(B) Considere X = antes e Y = depois e realize um teste t para dados pareados e um teste da ANOVA de um DBC com 5 blocos. Compare os resultados.

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1 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell (B) Consdere X antes e Y depos e realze um teste t para dados pareados e um teste da ANOVA de um DBC com 5 blocos. Compare os resultados. OBS : No caso do fator possur ou mas níves e quando o F da ANOVA for sgnfcatvo, as médas podem ser comparadas usando-se alguns dos procedmentos para comparações múltplas. Falaremos sobre o teste de Tuke e o teste de Duncan Teste de Tuke É usado para testar qualquer contrastes entre médas. Este teste é exato quando o número de repetções for o mesmo para cada tratamento. Tem por base a dferença mínma sgnfcatva (dms) representada por e dada por: em que: Cˆ q f ( α, I, n) q Vˆ( Cˆ) (é a ampltude total estudentzada) Nº de tratamentos g.l. do resíduo QMres De modo geral, q + r r tratamentos e, respectvamente. onde r e r são as repetções dos Se r r J lvros de estatístca. q QMres J, que é a fórmula usual encontrada em város OBS : J r + r corresponde à méda harmônca das repetções de tratamentos. OBS : No SAS Se temos I tratamentos, cada qual com dferentes números de repetções, o SAS obtêm um únco fazendo J méda harmônca do número de repetções. 6

2 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell Procedmento Testamos: H o : m m j H a : m m j para j Obtemos, a dferença mínma sgnfcatva: Calculamos todas as estmatvas dos contrastes ( ĉ ) entre médas; Comparamos c ˆ com ; - Se c ˆ o contraste é sgnfcatvo ao nível α de probabldade. Então há dferença entre médas de tratamentos a esse nível de sgnfcânca; - Se c ˆ < o contraste não é sgnfcatvo. OBS: Pode acontecer de o teste F da ANOVA ser sgnfcatvo, mas não ser encontrado nenhum teste sgnfcatvo pelo teste de Tuke. Ver Pmentel Gomes. Exemplo 8.9..: Consdere o exercíco 8.8., onde m, 7, 6,, QMres ˆ 8,5, J 5. Use α 5% para comparar as médas pelo teste de Tuke. Solução: q.8,5. +, ,5 5 5 %(;6) 5, Ordenar as médas. Indcar com letras guas médas guas 7 6 a a b a b b 7 < não rej. H 6 < não rej. H 7 > rej. H 7 > não rej. H o o o o 7

3 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell Conclusão: As médas segudas de pelo menos uma mesma letra não dferem entre s ao nível de 5% de probabldade pelo teste de Tuke. Exercíco 8.9..: Supor um expermento com 5 tratamentos e 6 repetções, cuja análse está apresentada a segur: FV G.l. SQ QM F p-value trat 8,8 8,,5,8-6 Res 5 6,5 5,85 Total 9 75,5 obs.: F-tab F(5%; ; 5),76 ˆm 5; ˆm ; ˆm ; ˆm ; ˆm 5 9. Comparar as medas de tratamentos usando o teste de Tuke (se necessáro use α 5%) Resposta: Tratamentos a 5 a b b c c c 8.. Teste de Duncan Médas segudas de uma mesma letra não dferem entre s, pelo teste de Tuke, ao nível de 5% de sgnfcânca. Também é usado para testar contrastes entre médas. É um concorrente ao teste de Tuke. Para ser exato exge que todos os tratamentos tenham o mesmo número de repetções. Comparado ao teste de Tuke, o teste de Duncan dscrmna mas os tratamentos, sto é, o teste de Ducan pode ndcar resultados sgnfcatvos em casos em que o teste de Tuke não ndcara. Duncan. Nesse sentdo dzemos que o teste de Tuke é mas rgoroso que o teste de Fórmula Geral: onde: D Z Vˆ( Cˆ) Z Z f QMres r ( α, n, n' ) + r Nº de médas ordenadas abrangdas pelo contraste g.l do resíduo 8

