É o grau de associação entre duas ou mais variáveis. Pode ser: correlacional ou experimental.

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1 Prof. Lorí Val, Dr. É o grau de assocação etre duas ou mas varáves. Pode ser: correlacoal ou expermetal. Numa relação expermetal os valores de uma das varáves são cotrolados. No relacoameto correlacoal, por outro lado, ão se tem ehum cotrole sobre as varáves sedo estudadas. O Estoque de Moeda (M está relacoado com a varação dos preços. Verfque se exste correlação etre o IPC amercao com a oferta moetára, cosderado dados do período de 960 a 003. Ao M 40,7 45, 47,8 53,3 60,3 67,8... 7,9 0,4 87, IPC 9,6 9,9 30, 30,6 3,5 3, , 79,9 84,0

2 O prmero passo para determar se exste relacoameto etre as duas varáves é obter o dagrama de dspersão (scatter dagram. IPC M O dagrama de dspersão forece uma déa do tpo de relacoameto etre as duas varáves. Neste caso, percebe-se que exste um relacoameto lear. Quado o relacoameto etre duas varáves quattatvas for do tpo lear, ele pode ser meddo através do: Observado um relacoameto lear etre as duas varáves é possível determar a tesdade deste relacoameto. O coefcete que mede este relacoameto é deomado de Coefcete de Correlação (lear.

3 Quado se está trabalhado com amostras o coefcete de correlação é dcado pela letra r e é uma estmatva do coefcete de correlação populacoal que é represetado por ρ (rho. Para determar o coefcete de correlação (grau de relacoameto lear etre duas varáves vamos determar calmete a varação cojuta etre elas, sto é, a covarâca. A covarâca etre duas varáves e, é represetada por Cov Cov(; e calculada por: ( Cov(, ( ( Mas [ ( + ] Etão: ( Cov(, ( 3

4 A covarâca podera ser utlzada para medr o grau e o sal do relacoameto etre as duas varáves, mas ela é dfícl de terpretar por varar de - a +. Assm é mas coveete utlzar o coefcete de correlação lear de Pearso (mometo produto. O coefcete de correlação lear (de Pearso é defdo por: r Cov (, Ode: Cov(, Esta expressão ão é muto prátca para calcular o coefcete de correlação. Pode-se obter uma expressão mas coveete para o cálculo maual e o cálculo de outras meddas ecessáras mas tarde. r Tem-se: Cov (, ( ( Tem F a z Fazedo: e d o se : r. 4

5 A vatagem do coefcete de correlação (de Pearso é ser admesoal e varar de a +, que o tora de fácl terpretação. Assm se r -, temos uma relacoameto lear egatvo perfeto, sto é, os potos estão todos alhados e quado aumeta decresce e vce-versa r e r +, temos uma relacoameto lear postvo perfeto, sto é, os potos estão todos alhados e quado aumeta também aumeta r + Assm se r 0, temos uma ausêca de relacoameto lear, sto é, os potos ão mostram alhameto

6 50 r Assm se < r < 0, temos uma relacoameto lear egatvo, sto é, os potos estão mas ou meos alhados e quado aumeta decresce e vce-versa. 50 < r < Assm se 0 < r <, temos uma relacoameto lear postvo, sto é, os potos estão mas ou meos alhados e quado aumeta também aumeta < r < Uma correlação amostral ão sgfca ecessaramete uma correlação populacoal e vce-versa. É ecessáro testar o coefcete de correlação para verfcar se a correlação amostral é também populacoal. 6

7 Observada uma amostra de ses pares, pode-se perceber que a correlação é quase um, sto é, r. No etato, observe o que ocorre quado mas potos são acrescetados, sto é, quado se observa a população! r ρ Determar o grau de relacoameto lear etre as varáves Ídce de Preços ao Cosumdor versus Estoque de Moeda, para os valores da Ecooma Amercaa de 960 a 003. Ao Total 40,7 45, 47,8 53,3 60,3 67,8... 7,9 0,4 87, 5894,5 9,6 9,9 30, 30,6 3,5 3, , 79,9 84,0 40, , , 50387,97 Vamos calcular r utlzado a expressão em destaque vsta aterormete, sto é, através das quatdades, x, e. 7

