Indutores ou bobinas: criam campos magnéticos numa dada região do circuito.

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1 Unversdade Federal do Paraná Setor de Cêncas Exatas Departamento de Físca Físca III - Prof. Dr. Rcardo Luz Vana Referêncas bblográfcas: H. 33-2, 33-3, 33-4, 33-5, 33-6 S. 31-3, 31-4, 31-5 T. 26-7, 26-8, 26-9 Aula 25 - Indutores Joseph Henry (*17/12/1797, Albany, Estados Undos; + 13/05/1878, Washngton, Estados Undos) Estudou na Academa de Albany (New York) onde tornou-se posterormente professor de flosofa natural (o nome dado à físca até meados do Séc. XIX). Em 1830, enquanto trabalhava na construção de eletroímãs (na sua sala de aula, transformada no verão em laboratóro), descobru a ndução eletromagnétca ndependentemente de Faraday. Em 1832 fo contratado pelo College of New Jersey, que mas tarde tornou-se a conhecda Unversdade de Prnceton. Fo dretor da Smthsonan Insttuton (Washngton) desde 1846, quando da sua fundação, até a sua morte, tendo desempenhado um mportante papel no desenvolvmento centífco dos Estados Undos. Descobru a auto-ndução em crcutos elétrcos, trabalhou no envo de snas elétrcos à dstânca e explcou as bases para a cração de transformadores. Apesar do seu êxto profssonal, mutas das suas descobertas passaram despercebdas na época; talvez por utlzar uma metodologa qualtatva, recorrendo raramente à matemátca nos seus artgos. Após a sua morte, a undade de ndutânca no Sstema Internaconal, fo batzada de henry, em reconhecmento do seu trabalho. Capactores: cram campos elétrcos numa dada regão do crcuto Indutores ou bobnas: cram campos magnétcos numa dada regão do crcuto. 1

2 1. Defnção de ndutânca de uma bobna qualquer com N espras, conduzndo uma corrente L = NΦ onde Φ é o fluxo magnétco que atravessa cada espra da bobna. Undade no S.I. [L] = [Φ]/[] = Wb/A = Henry (H) 2. Indutânca de um solenóde com N espras e comprmento l Fluxo magnétco: supondo campo magnétco unforme dentro do solenóde com as lnhas de força perpendculares à seção reta, é Φ = BA para cada espra. Na aula sobre le de Ampére vmos que o campo no nteror do solenóde é unforme com módulo dado por B = μ 0 n (supondo núcleo de ar para o solenóde), onde n = N/l (número de espras por undade de comprmento). Logo L = NΦ = NBA = Nμ 0 n A = (nl)μ 0 n A Dvdndo por L temos a ndutânca por undade de comprmento do solenóde: L l = μ 0n 2 A Problema resolvdo: Um solenóde de 30 cm de comprmento é feto ao se enrolar 2000 voltas de fo de cobre num tubo oco de dâmetro 1,0 polegada (=2,54 cm). (a) Calcule a ndutânca desse solenóde; (b) Determne o fluxo magnétco por espra quando o solenóde é percorrdo por uma corrente de 500 ma. Solução: (a) Sendo A = πd 2 /4 e n = N/l temos L = μ 0 l N l 2 πd 2 4 = 4πx10 7 x xπx0, x0,30 = 8,49 x 10 3 H 8,5 mh (b) Φ = IL/N = 0,5 x 8,49 x 10 3 / 2000 = 2,12 x 10-6 Wb = 2,12 μwb Problema proposto: Construmos um solenóde de 2,0 m de comprmento e com seção reta crcular de dâmetro 4,0 cm, enrolando uma únca camada de fo de cobre solado (de dâmetro 2,5 mm). (a) Supondo que as espras adjacentes se toquem, e que a espessura do solamento seja desprezível, quantas espras tem o solenóde? (b) Calcule a 2

3 ndutânca do solenóde; (c) Qual a corrente que deve passar pelo solenóde para que o fluxo magnétco total seja de 3,0 mwb? Respostas: (a) 800; (b) 0,505 mh; (c) 5,94 A. 3. Indutânca de um toróde com N espras O campo magnétco no nteror da espra não é unforme, como mostramos na aula sobre Le de Ampère. Então, a rgor, temos de usar o caso 3 para o fluxo magnétco. A ntegral resultante pode ser efetuada analtcamente para o caso de um solenóde com seção reta retangular de lados b-a e H, onde a e b são os raos nterno e externo do toróde, respectvamente. O resultado é Φ = B. da = μ 0NH 2π ln b a Aplcando a defnção de ndutânca L = NΦ/, onde é a corrente e N o número de espras, temos uma expressão exata para a ndutânca do toróde: L = μ 0H 2π ln b a Podemos, todava, encontrar faclmente uma expressão aproxmada, magnando que o toróde resultou do encurvamento de um solenóde retangular de comprmento l = 2πr. Desprezamos o efeto da curvatura torodal, o que é tanto melhor quanto mas longo seja o solenóde. Então a ndutânca será aproxmadamente L μ 0 n 2 Al = μ N 0 l L μ 0 N 2 A 2πr onde r é o rao do centro da seção reta, tomado a partr do exo do toróde, e A é a área da seção reta (vde fgura). 2 Al 3