4 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell OBS: Vˆ (Ĉ) QMres r + r se r r r 8...Procedmento Vamos explcar o procedmento desse teste usando um exemplo. Exemplo 8... Consdere o exercíco 8.8., onde m, 7, 6,, QMres ˆ 8,5, J 5. Use α 5% para comparar as médas pelo teste de Duncan. H o : m m j H a : m m j para j; Ordenar as médas de modo crescente; Encontrar o valor de D para a maor abrangênca de médas (no caso D D ). Comparar com as estmatvas do contraste e, se for sgnfcatvo, encontrar um novo D (no caso D D ) para uma menor abrangênca, e assm sucessvamente. 7 6 ou com letras 7 6 a a b a b b OBS: No caso, o resultado fo gual ao do teste de Tuke, mas nem sempre é assm D Z (5%;;6) 8,5 5, 7 > D 8,5 5,9 rej. H o D Z (5%;;6) 8,5 5,5 6 < D 7 < D 8,5 5, não rej. H não rej. H o o unr ˆm e ˆm com uma barra; dem. 9

5 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell Conclusão: as médas undas por uma mesma barra não dferem entre s, ao nível de 5% de sgnfcânca, pelo teste de Duncan. OBS : Nem sempre as comparações realzadas pelo teste de Duncan e pelo teste de Tuke são concdentes. - Alterar os valores dos dados no computador e proceder à análse novamente, para observar esse resultado. OBS : No teste de Duncan, quando, numa determnada abrangênca, a maor méda não dferr sgnfcatvamente da menor, não se admtrá dferença sgnfcatva, pelo mesmo teste, entre médas ntermedáras. Exemplo 8... Realze o teste de Duncan para o problema Use α 5%.,5,75,,75 QMres,89 D D.... Z Z.. QMres J. QMres J. Z 5%;;9,89,.,7,67,75 (,5),5 >,67 D Z 5%;;9,89,.,7,57,75,75, >,57 D rej. rej. H o H o : µ : µ µ µ.., (,5),5 <,57 D não rej. H o : µ µ D Z Então:. QMres J. Z 5%;;9,89,.,7,5,75,,75 >,5 D Comparações.. + 9,5 9,875 a 9,6 b.. 9,575 b. 9,5 b rej. H o : µ µ

6 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell Exercíco 8... Realze o teste de Duncan para os dados do exercíco Resposta: Tratamentos a 5 a b b b Exercíco 8... Compare os resultados dos exercícos e 8... O que podera ser concluído a respeto do rgor de cada teste? Qual sera o teste menos rgoroso, no sentdo de apresentar resultados sgnfcatvos com maor facldade? 8.. Análse de Resíduos Essa análse pode ser útl para verfcar a adequação do modelo utlzado na análse de varânca. Nos tópcos anterores fo comentado que as pressuposções para valdade do teste realzado numa análse de varânca eram que os erros deveram ser ndependentes, não correlaconados, e normalmente dstrbuídos com méda zero e com varânca comum σ. Assm, após usarmos um determnado modelo estatístco, podemos estmar os erros pelos seus resíduos ( e ˆ ) e avalarmos esses resíduos como forma de nferrmos a respeto dos erros aleatóros. Ou seja, obtemos eˆ j j ˆ j onde ŷ j corresponde ao valor estmado a partr do modelo. Por exemplo, consderemos o caso em que podemos usar o delneamento nteramente casualzado (DIC) ou o delneamento em blocos casualzados (DBC). Se for o DIC: j µ + t então + e eˆ j j j com ˆ ˆ j µ ˆ + tˆ j. + ( ) Se for o DBC:

