ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0

Transcrição

1 CAPÍTUO ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ. ITODUÇÃO O prmero passo a ser dado na obtenção de modelos mas adequados para a análse da máquna de ndução é o estudo da transformação αβ. Consste numa transformação lnear que dagonalza as matrzes crculantes smétrcas, que aparecem na formulação dos modelos da máquna trfásca smétrca. Fscamente a transformação αβ transforma a máquna smétrca trfásca numa máquna smétrca bfásca, com mesma potênca mecânca, torque, elocdade e número de pólos. Por sto é também conhecda com o nome de transformação trfáscabfásca. Esta transformação é muto útl também no estudo de transtóros de transformadores smétrcos e reatores trfáscos. A almentação pode ser não-smétrca e não-senodal, desde que a máquna seja smétrca.. OBTEÇÃO DA TAFOAÇÃO αβ eja duas estruturas, uma trfásca e uma bfásca, representadas Fg.. e Fg..: Os enrolamentos que compõem a estrutura trfásca possuem n espras e os que compõem a estrutura bfásca possuem n espras. Cada enrolamento, ao ser percorrdo por uma corrente produz uma força magnetomotrz F.

2 4 CAPÍTUO. ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ n β F F F β n n n β F α α F α n Fg.. Crcuto bfásco smétrco. Fg.. Crcuto trfásco smétrco. erá estabelecda uma transformação que permta encontrar F α e F β em função de F, F e F, de sorte que a estrutura bfásca produza uma força magnetomotrz resultante com efeto semelhante à resultante da estrutura trfásca. Decompondo-se etoralmente F, F e F segundo os exos α e β encontrase as expressões (.) e (.). Assm: ( ) ( ) F α F F cos π / F cos 4π/ (.) ( ) ( ) F F sen π/ F sen 4 π / (.) β F F α F F β F (.) mas: F α α n F β β (.4) e F F n F (.5) Prof. Io Barb, Dr. Ing.

3 TEOIA FUDAETA DO OTO DE IDUÇÃO 4 ubsttundo-se as expressões (.4) e (.5) na expressão (.) encontramos a expressão (.6): - - n α n β - (.6) Para que a matrz defnda pela expressão (.6) possa ser nertda, amos defnr a corrente segundo a expressão (.7): n a (.7) ( ) n eando-se (.7) em (.6) obtém-se (.8): a a a n α n β (.8) eja a matrz defnda pela expressão (.9): a a a n A n (.9) Para que a potênca seja narante (apêndce), dee-se satsfazer a segunte relação: ( A ) A t (.) ou A A t (.) ou t A A I (.) Prof. Io Barb, Dr. Ing.

4 4 CAPÍTUO. ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ sendo I a matrz dentdade, ou: I (.) Portanto: a a a a n a n a (.4) Assm: n n a (.5) n n ( 4 4) (.6) Portanto: n (.7) n e a (.8) Assm a matrz torna-se: A (.9) eja: Prof. Io Barb, Dr. Ing.

5 TEOIA FUDAETA DO OTO DE IDUÇÃO 4 αβ α (.) β e (.) A αβ (.) A (.) αβ A matrz A defne a transformação αβ ou trfásca-bfásca.. POPIEDADE DA TAFOAÇÃO αβ Consderemos um enrolamento trfásco smétrco (estator de um motor de ndução com enrolamento rotórco aberto). ejam nulas as resstêncas desse enrolamento. Consderemos a expressão dos fluxos, representada por (.4): φ φ φ (.4) ou φ (.5) eja: φ A αβ φ (.6) Prof. Io Barb, Dr. Ing.

6 44 CAPÍTUO. ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ A (.7) αβ Assm: A φ (.8) A φ (.9) αβ A A αβ eja: A A (.) Assm: φ (.) αβ αβ Calculemos a matrz : (.) (.) eja: (.4) (.5) Assm: φ φ α α φ β β (.6) Prof. Io Barb, Dr. Ing.

