ANÁLISE DE CIRCUITOS ALGÉBRICOS LINEARES UTILIZANDO MÉTODOS GERAIS

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1 ANÁLISE DE CIRCUIOS ALGÉBRICOS LINEARES UILIZANDO MÉODOS GERAIS Yaro Buran Jr. Unersdade Estadual de Campnas, Faculdade de Engenhara Elétrca e de Computação Caxa Postal 6101, Campnas, S. Paulo Ana Crstna C. Lyra acclyra@fee.uncamp.r Caxa Postal 6101, Campnas, S. Paulo Resumo. A dsponldade de computadores pessoas e calculadoras centífcas em modfcando o tratamento ncal da teora de crcutos. Cada ez mas se tornam mportantes métodos geras e sstemátcos que permtam oter conjuntos de equações necessáras e sem redundânca para as soluções. A análse nodal modfcada fornece um destes métodos. Crcutos lneares contendo resstores e fontes, de tensão e/ou corrente; crcutos em regme permanente senodal, nclundo capactores e ndutores, crcutos lneares em geral, atraés do emprego de transformações (Laplace) podem ser tratados de forma elegante e sstemátca. As les de Krchhoff se exprmem com emprego da matrz de ncdênca; relações entre tensões e correntes nos dersos polos se exprmem por matrzes de admtânca ou de mpedânca de polos. A análse nodal modfcada permte anda desenoler concetos mportantes, como os equalentes de héenn. Palaras-chae: Equações de crcutos, Análse nodal, Análse nodal modfcada. 1. INRODUÇÃO Uma aordagem comum na análse de crcutos que podera ser chamada de analítca é em representada pelo conhecmento dos alunos que ngressam na Unersdade tendo feto já um curso técnco de eletrcdade. As equações de um crcuto são escrtas uma a uma, em geral equações de tensões percorrendo as malhas (se o crcuto é plano), até ser otdo um número sufcente de equações. Se aparecem equações em excesso não há prolema: mplctamente pensa-se na solução manual destas equações. Raramente é feta a formalzação completa do método de malhas e muto menos de outros métodos, como o método de nós. Nesta aordagem a experênca tem papel fundamental: cada crcuto é um caso partcular. As lstas de exercícos extensas são mportantes. O desenolmento tecnológco orga a nclur nos cursos de engenhara cada ez mas conhecmento, mas sem crescmento sgnfcato da carga horára. Em conseqüênca são

2 necessáras noas aordagens, mas sntétcas, mesmo para dscplnas áscas como Crcutos Elétrcos (Buran (1993), Chua et al (1993), Orsn (1993), Ho et al (1975)). Uma segunda razão em faor destas noas aordagens é a utlzação crescente de computadores para a solução das equações e mesmo até o desenolmento de softwares específcos para solução de crcutos. É mportante conhecer o número de aráes e oter as equações necessáras: nem mas, nem menos. Assm, a partr da formulação matrcal das les de Krchhoff (de preferênca com utlzação da matrz ncdênca) chega-se ao método de nós e tamém ao método de nós modfcado (que é o fundamento, por exemplo, do Spce). As duas aordagens deem ser utlzadas nas dscplnas de Crcutos. Elas são, de fato, complementares e é mportante explorar as lgação entre elas. 2. VARIÁVEIS E EQUAÇÕES Assocam-se, normalmente, a um crcuto consttuído de polos e tendo n nós as aráes elétrcas tensões e correntes de polos. São tensões e correntes, ou 2 aráes. A manera como os polos são assocados permte escreer as equações decorrentes das les de Krchhoff. Consderados, para smplfcar a exposção, crcutos conexos, são n-1 equações ndependentes de correntes e -n+1 equações ndependentes de tensões, totalzando equações algércas lneares; cada polo é caracterzado por uma relação entre tensão e corrente: mas equações. Em prncípo o crcuto está equaconado. A elmnação sstemátca de algumas das aráes é feta nos dersos métodos geras: por exemplo, as equações de tensões permtem exprmr -n+1 tensões em função das demas n-1 (tensões ndependentes); se as equações dos polos permtrem exprmr, para cada polo, a corrente em função da tensão, as n-1 equações ndependentes de correntes podem ser expressas em função das n-1 tensões ndependentes. Os dersos passos assm descrtos precsam ser sstematzados: como escolher equações ndependentes de tensões e correntes, como escolher tensões (ou correntes) ndependentes? 