INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE DEPARTAMENTO DE DESENVOLVIMENTO DE ENSINO CURSO TÉCNICO EM ELETROELETRÔNICA

Transcrição

1 NSTTUTO FEDEAL DE SANTA CATANA CAMPUS JONLLE DEPATAMENTO DE DESENOLMENTO DE ENSNO CUSO TÉCNCO EM ELETOELETÔNCA ELETCDADE Profª. Bárara Taques

2 EFEÊNCAS BBLOÁFCAS EFEÊNCAS BBLOÁFCAS... CAPÍTULO ANDEZAS ELÉTCAS.... TENSÃO.... COENTE ELÉTCA.... POTÊNCA ELÉTCA... CAPÍTULO ELEMENTOS ATOS E PASSOS FONTES DE TENSÃO E COENTE LE DE OHN PAA COENTE CONTÍNUA ESSTÊNCA ELÉTCA EQUALENTES PAA CCUTOS ESSTOS EM SÉE E/OU PAALELO... 0 CAPÍTULO LES DE KCHHOFF.... LE DE KCHHOFF DAS COENTES.... LE DE KCHHOFF DAS TENSÕES.... DSO DE TENSÃO DSO DE COENTE... 7 CAPÍTULO MÉTODOS DE ANÁLSE DE CCUTOS ANÁLSE DE MALHAS ANÁLSE NODAL... EFEÊNCAS BBLOÁFCAS... 9

3 . TENSÃO CAPÍTULO ANDEZAS ELÉTCAS Uma partícula (carga pontual) qualquer, carregada, que é representada pela letra q (alor aráel) ou Q (alor constante), e tem como undade Coulom* (C), possu uma energa potencal nterna (U), dada como a capacdade desta partícula em realzar traalho. Os átomos que compõem um materal condutor possuem elétrons lres, os quas podem moer-se aleatoramente. Se proocarmos uma força eletromotrz entre os termnas A e B de um elemento, um traalho é realzado sore estas cargas, e sua energa potencal é alterada, causando uma dferença de energa potencal entre os pontos A e B. W U U a Este traalho realzado para moer uma undade de carga (+C) atraés de um elemento, de um termnal a outro, é conhecdo como dferença de potencal, ou tensão ( ou ) sore um elemento, e sua undade é conhecda como olt () e dada como J/C. Wa a q A conenção de polardade (+, -) usada, é mostrada na fgura.. Ou seja, o termnal A é olts postos em relação ao termnal B. Em termos de dferença de potencal, o termnal A está olts acma do termnal B. A + - a B Fg.. Conenção da polardade da tensão Com referênca à fgura., uma queda de tensão de olts ocorre no momento de A para B. Por outro lado, uma eleação de olts ocorre no momento de B para A. Como exemplos, nas fguras. (a) e () exstem duas representações da mesma tensão. Em (a), o termnal A está + acma do termnal B e em () o termnal B está acma do termnal A (ou + aaxo de A). A B A B + - (a) () Fg.. Duas representações equalentes da tensão Outra forma de desgnar o potencal elétrco é empregar a notação de suíndce duplo para, do ponto a com relação ao ponto. Neste caso, geralmente. a a [*] A carga de C possu 6,x0 8 elétrons.

4 . COENTE ELÉTCA A Corrente Elétrca é o momento de cargas elétrcas, e é denotada pelas letras (para corrente aráel) ou (para corrente constante). Em um fo condutor exste um grande número de elétrons lres. Estes elétrons estando so a ação de uma força elétrca, sendo eles lres, entrarão medatamente em momento. Como os elétrons possuem carga negata, este momento terá sentdo do termnal negato para o posto. Porém, durante o século, Benjamn Frankln estaeleceu, por conenção, a corrente elétrca como o momento de cargas postas, portanto trafegaa do posto para o negato. Hoje, saendo que o momento é feto pelas cargas negatas e não postas, é mportante dstngur a corrente conenconal (o momento de cargas postas), que é usada na teora de redes elétrcas, e a corrente eletrônca. Formalmente, corrente é a taxa de aração no tempo da carga e é dada por: q t Sua undade ásca é o ampère (A), que é gual a coulom por segundo: A C s. POTÊNCA ELÉTCA Quando há transferênca de cargas atraés de um elemento, uma quantdade de energa é fornecda ou asorda por este elemento. Se uma corrente posta entra no termnal posto, então uma força externa dee estar exctando a corrente, logo entregando energa ao elemento. Neste caso, o elemento está asorendo energa. Se por outro lado, uma corrente posta sa pelo termnal posto (entra pelo negato), então o elemento está fornecendo energa ao crcuto externo. Se a tensão atraés do elemento é e uma pequena carga q se moe atraés do elemento do termnal posto para o termnal negato, então a energa asorda pelo elemento w, é dada por: w=q Consderando agora, a elocdade com que o traalho é executado, ou a energa w é dsspada, pode-se dzer que: w q t t sto que, por defnção, a elocdade com que uma energa é dsspada é a potênca, denotada por p, tem-se que: w p t

