 e b = (como conversamos em aula, não necessaramente gual à outra).

4 Q4. (.0) (5 mn) Ajuste uma função do tpo y = a/(b + ln x) aos dados abaxo, por MMQ lnear nos parâmetros. Use pesos, e, respectvamente, e 4 algarsmos sgnfcatvos. x y Prmero lnearzamos: (b + ln x)y = a a + ( y) b = y ln x, a +, y b =, y ln x y, a + y, y b = y, y lnx Em números (sem se esquecer dos pesos na hora de calcular os produtos escalares!): Resulta: a =.877 e b =.60. Observação: Houve quem escrevesse resolvendo o sstema 4 a 4.7 b = a b = 4.6 y = ln x. y = b a + ln x, a, b +, ln x =, a a y ln x, b a + ln x, ln x a = ln x,. y Uma outra forma muto parecda também podera ser usada, multplcando essa equação acma por a: resultando no sstema a b = ln x, y y, y a + y, b =, ln x y, a +, b =, ln x y

5 Q5. (.0) (5 mn) O gráfco abaxo é uma medda da temperatura méda do solo e do ar em dferentes profunddades, para cada hora do da, em certo local e certa época do ano. Trata-se de uma função peródca, com período de 4h. Examnando o gráfco da medda tomada a 5 cm de profunddade, obtve os seguntes dados: h T (a) Ajuste T = a + b cos( π h) + c sn(π h) por MMQ a esses dados. 4 4 (b) Com os parâmetros ajustados, obtenha a ampltude e a fase da osclação. Aqu N = 4. Então: a = 4, T = 4 T = = 89 4 =.5 b = cos (π 4 h), T = T cos( π 4 h ( ) ) = =.5 c = sn (π 4 h), T = T sn( π 4 h ( ) 7 ) = = 5.0 Ampltude: A = (.5) + ( 5.0) 5,59 (de fato esta é mea-ampltude). 5.0 Fase: (b, c) está no tercero quadrante. Obtemos θ = tan =.5 tan. A calculadora dá.07 radanos, mas essa é uma resposta do prmero quadrante. A do tercero é obtda somando-se π: θ Mas esse valor corresponde a π 4 h, em que h = = 6.3. π Então podemos escrever o ajuste como cos ( π (h 6.3)) 4 O sgnfcado é: a temperatura oscla em torno de.5 graus centígrados, com varação para mas e para menos de 5.59 graus, e com pco de temperatura um pouco depos das 6h.