2 - Análise de circuitos em corrente contínua

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1 - Análse de crcutos em corrente contínua.-corrente eléctrca.-le de Ohm.3-Sentdos da corrente: real e convenconal.4-fontes ndependentes e fontes dependentes.5-assocação de resstêncas; Dvsores de tensão; Dvsores de corrente.6-potêncas.7-les de Krchhoff (le dos nós e le das malhas).8-prncípo da sobreposção.9-crcutos equvalentes de Thevenn e de Norton Cap. 9

2 .. COENTE ELÉCTCA c b S B a S A Fgura.- Corrente eléctrca num condutor. ntensdade de corrente (Ampere) S a.b - secção transversal c - comprmento - Dferença de potencal (volt) egme estaconáro (corrente d.c.) - não exstem varações temporas da ntensdade de corrente eléctrca Corrente eléctrca - Movmento com valor médo não nulo dos portadores de carga. No caso dos metas os portadores de carga a consderar são os electrões lvres. r r J σ E r J - Densdade de corrente eléctrca r E - Campo eléctrco σ - Condutvdade Cap. 30

3 Escala relatva de condutvdade σ Metas Semcondutores solantes Fgura.- Escala relatva de condutvdades σ - condutvdade Ω [ ] -.m - ρ - resstvdade (nverso da condutvdade) ρ σ.. LE DE OHM Consderando as secções Sa e Sb, representadas na fgura., transversas à drecção do vector r J (densdade de corrente) e sendo válda a aproxmação lnear, tem-se: r r J σ E (Le de Ohm na forma local) r J - Densdade de corrente σ - Condutvdade r E - Campo eléctrco AB E (A) L (B) Cap. 3

4 L - Dstânca entre as secções transversas A e B ( S a S b S) r r J.n ds S - ntensdade de corrente eléctrca S - Secção transversal do condutor r n - Normal untára à superfce S ds - Elemento de superfíce a r n b S a x b S - Secção transversal do condutor Admtndo J r constante - Dstrbução de corrente unforme, meo homogéneo e regme estaconáro de corrente contínua, a ntensdade de corrente é dada por: s r r r r J.n ds J ds J S S r J r r σ E σ E S () A dferença de potencal entre as superfíces (equpotencas) A e B é dada por: AB B A r E.dl Uma vez que o campo é unforme e E r //d rr l (vectores com a mesma drecção e sentdo) Cap. 3

5 r r E L E AB L () AB Substtundo esta relação na equação (), obtemos: AB σ S L AB L σ S A constante de proporconaldade é por defnção a resstênca do condutor entre as superfíces transversas A e B. Le de Ohm: x [] - olt () [] - Ohm ( Ω ) [ ] - Ampere (A).3. SENTDO DA COENTE () () - () () - () () -electrões () () -ões postvos <0 >0 Fgura.3- Sentdo da corrente eléctrca: () sentdo real; () sentdo convenconal Cap. 33

6 No caso dos portadores de carga postva o sentdo real e convenconal são concdentes. No caso dos portadores de carga negatva o sentdo real e convenconal são opostos..4. FONTES NDEPENDENTES E FONTES DEPENDENTES Fontes ndependentes Fonte de Tensão K - Mantém aos seus termnas uma tensão constante ndependentemente da corrente fornecda K Fgura.4- Característca / de uma fonte de tensão ndependente. Tpo de assocação possível - em sére K K K n K K Fgura.5- Assocação em sére de fontes de tensão. N Fonte de corrente K - Mantém aos seus termnas uma corrente constante ndependentemente da Cap. 34

7 tensão fornecda K Fgura.6- Característca / de uma fonte de tensão ndependente. Tpo de assocação possível - em paralelo N n Fgura.7- Assocação em paralelo de fontes de corrente. Smbologa: Fonte de tensão: - ou Fonte de corrente: Fontes Dependentes Cap. 35

8 Exstem 4 tpos possíves: - Tensão controlada por corrente - Tensão controlada por tensão 3- Corrente controlada por corrente 4- Corrente controlada por tensão Parâmetro controlado Parâmetro de controlo Smbologa e undades dos coefcentes de controlo:. F ( j ) Caso eral K j Stuação Lnear [ ] olt Ampere Ohm Ω K - F(j) ou F(j) Fgura.8- Smbologa de uma fonte de tensão controlada por corrente.. F ( j ) Caso eral K j Stuação Lnear [ K ] olt olt Admensonal - ou F ( j ) F ( j ) Cap. 36

9 Fgura.9- Smbologa de uma fonte de tensão controlada por tensão. 3. F ( j ) Caso eral K j Stuação Lnear [ K ] Ampere Ampere Admensonal F ( j ) Fgura.0- Smbologa de uma fonte de corrente controlada por corrente. 4. F ( j ) Caso eral K j Stuação Lnear - - [ K ] Ampere olt Ohm ( Ω ) Semens (S) F ( j ) Fgura.- Smbologa de uma fonte de corrente controlada por tensão. - Tensão ou corrente controlada (ramo ) j - Tensão ou corrente de controlo (ramo j).5. ASSOCAÇÃO DE ESSTÊNCAS; DSOES DE TENSÃO; DSOES DE COENTE ) Sére Cap. 37

