MÉTODOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS RESISTIVOS ANÁLISE NODAL

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1 CIRCUITOS ELÉTRICOS Método de Análse: Análse Nodal Dscplna: CIRCUITOS ELÉTRICOS Professor: Dr Marcos Antôno de Sousa Tópco MÉTODOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS RESISTIVOS ANÁLISE NODAL Referênca bbloráfca básca: Dorf e Soboda, 7ª Edção, Capítulo Alexander e Sadu, ª Edção, Capítulo - INTRODUÇÃO A análse de crcutos mas eras acarreta a solução smultânea de um conjunto de equações Métodos Sstemátcos: LKC Conduz a equações cujas aráes desconhecdas são tensões; LKT = Conduz a equações onde as aráes desconhecdas são correntes MÉTODO DE ANÁLISE NODAL CIRCUITO CONTENDO FONTES DE CORRENTE INDEPENDENTES - Método de análse de crcutos nos quas as tensões são as ncóntas a serem determnadas - É conenente escolher um nó da rede para ser o Nó de Referênca, ou nó de dados Freqüentemente, o Nó de Referênca é escolhdo como aquele onde o maor número de ramos está conectado; - Assocar uma tensão ou um potencal com cada um dos outros nós do crcuto A tensão de cada nó de não-referênca com relação ao nó de referênca é defnda como uma Tensão de Nó; - Como nos crcutos as ncóntas são as tensões, as equações que os descreem são obtdas aplcando-se a LKC aos nós; - A aplcação da LKC a um nó resulta em uma Equação Nodal; - Para um crcuto contendo N nós haerá N- Tensões de Nó, alumas das quas podem ser conhecdas, é claro, se fontes de tensão esterem presentes Exemplo de Análse Crcuto Contendo Fontes de Corrente Independentes A Nó de Referênca Informações sobre o crcuto: - Número de Nós N: nós de referênca e de não-referênca - Número de Bpolos b: 9 bpolos B Prof Dr Marcos Antôno de Sousa Tópco

2 CIRCUITOS ELÉTRICOS Método de Análse: Análse Nodal Prof Dr Marcos Antôno de Sousa Tópco - Número de equações lnearmente ndependentes: N- = - = equações Equação Nodal para o Nó : Equação Nodal para o Nó : Equação Nodal para o Nó : Oranzando as três Equações Nodas na forma matrcal, tem-se: Solução: Ao resoler a equação obtêm-se os alore das Tensões de Nó N,, : Dados sobre a Matrz Matrz de Condutâncas ou Matrz Admtânca de Nós: - A dmensão da matrz é defnda pelo número de nós não-referênca: nós de não-referênca equações lnearmente ndependentes Matrz ; - A Matrz é smétrca: elemento j = j ; - Cada elemento da daonal prncpal de representa a soma das condutâncas conectadas ao nó, com snal posto Isto ale para cada nó de não-referênca do crcuto; - Cada elemento fora da daonal prncpal de j representa a soma das condutâncas conectadas entre os nós e j, com snal neato; Dados sobre o Vetor Vetor Fontes de Corrente Independentes: - Cada elemento do etor de fontes de corrente ndependente representa a soma dos alores das fontes de corrente que estão conectadas a cada nó de não-referênca do crcuto Este etor é formado da seunte forma:

