Capítulo 14. Análise de circuitos. em corrente alternada () () Assim, é possível, escrever as equações para a corrente e tensão no circuito:

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1 EETôNIA Assm, é possíel, escreer as equações para a corrente e tensão no crcuto: (t) = máx sen (wt 0) e = 0 má x = 240 apítulo 4 π π (t) = máx sen (wt j) e = má x = Aplca-se, então, a le de Ohm: X = () () t t = má x má x 0 π X j 2 = 24 π 4 2 = 6 O dagrama fasoral do crcuto será o lustrado na fgura 3.8. Fgura 3.8 dagrama fasoral de crcuto nduto. = 24 I = 4 A Análse de crcutos onsderando a frequênca de 60 Hz, pode-se determnar o alor da ndutânca: = X 2πf 0, 442 mh Assm como o capactor, o ndutor em A não apresenta dsspação de potênca méda, pos no hemcclo posto recebe energa do gerador e no negato a deole ntegralmente. em corrente alternada 220

2 eletrônca APÍTUO 4 A fgura 4.2 lustra essa stuação. A partr de agora analsaremos os crcutos nos quas ocorrem combnações entre os três elementos báscos: resstêncas, capactores e ndutores. A somatóra dos efetos de oposção à passagem de corrente é denomnada mpedânca, representada por. t(ms) (a) (b) O dagrama fasoral é lustrado na fgura 4.3. X Im -ϕ Fgura 4.2 (a) Gráfco da tensão e da corrente em crcuto em sére; (b) representação polar da tensão e da corrente. ( ) 2 2 = X X (4.) Esta passa a ser a equação geral para a mpedânca total do crcuto, não mportando sua confguração. À mpedânca podem-se aplcar todas as les de eletrcdade conhecdas. I -ϕ ef (0 o ) Fgura 4.3 Dagrama fasoral de crcuto em sére. 4. rcuto 4.. esstênca e capactor em sére Fgura 4. rcuto em sére. A mpedânca do crcuto é dada por: = X 2 2 (4.2) Potêncas em corrente alternada Potênca ata (P) É a potênca dsspada pelas resstêncas do crcuto, na forma de calor. É a únca que pode ser medda dretamente com wattímetro. As demas potêncas exgem outros recursos, como oltímetro ou amperímetro. No crcuto em sére (fgura 4.), como no caso de corrente contínua, também surge uma corrente cujo alor é proporconal à mpedânca total do crcuto. Essa corrente, por causa dos dspostos dferentes, tem defasagem menor que 90 em relação à tensão do gerador. No entanto, como prealece a nfluênca do capactor, a tensão está atrasada em comparação com a corrente. Separadamente, a relação entre a tensão e a corrente permanece em cada dsposto. P = (4.3) Potênca reata (Q) orresponde à potênca sobre o capactor. Q = (4.4)

3 eletrônca APÍTUO 4 Potênca aparente (S) Fgura 4.5 rcuto em paralelo. É a potênca total, fornecda pelo gerador ao crcuto. Para o cálculo de potêncas, utlzam-se os alores efcazes de tensão e corrente. S = S = P jq (4.5) Essa soma é etoral e pode-se efetuá-la por meo do trângulo de potêncas da fgura 4.4. Fgura 4.4 Trângulo de potêncas. S[A] ϕ Q = Q - Q [A] em que: = P(w) = Utlzando relações trgonométrcas para o trângulo de potêncas, é possíel escreer: P = S senj = X A mpedânca total do crcuto é calculada da mesma forma que se calcula a resstênca equalente em paralelo. Ao termo cosj é atrbuído o nome de fator de potênca (fp) do crcuto. As concessonáras de energa fornecem um alor constante de tensão para uso doméstco; logo, a aráel em uma nstalação elétrca é a corrente. Fgura 4.6 Gráfco da tensão e das correntes em crcuto paralelo. Analsando o trângulo de potêncas, percebe-se que, quanto maor a potênca reata, maor a corrente elétrca no crcuto (não desejáel); quanto maor o fator de potênca, mas próxmos se tornam os alores das potêncas aparente e ata. t Para etar excessos no sstema elétrco, as concessonáras exgem que o fator de potênca tenha alor mínmo: fp = cosj > 0,92 O dagrama fasoral que representa essa stuação é demonstrado na fgura esstênca e capactor em paralelo No crcuto em paralelo (fgura 4.5), a tensão é a mesma do gerador nos áros dspostos do crcuto. Apenas as correntes em cada um deles são dferentes, proporconas a cada resstênca ou reatânca (fgura 4.6). A corrente total no gerador é a soma etoral das correntes ndduas: I ϕ I Fgura 4.7 Dagrama fasoral de crcuto em paralelo. = j (4.6) I

