CAP. V AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

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1 CAP. V AJUSTE DE CURVAS PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS No caítulo ateror estudamos uma forma de ldar com fuções matemátcas defdas or taelas de valores. Frequetemete, estas taelas são otdas com ase em dados eermetas, cotedo erros eretes aos métodos de medção utlzado. Como os valores ão são eactos, mutas vezes ão é razoável recorrer à terolação olomal, ou seja, egr que a fução aromate satsfaça eactamete os dados dsoíves. Assm, em vez de recorrermos a um olómo que asse eactamete or todos os otos, fazemos assar uma fução aromate g(), o mas rómo ossível dos otos. Cosderemos uma sére de otos (, ),,, ode cada fo otdo eermetalmete e aroma o valor de uma fução o oto, sto é, f( ). Estes valores odem ser reresetados or um gráfco cartesao formado um dagrama de dsersão. Pága de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

2 EXEMPLO : Costrur o dagrama de dsersão da segute taela: Ojectvo: rocurar a curva g() que melhor se ajusta, um dado setdo, ao dagrama ateror. TIPOS DE AJUSTAMENTOS: Ajustameto lear smles; Ajustameto lear múltlo. Pága de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

3 5. AJUSTE LINEAR SIMPLES O modelo mas smles que relacoa duas varáves e é a recta: β + β. ode β e β são os arâmetros do modelo. Cosderemos: : valor da varável elcatva ou deedete; : valor da varável resosta ou deedete; ˆ (magem de ela recta β + β. ) : valor redto; d - ˆ (desvo): dstâca vertcal do oto à recta. Suoha-se uma recta artrára desehada o dagrama de dsersão do eemlo : d ŷ Pága 3 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

4 ESCOLHA DA MELHOR RECTA: Cosderemos a soma dos quadrados dos desvos de todos os otos: D d Medda do desvo total dos otos à recta estmada Esta medda deede da recta cosderada: D ( (β + β. )) ( β,β ) d ( ˆ ) Pretedemos etão os valores dos coefcetes de β e β que mmzam D ( β, ), ou seja, o valor mímo de ( β, ) β D. β Para tal, temos de dervar ( β, ) D β em relação a β e β e resolver as equações ormas (gualar as dervadas arcas a zero): D β β D β β (,β ) (,β ).(.( β β β. ) β. ). Pága 4 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

5 Pága 5 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados Os valores de e, ara os quas ( ) β, β D areseta um valor mímo são otdos ela resolução do sstema (equações ormas): + +. )... ( ). ( Em otação matrcal,.. Resolvedo o sstema, otemos: ). ( ) (.... Como este método cosste em achar o mímo de uma fução quadrátca, é cohecdo como o método dos mímos quadrados.

6 A melhor recta, o setdo dos mímos quadrados, que se ajusta aos dados do dagrama de dsersão é dada or: + EXEMPLO (CONTINUAÇÃO): Determar a recta dos mímos quadrados que melhor se ajusta aos dados da taela Taela aular: ŷ r Pága 6 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

7 QUALIDADE DO AJUSTE: COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO Para smlcar a otação, o símolo fôr coveete. será trocado or, semre que O coefcete de determação é dado or: R ( ) sedo R ( ). ( ) Quato mas rómo o coefcete de determação estver de, melhor será o ajuste. RESÍDUOS Outra maera de verfcar a adequação do modelo é comarar cada valor oservado com o resectvo valor redto ŷ. À dfereça etre estes dos valores chama-se resíduo: r - ŷ, ode ŷ é dado ela equação +.. Quado e são estmadores dos mímos quadrados, etão os desvos d são dêtcos aos resíduos r. Pága 7 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