3 CIRCUITOS ELÉTRICOS Método de Análse: Análse Nodal - Fonte de Corrente entrando no Nó Snal Posto + ; - Fonte de Corrente sando do Nó Snal Neato ; - O etor representa as Tensões de Nó a serem calculadas, ou seja são as ncóntas cujos alores deem ser determnados - Seundo estas nformações o sstema de equações pode ser obtdo dretamente do crcuto, sem a necessdade de se escreer as equações ntermedáras apresentadas acma - Exstem áros métodos de resolução para o sstema de equações obtdo, como por exemplo: Método de Crammer, Método do Escalonamento de Matrz, etc - Exstem também os mas arados sstemas computaconas Matlab, Mathcad, etc e calculadoras centífcas HP8, etc capazes de resoler tas sstemas - Após obtdas as Tensões de Nó do crcuto a partr do sstema de equações é possíel obter todas as tensões e correntes do crcuto Por exemplo, tem-se que: Exercíco: Analsar o crcuto anteror caso ocorra um curto-crcuto entre os pontos A e B Indque as mudanças a serem fetas na matrz Admtânca de Nós sstema de equações 7 MÉTODO DE ANÁLISE NODAL CIRCUITO CONTENDO FONTES DE TENSÃO INDEPENDENTES - À prmera sta, pode parecer que a presença de fontes de tensão em um crcuto complca a análse nodal; - Não se pode mas escreer as equações empreando o processo smplfcado, pos, a pror, são desconhecdos os alores de corrente que fluem pelas fontes de tensão ndependentes Exemplo de Análse Crcuto Contendo Fontes de Tensão Independentes Nó eneralzado ou Super-Nó Informações sobre o crcuto: - Número de Nós N: nós de referênca e de não-referênca Prof Dr Marcos Antôno de Sousa Tópco

4 CIRCUITOS ELÉTRICOS Método de Análse: Análse Nodal Prof Dr Marcos Antôno de Sousa Tópco - Número de Bpolos b: 8 bpolos - Número de equações lnearmente ndependentes: N- = - = equações; Por nspeção tem-se: 8 Faltam, portanto, três equações: Equação Nodal para o Nó : 9 Equação Nodal para o Nó : Equação Nodal para o Nó eneralzado ou Super-Nó: Oranzando as três Equações Nodas na forma matrcal, tem-se: De onde se obtêm os alores das Tensões de Nó e, : Os alores das tensões de nó e, são obtdos a partr das equações e e a partr das equações 8

5 CIRCUITOS ELÉTRICOS Método de Análse: Análse Nodal Obserações: - A Matrz contnua smétrca; - A presença de Fontes de Tensão Independentes reduz a dmensão da matrz Admtânca de Nós - Quando a fonte de tensão ndependente está conectada entre um Nó de Não-referênca e o Nó de Referênca, a tensão de nó é obtda dretamente do crcuto; - Quando a fonte de tensão ndependente está conectada entre dos Nós de Não-referênca podese obter uma relação entre as duas Tensões de Nó, nestes dos nós de não-referênca, o que faz reduzr uma lnha na matrz Admtânca de Nós MÉTODO DE ANÁLISE NODAL CIRCUITO CONTENDO FONTES DEPENDENTES - A análse é feta da mesma forma que nos tens anterores; - A prncpal mudança é que a Matrz Admtânca de Nós dexa de ser smétrca; - O Elemento Controlador da fonte dependente dee ter o seu alor expressado em função das Tensões de Nó defndas para o crcuto Exemplo de Análse Crcuto Contendo Fontes Dependentes Informações sobre o crcuto: - Número de Nós N : nós de referênca e de não-referênca - Número de Bpolos b: 7 bpolos - Número de equações lnearmente ndependentes: N- = - = equações; O alor da Fonte de Corrente Controlada por Corrente FCCT pode ser expressa em função das tensões e de nó, da seunte forma: Por nspeção tem-se: Faltam, portanto, três equações: d d Prof Dr Marcos Antôno de Sousa Tópco

6 CIRCUITOS ELÉTRICOS Método de Análse: Análse Nodal Prof Dr Marcos Antôno de Sousa Tópco Equação Nodal para o Nó : 7 Equação Nodal para o Nó : d 8 Equação Nodal para o Nó : d 9 Oranzando as três Equações Nodas na forma matrcal, tem-se: Expressando o alor da FCCT em função das tensões de nó, conforme equação, tem-se: O sstema de equações, da forma que está, anda não pode ser resoldo Afnal exstem ncóntas no lado dos temos ndependentes Os termos que enolem as tensões de nó deem estar do lado esquerdo das equações Portanto, as lnhas e da matrz precsam ser reoranzadas Isto é feto da seunte forma: Lnha : Lnha : Portanto, o sstema de equações para resoler o crcuto fca:

7 + CIRCUITOS ELÉTRICOS Método de Análse: Análse Nodal Cuja solução, conforme já feto anterormente:, e Os alores das Tensões de Nó são obtdos a partr do sstema de equações Obserações: - A presença da fonte dependente no crcuto faz com que a Matrz dexe de ser smétrca; - Uma análse mas dreta do crcuto pode ser feta da seunte forma: - Monte o sstema de equações como se as fontes dependentes fossem fontes ndependentes; - Em seuda, ndque o alor do elemento controlador da fonte dependente em função das tensões de nó, conforme fo feto no sstema de equações ; - E fnalmente, reoranze as lnhas da matrz, passando aqueles termos que possuem tensões de nó do lado dreto para o lado esquerdo das equações Assm o sstema fca pronto para ser resoldo, conforme fo feto no sstema de equações ORIENTAÇÕES FINAIS Letura Complementar: Introdução aos Crcutos Elétrcos Dorf e Soboda ª Edção, Itens,,, 8, 9, Fundamentos de Crcutos Elétrcos Alexander e Sadu ª Edção Itens,,,, 7 e Exemplos Resoldos: Referêncas bbloráfcas ndcadas no plano de ensno da dscplna e também aqueles resoldos em sala de aula com o professor Lsta de Exercícos: Para o crcuto elétrco da fura abaxo encontre os alores da corrente e da resstênca do resstor R Consdere que o resstor R tenha uma capacdade máxma de dsspação de [W] Aale se ele está sendo utlzado adequadamente neste crcuto [] 8[] [] [A] [V] [] R Prof Dr Marcos Antôno de Sousa Tópco 7

8 CIRCUITOS ELÉTRICOS Método de Análse: Análse Nodal No crcuto da fura abaxo determne a potênca oferecda pela fonte de [A] [] 9[] 8[V] [] [A] [] [V] No crcuto da fura abaxo determne a potênca oferecda pela fonte de [V] e a potênca oferecda pela fonte de [A] [] [] [V] [] [V] [] [] [A] Para o crcuto da fura abaxo, determne o alor da potênca dsspada pelo resstor de [] Para o crcuto elétrco da fura abaxo respete o nó de referênca e faça: a Escrea as Equações Nodas e dexe o crcuto pronto para ser resoldo, com o sstema de equações lneares na forma matrcal Os alores das tensões são dados em [V] e das resstêncas em [] b Indque o procedmento para calcular: o alor da potênca pt oferecda pela fonte e a tensão sobre o resstor R c Indque as mudanças a serem fetas no sstema de equações matrcal montado no tem a caso haja um curto-crcuto entre os pontos a-b, ndcados no crcuto d Indque as mudanças a serem fetas no sstema de equações matrcal montado no tem a caso haja um rompmento no ponto c ndcado no crcuto c R R7 R R _ x R + a R R8 x R b Prof Dr Marcos Antôno de Sousa Tópco 8

9 CIRCUITOS ELÉTRICOS Método de Análse: Análse Nodal Para o crcuto da fura abaxo, determne o alor da potênca dsspada pelo resstor de [] / [A] [] [] [A] + [] [] [] 7 Para o crcuto da fura abaxo, faça: a Consdere que o resstor de [] escolhdo para ser utlzado no crcuto seja capaz de dsspar [W] Aale se ele está sendo utlzado adequadamente b Aale a seunte afrmação: A POTÊNCIA OFERECIDA PELA FONTE DE TENSÃO DE [V] É MAIOR QUE [W] Esta afrmação é VERDADEIRA ou é FALSA? Justfque a sua resposta atraés dos cálculos + + x V + _ x Lsta de Exercícos Referêncas Bbloráfcas: Introdução aos Crcutos Elétrcos Dorf e Soboda ª Edção Exercícos: E E E E E E Problemas pp -: P P P P P P P P P P P7 P8 P P P P P Introdução aos Crcutos Elétrcos Dorf e Soboda 7ª Edção 8 Exercícos: E E E E E E Problemas pp -8: P P P P P P P P P P P P7 P P P P P P9 P P P7 P8 Fundamentos de Crcutos Elétrcos Alexander e Sadu ª Edção Questões para resão pp 99-: Problemas pp -: Prof Dr Marcos Antôno de Sousa Tópco 9