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1 Prof. Lorí Val, Dr. 1

2 É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental.

3 Numa relação expermental os valores de uma das varáves são controlados. No relaconamento correlaconal, por outro lado, não se tem nenhum controle sobre as varáves sendo estudadas. 3

4 4

5 Um engenhero químco está nvestgando o efeto da temperatura de operação do processo no rendmento do produto. O estudo resultou nos dados da tabela segunte: 5

6 Temperatura, C 0 (X) Rendmento (Y)

7 O prmero passo para determnar se exste relaconamento entre as duas varáves é obter o dagrama de dspersão (scatter dagram). 7

8 Rendmento (Y) 50 5 Temperatura (X)

9 O dagrama de dspersão fornece uma déa do tpo de relaconamento entre as duas varáves. Neste caso, percebe-se que exste um relaconamento lnear. 9

10 Quando o relaconamento entre duas varáves quanttatvas for do tpo lnear, ele pode ser meddo através do: 10

11 11

12 Observado um relaconamento lnear entre as duas varáves é possível determnar a ntensdade deste relaconamento. O coefcente que mede este relaconamento é denomnado de Coefcente de Correlação (lnear). 1

13 Quando se está trabalhando com amostras o coefcente de correlação é ndcado pela letra r e é uma estmatva do coefcente de correlação populaconal que é representado por ρ (rho). 13

14 14

15 Para determnar o coefcente de correlação (grau de relaconamento lnear entre duas varáves) vamos determnar ncalmente a varação conjunta entre elas, sto é, a covarânca. 15

16 A covarânca entre duas varáves X e Y, é representada por Cov(X Cov(X; Y) e calculada por: Cov( X,Y ) ( X X )( Y n 1 Y ) 16

17 17 Mas nxy Y X nxy nxy nxy Y X XY X Y Y X Y X XY Y X X Y Y X ] XY Y X X Y Y X [ ) Y Y )( X X (

18 Então: Cov( X,Y ) ( X X )( Y n 1 Y ) X Y n nxy 1 18

19 A covarânca podera ser utlzada para medr o grau e o snal do relaconamento entre as duas varáves, mas ela é dfícl de nterpretar por varar de - a +. Assm vamos utlzar o coefcente de correlação lnear de Pearson. 19

20 O coefcente de correlação lnear (de Pearson) é defndo por: r Cov( X,Y S X S Y ) 0

21 Onde: Cov( X,Y ) X Y n nxy 1 S X X n X n 1 S Y Y ny n 1 1

22 Esta expressão não é muto prátca para calcular manualmente o coefcente de correlação. Pode-se obter uma expressão mas convenente para o cálculo manual e o cálculo de outras meddas necessáras mas tarde.

23 Tem-se: Cov( X,Y ) r S X SY X Y nxy n 1 X n X Y ny n 1 n 1 X Y nxy ( X )( ) n X ny Y 3

24 F a z e n d o S Fazendo: S S XY XX YY X Y X n X Y ny S XY Tem se : r S XX YY.S nxy 4

25 A vantagem do coefcente de correlação (de Pearson) é ser admensonal e varar de 1 a + 1, que o torna de fácl nterpretação. 5

26 Assm se r -1, temos uma relaconamento lnear negatvo perfeto, sto é, os pontos estão todos alnhados e quando X aumenta Y decresce e vce-versa. 6

27 50 40 r

28 Se r +1, temos uma relaconamento lnear postvo perfeto, sto é, os pontos estão todos alnhados e quando X aumenta Y também aumenta. 8

29 50 40 r

30 Assm se r 0, temos uma ausênca de relaconamento lnear, sto é, os pontos não mostram alnhamento. 30

31 50 40 r

32 Assm se 1 < r < 0, temos uma relaconamento lnear negatvo, sto é, os pontos estão mas ou menos alnhados e quando X aumenta Y decresce e vce-versa. 3

33 < r <

34 Assm se 0 < r < 1, temos uma relaconamento lnear postvo, sto é, os pontos estão mas ou menos alnhados e quando X aumenta Y também aumenta. 34

35 < r <

36 Uma correlação amostral não sgnfca necessaramente uma correlação populaconal e vce-versa. É necessáro testar o coefcente de correlação para verfcar se a correlação amostral é também populaconal. 36

37 Observada uma amostra de ses pares, pode-se perceber que a correlação é quase um, sto é, r 1. No entanto, observe o que ocorre quando mas pontos são acrescentados, sto é, quando se observa a população! 37