7 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell j µ + t ˆ j então + b eˆ j j + ( + e j j ˆ com j ) + ( j ˆ µ ˆ + tˆ j j j + + bˆ ) + j j Obtdos os resíduos, estes poderam ser plotados de dversas formas, dependendo do nteresse de análse. Para cada modelo exstem gráfcos comuns ou mas aproprados Gráfcos Usuas DIC Resíduos contra o tempo para avalar pressuposção de ndependênca; Resíduos contra médas. para avalar pressuposção de homogenedade de varânca; Probabldade normal para os resíduos para avalar pressuposção de normaldade; OBS: Exstem também, alguns testes estatístcos para checar cada uma dessas pressuposções. No entanto tas testes não serão dscutdos nesse curso. DBC Resíduo contra valores ajustados não deve representar nenhum relaconamento da magntude dos resíduos e os valores ajustados. Se ocorrer, no gráfco, uma forma curvlínea, podera mplcar a presença de nteração entre tratamentos e blocos. Podera exstr outro tpo de dsposção dos pontos no gráfco ndcando a presença dessa nteração. Uma stuação de forma curvlínea no gráfco podera acarretar, por exemplo, resíduo negatvo para baxos e altos valores ajustados, e resíduo postvos para valores ajustados ntermedáros. Resíduos contra tratamentos e contra blocos para verfcar a pressuposção de homogenedade de varânca nos tratamentos e nos blocos; Gráfcos de probabldade normal dos resíduos para avalar a normaldade dos resíduos. Proxmdade de uma certa lnha reta ndca normaldade; OBS: Tpos comuns de gráfcos serão apresentados em aula. ˆ.

8 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell 8... Exemplos Para cada exercíco apresentado nessa apostla realze a análse de resíduos segundo o rotero tutoral para análse de resíduos. Exemplos também serão apresentados em sala de aula. Observe o arquvo exstente nos tutoras do R para INF 6, dsponblzado no lnk referente aos exercícos e (nome do arquvo: anares.exemplo pdf). Com os comandos apresentados nesse tutoral, após fazer pequenas adaptações, é possível você fazer análse de resíduos para outros exercícos, se desejar. 8.. Escolha do Número de Repetções Esse tópco provavelmente não será apresentado em aula. Porém o assunto estará sendo ncluído nesse materal por se tratar de nformações nteressantes para conhecmento geral do estudante. Aqueles nteressados em mas nformação poderão entrar com contato com o professor da dscplna ou buscar maores detalhes em lvros que abordam o assunto. A não ser que o problema seja novo, na prátca o pesqusador já tem uma déa do número de repetções a ser usado, baseado em resultados de expermentos prévos ou de artgos publcados na mesma lnha de pesqusa. Uma decsão crítca em qualquer planejamento de delneamento expermental é a determnação do número de repetções dos tratamentos a ser usado. De modo geral: Se o nteresse resde em detectar pequenos efetos, então se deve utlzar um maor número de repetções; Se o nteresse resde em detectar grandes efetos, então pode ser utlzado um menor número de repetções. Montgomer (997) dscute métodos (pág. 6 ): Baseado nas curvas característcas de operação; Baseado na especfcação do aumento do desvo-padrão; Baseado na estmação do Intervalo de Confança. Exemplfcaremos apenas o prmero. Para o método baseado nas curvas característcas de operação, Montgomer (997, pág. 6) apresenta um nteressante embasamento teórco e motvaconal.