10 n EQ... EQ n EQ n Fgura.- Assocação de resstêncoas em sére. ) Paralelo EQ n Fgura.3- Assocação de resstêncas em paralelo.... EQ n n EQ Defnndo a condutânca como o nverso da resstênca: No caso da assocação em paralelo, temos: n EQ Cap. 38

11 Dvsores de tensão n... n EQ S Dvsores de corrente n... n Cap. 39

12 EQ P.6. POTÊNCAS ) Potênca de Joule L P A P J P B A B Fgura.4- Potênca de Joule dsspada numa resstênca. P A > P B P J P A - P B PJ - Potênca dsspada por efeto de Joule na resstênca. Traduz-se pelo aquecmento da resstênca AB. AB σ L S L P S P- esstvdade P A A AB PJ PA - PB AB PJ AB P B B AB AB [P J ] - Watt Cap. 40

13 ) Potênca fornecda ou dsspada numa fonte - P v x v- Tensão aos termnas da fonte ( -) - Corrente que atravessa a fonte (- ) Transferênca de energa entre gerador e carga v e E- Tensão da fonte (em vazo) - esstênca nterna da fonte e - esstênca exteror (carga) Cap. 4

14 Pretende-se calcular o valor de e que maxmza a energa fornecda à carga W P. t W MÁX P MÁX A potênca dsspada na carga é dada por: P e ( ) e dp d e ( ) ( - e) 3 e dp P d e 0 0 M - e dp d e 0 e Obtem-se uma potênca máxma na carga quando se tem e esstênca de carga gual à resstênca nterna da fonte..7. LES DE KCHHOFF (le dos nós e le das malhas) ) Le das malhas (KL) Em qualquer nstante a soma algébrca das tensões num crcuto fechado (malha) é Cap. 4

15 nula v v - mesmo sentdo de referênca v 3 v 3 n v n Fgura.5- Le das malhas (KL) n v 0 ) Le dos nós (KCL) Em qualquer nstante a soma algébrca das correntes num nó é nula n n 3 3 n 0 Exemplo de aplcação ) Consderando o crcuto abaxo representado calcular as correntes,, e 3 Cap. 43

16 A B 5 C - D 3 3 E rafo do crcuto A B C r 8 D N 6 3 C r-n3 F E,, 3 - Correntes nas malhas (ncógntas) Cap. 44

17 Aplcando a Le das Malhas: Malha : ( - ) E 3 ( - 3 ) 0 Malha : 5 ( - 3 ) ( - ) 0 Malha 3: Substtundo os valores de E,,, 3, e aplcando a relação anteror, obtem-se: Usando a regra de Crammer na resolução do sstema, obtemos: (A) (A) (A) Exemplo de aplcação ) Consderando o crcuto abaxo representado e aplcando a le dos nós (KCL) determne,, e 3. Cap. 45

18 3 A 6 () B () A 3 B 3 ( Ω ) ( Ω ) 3 ( Ω ) 0 C - N C - nº de crculações fundamentas - nº de ramos N - nº de nós N4 5 C A utlzação da le das malhas (KL) conduzra a um sstema de equações (ncógntas - correntes nas malhas) Uma vez que se pretende utlzar a le dos nós o nº de equações é dado por N-3 sendo neste caso as ncógntas as tensões dos nós,,3, relatvas ao nó de referênca (nó 0). No entanto tendo em conta a confguração do crcuto as tensões dos nós e 3 são à partda: A B 8 8 A ( ) ( A) ( A) Cap. 46

19 Cap. 47 Conhecdas e valem A e B respectvamente. Deste modo torna-se mas vantajoso, neste caso, a le dos nós pos apenas temos que resolver uma equação para o nó B A () 0 - ncógnta - Substtundo os valores anterores na equação (), temos: ( ) ( ) ( ) 3 B A A 3 3 B A - - Substtundo os valores obtemos: v) ( erfcação do resultado: Uma forma de verfcar o resultado consste na utlzação do prncípo da conservação de energa (Potênca). O somatóro das potêncas fornecdas tem de ser gual ao somatóro das potêncas dsspadas.

20 Aplcando ao nosso exemplo, temos: P F P FA P FB P FA - Potênca fornecda pelo gerador A P FB - Potênca fornecda pelo gerador B P D P J P J P J3 P D - Potênca dsspada P j - Potênca dsspada por efeto de Joule na resstênca Substtundo valores: P F P FA P FB A B (6.6)(.)80 W P D 3 3 (3.36)(.4)(.64) 80 W erfcamos que temos: P F P D.8. PNCPO DA SOBEPOSÇÃO Em qualquer crcuto desde que seja válda a aproxmação lnear, pode ser aplcado o prncípo de sobreposção que dz: o valor de uma tensão ou corrente em qualquer ramo do crcuíto pode ser obtdo à custa das contrbuções ndvduas (adtvas) devdas a cada uma das fontes ndependentes quando o efeto das restantes se anula. A anulação de uma fonte ndependente de tensão corresponde a substtu-la por um curto-crcuto. A anulação de uma fonte ndependente de corrente corresponde a substtu-la por um crcuto aberto. Cap. 48