8 Tem-se: ,50 588,54 93, , Etão: 40, , , , , ,8698 r. 8857, , ,8698 0,9863 Apesar de r ser um valor admesoal, ele ão é uma taxa. Assm o resultado ão deve ser expresso em percetagem. O valor de r é obtdo com base em uma amostra. Ele é portato, uma estmatva do verdadero valor da correlação populacoal (ρ. 8

9 A teora dos testes de hpóteses pode ser utlzada para verfcar se com base a estmatva r é possível coclur se exste ou ão correlação populacoal, sto é, desejamos testar : H 0 : ρ 0 H : ρ > 0 (teste ulateral/ucaudal à dreta ρ < 0 (teste ulateral/ucaudal à esquerda ρ 0 (teste blateral/bcaudal. O teste para a exstêca de correlação lear etre duas varáves é realzado por: r µ r r 0 t ˆσ r r r r t - > t c (teste ulateral/ucaudal à dreta t - < t c (teste ulateral/ucaudal à esquerda t - > t c (teste blateral/bcaudal. Ode t c é tal que: P(t t < t c α (teste ulateral/ucaudal à dreta P(t t < t c α (teste ulateral/ucaudal à esquerda P(t t < t c α/ ou P(t t > t c α/ (teste blateral/bcaudal. 9

10 upoha que uma amostra de, aluos foreceu um coefcete de correlação amostral de r 0,66, etre ota em cálculo e ota em Ecoometra. Verfque se é possível afrmar que uma ota boa em Cálculo está relacoada com uma ota boa em Ecoometra a % de sgfcâca. Hpóteses: H 0 : ρ 0 H : ρ > 0 Dados: r 0,66 α % Trata-se de um teste ulateral à dreta para o coefcete de correlação. Etão: A varável vel teste é: t r r,778 t r r 0, ,778 Regão o de Não N o Rejeçã ção α % RC [, 764; + A sgfcâca do resultado obtdo (,778, sto é, o valor-p é dada por P(T 0 >,778. Utlzado o Excel, tem-se: Como a sgfcâca ca do resultado (0,98% 0,98% é meor que a sgfcâca ca do teste (% % é possível rejetar a hpótese ula. 0

11 O procedmeto realzado para testar o coefcete de correlação só é váldo para testar a hpótese ula de que ão exste correlação, sto é, ρ 0. Outros tpos de testes só podem ser realzados através da trasformada zeta de Fsher. A trasformada ζ é dada por: + r ζ l r O que equvale a cosderar r como a tagete hperbólca de ζ A vatagem desta trasformação é que os valores de ζ estão dstrbuídos aproxmadamete de acordo com uma ormal de méda: + ρ µ ζ l ρ E desvo: σ ζ 3 Esta trasformação permte, realzar, testes de hpóteses e costrur tervalos de cofaça para o coefcete de correlação, através de ζ e da dstrbução ormal. H 0 : ρ ρ 0 H : ρ > ρ 0 (teste ulateral/ucaudal à dreta ρ < ρ 0 (teste ulateral/ucaudal à esquerda ρ ρ 0 (teste blateral/bcaudal.

12 O teste para a exstêca de correlação lear populacoal etre duas varáves e é realzado por: z ζ µ σ ζ ζ + ρ ζ l ρ 3 z> z c (teste ulateral/ucaudal à dreta z< z c (teste ulateral/ucaudal à esquerda z >z c (teste blateral/bcaudal. Ode z c étal que: Φ(z c α (teste ulateral/ucaudal à dreta Φ(z c α (teste ulateral/ucaudal à esquerda Φ(z c α/ ou Φ(z c α/ (teste blateral/bcaudal. upoha que uma amostra de 35, aluos foreceu um coefcete de correlação amostral de r 0,75, etre úmero de horas de estudo e ota em Ecoometra. Verfque se é possível afrmar que o o úmero de horas de estudo apreseta uma correlação de pelo meos 0,5 a população com a Ecoometra, a % de sgfcâca. Hpóteses: H 0 : ρ 0,5 H : ρ > 0,5 Dados: 35 r 0,75 α % Trata-se de um teste ulateral à dreta para o coefcete de correlação.

