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1 Prof. Lorí Val, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Obetvos A Aálse de varâca ANOVA É utlzada para mostrar os efetos prcpas de varáves categórcas depedetes deomadas de fatores sobre uma varável quattatva depedete. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca O Modelo Lear eral LM -eeral Lear Model suporta, também, varáves categórcas depedetes. Um efeto prcpal" é um efeto dreto de uma varável depedete sobre a varável depedete. Um efeto de teração é o efeto de duas ou mas varáves depedetes sobre a varável depedete. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca

2 Obetvos Os modelos de regressão ão podem maear terações a meos que um termo de produto cruzado sea explctamete adccoado. A ANOVA mostra efetos de teração como resultado da própra técca. Exste uma varate para a utlzação de varáves de cotrole quattatvas deomada de ANCOVA Aalyss of Covarace. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Exste, também, para o caso de múltplas varáves depedetes a MANOVA Multple aalyss of Varace e falmete exste uma combação das duas deomada de MANCOVA. MANOVA ANCOVA. A estatístca teste a ANOVA é a F de Sedecor que testa a dfereça etre as médas grupos. A dstrbução F é assm deomada em homeagem a Sr Roald Aylmer Fsher Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Ela testa se as médas dos grupos formados pelos valores da varável depedete ou combação de valores para as múltplas varáves depedetes pode ter ocorrdo por acaso. Se as médas dos grupos ão dferem sgfcatvamete etão pode-se assumr que a varável depedete ão tem efeto sobre a varável depedete. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca

3 Oe-Way ANOVA Testa a dfereça etre uma úca varável quattatva depedete cotra dos, três ou mas grupos formados pelas categoras de uma uma úca varável categórca depedete. É também cohecda coo ANOVA uvarada, ANOVA de classfcação smples ou ANOVA de um fator. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Two-Way ANOVA A Two-way ANOVA aalsa uma varável quattatva depedete em termos de categoras grupos de duas varáves qualtatvas depedetes, uma das quas pode ser cosderada como varável de cotrole. A Two-way ANOVA é também comhecda como Aálse de Varâca de dupla classfcação. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca -Way ANOVA ou MANOVA eeralza a ANOVA ldado com varáves depedetes. Note-se que o úmero de terações cresce este caso. Duas varáves depedetes apresetam uma úca teração de prmera ordem AB. Três varáves depedetes apresetam três terações de prmera ordem AB, AC, BC e uma de segudaordem ABC, ou sea, quatro o total. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 3

4 Quatro varáves depedetes apresetam ses terações de prmera ordem AB, AC, AD, BC, BC, CD, três de seguda-ordem ABC, ACD, BCD e uma de tercera ordem ABCD. Dez o total. Ã medda que o úmero de terações aumeta, tora-se bastate dfícl terpretar o modelo. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca O Modelo: U Cada valor obsevado da varável quattatva depedete é dado pela soma da méda da população de ode este valor fo retrado mas um erro aleatóro U. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Suposções ões: Os erros são varáves aleatóras com méda zero, sto é, EU 0, para,,..., e,,..., ; Os erros são varáves aleatóras depedetes, sto é, EU.U hl 0, se h e l; 3 Os erros apresetam varâca costate, sto é, E U,,..., ;, para,,..., e 4 Os termos erro U seguem uma ormal. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 4

5 Resumdo: Supõem-se que os valores são valores que resultam da adção de um valor médo com um termo erro U que são varáves aleatóras depedetes com dstrbução ormal de méda zero e varâca costate gual a. Metodologa: Fazedo α, ode os α ι são os efetos dos tratametos, o modelo fca: α U Os α ι, estão suetos a restrção Σ α 0. Etão de α, segue que: Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Fazedo m dcar as estmatvas de,,...,. Tem-se que: m E Ode E é o desvo da -ésma observação em relação a estmatva da méda do tratameto. Dados os valores com,,..., e,,...,, de acordo com o Método dos Mímos Quadrados, as estmatvas de m são os valores que mmzam a soma dos quadrados dos desvos ou soma resdual, dada por: Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Q S.Q.R E m Dervado e gualado a zero, tem-se: Q m m 0 Ou m Segue, etão: Isto é, o estmador de Mímos Quadrados para a méda do -ésmo tratameto é a méda artmétca das observaçoes deste tratameto. m Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 5

6 Idcado por A o total do -ésmo tratameto, sto é, fazedo: Tem-se: m A A As Somas dos Quadrados S.Q.R m Elevado o bômo ao quadrado, segue: S.Q.R Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Substtudo as expresssões aterores smplfcado, tem-se: S.Q.R A e Pela defção, tem-se: S.Q.Total Ode: Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Pode-se verfcar, também: Ode: S.Q.Total Pela defção, a soma de quadrados dos tratametos é: S.Q.Trat. A Lembrado que: m A e α 0 Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 6