38 50 40 r ρ

39 39

40 Determnar o grau de relaconamento lnear entre as varáves X temperatura de operação do processo versus Y rendmento do produto, conforme tabela. 40

41 X Y XY X Y

42 Vamos calcular r utlzando a expressão em destaque vsta anterormente, sto é, através das quantdades, S xy, S XX e S YY. 4

43 Tem-se: n 10 X 1450 Y 673 X 145 Y 67,3 XY X Y 475 Então: S XY X Y nxy ,

44 S XX X n X S YY Y ny ,3 193,10 44

45 r S S XX XY.S YY ,10 0,

46 Apesar de r ser um valor admensonal, ele não é uma taxa. Assm o resultado não deve ser expresso em percentagem. 46

47 Prof. Lorí Val, Dr. 47

48 Em mutas stuações duas ou mas varáves estão relaconadas e surge então a necessdade de determnar a natureza deste relaconamento. 48

49 A análse de regressão é uma técnca estatístca para modelar e nvestgar o relaconamento entre duas ou mas varáves. 49

50 De fato a regressão pode ser dvdda em dos problemas: () o da especfcação e () o da determnação. 50

51 O problema da especfcação é descobrr dentre os possíves modelos (lnear, quadrátco, exponencal, etc.) qual o mas adequado. 51

52 O problema da determnação é uma vez defndo o modelo (lnear, quadrátco, exponencal, etc.) estmar os parâmetros da equação. 5

53 Normalmente é suposto que exsta uma varável Y (dependente ou resposta), que está relaconada a k varáves (ndependentes ou regressoras) X ( 1,,..., k). 53

54 A varável resposta Y é aleatóra, enquanto que as varáves regressoras X são normalmente controladas. O relaconamento entre elas é caracterzado por uma equação denomnada de equação de regressão 54

55 Quando exstr apenas uma varável regressora (X) tem-se a regressão smples, se Y depender de duas ou mas varáves regressoras, então tem-se a regressão múltpla. 55

56 Vamos supor que a regressão é do tpo smples e que o o modelo seja lnear, sto é, vamos supor que a equação de regressão seja do tpo: Y α + βx + U 56

57 y Y α + βx + U; x 1 x x n x 57

58 O termo U é o termo erro, sto é, U representa outras nfluêncas sobre a varável Y, além da exercda pela varável X. A varação resdual (termo U) é suposto de méda zero e desvo constante e gual a σ. 58

59 Ou anda pode-se admtr que o modelo fornece o valor médo de Y, para um dado x, sto é, E(Y/x) α + βx 59

60 Y α + βx + U; E(Y/x) α + βx, sto é, E(U) 0 V(Y/x) σ ; Cov(U, Uj) 0, para j; A varável X permanece fxa em observações sucessvas e os erros U são normalmente dstrbuídos. 60

61 O modelo suposto E(Y/x) E(Y/x) α + βx é populaconal. Vamos supor que se tenha n pares de observações, dgamos: (x (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x n, y n ) e que através deles queremos estmar o modelo acma. 61

62 por: A reta estmada será representada Ŷ a + bx ou Y a + bx + Onde a é um estmador de α e b é um estmador de β, sendo estmador de E(Y/x). Ŷ E um 6

63 Exstem dversos métodos para a determnação da reta desejada. Um deles, denomnado de MMQ (Métodos dos Mínmos Quadrados), consste em mnmzar a soma dos quadrados das dstâncas da reta aos pontos. 63

64 Tem-se: Y a + bx + E, Então: E Y - (a + bx ) 64

65 65 Deve-se mnmzar: φ n 1 n 1 n 1 ) bx a Y ( ) Ŷ Y ( E

66 Y a + b X + E y ŷ E x 66

67 67 Dervando parcalmente tem-se: ) X b a Y ( x b ) X b a Y ( a n 1 n 1 φ φ

68 68 Igualando as dervadas parcas a zero vem: 0 ) X b a Y ( x 0 ) X b a Y ( n 1 n 1

69 Isolando as ncógntas, tem-se: Y na + b X X Y n X + b X 69

70 Resolvendo para a e b, segue: b X y X nxy n X S S XY XX a Y bx 70

71 Lembrando que: Fazendo: S S S XY XX YY X Y nxy X n X Y ny 71

72 7

73 Um engenhero químco está nvestgando o efeto da temperatura de operação do processo no rendmento do produto. O estudo resultou nos dados da tabela, ao lado. Determnar a lnha de regressão. 73