4 Problema resolvdo: Consdere um toróde com N = 2000 espras, onde o rao do centro do toróde é 100 cm e o rao da seção reta é 1 cm. (a) Calcule a ndutânca usando a fórmula aproxmada deduzda anterormente; (b) Calcule o fluxo magnétco total no nteror do toróde quando o enrolamento é percorrdo por uma corrente de 2,0 A. Solução: (a) A seção reta tem área A = π r 2 = π x 0,01 2 = π x 10-4 m 2. L μ 0 N 2 A 2πr (b) NΦ = L = 2,5 x 10-6 x 2,0 = 5,0 μwb = 4πx 10 7 x x π x π x 100 = 2,5 μh Problema proposto: Seja um toróde com N = 1250 espras e seção reta retangular, com rao nterno a = 90 cm e rao externo b = 95 cm, bem como uma altura H = 3 cm. (a) Use a fórmula exata para calcular a ndutânca. (b) Use a fórmula aproxmada que deduzmos anterormente. (c) Estme o erro percentual relatvo cometdo no uso da fórmula aproxmada, em comparação com a fórmula exata. Respostas: (a) 0,50688 mh; (b) 0,50675 mh; (c) 0,02 %. Auto-ndução: quando há mudança na corrente que passa por uma bobna, aparece uma fem nduzda ε L na própra bobna (le de Faraday) que se opõe à mudança. Da defnção de ndutânca, NΦ = L; então a fem auto-nduzda na bobna será Se a ndutânca L for constante ε L = N dφ dt = d(nφ) = d(l) dt dt ε L = L d dt () () Se aumenta, d/dt > 0, então ε L < 0: a fem opõe-se ao aumento Se dmnu, d/dt < 0, então ε L > 0: a fem opõe-se à dmnução Crcutos LR: são crcutos consttuídos de um ndutor assocado em sére com um resstor, e ambos podem ser lgados a uma fonte de tensão contínua. Note que, como o ndutor é uma bobna feta de um fo que tem resstênca elétrca, às vezes nem precsamos nclur explctamente o resstor no problema. 4

5 Regra dos snas para ndutores: se a o sentdo da fem auto-nduzda concde com o sentdo de percurso na malha então o snal da fem ε L é negatvo; se é oposto ao percurso então é postvo (cudado! é o oposto da fem gerada por uma fonte de tensão!). I. A chave é lgada e a fonte de tensão é lgada em sére com o ndutor e o resstor: a corrente elétrca aumenta no resstor e no ndutor, gerando nesse últmo uma fem auto-nduzda que retarda o aumento da corrente Supondo o percurso no sentdo horáro da malha do crcuto acma, e arbtrando o sentdo horáro para a corrente, pela prmera le de Krchhoff a soma das quedas de tensão na malha é gual a zero: R + ε L + ε = 0 R L d dt + ε = 0 Que é uma equação dferencal para a corrente (t), cuja solução é, supondo que em t = 0 a chave fo fechada e a corrente ncal é nula ((0) = 0): Constante de tempo ndutva: t = ε R 1 e Rt/L (corrente aumentando) τ L = L R a) Tensão sobre o resstor: b) Tensão sobre o ndutor: V R = R t = ε 1 e Rt/L = ε 1 e t τ L V L = ε L = L d dt = L ε R Rt 1 e L R L t = ε e τ L II. A fonte de tensão é desconectada do crcuto: a corrente elétrca dmnu no resstor e no ndutor, gerando nesse últmo uma fem auto-nduzda que retarda a dmnução da corrente. Fazendo ε = 0 na equação dferencal do crcuto temos 5