2.1 Árore Uma forma de sstematzação é aseada na escolha de uma árore para o crcuto: um conjunto de n-1 polos lgando todos os nós, mas não nclundo nenhum laço. Os -n+1 polos não pertencentes à árore consttuem a co-árore. Os -n+1 laços fundamentas (laços contendo apenas um ramo da co-árore) permtem escreer -n+1 equações ndependentes de tensões (pos a tensão de cada polo da co-árore só aparece em uma equação). As tensões dos polos da árore formam um conjunto de tensões ndependentes (pos é possíel, a partr das equações de tensões escreer as tensões dos polos da co-áore em função dos polos da árore). De mesma forma, os n-1 cortes fundamentas (cortes contendo apenas um ramo da árore) permtem escreer n-1 equações ndependentes de correntes (pos a corrente de cada polo da árore só aparece em uma equação). As correntes dos polos da co-árore formam um conjunto de correntes ndependentes (pos é possíel, a partr das equações de correntes escreer as correntes dos polos da árore em função das correntes dos polos da co-árore). Esta forma de sstematzação apresenta nteresse por permtr, faclmente, decdr que polos terão tensões ndependentes (serão ncluídos na árore) e que polos terão correntes ndependentes (serão ncluídos na co-árore). Impossldade de construr uma árore satsfazendo estas condções caracterza alguma patologa do crcuto mutas ezes mpossltando sua solução atraés, por exemplo, do Spce (crcuto contendo laços de fontes de tensão).

3 2.2 Outras aráes: tensões de nós e correntes de malhas Em lugar de usar, como aráes, correntes ou tensões de polos, os métodos de malhas e de nós adotam noas aráes, respectamente correntes de malha e tensões de nós. Exste, entretanto, uma restrção: correntes de malha só podem ser defndas para crcutos planos. Correntes de malha ou tensões de nós podem concdr com correntes ou tensões de polos mas tamém podem não concdr. Escolhdo um nó (chamado de referênca ou terra) as tensões de nós são as n-1 tensões entre os outros nós e o nó de referênca. Estas tensões podem, faclmente, ser meddas (de fato, tensões oseradas com um oscloscópo são, usualmente, tensões de nós). Sera possíel dzer que as tensões de nós sempre têm exstênca real nos crcutos. E, além dsso, como não formam laços, as tensões de nós são ndependentes. Um crcuto plano tem -n+1 malhas nternas. Assoca-se a cada malha nterna uma corrente de malha. As correntes de malha são ndependentes. Quando alguma corrente de malha não concde com uma corrente de polo, não é possíel med-la dretamente. Então correntes de malha podem ser consderadas, às ezes, astrações matemátcas. E tamém, como dferentes representações de um crcuto podem apresentar malhas dferentes, as correntes de malha não são unocamente determnadas para um crcuto. O conceto de nó tamém permte escolher um conjunto de equações ndependentes de correntes: as equações de correntes escrtas para quasquer n-1 nós do crcuto. Usualmente é excluído o nó de referênca. O que dexa de ser tral, neste caso (e sem recurso ao conceto de árore), é a escolha de correntes ndependentes. E analogamente, o conceto de malha permte escolher um conjunto de equações ndependentes de tensões: as equações de tensões escrtas para as malhas nternas são ndependentes. E tamém o que não é tral (noamente sem recurso ao conceto de árore) é a escolha de tensões ndependentes. Em resumo, os nós de crcuto acrescentam noas n-1 tensões, totalzando +n-1 tensões, das quas as tensões de nós são ndependentes. Os nós tamém fornecem n-1 equações ndependentes de correntes, mas não fornecem um camnho para a escolha de correntes ndependentes. De mesma forma, as malhas acrescentam -n+1 correntes, totalzando 2-n+1 correntes, das quas as correntes de malha são ndependentes. E fornecem -n+1 equações ndependentes de tensões, mas não fornecem um camnho para a escolha de tensões ndependentes. 3. MÉODO DE NÓS Como as tensões de nós são ndependentes, é possíel escreer as tensões dos polos em função das tensões de nós. E se for possíel, para cada polo, escreer a corrente como função da tensão (sto é, se os polos forem todos controlados a tensão), será possíel escreer as equações ndependentes de correntes para os nós expressas em função das tensões de nós. Serão n-1 equações e n-1 ncógntas. A condção mportante é serem os polos controlados a tensão. Fontes deas de tensão são excluídas (emora fontes reas que possam ser representadas por equalentes de Norton sejam permtdas). Para aplcação do método de nós em crcutos contendo fontes deas de tensão, estes são preamente modfcados: fontes de tensão em sére com resstores são susttuídas pelos respectos equalentes de Norton, eentualmente após transformações de Blakesley (ou deslocamentos de fontes de tensão atraés de nós). Estas transformações têm uma