74 Temperatura, C 0 (X) Rendmento (Y)

75 Da mesma forma que para calcular o coefcente de correlação é necessáro a construção de três novas colunas. Uma para X, uma para Y e outra para XY. 75

76 X Y XY X Y

77 Tem-se: n 10 X 1450 Y 673 X 145 Y 67,3 XY X Y 475 Então: S XY X Y nxy ,

78 S XX X n X S YY Y ny ,3 193,10 78

79 A equação de regressão, será, então: b S S XY XX ,4830 0,48 a Y bx 67,30 0, ,7394, 74 Ŷ,74 + 0,48x 79

80 A pergunta que cabe agora é: este modelo representa bem os pontos dados? A resposta é dada através do erro padrão da regressão. 80

81 81

82 O objetvo do MMQ é mnmzar a varação resdual em torno da reta de regressão. Uma avalação desta varação é dada por: S E n ( Y a bx n ) 8

83 O cálculo da varânca resdual, por esta expressão, é muto trabalhoso, pos é necessáro prmero determnar os valores prevstos. Entretanto é possível obter uma expressão que não requera o cálculo dos valores prevstos, sto é, de Ŷ a + bx 83

84 ( Desenvolvendo o numerador da expressão, vem: Y a bx ) [ Y ( Y bx ) bx ] [ Y Y + bx bx ] [ Y Y b( X X )] ( Y Y ) b ( X X )( Y Y ) + b ( X X ) S YY bs XY + b S XX 84

85 Uma vez que: ( X X )( Y Y ) X Y nxy S ( X X ) ( Y Y ) X n X XY Y ny S S XX YY 85

86 Mas: Deste modo, tem-se: ( Y a bx ) SYY bs XY + b S XX Então: b S S ( Y a bx ) S YY b S XY XX XX S YY + b S b S S XX XY XY S YY b S + b b S S XX XX XX 86

87 87 Fnalmente: n b S S n S b S n ) bx a Y ( n E s XY YY XX YY

88 88

89 Consderando os valores do exemplo anteror, determnar o erro padrão da regressão. Tem-se se: S YY 193,10 S XX 850 b S S XY XX ,

90 Então: s S YY n b S XY 193, ,9503 0,95 90

91 91

92 Y Ŷ Y Y Y Y Ŷ Ŷ Y Y Y Y Ŷ + Ŷ Y ( Y Y ) ( Y Ŷ ) + ( Ŷ Y ) VT VR + VE x 9

93 VR (a) Varação Total: VT VT ( ) Y Y S YY (b) Varação Resdual: VR ( ) Y Ŷ S b YY S XX VT VE (c) Varação Explcada: VE VE ( ) Ŷ Y b S XX 93

94 Uma manera de medr o grau de aderênca (adequação) de um modelo é verfcar o quanto da varação total de Y é explcada pela reta de regressão. 94

95 Para sto, toma-se o quocente entre a varação explcada, VE, pela varação total,vt: R VE / VT Este resultado é denomnado de Coefcente de Determnação. 95

96 R VE bs XX b S XY VT SYY S YY Este resultado mede o quanto as varações de uma das varáves são explcadas pelas varações da outra varável. S S XY S XX YY 96

97 Ou anda, ele mede a parcela da varação total que é explcada pela reta de regressão, sto é: VE b S XX R SYY A varação resdual corresponde a: VR ( 1 R ) SYY Assm 1 R é o Coefcente de Indetermnação. 97

98 98

99 O % de mpurezas no gás oxgêno produzdo por um processo de destlação supõem-se que esteja relaconado com o % de hdrocarbono no condensador prncpal do processador. Os dados de um mês de operação produzram a segunte tabela 99

100 X Y X Y 1,0 86,91 1,46 96,73 1,11 89,85 1,55 99,4 1,43 90,8 1,55 98,66 1,11 86,34 1,55 96,07 1,01 9,58 1,40 93,65 0,95 87,33 1,15 87,31 1,11 86,9 1,01 95,00 0,87 91,86 0,99 96,85 1,43 95,61 0,95 85,0 1,0 89,86 0,98 90,56 100

101 (a) Ajuste um modelo lnear aos dados; (b) Teste a exstênca da regressão; (c) Determne o valor de R para este modelo; (d) Determne um IC, de 95%, para o valor da pureza, na hpótese do % de hdrocarbono ser 1,0%. 101

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