8 5. AJUSTE LINEAR MÚLTIPLO Uma maera de relacoar uma varável deedete com varáves deedetes é: β + β + β + + β ode β, β,, β são os arâmetros do modelo. Para otos, temos o sstema: β β β + β + β + β... + β + β + β β + + β + + β... Na forma matrcal: β β. β Y X. β D Cosderado a soma dos quadrados dos desvos de todos os otos ( ˆ ) d ( ( β + β. + β. + + β. )) retede-se mmzar D( β,β, β,, β )., Pága 8 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

9 Para tal, dervamos D( β,β, β,, β ) em relação a β, β,, β e resolvemos as equações ormas. D β ( β β β β ) D ( β β β D β ( β β β β β ) β ) O vector que mmza a soma dos quadrados dos desvos é a solução do sstema de equações leares:.. Pága 9 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

10 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO R ( ˆ ) ( ) ode ŷ RESÍDUOS Para se calcular os resíduos o ajuste lear múltlo utlza-se a equação dos resíduos ara o ajuste lear smles. Cotudo, ŷ é dado ela equação ateror. Pága de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

11 EXEMPLO : Ajustar os otos da taela à equação + + e determar o coefcete de determação: Taela aular: ŷ r r Pága de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

12 Pága de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados 5.. AJUSTE POLINOMIAL Um caso esecal de ajuste lear múltlo ocorre quado,,,. Deste modo, tem-se a equação: β +β + β + +β O vector é determado ela resolução do sstema: COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO RESÍDUOS Para se calcular os resíduos o ajuste olomal utlza-se a equação dos resíduos ara o ajuste lear smles. Cotudo, é dado ela equação ateror.... ŷ ode ) ( ) ˆ ( R ŷ

13 EXEMPLO 3 : Ajustar os otos da taela aao à equação Taela aular: ŷ r Pága 3 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

14 5 TRANSFORMAÇÕES Algus modelos ão leares os arâmetros odem ser trasformados em modelos leares or susttução dos valores de uma ou mas varáves or fuções destas varáves. EXEMPLO DE TRANSFORMAÇÕES: a e l l a + a l l a + ( l ) a l l a + ( l ) e l a + + c a+ + c c d a. 3 l la + l + cl + dl3 a + + c a + + c l ( -) a + a c. + c e Pága 4 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

15 EXEMPLO 4 : Ajustar os otos da taela aao à equação a.e Taela aular: ' l( ) ' ' Pága 5 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

16 EXEMPLO (CONTINUAÇÃO): Determar a recta dos mímos quadrados que melhor se ajusta aos dados da taela Taela aular: ŷ r Determação dos coefcetes: 5 * *.9 5 *49.5 ( 4.6) * Etão a melhor recta que assa elos otos taelados é Cálculo do coefcete de determação: R 4.6 * ( 4.6) (.9) Pága 6 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

17 O ajuste efectuado elos método dos mímos quadrados ão elca em a varação de como fução de. EXEMPLO : Ajustar os otos da taela à equação + + e determar o coefcete de determação: Taela aular: X ŷ r r O sstema é , a solução é Etão a melhor recta que se ajusta aos otos é Pága 7 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

18 Cálculo do coefcete de determação: O ajuste efectuado é muto om R ( 57) 8 EXEMPLO 3 : Ajustar os otos da taela aao à equação Taela aular: 3 4 ŷ r O sstema é , 8.46 a solução é Etão a melhor curva que se ajusta aos otos é Pága 8 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

19 Cálculo do coefcete de determação: R.997. O ajuste efectuado é muto om ( 6.9) 6 EXEMPLO 4 : Ajustar os otos da taela aao à equação ae a.e l l a +. Taela aular: ' l( ) ' ' Determação dos coefcetes: 5* *.48 5*58.4 ( 4.4) * Etão a melhor curva que se ajusta aos otos taelados é l e.734.e e.646 Pága 9 de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados

20 Cálculo do coefcete de determação: R * ( 4. 4) (. 48) O ajuste efectuado é muto om. Pága de - Ajuste de Curvas elo Método dos Mímos Quadrados