4 conseqüênca nteressante: cada fonte transformada reduz em uma undade o número de nós e portanto o número de equações e ncógntas. Mas têm tamém uma desantagem: o crcuto resoldo é dferente do orgnal. Desaparecem algumas tensões e correntes no crcuto e aparecem outras. A solução completa do crcuto passa a exgr um passo adconal após a solução das equações, o retorno ao crcuto orgnal. 3.1 Les de Krchhoff Para a construção do método de nós é utlzado o enuncado mas usual da le das correntes : a soma algérca das correntes que saem de cada nó é nula. Consderados n-1 nós (é excluído normalmente o nó de referênca para as tensões de nós), há n-1 equações (algércas lneares) ndependentes podem ser escrtas em notação matrcal. Defndo o etor das correntes dos polos (numerados de 1 a ) = [ Λ ] 1 2 estas equações fcam A = 0 (1) A matrz A, n-1 por, é a matrz de ncdênca (ou, para alguns autores, matrz de ncdênca reduzda). Os nós são numerados de 1 a n-1 (lemrando que um nó é excluído) e a lnha da matrz corresponde ao nó. A coluna j da matrz corresponde ao polo j. Os elementos da matrz são +1, -1 ou 0, conforme a corrente conenconada para o polo saa, entre ou o polo não esteja lgado ao nó. Edentemente cada coluna tem, no máxmo, dos elementos não nulos, de snal contráro (quando o polo correspondente não ester lgado ao nó de referênca). A le das tensões, por sua ez, é enuncada de preferênca em forma já enolendo as tensões de nós: a tensão de cada polo é a dferença entre as tensões dos nós aos quas o polo é lgado. Nesta forma (que permte faclmente deduzr a forma mas usual, a soma das tensões em cada laço é nula) são otdas equações (tamém algércas lneares) relaconando +n-1 tensões. Fca edente serem ndependentes as n-1 as tensões de nós. E defnndo os etores (de dmensão ) das tensões de polos e e (de dmensão n-1) das tensões de nós = [ Λ ] 1 2 [ e e Λ ] e = 1 2 en 1 as equações fcam, em forma matrcal, = A e (2) desde que seja sempre utlzada a conenção de receptor (a corrente em cada polo entra pelo termnal marcado +). A mesma matrz de ncdênca das equações de corrente aparece nas equações de tensões.

5 3.2 Correntes em função de tensões; equações de nós Para completar o método de nós é necessáro escreer as correntes dos polos em função das tensões dos polos. Esta relação pode ser algérca (para os resstores e fontes de corrente; como já oserado, fontes deas de tensão não são permtdas) ou enoler deradas ou ntegras (capactores e ndutores); pode ser lnear ou não lnear. E anda cada corrente pode depender apenas da tensão no polo ou tamém da tensão em outros polos (no caso de fontes nculadas ou de ndutores com ndução mútua). Representando a relação entre correntes e tensões na forma ( ) = f (3) as equações de nós, otdas a partr da Eq.(1), da Eq.(2) e da Eq.(3) fcam A f ( A e) = 0 No caso de crcutos lneares resstos, contendo apenas resstores e fontes de corrente a Eq.(3) é algérca e pode ser escrta = Y + (4) I A matrz por (chamada matrz admtânca de ramos) Y é dagonal e tem na lnha j a condutânca do polo j (ou zero se este polo for uma fonte deal de corrente). O etor I (etor de fontes de corrente de ramos) tem a corrente das fontes de corrente nas lnhas correspondentes a estas fontes (e zero nas demas lnhas). Neste caso as equações de nós fcam ( A Y A ) e = A I (5) As ncógntas são as tensões de nós, consttundo o etor e. A matrz quadrada de coefcentes é smétrca (o que decorre da smetra de matrz admtânca de ramos). Pode-se lemrar que a Eq.(5) mutas ezes é escrta dretamente por nspecção do crcuto: na dagonal prncpal da matrz de coefcentes aparecem as somas das condutâncas lgadas a cada nó e fora da dagonal prncpal, com snal negato, a soma das condutâncas que lgam dretamente cada par de nós. E no segundo memro, que é o etor de fontes de corrente de nós, aparecem com snal posto, as fontes de corrente que entram em cada nó (e negato as que saem). A partr da Eq.(5) e leando em conta as Eq.(2) e Eq.(4) é possíel explctar todas as aráes do crcuto, tensões de nós, tensões e correntes de polos: e = = A 1 ( A Y A ) A I 1 ( A Y A ) A I = 1 [ I Y A ( A Y A ) A] I (6) A matrz I é a matrz dentdade de dmensão adequada, por.