13 A varável vel teste é: ζ µ z σζ Etão: ζ l ζ ζ + 0, 75 0, 75 + ρ l ρ 3 0,9730 µ ζ A méda m vale: + ρ l ρ l E o desvo padrão o vale: σ ζ ,5 0,5 3 0,5493 0,768 Padrozado, tem-se: + ρ ζ l ζ µ ζ z ρ σζ 3 0,9730 0,5493 0,768,40 O valor crítco z c P(Z > z c α %. Ou Φ(z c 99%. Etão z c,33. Assm RC [,33; é tal que: Regão o de Não N o Rejeçã ção,40 α % RC [,33; + A sgfcâca do resultado obtdo (,40, sto é, o valor-p. Para sto, devese calcular P(Z >,40, sto é, Φ(-,40 0,8%. Como p 0,8% < α %. Rejeto H 0. 3

14 Em mutas stuações duas ou mas varáves estão relacoadas e surge etão a ecessdade de determar a atureza deste relacoameto. A aálse de regressão é uma técca estatístca para modelar e vestgar o relacoameto etre duas ou mas varáves. De fato a regressão pode ser dvdda em dos problemas: ( o da especfcação e ( o da determação. O problema da especfcação é descobrr detre os possíves modelos (lear, quadrátco, expoecal, etc. qual o mas adequado. O problema da determação é uma vez defdo o modelo (lear, quadrátco, expoecal, etc. estmar os parâmetros da equação. 4

15 Normalmete é suposto que exsta uma varável (depedete ou resposta, que está relacoada a k varáves (depedetes ou regressoras (,,..., k. A varável resposta é aleatóra, equato que as varáves regressoras são ormalmete cotroladas. O relacoameto etre elas é caracterzado por uma equação deomada de equação de regressão Quado exstr apeas uma varável regressora ( tem-se a regressão smples, se depeder de duas ou mas varáves regressoras, etão tem-se a regressão múltpla. Vamos supor que a regressão é do tpo smples e que o o modelo seja lear, sto é, vamos supor que a equação de regressão seja do tpo: α + β + U y α + β + U; x x x x O termo U é o termo erro, sto é, U represeta outras fluêcas sobre a varável, além da exercda pela varável. A varação resdual (termo U é suposto de méda zero e desvo costate e gual a σ. 5

16 Ou ada pode-se admtr que o modelo forece o valor médo de, para um dado x, sto é, E(/x α + β α + β + U; E(/x α + β, sto é, E(U 0 V(/x σ ; Cov(U, Uj 0, para j; A varável permaece fxa em observações sucessvas e os erros U são ormalmete dstrbuídos. O modelo suposto E(/x α + β é populacoal. Vamos supor que se teha pares de observações, dgamos: (x, y, (x, y,..., (x, y e que através deles queremos estmar o modelo acma. A reta estmada será represetada por: Ŷ a + b ou a + b + E Ode a é um estmador de α e b é um estmador de β, sedo Ŷ um estmador de E(/x. Exstem dversos métodos para a determação da reta desejada. Um deles, deomado de MMQ (Métodos dos Mímos Quadrados, cosste em mmzar a soma dos quadrados das dstâcas da reta aos potos. Tem-se: a + bx + E, Etão: E - (a + bx 6

17 7 7 Deve-se mmzar: φ b a ( Ŷ ( E E b a + + E y ŷ x Dervado parcalmete tem-se: b a ( x b b a ( a φ φ Igualado as dervadas parcas a zero vem: 0 b a ( x 0 b a ( Isolado as cógtas, tem-se: + + b b a Resolvedo para a e b, segue: b a y b

18 Lembrado que: Fazedo: Cosderado os valores das varáves Oferta Moetára e Ídce de Preços ao Cosumdor, cosderadas aterormete, determar uma equação de regressão lear para prever o IPC dado um determado ível de Oferta Moetára. Ao IPC 9,6 9,9 30, 30,6 3,5 3, , 79,9 84,0 M 40,7 45, 47,8 53,3 60,3 67,8... 7,9 0,4 87, Da mesma forma que para calcular o coefcete de correlação é ecessáro a costrução de três ovas coluas. Uma para, uma para e outra para. Ao Total 40,7 45, 47,8 53,3 60,3 67,8... 7,9 0,4 87, 5894,5 9,6 9,9 30, 30,6 3,5 3, , 79,9 84,0 40, , , 50387,97 8

