Econometria: 4 - Regressão Múltipla em Notação Matricial

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1 Ecoometra: 4 - Regressão últpla em Notação atrcal Prof. arcelo C. ederos Prof. arco A.F.H. Cavalcat Potfíca Uversdade Católca do Ro de Jaero PUC-Ro

2 Sumáro O modelo de regressão lear múltpla em otação matrcal Defção e termologa Estmação Qualdade do ajuste Propredades Algébrcas Propredades Estatístcas Referêcas bblográfcas Wooldrdge, apêdce E Stoc e Watso, capítulo 6

3 Regressão últpla Defção e Termologa Cosdere o modelo de regressão lear múltpla u ode: é a varável depedete;,..., são varáves eplcatvas; u é o erro (ou dstúrbo); e o,..., são parâmetros a serem estmados.

4 Regressão últpla Defção e Termologa O modelo ateror pode ser escrto a segute forma matrcal: ou ode: X é a matrz de dados. Observe que a a colua de X é um vetor de s, referete ao termo costate (tercepto) de cada equação u u u O ) ( ) ( u X +

5 Regressão últpla Defção e Termologa Nosso objetvo será, como ates, obter as melhores estmatvas possíves do vetor de parâmetros descohecdos. O crtéro a ser usado cotua sedo o de mmzação da soma dos quadrados dos resíduos. Defdo o vetor de valores ajustados: Y X e o vetor de resíduos: U Y Y Y X o problema cosste em mmzar u U ' U

6 Regressão últpla Defção e Termologa X Note que a matrz X é formada por + vetorescolua: ogo, o vetor de valores ajustados pode ser reescrto assm: ou seja, o vetor de valores ajustados é dado por uma combação lear dos (+) vetores-colua da matrz X. O [... ] Y

7 Regressão últpla Defção e Termologa Em termos geométrcos, fca claro que os pesos de cada vetor essa combação lear devem ser escolhdos de modo a gerar a projeção de o (sub)espaço vetoral defdo pelas coluas da matrz X. No gráfco abao, qual das combações leares cosderadas gera o meor vetor de resíduos a regressão de em e? û û ^ ^

8 Regressão últpla Hpóteses de Gauss-arov Algumas hpóteses mportates: (H) odelo populacoal é lear u (H) Uma amostra aleatóra de tamaho {(, K, ):,, }, K pode ser costruída a partr do modelo populacoal. (H3) éda codcoal ula E( U X ) E( U ) u E( u X) X U X u X E( u ) E( ) E : : : u E( u X)

9 Regressão últpla Hpóteses de Gauss-arov (cotuação) (H4) O posto de X é +. As coluas de X são learmete depedetes. Não há multcoleardade perfeta Os valores observados de,..., ão são todos guas (caso cotráro, a colua correspodete de X sera um múltplo da prmera) > + (úmero de observações > úmero de varáves eplcatvas) (H5) Homocedastcdade var( u) cov( u, u) Var( U) cov( u, u) E[ u E[ u E( u cov( u )][ u var( u E( u )] cov( u, u ), u E[U E(U)][U E(U) ]' E( UU' ) ) ) E( u )] O O cov( u, u cov( u var( u E[ u E[ u, u ) ) ) E( u )][ u E( u E( u )] )] σ σ O σ I

10 Regressão últpla Estmação Da mesma forma que a regressão lear smples os estmadores são chamados de estmadores de mímos quadrados e podem ser estmados por meo da mmzação da soma do quadrado dos resíduos: As codções de prmera ordem são,,,, K u ) ( ) ( ) (

11 Regressão últpla Estmação (cotuação) Em otação matrcal, as codções de prmera ordem podem ser escrtas da segute forma: ( ) X X ' ou ( X ' X) X' Estas são as equações ormas. Verfque que se trata eatamete do mesmo sstema de + equações vsto aterormete.

12 Regressão últpla Estmação (cotuação) Vejamos as equações ormas em maor detalhe: Para o caso de apeas um regressor (além do tercepto): Você recohece essa epressão? : :.. : : : :....

13 Regressão últpla Estmação (cotuação) Note que, pelas equações ormas: ( ) X X ' u X' o que sgfca que o vetor de resíduos é ortogoal em relação a todos os vetorescolua de X. Isso faz setdo? (embre que se trata de um problema de projeção) Falmete, obtemos: ( X' X) X' Importate: para que a matrz X X seja vertível é ecessáro que o posto de X seja +.

14 ímos Quadrados Ordáros Propredades Estatístcas dos Estmadores Teorema : sob as hpóteses (H) - (H4) os estmadores de mímos quadrados ordáros são ão-tedecosos, sto é E ( ) X Prova: ( ) ( ) X' Y X' ( X + U) ( ) X' X ( X' X) + ( X' X) X' U + ( ) X' U E ( ) ( ) X + X' E( U X)

15 ímos Quadrados Ordáros Propredades Estatístcas dos Estmadores Teorema : sob as hpóteses (H) - (H5) Var ( ) ( ' ) X σ X X Var Prova: ( ) [( ) ] [( ) ( ) ] X Var X' Y X Var X' X + U Var [( ) ( ) ( ) ] Var X' X + X' U X [ ] [( ) ] Var X + Var X' U X [( ) ] Var X' U X ( X' X) X' Var[ U X] X( X' X) ( X' X) X' ( σ I) X( X' X) σ σ ( X' X) X' X( X' X) ( ) X' X

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