5 Pode-se oserar que, as undade de e, já stas anterormente são dadas por J/C e C/s, respectamente, resultando com sua multplcação em W=(J/C)(C/s)=J/s, que é a undade de potênca sta no capítulo. Então, como pode se oserar na fgura., o elemento está asorendo energa, dada por p=. Se a polardade de ou a de for nertda, então o elemento estará entregando potênca para o crcuto externo. + - Fg.. elemento típco com tensão e corrente. EXECÍCOS. Se a dferença de potencal entre dos pontos é, qual o traalho necessáro para lear 6C de um ponto a outro?. Supondo que uma carga posta q=.0-7 C se desloque de um ponto A para um ponto B, e que o traalho realzado pela força elétrca, sore ela, seja W AB =.0 - J. Qual a dferença de potencal AB entre A e B?. Calcular o alor da carga Q que precsa de 96J de energa para ser moda ao longo de uma dferença de potencal de 6.. Uma dferença de potencal entre dos pontos A e B é dada por AB =-, qual é tensão dada por BA?. A carga total que entra por um termnal de um elemento é dada por: a. q=(t+) µc. q=(t) mc c. q=(t+) µc Calcule o alor da corrente entre t =s e t =s. 6. Supondo que a fosse possíel contar ao número de elétrons que passam atraés de uma secção de um condutor no qual se estaeleceu uma corrente elétrca. Se durante um nteralo de tempo Δt=0s passam.0 0 elétrons nesta secção, qual a ntensdade da corrente (em ampère) que passa na secção do condutor? 7. A ntensdade da corrente que fo estaelecda em um fo metálco é =00mA. Supondo que esta corrente fo mantda, no fo, durante 0 mnutos, calcule: a. A quantdade total da carga que passou atraés de uma secção do fo.. O número de elétrons que passou atraés desta secção.

6 8. Consderando que o elemento da fgura. esteja asorendo uma potênca de p=8mw, com uma corrente passando por ele de 6mA, qual a tensão entre seus termnas? 9. Com relação ao elemento da fgura., qual a energa entregue à ele, entre e s, se =A e =6? 0. Qual é a potênca entregue por uma atera de 6 se a taxa de fluxo de carga é 8C/mn? 6

7 CAPÍTULO ELEMENTOS ATOS E PASSOS Os elementos de um crcuto, estudados até aqu, podem ser classfcados em duas categoras geras, elementos passos e elementos atos, consderando se a energa é fornecda para ou por eles. Portanto, um elemento é dto passo se a energa total entregue a ele pelo resto do crcuto é sempre posta. sto é: W=..t 0 As polardades de e de são como mostradas na fgura.. Como será estudado posterormente, exemplo de elementos passos são resstores, capactores e ndutores. Já exemplos de elementos atos são geradores, ateras, e crcutos eletrôncos que requerem uma fonte de almentação.. FONTES DE TENSÃO E COENTE Uma fonte ndependente de tensão é um elemento de dos termnas, como uma atera ou um gerador, que mantém uma dada tensão entre seus termnas. A tensão é completamente ndependente da corrente fornecda. O símolo para uma fonte de tensão que tem olts entre seus termnas é mostrado na fgura.. A polardade é como mostrada, ndcando que o termnal a está olts acma do termnal. Desta forma, se 0, então o termnal a está num potencal maor que o termnal. Já se, 0, quer dzer que o termnal está num potencal maor que o termnal a. Na fgura., pode-se oserar dos símolos que podem ser empregados para representar uma fonte de tensão com alor constante. Pode-se oserar que as ndcações de polardade na fgura. () são redundantes, sto que a polardade pode ser defnda pela posção dos traços curtos e longos. a a + + (a) () Fg.. Fonte de tensão ndependente. Uma fonte de corrente ndependente é um elemento de dos termnas atraés do qual flu uma corrente de alor especfcado. O alor da corrente é ndependente da tensão sore o elemento. O símolo para uma fonte de corrente ndependente é mostrado na fgura., onde é a corrente especfcada. O sentdo da corrente é ndcado pela seta. Fontes ndependentes são usualmente empregadas para fornecer potênca ao crcuto externo e não para asorê-la. Desta forma, se é a tensão entre os termnas da fonte, e se sua corrente está sando do termnal posto, então a fonte estará 7