19 Tem-se: ,50 588,54 93, , Etão: 40, , , , , ,8698 b a A equação de regressão, será, etão: b 93,477 0,33.588,54 4, , ,7043 4,89 ˆ 4,89 + 0,3 x 0,33 0,3 A perguta que cabe agora é: este modelo represeta bem os potos dados? A resposta é dada através do erro padrão da regressão. O objetvo do MMQ é mmzar a varação resdual em toro da reta de regressão. Uma avalação desta varação é dada por: E ( a b 9

20 O cálculo da varâca resdual, por esta expressão, é muto trabalhoso, pos é ecessáro prmero determar os valores prevstos. Etretato é possível obter uma expressão que ão requera o cálculo dos valores prevstos, sto é, de Ŷ a + b Desevolvedo o umerador da expressão, vem: ( a b [ + b b ] ( b [ ( b b ] + b [ b( ] b ( ( + b ( Uma vez que: ( ( ( ( Mas: Deste modo, tem-se: ( a b b + b Etão: b ( ab b + b b b + b b Assm: E s - erá, falmete: ( -a -b - s -b - -b - 0

21 Cosderado os valores do exemplo ateror, determar o erro padrão da regressão. Tem-se se: b 060, , , ,7043 0,33 Etão: s -b - 060,8698 8,878 8,83-0, ,46 A perguta, agora, é: este erro é razoável?, quer dzer, ele ão é muto grade? A resposta evolve o cálculo do erro relatvo, sto é, devemos comparar este resultado com a varável de teresse. A varável evolvda aqu é a, sto é, a base moetára, etão, o erro relatvo, será: g s s 8,878 93,477 9,47% Os valores de a e b são estmadores de α e β. As propredades estatístcas destes estmadores são útes para testar a adequação do modelo. Eles são varáves aleatóras uma vez que são combações leares dos que são, por sua vez, varáves aleatóras.

22 As prcpas propredades de teresse são a méda (expectâca, a varabldade (erro padrão e a dstrbução de probabldade de cada um dos estmadores. Comportameto de a ( Expectâca ( Varâca V( a V ( b α E( a E... ( b... σ + Portato a dstrbução da estatístca a, será: a ~ N ( α, σ + Como o valor σ ão é cohecdo e precsa ser estmado por s, etão, de fato, utlza-se a dstrbução t -. Comportameto de b ( Expectâca E ( b E... β ( Varâca σ V ( b V... Portato a dstrbução da estatístca b, será: b ~ N ( β, σ Como o valor σ ão é cohecdo e precsa ser estmado por s, etão, de fato, utlza-se a dstrbução t -. Covarâca etre a e b Por defção: Cov(a, b E(ab - E(a.E(b E(ab - αβ. Mas E ( ab E [( b.b ] E ( b E ( E ( b E ( b β( β β ( σ b αβ σ β b σ b b

23 Etão: Assm: Cov( a,b E( ab αβ αβ Cov( a,b σ σ b αβ V ( b σ b V Da mesma forma que foram obtdos IC para a méda, a proporção e a varâca de uma população, pode-se determar tervalos para os parâmetros α e β da regressão. " α" O IC de α de cofaça para o coefcete lear α é dado por: P( a t α + α a + t + " β" O IC de α de cofaça para o coefcete da regressão β é dado por: P( b t β b + t α 3