7 TEOIA FUDAETA DO OTO DE IDUÇÃO 45 As noas ndutâncas são defndas do segunte modo: - ndutânca cíclca homopolar - ndutânca cíclca Comparando-se as expressões (.4) e (.6), erfca-se que a matrz ndutânca fo dagonalzada. A matrz ndutânca orgnal é do tpo crculante smétrca, que aparece na formulação dos modelos das máqunas elétrcas. Daí a mportânca prátca da transformação αβ..4 ETUDO DO EATO TIFÁICO IÉTICO erá empregada, a título de exemplo, a transformação αβ na análse de um reator trfásco smétrco, representado na Fg..: Fg.. Crcuto elétrco equalente para o reator trfásco. ão conhecdos os parâmetros, e e as tensões (t), (t) e (t). Deseja-se determnar as correntes (t), (t) e (t). A equação das tensões é representada pela expressão (.7). Prof. Io Barb, Dr. Ing.

8 46 CAPÍTUO. ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ p (.7) Pré-multplcando-se os termos de (.7) por A - obtém-se a expressão (.8): A V A p A (.8) Assm: A A pa A (.9) αβ αβ αβ eja: A A (.4) A A (.4) Assm: V p (.4) αβ αβ αβ mas, (.4) (.44) O modelo do reator trfásco smétrco será então descrto pela expressão (.45) p α p α p β β (.45) Prof. Io Barb, Dr. Ing.

9 TEOIA FUDAETA DO OTO DE IDUÇÃO 47 Constata-se que a matrz mpedânca fca dagonalzada. O reator é então representado por três equações dferencas de ª ordem, representadas pelas expressões (.46). ( ) p ( ) p α α (.46) ( ) p β Fscamente o reator trfásco é conertdo em três reatores monofáscos ndependentes, representados na Fg..4. β α α α β β β Fg..4 odelo elétrco equalente para o reator trfásco usando a transformada αβ. a solução de um problema partcular do reator conhecendo-se, e determna-se, α e β. Com o emprego das equações (.46) determna-se, α e β Aplcando-se a transformação nersa, determna-se, e. Prof. Io Barb, Dr. Ing.

10 48 CAPÍTUO. ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ.5 EPEGO DA TAFOAÇÃO αβ O ETUDO DO TAFOADO eja um transformador trfásco smétrco, cuja estrutura está representada na Fg..5. Fg..5 Estrutura do transformador trfásco smétrco. O crcuto correspondente está representado na Fg..6. Fg..6 Crcuto elétrco equalente do transformador trfásco smétrco. O transformador é representado pelas equações (.47). Prof. Io Barb, Dr. Ing.

11 TEOIA FUDAETA DO OTO DE IDUÇÃO 49 d d dt dt d d dt dt (.47) onde: (.48) (.49) (.5) (.5) (.5) Aplcando-se a transformação αβ nas equações (.47), obtém-se as equações (.5) e (.54): d d αβ αβ A αβ A A αβ A A A (.5) dt dt d d αβ αβ A αβ A A αβ A A A (.54) dt dt Prof. Io Barb, Dr. Ing.

12 5 CAPÍTUO. ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ As expressões (.5) e (.54) podem ser reescrtas segundo as expressões (.55) e (.56). d d αβ αβ αβ αβ (.55) dt dt d d αβ αβ αβ αβ (.56) dt dt As matrzes parâmetros transformados estão representadas pelas expressões (.57), (.58), (.59), (.6) e (.6): (.57) (.58) (.59) (.6) m (.6) m onde: ndutânca cíclca homopolar do prmáro. ndutânca cíclca homopolar do secundáro. Prof. Io Barb, Dr. Ing.

13 TEOIA FUDAETA DO OTO DE IDUÇÃO 5 ndutânca cíclca do prmáro. ndutânca cíclca do secundáro. m ndutânca mútua cíclca. O modelo completo do transformador é representado pelas expressões (.6). p α α p pm α β β p pm β p pm p α pm p α α β β β (.6) Como as matrzes parâmetros são dagonalzadas, o modelo (.6) pode ser reescrto segundo as equações (.6), (.64) e (.65). p (.6) α α α p α α α (.64) β β β p β β β (.65) As equações (.6), (.64) e (.65) representam três transformadores monofáscos ndependentes, representados pela Fg..7, Fg..8 e Fg Prof. Io Barb, Dr. Ing. Fg..7 eqüênca.