7 Tem-se: A S.Q.Trat. Jutado os resultados, segue que: S.Q.Res. S.Q.Total - S.Q.Trat. ou S.Q.Total S.Q.Trat. S.Q.Res. Esta expressão mostra que a Soma dos Quadrados Totas é composta de duas parcelas: A Soma dos Quadrados dos Tratametos varação etre tratametos e a Soma dos Quadrados dos Resíduos varações detro de tratametos. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Exemplo: Tem-se: Cosderese os valores de três amostras supostamete depedetes: Am Am Am , 6 e e 3 A 55, A 87 e A 3 9 ; 4,5 ; 7 e 4,5 S.Q.Total - 60,50 3 S.Q.Trat. A 3889, ,5 05 Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca A soma dos resíduos vale: S.Q.R ,50 55,50 A S.Q.Total S.Q.Trat. S.Q.Res. Assm: 60, ,50 Espectâca da Somas de Quadrados Temos: E Etão: E Como: A e E De acordo com o modelo, tem-se: Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 7

8 8 Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Segue, etão: A ν A Mas: 0 E Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Com l, segue: l l E E Daí: A E Como: Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Segue:. Mas: 0 E E com h e/ou l, segue Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Assm: Portato: h l hl E E E S.Q.Total E Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Ou: W S.Q.Total E W Ou: W A expressão mostra que W 0, apeas se... Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Para os tratametos, tem-se: Ou S.Q.Trat. E W S.Q.Trat. E

9 Causa da Varação Tratametos Resíduo Total Soma dos Quadrados A - A - - Espec. da Soma W Esp. da Soma sob H Os Quadrados Médos Cosderemos a hpótese de uldade: H 0 : Isto é, cosderemos a hpótese de que as médas das populações sob aálse seam dêtcas. Sob esta hpótese, o valor W, defdo aterormete é gual a zero. Etão, tem-se: Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca ES.Q.Total e ada que; ES.Q.Trat. Pode-se mostrar que se, os são varáves aleatóras depedetes com dstrbução ormal de méda zero e varâca etão: S.Q.Res/ tem uma dstrbução Qu- Quadrado com graus de lberdade. Além dsso, pode-se demostrar que sob H 0 : S.Q.Trat./ tem uma dstrbução Qu- Quadrado com graus de lberdade e S.Q.Total/ tem uma dstrbução Qu- Quadrado com graus de lberdade e as três dstrbuções são depedetes etre s. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Por defção o Quadrado Médo é o quocete etre a Soma dos Quadrados pelo respectvo Número de raus de Lberdade. Desta forma, o Quadrado Médo dos Tratametos é: Q.M.Trat S.Q.Trat./ Q.M.Res. S.Q.Res./ Substtudo algus resultados aterores, tem-se: EQ.M.Trat. W/ e EQ.M.Res. A tabela, segute, resume algus resultados. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 9

10 Causa da Varação Tratametos Resíduos Total rau de Lberdade.L. - Soma dos Quadrados S. Q. A - A - - Espec. Do Quadrado Médo W - Esp. da Soma sob H 0 A Tabela da ANOVA Causa da Varação Tratametos Resíduos Total rau de Lberdade - Soma dos Quadrados SQT rat. SQR es. SQT otal Quadrado Médo MQT rat. MQR es F MQT rat. MQR es Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca O Teste F Pode-se demostrar que se X e X são varáves aleatóras depedetes com dstrbuções Qu-Quadrado de g e g graus de lberdade, respectvamete, etão a varável resultate do quocete: X /g /X /g apreseta uma dstrbução F com g e g graus de lberdade. Aota-se Fg ; g. A Dstrbução F de Sedecor Uma varável aleatóra X tem uma dstrbução F ou de Sedecor se sua fdp for do tpo: f x m Γ 0 m m x m - m Γ Γ mx m - se x se x > 0 0 Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Expectâca e Varâca E X VarX m m - m - - m m m é o grau de lberdade do umerador e do deomador Dagramas,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 fdp de F, 3 F, 5 F5, 0 F0, Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 0