24 Determar tervalos de cofaça de 95% para os parâmetros da equação de regressão, utlzado os dados do exercíco ateror. Ŷ 4,89 + 0,3x 060, , , ,54 93,477 a 4,8857 b 0,33 s 8, α 95% O IC de - α para o Coef. Lear α é dado por: a ± t + Etão: 4,8857 ± 4,8857 ± 4,96 [9,97; 9,80],08.8, , , O IC de - α para o Coef. Agular β é dado por: Etão: 0,33 ±,08. 0,33 ± 0,0069 [0,6; 0,40] [0,3; 0,4] b ± t 8, , 7043 Da mesma forma que foram obtdos IC para os parâmetros da regressão, pode-se obter IC para os valores estmados de para um dado x. Vamos cosderar dos casos: (a Cosderado somete a certeza da lha de regressão; (b Cosderado a certeza da lha mas a varação da varável. 4

25 Para costrur o IC de α para o valor médo de, dado x, é ecessáro Etão IC de α de cofaça para o um valor médo de, dado x, é: cohecer sua dstrbução. Tem-se: Ŷ ~ N( α+βx ; σ ( + Ŷ ± t ( + Uma estmatva do valor dvdual de é dado por a + bx e a dstrbução Etão IC de α de cofaça para o um valor dvdual de, dado x, será: desta estmatva será dada por: Ŷ ~ N( 0; ( σ + + Ŷ ± t ( + + Determar tervalos de cofaça de 95% para os valores médo e dvdual de, a hpótese de x 00. 5

26 93, ,30 x 00 a,7394 b 0,4830 s 0, α 95% O IC de - α para o valor médo de, dado x é: ( Ŷ ± t + Etão: ŷ, , , , ,8606 ± ± [9,36; 95,36],306.0,9503, ( O IC de - α para o valor dvdual de, dado x é: Etão: Ŷ ± t ( ,8606 ±,306.0, ,8606 ±,6539 [9,; 96,5] + 0 ( Da mesma forma que foram testados todos os parâmetros até etão pode-se testar os parâmetros α e β da regressão. A varável teste para testar o coefcete lear é dado por: t a α + " α" 6

27 " β" A varável teste para testar o coefcete da regressão β é dada por: t b β (a Testar, a % de sgfcâca, se é possível afrmar que a lha de regressão, do exemplo dado, ão passa pela orgem. (b Testar se é possível, a % de sgfcâca, afrmar que exste regressão postva etre as duas varáves. a, 7394 b 0,4830 s 0, α % 93, Hpóteses: H 0 : α 0 H : α 0 Dados: 0 a -,739 α % Trata-se de um teste blateral para o coefcete lear da regressão. Etão: t A varável vel teste é: t, , a α,77 7

28 O valor crítco t c é tal que: P( T > t c α Etão t c -3,355. Assm RC [-3,355; DECIÃO O e CONCLUÃO: O: Como t 8 -,77 RC ou -,77 > -3,355. Aceto H 0, sto é,, a % de sgfcâca, ca, ão se pode afrmar que a lha de regressão o ão o passe pela orgem. Hpóteses: H 0 : β 0 H : β > 0 Dados: 0 b 0,4830 α % Trata-se de um teste ulateral para o coefcete agular da regressão. Etão: A varável vel teste é: t b β 0, t 8 46,65 0,9503 / 850 O valor crítco t c é tal que: P(T > t c α Etão t c,896. Assm RC [,896; DECIÃO O e CONCLUÃO: O: Como t 8 46,65 RC ou 46,65 >,896. Rejeto H 0, sto é,, a % de sgfcâca, ca, pode-se afrmar que exste regressão o etre as duas varáves. ves. Ŷ Ŷ Ŷ Ŷ + Ŷ ( ( Ŷ + ( Ŷ VT VR + VE x 8

29 VR (a Varação Total: VT VT ( (b Varação Resdual: VR ( Ŷ b VT VE (c Varação Explcada: VE VE ( ˆ b Uma maera de medr o grau de aderêca (adequação de um modelo é verfcar o quato da varação total de é explcada pela reta de regressão. Para sto, toma-se o quocete etre a varação explcada, VE, pela varação total,vt: R VE / VT Este resultado é deomado de Coefcete de Determação. R VE b b VT Este resultado mede o quato as varações de uma das varáves são explcadas pelas varações da outra varável. Ou ada, ele mede a parcela da varação total que é explcada pela reta de regressão, sto é: VE b R A varação resdual correspode a: VR ( R Assm R é o Coefcete de Idetermação. 9

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