9 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell 8... Curva Característca de Operação É um gráfco onde no exo das ordenadas () temos a probabldade do erro tpo II de um teste estatístco para um determnado tamanho amostral, e no exo das abscssas (x) temos valores de um parâmetro que reflete o quanto a hpótese nula é falsa. Com o uso dessas curvas (C.C.O.) pode-se seleconar o número de repetções necessáras de modo que o delneamento possa ser útl em detectar dferenças potencalmente mportantes entre os tratamentos. como: Seja a realzação de uma ANOVA. A probabldade do erro tpo II é defnda onde F crt F (α; g.l. numerador; g.l. denomnador) β P (rejetar H o / H o é falsa) - P [(F calc > F crt ) / H o é falsa)] I - I(I ) para o DIC, por exemplo Para calcular a probabldade ndcada acma é necessáro conhecer a dstrbução da estatístca do teste (F calc ) quando H o é falsa. É possível demonstrar que quando H o é falsa, F calc tem dstrbução F não central com (I ) e I(J ) graus de lberdade e parâmetro de não-centraldade λ. Quando λ então a dstrbução F não-central passa a ser a dstrbução F central usual. As C.C.O. são usadas para avalar a expressão probablístca dscutda acma. Nessas curvas, no exo das abscssas tem-se um parâmetro φ,onde φ é relaconado ao parâmetro de não-centraldade λ dscutdo anterormente. Nesse materal estão apresentadas as C.C.O. para α,5 e α,, e para um conjunto de valores do grau de lberdade do numerador e do denomnador. (Extraído de Drumond, Werkema e Aguar 996). A função do φ mas prátca para que seja usado numa C.C.O. é: φ JD Iσ onde: σ varabldade da varável resposta de nteresse; I número de tratamentos; J número de repetções (a ser escolhdo); D dferença mínma que se deseja detectar entre as médas de tratamentos.

10 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell Para prátca, sso sgnfca que só faz sentdo consderar que médas não são equvalentes se a dferença entre elas for gual ou superor a D. OBS: Para fatores de efetos aleatóros veja Montgomer, 997 pág Exemplo do Uso das C.C.O. (pág. 79 Werkema e Aguar 996) Suponha que desejemos obter o número de repetções para um DIC com um únco fator em três níves; Suponha que desejemos rejetar H com pelo menos 95% de probabldade, se a dferença entre as médas de níves quasquer fosse superor a undades de medda em questão; Suponha que, por conhecmento prévo, tenhamos σ. Assm, os seguntes passos poderam ser consderados: (A) Fxar o nível de sgnfcânca α (5 ou %). (B) Determnar a dferença mínma que se deseja detectar entre as médas de tratamentos (ou seja, defnr um valor para D). (C) Fxar a probabldade mínma ( - β) com a qual se deseja detectar a dferença D. (D) Determnar uma estmatva para a varabldade da varável resposta, σ. JD (E) Calcular φ como uma função de n, onde I é o número de níves do fator. Iσ (F) Utlzando o gráfco da C.C.O. aproprado, apresentado em dversos lvros, determnar o valor de n por tentatva. Para o exemplo acma teríamos: (A) α 5%; (B) D ; (C) β,95; (D) σ ; (E) φ JD Iσ J.... J 6,67J 5

11 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell (F) Utlza-se a C.C.O. para V I e V I(J ) (J ) graus de lberdade, com α 5%. Contnuando o exercícos temos, chute ncal: J 5 O resultado obtdo fo: (fgura B, em anexo) Portanto: φ,67.5,5 φ,8 e V.(5 ) Observando na fgura B, o valor de β (exo das ordenadas) sera aproxmadamente,9, de forma que β,9,7(poder do teste). Este valor é nferor ao,95 desejado em (C). Isso mplca que J 5 repetções não é sufcente. Agora, deveríamos escolher outro valor de J, sendo J > 5, e contnuar o procedmento até que β seja maor que,95. A segunte tabela é aproprada: J φ φ I(J ) β β 5,5,8,9,7 8 5,6,,75,95 9 6,,5,5,965 Portanto, pelo menos J 9 undades expermentas deveram ser submetdas a cada nível do fator, para satsfazer à condção estabelecda ncalmente para o poder do teste. OBS: Para expermentos no DBC faríamos de modo smlar nos passos (A), (B), (C) e (D), porém,: bd (E) calcular φ onde b número de repetções (ou blocos) a serem determnados ( J) e a aσ número de níves do fator em estudo ( I ) (F) Obter a C.C.O. para V a e V (a )(b ) g.l. numerador g.l. denomnador b é, então, obtdo por tentatva. 6