14 5 CAPÍTUO. ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ α α α α - Fg..8 eqüênca α. β β β β - Fg..9 eqüênca β. Desse modo, a transformação αβ apresenta a mportante propredade de conerter um transformador trfásco smétrco em três transformadores monofáscos ndependentes, tornando a análse muto smples..6 APICAÇÃO DA TAFOAÇÃO TIFÁICA-BIFÁICA A EQUAÇÕE DA ÁQUIA IÉTICA TIFÁICA o capítulo foram estabelecdas as equações da máquna smétrca trfásca, representadas neste capítulo pelas expressões (.66), (.67) e (.68). d d θ dθ ( θ ) (.66) dt dt θ dt d d θ dθ ( θ ) (.67) dt dt θ dt ( ) ( ) t T ( θ) θ (.68) Prof. Io Barb, Dr. Ing.

15 TEOIA FUDAETA DO OTO DE IDUÇÃO 5 (.69): Aplcando-se a transformação A - na expressão (.66) obtém-se a expressão d d αβ αβ dθ A A A A αβ A A ( θ) A A ( θ ) Aαβ (.69) dt dt θ dt Defnndo-se: A A (.7) A A (.7) A A (.7) A A (.7) ( ) ( ) θ A θ A (.74) ( ) ( ) θ A θ A (.75) ubsttundo as últmas expressões em (.69) e generalzando os resultados para a expressão da tensão rotórca obtém-se as expressões (.76) e (.77), que são as equações elétrcas da máquna nas aráes αβ. d d αβ αβ dθ ( ) αβ αβ θ (.76) αβ dt dt θ dt d d αβ αβ dθ ( ) αβ αβ θ (.77) αβ dt dt θ dt ( θ) ( θ) Para se obter a expressão do torque, adota-se o prossedmento a segur: T t θ ( θ) (.78) A αβ (.79) Prof. Io Barb, Dr. Ing.

16 54 CAPÍTUO. ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ t t t A (.8) αβ ( θ) t t T A A αβ θ αβ (.8) T t αβ t ( A ( θ) A) θ αβ (.8) Assm: T t αβ ( θ) θ αβ (.8) As matrzes,, e são as mesmas obtdas no estudo do transformador. o procedmento que segue, é estabelecda a matrz ( ) θ. ubsttundo-se as matrzes - A, A e ( ) θ na expressão (.75), obtém-se a expressão (.84). π 4π cos θ cos cos θ θ 4π π cos θ cos θ cos θ (.84) 4 π π cos θ cos θ cos θ ( ) θ ealzando-se os produtos matrcas obtém-se as matrzes (.85) e (.86): ( θ ) m cosθ msenθ (.85) msenθ mcosθ ( θ ) m cosθ msenθ (.86) msenθ mcosθ Prof. Io Barb, Dr. Ing.

17 TEOIA FUDAETA DO OTO DE IDUÇÃO 55 Pos ( ) ( ) t θ θ (.87) Com: ( θ) d ( θ) d αβ dθ ( θ ) αβ (.88) αβ dt θ dt dt pode-se escreer o modelo fnal sob a forma de aráes αβ da máquna smétrca trfásca, segundo as expressões (.89): ( θ) d d dt dt d d ( θ) dt dt ( ) t θ T αβ αβ θ αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ αβ (.89) O modelo desenoldo, obtdo a partr das expressões (.89) é representado pelas expressões (.9). elas erfca-se a presença do ângulo θ nas matrzes ndutâncas mútuas. Por sto o modelo é não lnear e de dfícl solução analítca. α α β β α α β β m cosθ m senθ α msenθ m cosθ β p m cosθ msenθ α msen m cos θ θ β Prof. Io Barb, Dr. Ing.

18 56 CAPÍTUO. ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ T m sen cos α β θ θ α cos sen θ θ β (.9) o capítulo segunte será ntroduzda a transformação de PAK, destnada a smplfcar mas o modelo da máquna smétrca trfásca. O efeto da transformação αβ aplcado á máquna smétrca trfásca pode ser melhor edencado com o auxílo da Fg.. e Fg..: θ θ Fg.. otor trfásco. β β β β α α θ α α Fg.. otor bfásco equalente. Portanto, a máquna trfásca real é transformada numa máquna bfásca magnára. A ausênca dos enrolamentos de seqüênca zero ou homopolar será explcada no tem.7. Prof. Io Barb, Dr. Ing.