4 eletrônca APÍTUO rcuto Nesse crcuto, obseram-se as seguntes relações entre os parâmetros: Fgura 4.8 rcuto em sére esstênca e ndutor em sére = X 2 2 e z = j X Na forma polar, z = ϕ, em que ϕ= arctg X do crcuto. é o ângulo de fase total = = Iϕ constante para todo o crcuto. = = ϕ (4.7) o = X = ϕ 90 (4.8) esstênca e ndutor em paralelo Fgura 4.9 (a) Gráfco das tensões e da corrente em crcuto em sére; (b) representação polar da tensão e da corrente. Fgura 4.0 Dagrama fasoral de crcuto em sére. No crcuto em sére (fgura 4.8), no nstante ncal o ndutor se comporta como crcuto aberto, por causa da aração do campo magnétco. A tensão é máxma e a corrente nula. O fluxo do campo magnétco produz defasagem de 90 entre a tensão e a corrente, ou seja, a corrente está atrasada em relação à tensão, como apresentado na fgura 4.9. (a) O dagrama fasoral é mostrado na fgura 4.0. t(ms) X (b) Im ϕ No crcuto em paralelo (fgura 4.), à parte certas característcas do ndutor, seu comportamento mostra alguma semelhança com o que ocorre no capactor. Nesse caso, a corrente no ndutor está defasada de 90 em relação à tensão do gerador, enquanto a corrente total apresenta defasagem menor (fgura 4.2). t Fgura 4. rcuto em paralelo. Fgura 4.2 Gráfco da tensão e das correntes em crcuto em paralelo. I

5 eletrônca APÍTUO 4 Fgura 4.3 Dagrama fasoral de crcuto em paralelo. A corrente no crcuto é expressa pela soma etoral: = l A fgura 4.3 mostra o dagrama fasoral para essa assocação. ϕ I Um crcuto em sére com tensão de saída no capactor ( = S ), como o da fgura 4.4, é denomnado fltro passa-baxa, pos X é muto maor que em baxas frequêncas. Assm, pratcamente toda a tensão de entrada é aplcada ao capactor. Fgura 4.4 rcuto em sére. I I e s 4.3 Aplcações dos crcutos e em sére Uma das prncpas aplcações prátcas para os crcutos e em sére são os chamados fltros passos. Medmos a tensão em um dos componentes, que passa a ser denomnada tensão de saída ( S ), em contraste com a tensão de entrada ou do gerador ( e ). A análse é feta com base na nfluênca da frequênca sobre as reatâncas ora capactas, ora ndutas. A relação entre as tensões de saída e entrada é denomnada ganho de tensão (A ), em que: A = S / e Outra manera de medr o ganho de tensão é em decbés (db), grandeza relaconada com a orelha humana, que não responde à aração dos estímulos sonoros de modo lnear, e sm logarítmco. Isso sgnfca que, se a potênca dobra de alor, o mesmo não ocorre com a sensação sonora. Nesse caso, podemos deduzr a frequênca de corte (f c ) como a frequênca-lmte de utlzação do fltro ou a frequênca para a qual o ganho de tensão é: A = 2 ou seja, quando a tensão de saída é 0,707 da tensão de entrada ou a potênca de saída é a metade da potênca de entrada. Em decbés, temos: ou A p/db = 0log(p S /p e ) = 0log(/2) = 3db A /db = 20log( S / e ) = 20log(/ 2) = 3db (fgura 4.5) O ganho de tensão em decbés é calculado pela expressão: A S / = 20 log (4.0) db e 2 A Fgura 4.5 Gráfco do ganho de tensão em função da frequênca. Se entrada = saída, todos os ganhos são guas: A /db = A p/db = 0log(p S /p e ) f f em que: A p é o ganho de potênca; p S a potênca de saída; p e a potênca de entrada. A frequênca de corte é dada por: f = c 2π (4.0)