12 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell 8.. Análse de Regressão A análse de regressão consste na realzação de uma análse estatístca com o objetvo de verfcar a exstênca de uma relação funconal entre uma varável dependente com uma ou mas varáves ndependentes. Em outras palavras consste na obtenção de uma equação que tenta explcar a varação da varável dependente pela varação do(s) nível(s) da(s) varável(s) ndependente(s). Para tentar estabelecer uma equação que representa o fenômeno em estudo podese fazer um gráfco, chamado de dagrama de dspersão, para verfcar como se comportam os valores da varável dependente (Y) em função da varação da varável ndependente (X). O comportamento de Y em relação a X pode se apresentar de dversas maneras: lnear, quadrátco, cúbco, exponencal, logarítmco etc. Para se estabelecer o modelo para explcar o fenômeno, deve-se verfcar qual tpo de curva e equação de um modelo matemátco que mas se aproxme dos pontos representados no dagrama de dspersão. Contudo, pode-se verfcar que os pontos do dagrama de dspersão, não vão se ajustar perfetamente à curva do modelo matemátco proposto. Haverá na maor parte dos pontos, uma dstânca entre os pontos do dagrama e a curva do modelo matemátco. Isto acontece, devdo ao fato do fenômeno que está em estudo, não ser um fenômeno matemátco e sm um fenômeno que está sujeto a nfluêncas que acontecem ao acaso. Assm, o objetvo da regressão é obter um modelo matemátco que melhor se ajuste aos valores observados de Y em função da varação dos níves da varável X. No entanto o modelo escolhdo deve ser coerente com o que acontece na prátca. Para sto, deve-se levar em conta as seguntes consderações no momento de se escolher o modelo: O modelo seleconado deve ser condzente tanto no grau como no aspecto da curva, para representar em termos prátcos, o fenômeno em estudo; O modelo deve conter apenas as varáves que são relevantes para explcar o fenômeno; Como fo dto anterormente, os pontos do dagrama de dspersão fcam um pouco dstantes da curva do modelo matemátco escolhdo. Um dos métodos que se pode utlzar para obter a relação funconal, se basea na obtenção de uma equação estmada de tal forma que as dstâncas entre os pontos do dagrama e os pontos da curva do modelo matemátco, no todo, sejam as menores possíves. Este método é 7

13 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell denomnado de Método dos Mínmos Quadrados (MMQ). Em resumo por este método a soma de quadrados das dstâncas entre os pontos do dagrama e os respectvos pontos na curva da equação estmada é mnmzada, obtendo-se, desta forma, uma relação funconal entre X e Y, para o modelo escolhdo, com um mínmo de erro possível. Veremos, em apenas uma aula, como realzar uma ANOVA para regressão, e como nterpretar seus resultados. Serão apresentadas apenas suas fórmulas usuas e sua nterpretação, fnalzando com um exemplo, executado no computador, para regressão lnear smples e um para regressão lnear múltpla. O problema básco da Análse de Regressão consste em: (A) Estmar os parâmetros do modelo estatístco admtdo; (B) Realzar testes de sgnfcânca para estes parâmetros; (C) Obter ntervalos de confança para estes parâmetros; (D) Checar a adequabldade do modelo utlzado, usando análse de resíduos por exemplo, e sua adequação ao problema real em questão; (E) Dependendo dos resultados anterores defnr um novo modelo e refazer os passos acma Veremos, prmeramente, e usando um exemplo com poucos dados hpotétcos, a análse da regressão lnear smples. Posterormente, usando também um exemplo com poucos dados hpotétcos será dada uma noção da análse da regressão lnear múltpla Modelo lnear de º grau (Regressão Lnear Smples) O modelo estatístco para esta stuação sera: β + β Y X + e em que: Y valor observado para a varável dependente Y no -ésmo nível da varável ndependente X. β constante de regressão. Representa o ntercepto da reta com o exo dos Y. β coefcente de regressão. Representa a varação de Y em função da varação de uma undade da varável X. X -ésmo nível da varável ndependente X (,, K,n ) e é o erro aleatóro; está assocado à dstânca entre o valor observado Y e o correspondente ponto na curva, do modelo proposto, para o mesmo nível de X. 8

