Cálculo Numérico. Ajuste de Curvas Método dos Mínimos Quadrados. Profa. Vanessa Rolnik 1º semestre 2015

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Benedito de Figueiredo Assunção
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1 Cálculo Numérco Ajuste de Curvas Método dos Mímos Quadrados Profa. Vaessa Rolk º semestre 05

2 Ajuste de curvas Para apromar uma fução f por um outra fução de uma famíla prevamete escolhda (caso cotíuo) Para ajustar uma curva a uma tabela (caso dscreto) Ajustar uma curva cosste em selecoar uma famíla prevamete defda e ecotrar os parâmetros dessa curva que melhor represete os dados tabelados O ajuste de curvas forece uma boa apromação para os valores tabelados Permte etrapolar com uma certa marem de seuraça

3 Eemplo Eperêca: foram meddos város valores de correte elétrca que passa por uma resstêca submetda a váras tesões V Fudametação teórca: V = R 0 q Fução apromadora: () = a + b,

4 Escolha da famíla apromadora G Característcas que facltem os cálculos E: polômos são faclmete teráves e dferecáves e operações artmétcas com polômos resultam em polômos O comportameto deve se apromar do comportameto da fução f, o mámo possível, porém, com forma aalítca coveete E: perodcdade da fução pode ser obtda com fuções troométrcas

5 Método dos Mímos Quadrados A fução f será apromada por uma fução r() = f() () (resíduo) y Ideas: r() r() r () p 3 p p p Método dos Mímos Quadrados: mmzar r ()

6 Reressão Lear Caso dscreto: f tabelada os potos =,,, Apromar f por uma reta () = a + b determar os parâmetros a e b da reta de modo que a soma dos quadrados dos erros em cada poto seja míma Resíduo em cada poto (, y ) r( ) = r = y ( ) = y a - b

7 Reressão Lear Queremos determar a e b que mmzam a soma dos quadrados dos resíduos M(a,b) Dervado e ualado a zero r (y a b) M(a,b) a M(a,b) b (y (y a b a b )( ) 0 )( ) 0

8 Reressão Lear - Sstema ormal y y b a Este sstema sempre tem determate postvo, portato, sempre tem solução Como M(a,b) é uma fução covea, (a*, b*) é poto de mímo. y b a y b a SISTEMA NORMAL

9 Eemplo f() a b 5 0 () a 30 b 0 3 É a reta que melhor se ajusta aos potos da tabela

10 Reressão Lear - Sstema ormal Escrevedo os somatóros como produtos escalares em R : y y a b y y

11 Reressão Lear caso cotíuo Tabelar a fução: perder formações sobre o comportameto do erro Para apromar f, fução dada, pela da forma () m k0 a k k () f Utlza-se o produto escalar: f f()()d

12 Eemplo Ajustar a fução e o tervalo [0,] por uma reta () = a + b Com a otação utlzada, 0 () =, () =, f() = e E o produto escalar: f f()()d 0 Sstema Normal: a b e e

13 Método dos Mímos Quadrados caso eral Caso eral: apromar f por uma fução da famíla G das fuções que são combação lear de fuções cohecdas, ão ulas, k, k = 0,,..., m Sstema Normal m 0 k k k ) ( a () f f f a a a

14 Eemplo Observado um sal o oscloscópo, verfca-se que ele correspode à superposção de dos efetos, um osclatóro e outro crescete. Nestas codções, vamos apromá-lo por uma fução da famíla () = a. + b.cos() Meddo alus valores deste sal, obtermos a tabela: Calcular () f()

15 Eercícos. Ajuste os dados da tabela abao pelo método dos mímos quadrados utlzado a) Uma reta b) Uma parábola do tpo a + b + c f() Trace as duas curvas o ráfco de dspersão dos dados. Como você comparara as duas curvas com relação aos dados?

16 Ajuste de curvas por fuções ão leares os parâmetros Fuções racoas, hperbólcas, epoecas, etc. Dfculdade: resolver o sstema ão lear Solução: LINEARZAÇÃO dos parâmetros

17 Eemplo de Learzação Apromar uma fução f por uma fução () = a.e b Learzação: f() () l f() l () = l (a.e b ) = l(a) + l(e b ) = l(a) + b Novo problema apromar z = l f() por uma fução da famíla () = c + c ode c = l(a) e c = b. Aplcado o MMQ ao ovo problema obtemos c e c. a = e c e b = c.

18 Caso partcular Supoha que um laboratóro obtvemos epermetalmete os seutes valores para f() sobre os potos, =,,..., f() a) Fazer o ráfco de dspersão b) Escolher uma famíla de fuções adequada para o ajuste c) Ajustar a fução

19 Outros eemplos de fuções ão leares usadas para ajuste de curvas. Uma hpérbole () a b Learzação z f() a b (). Uma curva epoecal () a.b (para () >0) Learzação z l( f()) () ode = l(a) e = l(b)

20 Outros eemplos de fuções ão leares usadas para ajuste de curvas 3. Uma curva eométrca () b a. Learzação z l(z) t (t) ode = l(a), = b e t = l() (Aqu mmzamos a soma dos quadrados dos desvos os loartmos de (), para os loartmos de ) 4. Uma curva da forma () c c c 4 Learzação c c 5 3 z f() f() c f() () c c c 4 c c 4f() c5 f() c c c3 c c c3 c4f() c5 f() () 5 3

21 Teste de alhameto Objetvo: ates de realzar o ajuste, verfcar se a fução escolhda represeta uma boa escolha Teste. Fazer a learzação da fução ão lear escolhda. Fazer o darama de dspersão dos ovos dados 3. verfcar se a fução de ajuste lear escolhda se ajusta aos potos ou à fução que será ajustada

22 Eemplo No eemplo da trasparêca 4, X f() z=l(f()) z

23 Nem sempre a learzação é possível Eemplo: () = c + a.e b Este problema se dvde em dos (a e c a determar e a e b a determar) que são resolvdos alteradamete até que a dfereça etre dos valores cosecutvos de a,b e c estejam detro de uma tolerâca acetável (ão será estudado a dscpla)

24 Eercícos. Cosdere a tabela 0 f() Ajuste os potos da tabela por uma fução da forma: a b Usado o método dos mímos quadrados.

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