11 Plalha O que é tabelado é a área à dreta de cada curva fução dreta, sto é, dado um certo valor de f, tem-se: P[Fm, f] α, ou dado uma área à dreta α pode-se determar o valor f que satsfaça P[Fm, f] α fução versa. Exemplo a Dada uma dstrbução F com parâmetros g.l. do umerador 3 e g.l. do deomador gual a 5, determar PF,5 b O valor de f tal que PF f 80%. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Item a Item b Etão PF,5 7,39% Etão, o valor de f tal que, PF f 80% é f,5. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Exercíco co Dados Com base em um teste prelmar um grupo de aluos fo classfcado de acordo com o desempeho em: Ótmo, Bom, Regular e Fraco. Para verfcar se este teste era útl como prevsor da méda fal dos aluos, amostras de cada grupo foram selecoadas. Teste se exste dfereça etre as médas dos grupos ao ível de % de sgfcâca. Ótmo 9,4 9,0 8,5 8,0 Bom 7,5 6,8 7,7 8,3 8,8 Regular 7,0 7,3 7,6 7,8 8,0 6,8 6,5 Fraco 6,8 7,0 7, 6,5 7,4 6,5 Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca

12 Itervalos de cofaça Um tervalo de cofaça de α para a méda do -ésmo tratameto édado por: MQR es t t MQR es Um tervalo de cofaça de α para a dfereça as médas de dos tratametos - também pode ser determado. O estmador de - é varâca desse estmador é: V - - e a Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Uma Medda de Assocação Utlzado MQR es para estmar etão o tervalo de cofaça para a dfereça etre as médas de dos tratametos será: MQRes MQRes - -t- - - t- MQRes MQRes A reeção da hpótese ula a ANOVA dca que exste uma dfereça sgfcatva etre as médas populacoas. No etato, com grades amostras, estas dfereças podem ter pouca sgfcâca prátca. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Uma medda da força da assocação etre a varável depedete e a varável depedete a ANOVA é w ômega dos. Este coefcete dca a proporção da varâca da varável depedete que é explcada pelos íves da varável depedete. Esta medda é aáloga ao coefcete de determação r a regressão. A expressão para o cálculo do w é dada por: w SQT rat. SQT - - MQR MQR otal es. es. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca

13 Comparações Múltplas Quado reetamos a hpótese ula em uma ANOVA, estamos admtdo que as médas ão são todas guas. A estatístca F, o etato, ão forece oretações sobre qual é ou quas são a méda tratameto resposável pela dfereça. As comparações múltplas também são cohecdas como Aálse Post Hoc. A vatagem do uso deste tpo de comparação ao vés de város testes t é que ela matém a probabldade de erro do tpo I a mesma taxa α, mesmo fazedo váras comparações etre as médas. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Por exemplo se tvermos cco grupos tratametos para serem comparados, teremos 0 comparações dferetes de médas para serem fetas. Algumas são: méda com méda, méda com méda 4, etc. A probabldade de Erro do Tpo I, este caso, será dada por: α f α c, ode: α probabldade de erro I em cada comparação; c úmero de comparações. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca O método de Tuey Assm se tvermos cco grupos e dez comparações o ível de sgfcâca fal, cosderado cada teste com 5% de sgfcâca, será de: α f α c 0, ,3% O método de Tuey é também deomado de Teste DHS Dfereças Hoestamete Sgfcatvas Hoestly Sgfcat Dfferece. Ele fo proetado para mater a taxa de Erro do Tpo I a um ível de sgfcâca α. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 3

14 A dstrbução Q A hpótese ula para cada para sedo comparado é: H 0 : para, Isto é, cada par das médas populacoas são guas. A estatístca teste Q é defda por: Q X X EMQ/ A dstrbução Q é deomada de Dstrbução da Ampltude Estudetzada Studetzed Rage Dstrbuto. Supoha que se teha observações depedetes y,..., y r retradas de uma dstrbução ormal com méda e desvo. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Sea w a ampltude desta amostra, sto é, w máxy,..., y r - míy,..., y r. Supoha agora que ós temos uma estmatva s da varâca, que é baseada em ν graus de lberdade e depedete de y. A ampltude estudetzada é defda por: Q r,ν w/s Esta dstrbução á fo tabelada e aparece em város lvros de Estatístca. É possível cosultar seus valores o-le pela Iteret. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Por exemplo sea r 5 e ν 0. O percetl 95% da dstrbução será: Q 0,95 0, 5 4,65. Isso sgfca que: Pw/s 4,65 95% A dstrbução Q fo desevolvda para determar a dfereça míma etre a maor e a meor méda em um couto de médas que é ecessáro para reetar a hpótese que as médas correspodetes a população são guas. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 4