6 eletrônca APÍTUO 4 O mesmo crcuto em sére com tensão de saída sobre a resstênca é chamado fltro passa-alta, pos X é muto menor que e, portanto, pratcamente toda a tensão estará sobre a resstênca do crcuto (fguras 4.6 e 4.7). 4.4 rcuto 4.4. esstênca, ndutor e capactor em sére Fgura 4.6 rcuto em sére: fltro passa-alta. e s Fgura 4.9 rcuto em sére. Fgura 4.7 Gráfco do ganho de tensão no crcuto em sére. 2 A Fgura 4.8 rcuto em sére e gráfco do ganho de tensão em função da frequênca A análse de crcutos em sére (fgura 4.8) é a mesma, porém, para altas frequêncas, prealece a reatânca nduta (X ) ou o ndutor sobre a resstênca (). Desse modo, para tensão de saída no ndutor, o crcuto é um fltro passa- -alta (X muto maor que e a tensão reca toda sobre X ); para tensão de saída na resstênca, um fltro passa-baxa ( muto maor que X e a tensão reca toda sobre ). f f Nesse caso, os três elementos báscos estão enoldos na formação da mpedânca total do crcuto (fgura 4.9). onforme já analsado, separadamente, a relação entre a tensão e a corrente em cada um deles é mantda. A corrente no crcuto é únca e defasada de ϕ em relação à tensão do gerador. Em resumo: A tensão na resstênca está em fase com a corrente no crcuto. A tensão no capactor está atrasada de 90 em relação à corrente no crcuto. A tensão no ndutor está adantada de 90 em relação à corrente no crcuto. Entre a tensão do ndutor e a do capactor há uma defasagem de 80. e s 0-3 A /db f f As fguras 4.20 e 4.2 mostram, respectamente, os gráfcos das tensões e da corrente e o dagrama fasoral de um crcuto em sére. Fgura 4.20 Gráfcos das tensões e da corrente em crcuto. t A frequênca de corte é dada por: f = c 2π (4.)

7 eletrônca APÍTUO 4 Fgura 4.2 Dagrama fasoral de crcuto. = 40 Fgura 4.22 I -ϕ ef (0 o ) X = 70 X = 40 A mpedânca do crcuto é dada por: z = j (X X )[Ω] (4.2) Na forma polar: = ϕ (4.3) em que = ( 2 (X X ) 2 ) e ϕ= arctg X X, que é o ângulo de fase total do crcuto. = = I ϕ (4.4) constante para todo o crcuto. z = I = ϕ (4.5) = X = ϕ 90 (4.6) = X = ϕ 90 (4.7) = (soma etoral) Quanto às potêncas: P = I S cosϕ (potênca ata, medda em watt) Q = ( ) = S senϕ (potênca reata, em olt-ampère reato [Ar]) S = (potênca aparente, em olt-ampère [A]) S = P Q (soma etoral) Exemplo Para o crcuto da fgura 4.22, dado (t) = 200 sen(377t 30 ) [], determne: a) o alor do capactor e do ndutor do crcuto; b) os alores de e I na forma polar e a equação de (t); c) os alores de, e na forma polar; d) o dagrama fasoral; e) as potêncas aparente, ata e reata. Solução: a) X c = 40 Ω = /(ω X c ) = /(377 40) = 66,3 mf X = 70 Ω = X /ω = 70/377 = 85,7 mh b) z = j (X X c ) z = 40 j(70 40) z = 40 j30 [Ω] Na forma polar: Portanto: = = ( ( X X ) 40 ( 30 ) = 50 [ Ω] ϕ= arctg X 50 36, 87 [ Ω] X = arctg = 36, = = A z = , 87, [ ] t () = sen( ωt ϕ) () t = 4sen( 377t 687, )[ A] máx