8 fornecendo uma potênca, dada por P=, para o crcuto externo. De outra forma, estará asorendo energa. a Fg..- Fonte ndependente de corrente As fontes que foram apresentadas aqu, em como os elementos de crcuto a serem consderados posterormente, são elementos deas, sto é, modelos matemátcos que se aproxmam de elementos físcos reas apenas so certas condções.. LE DE OHM PAA COENTE CONTÍNUA Em 87, eorge Smon Ohm demonstrou com uma fonte de FEM (Força Eletromotrz) aráel lgada a um condutor que à medda que araa a tensão sore o condutor araa tamém a ntensdade de corrente que crculaa no mesmo. Em seus regstros, Ohm perceeu que o quocente entre a tensão e a corrente, se mantnham constantes. De acordo com a fgura., se for aplcada uma tensão no condutor, surge uma corrente. Se esta tensão for arada para, a corrente será, e do mesmo modo se o alor de tensão mudar para, a corrente será, de tal manera que: =constante + _ Fg.. elação tensão/corrente sore um elemento E a essa constante fo dado o nome de resstênca elétrca e é representada pela letra. Portanto: Onde: =ntensdade de corrente em (A) =tensão elétrca em olts() =resstênca elétrca em Ohms () 8

9 Então, resstênca elétrca é o quocente entre a dferença de potencal e a corrente elétrca em um condutor. Os símolos utlzados para representar resstênca elétrca são mostrados na fgura.: Fg.. Símolos utlzados para resstênca elétrca O nerso da resstênca é uma grandeza chamada condutânca. A condutânca representa a facldade que um condutor apresenta à passagem da corrente elétrca. É representado por e sua undade é o Semens (S):. ESSTÊNCA ELÉTCA Todos os materas possuem resstênca elétrca, uns mas, outros menos. ncluse os chamados ons condutores de eletrcdade apresentam resstênca elétrca, é claro de axo alor. Os solantes, por sua ez, por mpedrem a passagem da corrente elétrca, são elementos que apresentam resstênca muto alta. Quanto ao sgnfcado físco de resstênca elétrca, podemos dzer que adém da estrutura atômca do elemento em questão. sso quer dzer que um materal que possua poucos elétrons lres dfcultará a passagem da corrente, pos essa depende dos elétrons lres para se processar (nos sóldos). No entanto, tamém os ons condutores de eletrcdade apresentam uma certa resstênca elétrca, apesar de terem elétrons lres em aundânca. A explcação para essa oposção à passagem da corrente elétrca nesses materas é que apesar de exstrem elétrons lres em grande número, eles não fluem lremente pelo materal. Ou seja, no seu trajeto, eles sofrem constantes colsões com os núcleos dos átomos, o que faz com que o seu deslocamento seja dfcultado. Em um condutor flamentar, a resstênca depende ascamente de três fatores: do comprmento do fo, da área da seção transersal do fo, e do materal. Experêncas mostram que quanto maor o comprmento de um condutor, maor sua resstênca e quanto maor a seção de um condutor, menor sua resstênca. Tamém pode se proar que condutores de mesmo comprmento e mesma seção, mas de materas dferentes, possuem resstêncas dferentes. A Equação matemátca que determna o alor da resstênca em função do comprmento, da seção e do materal é dada por: l S Onde: =resstênca elétrca do condutor em ohms () l=comprmento do condutor em metros (m) S=área da seção transersal em metros quadrados (m ) =constante do materal, que chamamos de resstdade ou resstênca específca, em ohm.metro (.m) 9