14 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell Para se obter a equação estmada, vamos utlzar o MMQ, vsando a mnmzação dos erros. Assm, tem-se que: e β βx Y. Elevando ambos os membros da equação ao quadrado, Aplcando o somatóro, e [ β β ] Y. X n n [ β β ] e Y X () Por meo da obtenção de estmadores de e β, que mnmzem o valor obtdo β na expressão anteror (), é possível alcançar a mnmzação da soma de quadrados dos erros. Para se encontrar o mínmo para uma equação, deve-se dervá-la em relação ao parâmetro de nteresse e gualá-la a zero. A sua dervada segunda deverá, obvamente, ser postva, o que no caso sempre ocorrerá, por se tratar de uma soma de quadrados. Dervando então a expressão () em relação a e β, e gualando-as a zero, poderemos obter duas equações que, juntas, vão compor o chamado sstemas de equações normas. A solução desse sstema fornecerá: x x n SPD ˆβ ( x ) SQD x n β x x e βˆ βˆ Y Uma vez obtdas estas estmatvas, podemos escrever a equação estmada: ˆ β ˆ + βˆ Y X X 8... Teste de hpótese na regressão lnear smples Após ajustar uma equação de regressão devemos verfcar sua adequabldade, por meo de testes de hpóteses para os parâmetros do modelo e/ou a construção de ntervalos de confança. Para tal ntento precsamos da pressuposção adconal de que os erros tenham dstrbução normal. Em outras palavras, a equação estmada obtda, apenas estabelece uma relação funconal, entre a varável dependente e a varável ndependente, para representar o fenômeno em estudo. Portanto a smples obtenção da equação estmada não responde ao 9

15 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell pesqusador se a varação da varável ndependente nfluenca sgnfcatvamente na varação da varável dependente. Para se responder a esta pergunta, é necessáro realzar um teste estatístco para as estmatvas dos coefcentes da equação de regressão estmada. Um teste que pode ser realzado para verfcar tal fato é o teste F da análse de varânca e/ou o teste t. Portanto, é necessáro realzar uma análse de varânca dos dados observados, em função do modelo proposto. Como temos dos parâmetros no modelo Y os seguntes testes: β + β X + e, poderíamos realzar H : β β * versus H a : β β * H : β β * versus H a : β β * Em cada caso a estatístca do teste e as conclusões seram: t calc ˆ * β β, onde ˆ ˆ σˆ V ( β ) Vˆ( βˆ ) SQD x regra de decsão: Se t calc t (α/, n-) rejeta H t calc ˆ * β β, onde V ˆ( βˆ Vˆ( βˆ ) ) σˆ regra de decsão: Se t calc t (α/, n-) rejeta H OBS.: σ ˆ estmatva da varânca dos erros SQ Re s n X + n SQD x SQD β SPD ˆ n Um caso especal muto mportante sera: H : β versus H a : β. Essas hpóteses estão relaconadas com a sgnfcânca da regressão. Não rejetar H é equvalente a conclur que não há relação lnear entre X e Y. Por outro lado, se H : β for rejetado ndcara que X é mportante para explcar a varabldade em Y. Veja lustrações apresentadas em aula, para alguns casos especas. De manera alternatva poderíamos testar a sgnfcânca da regressão pelo método da Análse de Varânca (ANOVA). O método da ANOVA consste em fazer uma partção da varabldade total da varável resposta Y em outros componentes de acordo com o modelo e o teste a ser feto. Assm a segunte dentdade pode ser verfcada: ou, em outra palavras, ( Y ˆ Y ) ( Y Y ) + ( Y Y, ˆ) x