6 3.3 Generalzação Os resultados anterores se generalzam sem dfculdade. Assm, em crcutos resstos lneares contendo fontes de corrente nculadas a tensão a Eq.(4) tem a mesma forma, mas a transcondutânca destas fontes aparece fora da dagonal prncpal da matrz admtânca de ramos. E como esta matrz dexa de ser smétrca, a matrz de coefcentes na Eq.(5) tamém dexa de ser smétrca. Dee-se notar que, assm como fontes de tensão ndependentes, fontes de tensão nculadas não são permtdas no método de nós. Crcutos que as contenham deem ser preamente modfcados. E tamém fontes de corrente nculadas a corrente não são permtdas, sendo necessáro ncalmente exprmr estas correntes em função de tensões de polos. Crcutos em regme permanente senodal. O método de nós pode ser empregado para análse de crcutos lneares contendo fontes de corrente e mpedâncas, em regme permanente senodal. Basta notar que os dersos etores de tensões e correntes passam a conter os fasores que representam estas grandezas. E, naturalmente, a matrz admtânca de ramos contém as admtâncas complexas dos dersos polos. Uma menção partcular dee ser feta aos crcutos contendo ndutâncas com ndução mútua. Para exprmr correntes em função de tensões será necessáro nerter a matrz ndutânca. Correntes em alguns polos dependem tamém de tensões em outros polos. Aparecem noamente elementos não nulos fora da dagonal prncpal da matrz admtânca de ramos. Neste caso a matrz permanece smétrca, assm como a matrz de coefcentes das equações de nós. Mas aparece mas uma restrção: o método de nós não aceta crcutos que tenham ndução mútua com acoplamento untáro, uma ez que neste caso não é possíel nerter a matrz ndutânca. ransformadas de Laplace. O método de nós tamém pode ser empregado na otenção das equações de crcutos lneares contendo fontes de corrente, resstores, capactores e ndutores, já expressas em transformadas de Laplace. Os dersos etores de tensões e correntes passam a conter as transformadas de Laplace destas grandezas. Como as transformadas de Laplace das correntes em um resstor (de resstênca R), um ndutor (de ndutânca L) ou em um capactor (de capactânca C) se relaconam com as transformadas de Laplace das tensões nos mesmos elementos, respectamente, por I I I 1 R ( s) = V ( s) 1 sl ( s) = V ( s) ( 0) + s ( s) = scv ( s) C( 0) a matrz admtânca de ramos conterá as admtâncas transformadas destes elementos, na forma 1/R, 1/sL e sc respectamente. Além dsso as correntes ncas nos ndutores e as tensões ncas nos capactores serão ncluídas no etor de fontes de correntes de ramos.

