Prof. Lorí Viali, Dr.
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- Evelyn Amado Cabreira
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1 Prof. Lorí Val, Dr.
2 É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
3 Numa relação expermental os valores de uma das varáves são controlados. No relaconamento correlaconal, por outro lado, não se tem nenhum controle sobre as varáves sendo estudadas. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
4 Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
5 Um engenhero químco está nvestgando o efeto da temperatura de operação do processo no rendmento do produto. O estudo resultou nos dados da tabela segunte: Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
6 Temperatura, C 0 (X) Rendmento (Y) Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
7 O prmero passo para determnar se exste relaconamento entre as duas varáves é obter o dagrama de dspersão (scatter dagram). Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
8 Rendmento (Y) Temperatura (X) Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
9 O dagrama de dspersão fornece uma dea do tpo de relaconamento entre as duas varáves. Neste caso, percebe-se que exste um relaconamento lnear. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
10 Quando o relaconamento entre duas varáves quanttatvas for do tpo lnear, ele pode ser meddo através do: Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
11 Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
12 Observado um relaconamento lnear entre as duas varáves é possível determnar a ntensdade deste relaconamento. O coefcente que mede este relaconamento é denomnado de Coefcente de Correlação (lnear). Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
13 Quando se está trabalhando com amostras o coefcente de correlação é ndcado pela letra r e é uma estmatva do coefcente de correlação populaconal que é representado por ρ (rho). Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
14 Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
15 Para determnar o coefcente de correlação (grau de relaconamento lnear entre duas varáves) vamos determnar ncalmente a varação conjunta entre elas, sto é, a covarânca. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
16 A covarânca entre duas varáves X e Y, é representada por Cov Cov(X (X; Y) e calculada por: Cov( X,Y ) ( X X )( Y n 1 Y ) Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
17 Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca Mas nxy Y X nxy nxy nxy Y X XY X Y Y X Y X XY Y X X Y Y X ] XY Y X X Y Y X [ ) Y Y )( X X (
18 Então: Cov( X,Y ) ( X X )( Y n 1 Y ) X Y n 1 nxy Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
19 A covarânca podera ser utlzada para medr o grau e o snal do relaconamento entre as duas varáves, mas ela é dfícl de nterpretar por varar de - a +. Assm vamos utlzar o coefcente de correlação lnear de Pearson. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
20 O coefcente de correlação lnear (de Pearson) é defndo por: r Cov( X,Y ) S X S Y Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
21 Onde: Cov( X,Y ) X Y n nxy 1 S X 2 X n X n 1 2 S Y 2 Y ny n 1 2 Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
22 Esta expressão não é muto prátca para calcular manualmente o coefcente de correlação. Pode-se obter uma expressão mas convenente para o cálculo manual e o cálculo de outras meddas necessáras mas tarde. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
23 Tem-se: r Cov( X,Y S X S Y ) 2 X X n n 1 X Y n 2 nxy 1 2 Y ny n 1 2 X Y ( X 2 2)( 2 2) n X nxy Y ny Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
24 F a z e n d o S Fazendo: S S XY XX YY X Y 2 X 2 Y n X ny nxy 2 2 Tem se : r S XY.S S XX YY Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
25 A vantagem do coefcente de correlação (de Pearson) é ser admensonal e varar de 1 a + 1, que o torna de fácl nterpretação. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
26 Assm se r -1, temos uma relaconamento lnear negatvo perfeto, sto é, os pontos estão todos alnhados e quando X aumenta Y decresce e vce-versa. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
27 50 40 r Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
28 Se r +1, temos uma relaconamento lnear postvo perfeto, sto é, os pontos estão todos alnhados e quando X aumenta Y também aumenta. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
29 50 40 r Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
30 Assm se r 0, temos uma ausênca de relaconamento lnear, sto é, os pontos não mostram alnhamento. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
31 50 40 r Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
32 Assm se 1 < r < 0, temos uma relaconamento lnear negatvo, sto é, os pontos estão mas ou menos alnhados e quando X aumenta Y decresce e vce-versa. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
33 < r < Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
34 Assm se 0 < r < 1, temos uma relaconamento lnear postvo, sto é, os pontos estão mas ou menos alnhados e quando X aumenta Y também aumenta. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
35 < r < Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
36 Uma correlação amostral não sgnfca necessaramente uma correlação populaconal e vce-versa. É necessáro testar o coefcente de correlação para verfcar se a correlação amostral é também populaconal. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
37 Observada uma amostra de ses pares, pode-se perceber que a correlação é quase um, sto é, r 1. No entanto, observe o que ocorre quando mas pontos são acrescentados, sto é, quando se observa a população! Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
38 50 40 r ρ Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
39 Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
40 Determnar o grau de relaconamento lnear entre as varáves X nota em Português Y nota em Matemátca, de 20 canddatos em um concurso vestbular com 30 questões, conforme tabela, na próxma lâmna. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
41 Português (X) Matemátca (Y) X² Y² XY Total
42 Vamos calcular r utlzando a expressão em destaque vsta anterormente, sto é, através das quantdades, S xy, S XX e S YY. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
43 Tem-se: n 20 X 284 Y 371 X 14,20 Y 18,55 XY 5836 X Y 8273 Então: S XY X Y nxy ,20.18,55 567,80. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
44 S XX 2 X n X ,20 409, S YY 2 Y ny , ,95. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
45 r S XY S XX.S YY 567,80 409, ,95 0,7526. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
46 Apesar de r ser um valor admensonal, ele não é uma taxa. Assm o resultado não deve ser expresso em percentagem. Prof. Lorí Val, Dr. UFRGS Insttuto de Matemátca - Departamento de Estatístca
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Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ 1 É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Numa relação expermental os valores de uma das
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Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Prof. Lorí Val, Dr. UFRG Insttuto de Matemátca
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