15 No desevolvmeto da dstrbução Q o úmero de grupos varou, mas o úmero de observações em cada um dos grupos é o mesmo. Isto e é o mesmo para os grupos. Os valores crítcos são depedetes do úmero de grupos comparados e o gl assocado com a estmatva da varâca da população EQM, sto é, Q-,. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Esta expressão é válda quado a ANOVA é balaceada, sto é, todos os grupos apresetam o mesmo tamaho. Quado os grupos dferem uma versão modfcada é utlzada. Neste caso o teste é deomado de método de Tuey-Kramer TK. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca A expressão para o cálculo da estatístca de TK é dada por: X X Q / / EMQ A dstrbução amostral é Q e é dada em fução para 5% e % do grau de lberdade gl e de úmero de tratametos. Exemplo: Supoha que um método de produção possa ser executado de 4 formas dferetes: A, B, C e D. A tabela da ANOVA é dada próxma lâma. Como o valor F3, 9 é,93 e o F c 0,47 é sgfcatvo, determar através do método de TK quas dfereças de médas são sgfcatvas. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Tabela da Aova rupo A B C D,86 3,00 7,9 6, Causa Trat. Resíduo Total L Resumo da ANOVA SQ MQ 55,45 35,89 49,34 85,5 8,3 F 0,47 F 0,05,93 O valor da estatístca Q para o método TK é ecotrado através de tabelas. Neste caso, r 4 e v 9 o valor para uma sgfcâca de 5% é 3,86. Assm é dferete de 3 e 4. E é dferete de 3 e 4. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 5

16 Q - Q -3 Q -4 Cálculos do valor Q utlzado o método TK,86-3,00 /7 /9 8,3,86-7,9 /7 /7 8,3,86-6,80 /7 /0 8,3 -, - 4,4 * -5,09 * Q -3 Q -4 Q 3-4 3,00-7,9 /9 /7 8,3 3,00-6,80 /9 /0 8,3 7,9-6,80 /7 /0 8,3-5,6 * - 6,69 * - 0,49 * Relação etre a ANOVA e o teste t Ao testar a hpótese H 0 para amostras depedetes pode ser utlzado tato o teste t quato a Aálse de Varâca. Os dos procedmetos são equvaletes. A estatístca teste t para um grau de lberdade de -, matém a segute relação: t F e t c Fc Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca ANOVA: meddas repetdas O deleameto de meddas repetdas evolve medr um mesmo sueto duas ou mas vezes a varável depedete. Em vrtude desta depedêca as varações precsam ser austadas de modo que o valor F adequado sea calculado. A soma total dos valores SQT é partcoada em em três compoetes: a varação etre suetos - SQ I a varação etre duas ocasões sucessvas SQ T e 3 a varação restate que é deomada de resdual SQ R. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Os quadrados médos são calculados da mesma forma que a ateror, sto é, pela dvsão da Soma dos Quadrados pelo úmero de graus de lberdade adequado. O erro quadrado médo da varação resdual QM R SQ R /gl R é utlzado para testar o efeto etre as repetções do tratameto. Este é o efeto de maor teresse prcpal. Se qusermos testar a dfereça etre os suetos é só fazer; MQ I /MQ R. A tabela para a ANOVA de meddas repetdas fca etão: Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 6

17 ANOVA de meddas repetdas Causa da Varação Suetos Ocasões Resíduo Total rau de Lberdade - l -l- Soma dos Quadrados SQ I SQ O SQ R SQT Quadrado Médo MQ I MQ T MQ R F MQ I /MQ R MQ T /MQ R Hpóteses da ANOVA MR:. As amostras são aleatóras;. A varável depedete é ormalmete dstrbuída; 3. As varâcas das repetções são homogêeas; 4. Os coefcetes de correlação etre os pares de repetções são guas. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Exemplo: Um teste fo aplcado a um couto de 0 pessoas em três ocasões dferetes. A varável depedete é o desempeho os testes as dferetes ocasões. O teresse é verfcar se exste dfereça etre os testes. Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Dados Sueto A B C D E F H I J Teste Teste Teste Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Solução: SQT A SQ T - l SQ l - l B I - SQR SQT - SQ I -SQ O úmero de repetções tratametos l úmero de pessoas em cada repetção casos total de dados.l A soma de cada repetção tratametos B soma dos resultados do -ésmo caso lhas soma de todos os valores ΣA ΣB Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 7

18 Resumo: m SQT ,33 640,67 l B SS I , ,333 67, 33 Causa da Varação Suetos Testes rau de Lberdade Soma dos Quadrados 67,33 43,7 Quadrado Médo 8,59,64 F 6,68 76,09 A SQ T ,60-343,33 43,7 l SQR SQT - SQ I SQ O 50,07 Resíduo Total ,07 640,67,78 Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca Coclusão:. Exste dfereça etre suetos pos a sgfcâca do F 6,68 ecotrado é p 0,03%. Exste dfereça etre as repetções tratametos pos a sgfcâca do valor F 76,09 ecotrado é p 0,00% Prof. Lorí Val, Dr. PUCRS FAMAT: Departameto de Estatístca 8

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