7 Consderações semelhantes às fetas no caso de crcutos com ndução mútua em regme permanente senodal podem ser fetas neste caso. Assm, por exemplo, não é possíel tratar de crcutos com acoplamento untáro. 4. MÉODO DE NÓS MODIFICADO Para aplcar o método de nós a um crcuto contendo uma fonte deal de tensão sera necessáro modfcar o crcuto, com a desantagem já ctada, do crcuto resoldo ser dferente do orgnal. Uma alternata é fornecda pelo método de nós modfcado: a corrente atraés da fonte é mantda entre as ncógntas. Mas como o número de ncógntas aumenta, é necessáro nclur uma noa equação. Esta equação será a equação da fonte deal de tensão. Uma fonte deal de tensão E entre os nós k e l do crcuto fornece a equação ek el = E No caso de crcutos lneares resstos otém-se, em lugar da Eq.(5), equações com uma ncógnta adconal no etor de ncógntas e a matrz de coefcentes ordada com uma noa lnha e uma noa coluna. A matrz de coefcentes permanece smétrca. A utlzação do método de nós modfcado não é restrta aos crcutos contendo polos cuja corrente não pode ser expressa em função da tensão. Emora todas as correntes de um crcuto possam ser otdas a partr da Eq.(6), quando a aráel desejada for uma corrente pode ser nteressante tamém não elmná-la. 4.1 Formulação matrcal do método de nós modfcado para crcutos lneares Além das equações de correntes, escrtas para n-1 nós e expressas, sempre que possíel ou conenente, em função das tensões de nós, é necessáro consderar as equações dos polos para os quas a corrente não se exprmu em função daquelas tensões. Estes polos serão chamados de polos controlados a corrente. A numeração dos polos dee termnas pelos polos controlados a corrente. Em conseqüênca, a matrz de ncdênca A pode ser sta como a justaposção de duas matrzes A e A : A = [ ] A A As colunas da matrz A correspondem aos polos controlados a corrente. Os etores, correntes dos polos, e, tensões dos polos, são tamém colocados como justaposção de etores = =

8 As equações de corrente, dadas por Eq.(1), fcam, então A + A = 0 (7) e a expressão das tensões dos polos em função das tensões de nós, dada por Eq.(2), pode ser escrta A = e (8) A = e (9) As relações entre correntes e tensões dos polos, consderados apenas aqueles polos para os quas as correntes serão expressas em função das tensões serão expressas por = Y + I (10) Para os polos controlados a corrente pode-se escreer = Z + E (11) Da Eq.(7) e da Eq.(10) em A Y + A = A I e, leando em conta a Eq.(8), A Y A e + A = A I (12) Por outro lado, da Eq.(9) e da Eq.(11) em A e Z = E Fnalmente, agrupando a Eq.(12) e a Eq.(13), A Y A A A Z e A I = E Estas são as equações de nós modfcadas. E em geral é astante smples escreer estas equações por nspecção do crcuto, como feto no caso do método de nós. Naturalmente o método de nós modfcado pode tamém ser generalzado como fo o método de nós, por exemplo, para o regme permanente senodal, ou com emprego das transformadas de Laplace. A possldade de nclur correntes entre as ncógntas torna o método muto geral: além de fontes de tensão, ndependentes ou nculadas a tensão, podem ser ncluídas fontes de corrente ou de tensão nculadas a corrente. Em crcutos com ndução mútua não será

9 necessáro nerter a matrz ndutânca, o que, além de smplfcar a formulação das equações, permte nclur na análse ndutores com acoplamento untáro. Quando se desejam as equações dferencas do crcuto é preferíel usar, como ncógntas em ndutores, suas correntes. Emora neste caso a formulação das equações de estado com utlzação do conceto de árore própra talez seja preferíel, o método de nós modfcado tamém fornece uma alternata. 5. OUROS MÉODOS DE ANÁLISE 5.1 Método de malhas O método de malhas é fundamentado na escolha das correntes de malha como ncógntas. As equações são as equações de tensões escrtas para as malhas (nternas) do crcuto, expressas em função das correntes de malha. Os polos deem ser controlados a corrente, o que exclu as fontes de corrente. É utlzado o enuncado mas freqüente da le das tensões: a soma algérca das tensões em cada malha é nula, otendo-se -n+1 equações ndependentes. As correntes dos polos são comnações (soma ou dferença) das -n+1 correntes de malha. O método pode ser consderado dual do método de nós. Para sto adota-se um mesmo sentdo (por exemplo, horáro) para todas as correntes de malha. A le das tensões é expressa, matrcalmente, com emprego da matrz de malhas M, de dmensão -n+1 por n-1. A le das correntes é expressa na forma: a corrente