8 eletrônca APÍTUO 4 c) = = 4 6, = , [ ] = X = 4 6, = , 3 [ ] = X = 4 6, = 60 96, 87 [ ] c c c d) Dagrama fasoral (fgura 4.23): No crcuto em paralelo (fgura 4.25), o cálculo da mpedânca total segue regra semelhante ao da assocação de resstores em paralelo, porém sugere-se fazê-lo usando a le de Ohm. Mas uma ez, as característcas ndduas dos dersos componentes são mantdas, mas a referênca passa a ser a tensão, que agora é o elemento fxo do crcuto. Fgura 4.25 rcuto em paralelo. Fgura 4.23 = ,3 o 30 o = 200 t I = 4 A -6,87 o = 60 ef (0 o ) = 60 Desse modo: Fgura 4.24 rcuto em paralelo. e) S = S = , 87 S = , 3 [ A] P = P = , 4 687, P = 640 3, 74 [ W] ou P = Scos ϕ P = , 3 (cos 36, 87 ) P = 640 3, 74 [ W] Q= Ssenϕ Q= , 3 ( sen36, 87 ) Q= , 26 [ Ar] esstênca, ndutor e capactor em paralelo I = / I = /X I = /X c = (soma etoral) ogo: essonânca z = / Em um crcuto, seja em sére, seja em paralelo, a ressonânca ocorre quando o efeto do capactor é anulado pelo efeto do ndutor. Nesse caso, o crcuto se comporta como crcuto puramente ressto. Isso acontece em dada frequênca, que passa a ser denomnada frequênca de ressonânca (f 0 ), determnada por: X = X c 2πf 0 = /(2πf 0 ) f 0 = (4.8) 2 π essalte-se que esse cálculo é o mesmo para os crcutos em sére e paralelo. No caso do crcuto em sére, erfca-se a menor mpedânca do crcuto e, portanto, a maor corrente, quando: = ou = 0 (Ω) (4.9)

9 eletrônca APÍTUO 4 Sendo: então: = 0 [ ] máx máx 0 = Imáx 0 = 0 [ A] (4.20) omo mos, as concessonáras estabelecem lmte para que não haja abuso em relação à corrente do crcuto, sob pena de multa ao consumdor (prncpalmente ndustral e comercal de grande porte). Uma forma de controlar esse excesso é lmtando o alor do fator de potênca. Hoje esse fator não dee ser menor do que 0,92, haendo estudos para aumentá-lo para alor mas próxmo de. Quanto maor a nfluênca dos capactores e ndutores no crcuto, menor o alor do fator de potênca, ou, anda, quanto maor a potênca reata no crcuto, menor o alor de cosϕ. = = 0 [ ] (4.2) 0 0 máx = X = 90 [ ] (4.22) 0 0 máx = X = 90 [ ] (4.23) 0 0 máx omo X 0 = X 0, logo 0 = 0, defasados de 80 ; assm, 0 = do gerador. Em relação às potêncas: Isso sgnfca que: Exemplo S = S 0 = P 0 = 0 2 cosj = = fator de potênca Q 0 = 0 Determne a frequênca de ressonânca para um crcuto em sére consttuído de uma resstênca de kω, uma ndutânca de 50 mh e um capactor de mf. A multa aplcada basea-se na resolução da Aneel n o 456, de 2000, que estabelece: alor da multa = alor da fatura [(0,92/cosϕ meddo) ] Na prátca, a maora dos crcutos tem predomnânca nduta, dedo à grande quantdade de dspostos consttuídos de ndutores, como motores, reatores, transformadores etc. Desse modo, quando o fator de potênca do crcuto ester abaxo do lmte estabelecdo (0,92), deem-se acrescentar capactores em paralelo ao gerador do crcuto a fm de elmnar ou reduzr seu efeto, pos, como estudamos, entre as reatâncas e demas característcas do crcuto (tensão ou corrente, dependendo de o crcuto ser em sére ou paralelo) exste defasagem de 80, o que os torna opostos ou contráros. A medda do fator de potênca é feta com um nstrumento denomnado cosfímetro, e o acréscmo ou eentual retrada (quando se reduzem os ndutores do crcuto, máqunas ou equpamentos ndutos são deslgados) de capactores do crcuto ocorre de modo automátco. Do mesmo modo que no cálculo de f 0 (frequênca de ressonânca), podemos determnar o alor do capactor ou conjunto de capactores a ser lgado ao crcuto (fgura 4.26) Fgura 4.26 (a) rcuto com ntrodução de capactor; (b) dagrama fasoral do crcuto. Solução: f = f = 2π 2π S Q Q f =5,92Hz 0 (a) (b) ϕ S ϕ 2 P Q orreção do fator de potênca O crcuto ressonante de baxa corrente é o desejo das concessonáras de energa, porém raramente ocorre, sobretudo quando a frequênca da rede é constante (f = 60 Hz). Assm: Q = Q Q c