21 Ex.: Calcular utlzando o prncípo da sobreposção 3 - Fonte de tensão ndependente - Fonte de corrente ndependente v v - Fracção da corrente devda a - Fracção da corrente devda a ) Anulamento da fonte de corrente 0 C.A. 3 v () Cap. 49

22 ) Anulamento da fonte de tensão 0 C.C. 3 () Pelo prncípo da sobreposção o valor de é dado por:.9. CCUTOS EQUALENTES DE THEENN E DE NOTON CCUTO LNEA - (A) v (B) Consderando que as varáves (Tensão ou corrente) de controlo das fontes dependentes são nternas ao crcuto o teorema de Thevenn dz que o crcuto, do ponto de vsta dos termnas (A) e (B) é equvalente a: Cap. 50

23 T T - - v Fgura.7- Crcuto equvalente de Thevenn. T - Tensão de Thevenn T - esstênca de Thevenn erfcamos que: T 0 v CA tensão em crcuto aberto v T Anul. Fontes resstênca vsta dos termnas (A) e (B) quando se anula o efeto das fontes ndependentes v T - T T v T v T T T N v N N N T Crcuto equvalente de Norton: N N v - Fgura.8- Crcuto equvalente de Norton. Cap. 5

24 erfcamos que: N v0 c.c. - corrente de curto-crcuto v N - Anul. Fontes - resstênca vsta dos termnas (A) e (B) quando se anula o efeto das fontes ndependentes ESÕES (º TESTE) / POBLEMAS ESOLDOS Determnar o lugar geométrco da equpotencal de zero volts para o sstema de cargas abaxo representado Q Q Q -4Q y P(x,y) P d d P (-,0) (4,0) x Q Q Aplcando o prncípo da sobreposção vamos calcular o potencal no ponto genérco P de coordenadas (x, y). P P P (meo lnear e homogéneo) P - Potencal no ponto P P - Potencal no ponto P devdo a Q P Potencal no ponto P devdo a Q Cap. 5

25 P P Q ( ) d com d y x 4πε Q com d ( x 4) y 4πε d Q Q P P P 4πε d d Substtundo Q, Q, d e d pelos seus valores, tem-se: Q 4Q P 4πε ( x ) y ( x 4) y Q 4 4πε ( x ) y ( x 4) y Uma vez que pretendemos calcular a localzação no plano x, y da equpotencal de zero volts, basta gual a zero a expressão anteror. P 6 6 5x x x 0 4 ( x ) y ( x 4) [( x ) y ] [( x 4) y ] ( x x y ) ( x 8x 6 y ) 4 x 3 40x 5y 8 x y x y 3 9 y y ( x x ) ( y y ) r ( x, y ) rao r Lugar geométrco da equpotencal de zero volts: crcunferênca de centro no ponto Cap. 53

26 ( ) ( ; ) x;y e ao 4 3 ( 4 3 ; 4 3) y ( 00 ; ) P P x ( 8 3 ; 0 ) Equpotencal de 0 olts Determne o crcuto equvalente de Thevenn e de Norton vsto do par de termnas (A)/(B) (A) v - E Av v - - (B) E0 () A ( Ω ) º proceso) utlzando as defnções de T, T, N e N T - tensão entre os termnas (A) e (B) em crcuto aberto (C.A.) v - E A T v Crculação na malha : -Ev A v 0 Cap. 54

27 E E ( A ) v E v () A 5 Av A E E T 5. () 4 4 (dvsor de tensão, malha ) T - esstênca vsta dos termnas (A) e (B) quando se anulam as fontes ndependentes. Neste caso corresponde a fazer E0 (substtução da fonte de tensão por um curto-crcuto) v - Av v T Crculação na malha : v Av 0 (A) v 0 v 0 pos A 0 Logo o crcuto do ponto de vsta da entrada e do cálculo de T, é equvalente ao segunte crcuto: v' v T ' Crcuto equvalnte de Thevenn: Cap. 55

28 T T v - - T T T T E 5. () Ω ( ) Crcuto equvalente de Norton: N N v - N T E E T ( ) N T 05. Ω ( A) º processo) Estabelecendo uma relação entre as varáves v e drectamente a partr das les de Krchhoff v - E Av v 3 - amos utlzar a le das malhas (KL): Cap. 56

29 Malha - -Ev A v 0 () com v Malha - -A v ( - 3 )0 () Malha 3 - ( 3 - )0 (3) com Da equação () tem-se: ( ) v A E E E v A A ( ) Substtundo na equação (): -A E A E 3 A A 3 E A A ( ) Substtundo este resultado na equação (3) e tendo em atenção que 3, tem-se: - A E v 0 A ( ) v - A E A ( ) ( ) A E A E 4 - (4) (sendo A ) T T Cap. 57

30 A partr da equação (4) é possível explctar em função de v e portanto obter o crcuto equvalente de Norton ( N, N ) E v 4 E 4 v E v N N Cap. 58