6 R + L d dt = 0 Supondo que, em t = 0, a corrente no crcuto é (0) = ε/r, a solução agora é t = ε R e Rt/L (corrente dmnundo) Observe que, agora, as tensões sobre o resstor e o ndutor são guas para qualquer nstante de tempo. A tensão sobre o resstor será V R = R t = εe Rt/L = εe t τ L = V L Problema resolvdo: Um solenóde de ndutânca 6,30 μh está lgado em sére a um resstor de 1,20 kω. (a) Lgando-se uma batera de 14,0 V, quanto tempo leva para que a corrente no resstor atnja 80% do seu valor fnal? (b) Calcule as tensões no resstor e no ndutor nesse nstante de tempo. Solução: a constante de tempo ndutva é τ L = L R = 6,30 x ,20 x 10 3 = 5,25 x 10 9 s = 5,25 ns (a) o valor fnal da corrente no resstor é (t= )= ε/r. Para que = (80/100) ε/r t = ε t 1 e τ L = 0,8 ε R R e t τ L = 1 0,8 = 0,2 Aplcando logartmos neperanos a ambos os membros -t/τ L = ln 0,2 = -1,61 t = 1,61τ L =1,61 x 5,25 ns = 8,45 ns (b) as tensões sobre o resstor e o ndutor serão, respectvamente: V R = ε 1 e Rt/L = 14,0 1 e 8,45 5,25 = 14,0 1 0,199 = 11,2 V V L = ε e t τ L = 14,0 e 8,45 5,25 = 2,79 V Problema proposto: A corrente num crcuto RL ca de 1,0 A para 10 ma no prmero segundo após a remoção da batera do crcuto. (a) Sendo a ndutânca de 10 H, calcule a resstênca do crcuto. (b) Após uma constante de tempo ndutva, calcule a tensão no resstor e no ndutor. Respostas: (a) 46 Ω; (b) 0,37 V para ambas. Energa magnétca armazenada no ndutor: a energa potencal elétrca fornecda pela batera va sendo transformada em energa magnétca no ndutor e calor no resstor. Multplcando por - a equação dferencal do crcuto RL na etapa de aumento da corrente, e rearranjando os termos, chegamos ao balanço de energa R 2 + L d dt = ε que espelha a conservação de energa eletromagnétca: 6

7 P E = P R + P L P E = ε = potênca elétrca fornecda pela fonte de tensão P R = R 2 = potênca dsspada no resstor sob a forma de calor (efeto Joule) P L = L(d/dt) = potênca envolvda na transformação de energa elétrca em magnétca Como potênca = energa / tempo, denotando a energa magnétca por U B temos P L = du B dt = L d dt ou du B = L d. Integrando de = 0 (quando t = 0) até uma corrente qualquer temos U B = du B = L d 0 U B = 1 2 L2 Problema resolvdo: Num crcuto RL cuja constante de tempo ndutva seja de 37,0 ms a corrente é nula em t = 0. Em que nstante a taxa de dsspação de energa no resstor é gual à taxa com que a energa magnétca está sendo armazenada no ndutor? Solução: Por hpótese P L = P R. Logo P E = P L + P L = 2 P L,ou ε = 2 L (d/dt) Usando a fórmula para a corrente aumentando t = ε R 1 e t τ L e a expressão obtda para a ddp no ndutor chegamos a ε = 2L d dt = 2L ε R Rt 1 e L R L t = 2ε e τ L Dvdndo ambos os membros por ε chegamos à equação exponencal e t τ L = 1 2 Aplcando logartmos t = ln 2 τ L = 0,69 x 37 = 25,6 ms Problema proposto: Num crcuto RL de ndutânca 2,0 H, resstênca 10 Ω, e uma fonte de tensão de 100 V, após 0,10 s de termos lgado a chave, calcule (a) a potênca fornecda pela fonte; (b) a potênca dsspada pelo resstor; (c) a potênca magnétca no ndutor. Respostas: (a) 393 W; (b) 155 W; (c) 238 W. Densdade de energa magnétca: podemos magnar que a energa está sendo armazenada no campo magnétco gerado pelo ndutor, da mesma forma que a energa era armazenada no campo elétrco entre as placas de um capactor. 7

8 Se o solenóde tver área da seção reta A e comprmento l, o volume da regão nterna é vol = A l. A densdade de energa magnétca é a energa por undade de volume u B = U B vol = L2 2Al = ( L l )2 2A Mas vmos no começo da aula que a ndutânca de um solenóde, por undade de comprmento, é dada por L l = μ 0n 2 A u B = (μ 0n 2 A) 2 = μ 2A 0 n Mas o campo magnétco no nteror do solenóde é B = μ 0 n Logo, multplcando e dvdndo por μ 0 u B = μ 0μ 0 n 2 2 2μ 0 u B = B2 2μ 0 Essa expressão vale para qualquer tpo de ndutor e mesmo na ausênca de ndutores! Problema resolvdo: É dado um cubo de aresta 10 cm. Compare a energa elétrca e a magnétca assocadas a campos elétrcos e magnétcos unformes de ntensdades 100 kv/m e 1,0 T, respectvamente, na regão do espaço ocupada pelo cubo. Solução: O volume do cubo é vol = a 3 = (0,10 m) 3 = 0,001 m 3. A energa magnétca será U B = vol x u B = B2 (vol) = 1,02 x0,001 = 400 J 2μ 0 2x4πx10 7 Vmos que a densdade de energa elétrca é U E = ε 0 E 2 /2. A energa elétrca dentro do cubo será U E = vol x u E = ε 0 E 2 = 44 μj 2 (vol) = 8,85x10 12 x10 5 x0,001 2 Problema proposto: Qual deve ser o módulo de um campo elétrco unforme para que tenha a mesma densdade de energa de um campo magnétco de 0,50 T? Resposta: 150 MV/m 8