atraés de cada polo é a dferença das correntes das malhas que ele separa. As equações de correntes, em conseqüênca, tamém empregam a matrz de malhas (transposta). Como o método de nós, o método de malhas pode ser generalzado (para o regme permanente senodal, para transformadas de Laplace,...) e tamém pode ser modfcado (para tratar de crcutos com polos controlados a tensão). Emora seja muto usado, soretudo para solução manual de crcutos pequenos, o método de malhas tem uma restrção muto mportante: malhas só são defndas para crcutos planos. Além desta razão, exste uma outra para prlegar o método de nós: uma descrção de um crcuto sem emprego de uma representação gráfca é muto faclmente feta atraés da matrz de ncdênca. Suas colunas determnam os nós aos quas cada polo é lgado. 5.2 Métodos de laços fundamentas e de cortes fundamentas Como já oserado, escolhda uma árore para o crcuto, tem-se conjuntos de tensões ou correntes ndependentes: as tensões dos polos da árore e as correntes dos polos da coárore. E tem-se tamém conjuntos de equações ndependentes de tensões (equações para os laços fundamentas) e de correntes (equações para os cortes fundamentas). O método de laços fundamentas utlza as equações de tensões escrtas para os laços fundamentas expressas em função das correntes dos polos da co-árore. Os polos deem ser controlados a corrente. Para a formulação das equações é utlzada a matrz dos laços fundamentas, usualmente notada B. O método oferece uma alternata nteressante para o método de malhas: como aquele, utlza equações de tensões, e as ncógntas são correntes. Porém agora as correntes são sempre correntes reas, exstentes no crcuto (e não astrações matemátcas, como pode acontecer com as correntes de malha). E o método não é lmtado a crcutos planos. Fnalmente o método de cortes fundamentas utlza as equações de correntes escrtas para os cortes fundamentas expressas em função das tensões dos polos da árore. Os polos

10 deem ser controlados a tensão. Para a formulação das equações é utlzada a matrz dos cortes fundamentas Q. 6. EXEMPLO DE APLICAÇÃO O método de nós modfcado pode ser empregado para mostrar de manera smples áros resultados mportantes da teora de crcutos. 6.1 Crcuto equalente de héenn O crcuto equalente de héenn, fundamental na teora de crcutos, é em conhecdo. Cada ez que um crcuto lnear (contendo fontes e/ou com corrente ncal em ndutores ou tensão ncal em capactores não nulos) é lgado a uma carga apenas por dos nós comuns, é possíel susttur o crcuto lnear pelo seu equalente de héenn, consttuído pelo mesmo crcuto morto em sére com uma fonte de tensão adequada. Por crcuto morto entende-se o mesmo crcuto com todas as fontes, correntes ncas em ndutores e tensões ncas em capactores anulados. Para mostrar este resultado pode-se supor a carga lgada entre o nó 1 e o nó de referênca. E para facltar a exposção, será suposto um crcuto ressto. Susttundo-se a carga por uma fonte de corrente (com sentdo do nó 1 para a referênca) podem ser escrtas as equações de nós (ou equações de nós modfcadas) para o crcuto. A corrente aparecerá na prmera lnha do etor de fontes de corrente de nós, com snal negato. É fácl er que a tensão do nó 1 será dada pela dferença de duas parcelas, na forma e 1 = E R Este resultado é traduzdo pelo crcuto equalente de héenn. A tensão E é a tensão de crcuto aerto (sto é, para nulo) e a resstênca R é a resstênca entre o nó 1 e o nó de referênca com todas as fontes do crcuto anuladas. 7. CONCLUSÃO Neste traalho fo lustrada uma apresentação possíel para o ensno da dscplna Crcutos Elétrcos nos cursos de engenhara. A motação é a redução do tempo necessáro para o aprendzado, tornada possíel pela dsponldade de computadores pessoas e calculadoras centífcas. Assm emora o método de nós modfcado lee a sstemas com mas equações que o método de nós, a sua generaldade, assocada à facldade com que são escrtas as equações e ao fato das soluções já representarem as aráes do crcuto, uma ez que não é necessáro modfcá-lo, justfcam plenamente seu emprego. REFERÊNCIAS Buran Jr., Y., Crcutos Elétrcos, Buran Edtores, Campnas, SP, 1993 Buran Jr., Y., Lyra, A.C.C., Crcutos Elétrcos, em preparo. Chua, L., Desoer, C., Kuh, E., Lnear and Nonlnear Crcuts, McGraw Hll, NY, 1993 Orsn, L. Q., Curso de Crcutos Elétrcos, ol. 1 e 2, Edgard Blucher, SP, 1993 Ho, C.W., Ruehl, ª E., Brennan, P. A, he modfed Nodal Approach to Network Analyss, IEEE ransactons on Crcut and Systemas, ol. CAS-22, 6, p , june 1975.