16 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell onde SQTotal SQRegressão + SQResíduo, SQTotal varação total em Y SQD Y SQRegressão varação em Y explcada pela regressão ajustada que SQResíduo SQRes varação não explcada pela regressão SQD Y - Baseado nessa dentdade o segunte quadro pode ser montado: ˆβ SPDXY, de modo ˆβ SPD FV GL SQ QM F Regressão SQReg QMReg SQReg QM Re g QM Re s Resíduo, ou n SQRes SQ Re s - Independente da QMRes n Regressão Total n SQTotal XY. A estatístca F obtda no quadro acma também serve para testar a sgnfcânca da regressão, ou seja, testar H : β versus H a : β. regra de decsão: Se F calc F (α,, n-) rejeta H, ou conclu-se de acordo com o p-value. OBS.: Se regressão lnear smples, e para H : β temos que (t calc ) F calc Exercíco Exemplos: Para verfcar se exste relação lnear de prmero grau entre umdade relatva (UR) do ar de secagem de sementes e a germnação das mesmas, um pesqusador realzou um expermento com valores dferentes para a %UR do ar, obtendo-se os seguntes dados (dados hpotétcos) % UR 5 % germnação a) Obter as estmatvas do β e do β consderando o modelo proposto; b) Obter o quadro da ANOVA para checar a sgnfcânca da regressão, ou seja, se exste efeto da UR do ar de secagem na % de germnação. Se necessáro use α 5%; c) Realze o teste t para o coefcente de regressão. Se necessáro use α 5%;

17 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell d) Compare os resultados dos tens b e c; e) Qual sera a % de germnação esperada quando UR 5 %? f) Como devera ser apresentada, num relatóro técnco, a equação de regressão ajustada para esse exemplo? R.: a) ˆβ 9,7; ˆβ,8. Algumas das outras respostas podem ser obtdas no endereço Exercíco 8... Adaptado dos dados exstentes em algumas calculadoras de bolso. Um engenhero está nteressado em avalar o efeto da temperatura sobre o comprmento de certa peça metálca. Para sso obteve cnco corpos de prova de mesmo comprmento ncal (certa undade de medda) e os submeteu a 5 temperaturas ( o C) dferentes. Os dados estão apresentados abaxo. Temperatura 5 5 Comprmento 5 Pede-se: (use α 5% se necessáro) a) Obter o dagrama de dspersão dos dados; b) Ajustar a equação de regressão baseado no modelo de uma regressão lnear smples e traçar a reta no dagrama obtdo em a; c) Interpretar as estmatvas dos parâmetros obtdas; d) Checar a sgnfcânca da regressão por meo da ANOVA; e) Checar a sgnfcânca da regressão por meo do teste t; f) Qual sera o comprmento esperado da peça quando a temperatura for gual a 7 o C? g) Qual sera o comprmento esperado da peça quando a temperatura for gual a o C? h) (Calbração) Qual deve ser a temperatura a ser usada para que o comprmento da barra atnja 9 undades de medda? Respostas: Realze os cálculos à mão. Depos as compare com os resultados obtdos no R, e parcalmente apresentados no endereço:

18 INF 6 Notas de aula sujeto a correções Prof. Luz Alexandre Peternell 8... Intervalo de Confança em Regressão Lnear Smples Complementam, ou substtuem, as nformações das estmatvas pontuas, e seus testes de hpóteses, já que fornecem faxas dos possíves valores que os parâmetros do modelo podem assumr, com um nível de confança ( α)% conhecdo. I.C. ( α)% para β é: β ˆ t ± α, n QM SQD resduo x I.C. ( α)% para β o é: β ˆ ± t α, n QM resíduo n + x SQD x 8... Exemplos Exercíco 8... Consderando os dados do exercíco 8... calcule o ntervalo de 95% de confança para o coefcente de regressão. Dscuta como podemos usar esse ntervalo de confança para conclur a respeto da sgnfcânca da regressão. Exercíco 8... Consderando os dados do exercíco 8... calcule o ntervalo de 95% de confança para o coefcente de regressão. Dscuta como podemos usar esse ntervalo de confança para conclur a respeto da sgnfcânca da regressão.