10 .. esstdade Elétrca A resstdade é um alor característco de cada materal, e na erdade representa a resstênca que um condutor desse materal apresenta tendo m de comprmento e m de área de seção transersal. A segur será mostrada uma taela com os alores de resstdade de alguns materas: Materal (.m) Core,7.0-8 Alumíno,9.0-8 Prata,6.0-8 Mercúro Platna.0-8 Ferro Tungstêno,6.0-8 Constantan Níquel-cromo Carono Znco Níquel Taela resstdade de alguns materas elétrcos. EQUALENTES PAA CCUTOS ESSTOS EM SÉE E/OU PAALELO Agora que já fo apresentada a Le de Ohm, pode-se defnr uma lgação em sére e paralelo entre elementos. Elemento são dtos lgados em sére quando todos são percorrdos pela mesma corrente. Já elementos lgados em paralelo, estão lgados ao mesmo termnal, com uma determnada dferença de potencal. Na fgura., os resstores e, estão lgados em sére, sto é, estão sendo percorrdos pela mesma corrente elétrca. Já na fgura., os resstores estão lgados em paralelo, possundo entre eles a mesma dferença de potencal (tensão) entre seus termnas. n Fg.. Assocação em sére de n resstores 0

11 n Fg.. Assocação em paralelo de n resstores Tanto resstores em sére, como resstores em paralelo podem ser susttuídos, para fns de cálculo, por um únco resstor, chamado de resstor equalente sére ou paralelo, respectamente. E seus alores podem ser dados atraés das seguntes equações:.. esstor Sére eq = n.. esstor em Paralelo:... eq n Exercícos:. Calcule as potêncas a serem fornecdas pelas fontes mostradas. A A a) ) c) d) _ 0 A 6 _ -9 _ A. Se uma corrente = 0,A está entrando pelo termnal posto de uma atera cuja tensão é =, então a atera está em processo de carga (está asorendo ao nés de fornecer potênca). Calcule (a) a energa fornecda à atera e () a carga total entregue à atera em h (horas). Note a consstênca das undades =J/C.. A tensão sore um resstor de 0k é 0. Calcular: a. A condutânca. A corrente e c. A potênca asorda pelo resstor

12 . Para o crcuto aaxo, calcular a corrente e a potênca entregue ao resstor. 00 M. Calcular a resstênca de um condutor de constantan que possu m de comprmento e área da seção transersal gual a,mm. 6. Calcular qual dee ser o dâmetro de um condutor crcular de core para que apresente uma resstênca de, quando o comprmento do fo é 00m. S=( )/ 7. Um condutor de níquel-cromo de 0m de comprmento e seção 0,mm é sumetdo a uma tensão de. Qual o alor da ntensdade de corrente no condutor? 8. Calcular a tensão nos extremos de uma arra de core de m de comprmento e seção mm, quando esta for percorrda por uma corrente de 0A. Qual a potênca asorda por esta arra de core? 9. Achar o resstor equalente entre os pontos A e B dos crcutos aaxo: 0Ω 0Ω a) ) A 6Ω Ω 0Ω 0Ω Ω Ω Ω Ω 0Ω A B 0Ω B 6Ω Ω Ω Ω Ω c) d) Ω Ω Ω B B Ω A A Ω Ω 90Ω Ω Ω Ω 8Ω 0. Se uma corrente de A sa da fonte de tensão, no crcuto aaxo, qual é o alor da potênca fornecda por esta fonte? Ω 8Ω Ω 0 0Ω Ω

13 CAPÍTULO LES DE KCHHOFF Além da le de Ohm, têm-se tamém duas les estaelecdas pelo físco germânco usta Krchhoff (8-887), que em conjunto com as característcas dos áros elementos dos crcutos, permtem sstematzar métodos de solução para qualquer rede elétrca. Estas duas les são formalmente conhecdas como Le de Krchhoff das correntes (LKC) e le de Krchhoff das tensões (LKT). Um ponto de conexão de dos ou mas elementos de crcutos é chamado de nó. Enquanto que um percurso fechado de um crcuto onde os elementos estão contdos é chamado de malha.. LE DE KCHHOFF DAS COENTES A le de Krchhoff das correntes (LKC) estaelece que: A soma algérca das correntes que entram em um nó qualquer é gual a soma das correntes que saem deste nó. Exemplo: Dado o crcuto aaxo, achar e. A Ω 6 A Ω A A A+A- =0 -A+ =0 =A+A =A- =A =A+7A =9A -A- -A=0 =-A-A - - =0 =-7A = - =A-A =-A. LE DE KCHHOFF DAS TENSÕES A le de Krchhoff das tensões (LKT) estaelece que: zero. A soma algérca das tensões ao longo de qualquer percurso fechado é Exemplo: =0 =-0- = - +