19 TEOIA FUDAETA DO OTO DE IDUÇÃO 57.7 ITEPETAÇÃO DA IDUTÂCIA CÍCICA HOOPOA eja a máquna smétrca com enrolamentos rotórcos abertos e enrolamentos estatórcos submetdos a uma mesma tensão, de acordo com o que está representado na Fg... Fg.. áquna smétrca trfásca com enrolamentos rotórcos abertos sendo os estatórcos almentados com a mesma tensão. (.9) eando-se as tensões, e da expressão (.9) na expressão (.9), obtém-se os resultados a segur: A (.9) αβ (.9) α (.94) β (.95) Consderando a máquna em regme permanente, tem-se: (.96) π f Prof. Io Barb, Dr. Ing.

20 58 CAPÍTUO. ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ ( ) (.97) Então (.98) eando (.98) e (.95) em (.96), obtém-se: πf (.99) Assm: (.) X onde: X πf (.) Pode-se medatamente conclur que a corrente que crcula na fonte fca lmtada apenas pela reatânca cíclca homopolar. Para facltar a nterpretação físca, será consderada a Fg..: F OTO F F Fg.. Estrutura de uma máquna smétrca trfásca. Prof. Io Barb, Dr. Ing.

21 TEOIA FUDAETA DO OTO DE IDUÇÃO 59 F, Como as correntes, e, são guas, as três forças magnetomotrzes, F e F são guas em módulo e em fase no tempo. Assm os fluxos são nulos, com exceção dos fluxos de dspersão, que se fecham pelo ar e que estão representados na Fg... Pode-se então conclur que a ndutânca de seqüênca zero ou cíclca homopolar é uma magem da ndutânca da dspersão. Consderamos as equações completas de seqüênca zero, obtdas a partr das equações (.9). p p (.) egundo as expressões (.) não há ndutânca mútua entre as componentes de seqüênca homopolar do estator e do rotor. Quando não há fo neutro na almentação da máquna smétrca trfásca as tensões e correntes homopolares não exstem. Quando há neutro e a almentação for balanceada, exstem componentes homopolares. Contudo elas não produzem torque, como pode ser constatado a partr das expressões (.9). Prof. Io Barb, Dr. Ing.

22 6 CAPÍTUO. ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ.8 EXECÍCIO POPOTO ) eja a estrutura representada na Fg..4, com os seguntes parâmetros: Ω,8H (ndutânca cíclca) f 6Hz V 8V (alor efcaz) Fg..4 otor trfásco com uma fase em aberto. O crcuto é consderado em regme permanente. Determnar as expressões e os alores das correntes nas fases da estrutura. ) epetr os cálculos para a Fg..5, representada a segur: Fg..5 otor trfásco com duas fases em paralelo e em sére com a tercera sendo almentadas por uma fonte de tensão únca. ) eja a estrutura representada na Fg..6: Prof. Io Barb, Dr. Ing.

23 TEOIA FUDAETA DO OTO DE IDUÇÃO onde: 5 Ω,, Fg..6 Estrutura de um reator trfásco. 6 mh (própras) -mh (mútuas) o nstante t aplcam-se as seguntes tensões nos enrolamentos: 5V; V; V Empregando a transformação αβ, determnar as correntes nos enrolamentos em função do tempo. 4) eja um reator trfásco, representado esquematcamente pela Fg..7: Fg..7 Crcuto elétrco equalente para o reator trfásco. Os parâmetros são os mesmos do exercíco. Os nterruptores, e são fechados smultaneamente. Prof. Io Barb, Dr. Ing.

24 6 CAPÍTUO. ETUDO DA TAFOAÇÃO αβ Vcos ωt π Vcos ωt 4π Vcos ωt- onde ω 77 rad/s olts Determnar as correntes ( t), ( t) e ( t). 5) eja o transformador trfásco, representado na Fg..8. Fg..8 Transformador trfásco com um curto-crcuto na saída de duas fases. É estabelecdo um curto crcuto entre as fases e do secundáro. Determnar a expressão da corrente de curto crcuto, empregando a transformação αβ, sabendo que: Prof. Io Barb, Dr. Ing.

25 TEOIA FUDAETA DO OTO DE IDUÇÃO 6 Vcosωt π Vcos ωt 4π ω Vcos t- Prof. Io Barb, Dr. Ing.