14 Exercícos:. Calcular a tensão e a corrente, dado o crcuto aaxo: Ω + - 6Ω A. Determnar as grandezas desconhecdas nos crcutos mostrados aaxo: a) Ω ) ,Ω,7 Ω - + c) P =8W Ω P =W T =6 Ω d) Ω A Ω + - P =W

15 . Usando a le de Krchhoff das correntes, encontrar o alor das correntes,, e, para o crcuto aaxo: 6μA μa 0,μA. Determnar as grandezas desconhecdas nos crcutos mostrados aaxo: a) A A 0 ) A 6Ω 9 Ω P =W T = c) 00mA 6 kω kω d) 0Ω = P =0W P A

16 . DSO DE TENSÃO Consderando as les de Ohm e Krchhoff stas aqu, esta seção começará com crcutos smples, descrtos por uma únca equação, para demonstrar alguns procedmentos de análse. Fg.. Crcuto de laço únco A fgura. é composta de dos resstores e uma fonte ndependente de tensão. O prmero passo no procedmento de análse será o de atrur correntes e tensões em todos os elementos da rede. Pode-se escolher artraramente a dreção (sentdo horáro ou ant-horáro) percorrda pela corrente. Pode-se, então fazer a aplcação da LKT: onde pela le de Ohm Comnado estas equações: solando a corrente, fca = + = e = = + Susttundo este alor nas equações da le de Ohm, pode-se oter: e O potencal da fonte dde-se entre as resstêncas e em proporção dreta ao alor de suas resstêncas, demonstrando o prncípo da dsão de tensão para dos resstores em sére. Por esta razão, o crcuto da fgura. é dto um dsor de tensão. Consderando a análse para um crcuto com N resstores em sére e uma fonte de ndependente de tensão, tem-se: N N, s onde N s n n 6

17 . DSO DE COENTE Outro crcuto smples mportante é o crcuto com um só par de nós. Elementos são conectados em paralelo quando a mesma tensão é comum a todos eles. Na fgura. pode-se er o crcuto com um só par de nós, formado por dos resstores em paralelo e uma fonte de corrente ndependente, todos com a mesma tensão. + - Fg.. Crcuto com um só par de nós. Aplcando a LKC ao nó superor, = + onde, pela le de Ohm = e = Comnando estas equações: = + solando a tensão : Susttundo este alor nas equações da le de Ohm, pode-se oter: e Ou, em termos de alores de resstêncas, e não de condutâncas: e Consderando a análse para um crcuto com N resstores em sére e uma fonte de ndependente de tensão, tem-se: p N, N onde N p n n 7

18 Exercícos:. Encontrar o alor da corrente e tensão ; usar os resultados para achar. 8A Calcular, dado o crcuto aaxo: Calcular as tensões, e a corrente, para o crcuto aaxo: No dsor de tensão mostrado, a potênca entregue pela fonte é de 8mW, calcular as tensões e. k 8k - k k +. Encontrar o alor da resstênca para o crcuto aaxo: P =W 8

19 6. Em relação ao crcuto aaxo, encontrar as correntes, T,,, e. =6A Ω Ω T Ω T 0Ω 7. Usando dsor de corrente, encontrar as correntes desconhecdas para os seguntes crcutos: a) A 6Ω Ω ) 6A 8Ω 8Ω 6Ω 6Ω 6Ω c) Ω 00mA Ω Ω d) Ω Ω 8Ω =A 9

20 0 CAPÍTULO MÉTODOS DE ANÁLSE DE CCUTOS Neste capítulo, será consderado a formulação de métodos sstemátcos para equaconar e soluconar as equações que aparecem na análse de crcutos mas complcados. Serão stos dos métodos geras, um aseado orgnalmente na le de Krchhoff das correntes e outro na le de Krchhoff das tensões. eralmente a LKC conduz a equações cujas aráes desconhecdas são tensões, enquanto a LKT conduz equações onde a aráes desconhecdas são correntes.. ANÁLSE DE MALHAS Nesta secção será sto o método conhecdo como análse de malhas, no qual se aplca a LKT em olta de um percurso fechado do crcuto. Neste caso as ncógntas normalmente serão as correntes. Exemplo: Como exemplo, será mostrado uma análse para o crcuto aaxo: a =9A; ; =-A; ; ; = - a a a EA DE CAME a 9 7 Determnante de coef.: =; = a

21 Exercícos:. Usando análse de malhas, encontrar e para o crcuto aaxo: a =6 =Ω =9 =6Ω c =6 =Ω a c. Dado o crcuto aaxo determnar as equações de malha. a 6. Atraés da análse de malhas, encontrar a tensão para o crcuto aaxo: - + a = =Ω = =6Ω c =0 =Ω =8Ω a c. Usando análse de malhas, calcular a corrente. =A =Ω a = =Ω =8 =Ω =Ω =Ω a

22 . Determnar as correntes de malha do crcuto a segur. 6. Determnar as correntes de malha do crcuto a segur. 7. Determnar as correntes de, e do crcuto aaxo. 8. Determnar a corrente 0 atraés do método das correntes de malha.

23 9. Encontrar as correntes, e, para o crcuto aaxo: a a =0 = =Ω =Ω =Ω =Ω =6Ω 0. Calcular as correntes de malha para o crcuto aaxo: a a =-8 =- =,kω =9,kΩ =7,kΩ =6,8kΩ =,kω

24 . ANÁLSE NODAL A análse nodal consste em um método de análse de crcutos nos quas tensões são as ncógntas a serem determnadas. Desde que uma tensão é defnda como exstndo entre dos nós, é conenente escolher um nó na rede para ser o nó de referênca e então assocar uma tensão ou um potencal como cada um dos outros nós. Freqüentemente o nó de referênca é escolhdo como aquele onde está conectado o maor número de ramos, e chamado como terra. O nó de referênca está, então, no potencal do terra ou no potencal zero e os outros nós podem ser consderados como um potencal acma de zero. As tensões sore os elementos podem ser uma tensão de nó (se um nó do elemento está aterrado) ou a dferença de potencal entre dos nós, como mostra o exemplo aaxo. Como exemplo pode-se oserar a fgura., onde o nó de referênca é o nó com potencal zero ou de terra. Os nós e são tensões de nó e Fg.. Crcuto com um só par de nós. Então, com a polardade mostrada, é: = - As tensões nos outros elementos são: = -0 = e = -0 = Para fnalzar a análse, será aplcada a LKC para cada nó de não-referênca para oter as equações nodas, e então escolher um método de solução smultânea de equações. Entre estes métodos podem ser ctados: a regra de Cramer, que emprega determnantes e a elmnação de auss. Exemplo: Como exemplo, será mostrado uma análse para o crcuto aaxo: a 6 c a =7A; ; =A; ; c =7A ; Nó de referênca nó : a = 0 nó : + = 0 nó : c = 0 ; ; 6

25 ) ( c a c a EA DE CAME c a Determnante de coef.: =; = e =

26 Exercícos:. Usando análse nodal, calcular e dos respectos crcutos: a. a a =A =-A =Ω =Ω =8Ω. a a =A =7A =Ω =8Ω =Ω. Calcular a tensão, dado o crcuto aaxo: - + = =0 =Ω =6Ω =Ω. Usando o método tensão-nó, calcular,,,, e do crcuto a segur. 6

27 . Usando o método tensão-nó, calcular a,, c,,,, e do crcuto a segur.. Usar análse nodal para determnar as tensões nos nós do crcuto a segur. 6. Usar a análse nodal para determnar todas as correntes nos ramos do crcuto da fgura a segur: 7. esoler o exercíco de análse de malhas por análse nodal. 7

28 8. Determnar as tensões de nós para os crcutos aaxo: a) a a =A =A = =Ω =Ω =Ω =Ω ) a a =6A =7A =Ω =Ω =Ω =Ω =8Ω 8

29 EFEÊNCAS BBLOÁFCAS JOHNSON, DE; HLBUN, JL; JOHNSON, J. Fundamentos de Análse de Crcutos Elétrcos. o de Janero:Lros Técncos e Centífcos Edtora SA, Ed., 000. BOYLESTAD, L. ntrodução a Análse de Crcutos. Prentce-Hall do Brasl, 8ª Edção, 998. BONJONO, J; AMOS, C. Temas de Físca. FTD, São Paulo, 997. ASPA, A. Físca, ol.. Átca, São Paulo, 00. USSOW, M. Eletrcdade Básca. Coleção Schaum. Makron Books, ªEdção, LOUENÇO, AC; CUZ, ECA E CHOUE JÚNO, S. Crcutos em Corrente Contínua. ª Edção, 00. 9