NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE076 = 2. ], T 2 = conhecido como T 2 de Hotelling

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1 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 4 INFERÊNCIA SOBRE O VETOR DE MÉDIAS 4. TESTE PARA UM VETOR DE MÉDIAS µ Lembrado o caso uvarado: H : µ µ H : µ µ Nível de sfcâca: α Estatístca do teste: t X µ s/ ~ t Decsão: se t > t - (α/) rejeta-se H, caso cotráro, H ão deve ser rejetada. CASO MULTIVARIADO: Rejetar H quado t > t - é equvalete a rejetar H quado ( X µ ) ( s/ ) t (X µ s ) (X µ )(s ) (X µ ) > t ( α/) ode: t, Geeralzado: T ( X µ ) ' S ( X µ ) ode: X X, S ( X )( )' X X X, µ ' [µ, µ,... µ, ], T cohecdo como T de Hotell Demostra-se que: T ( ) ~ ( ) F, O teste fca: ou T ( ) ~ F, H : µ µ H : µ µ Materal Retrado das Aostlas dos Profs. Jar Medes Marques e Aselmo Chaves Neto Páa

2 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 Nível de sfcâca: α Rejetar H se: T ( -) ( X µ ) ' S ( X µ ) > F, ( α) - Exemlo: Seja a amostra aleatóra de tamaho 3 de uma dstrbução ormal bvarada: 6 9 X (a) Calcule a estatístca T de Hotell, cosderado o valor hotétco de µ como sedo µ ' [ 9 5]. (b) Calcule o valor de ( -) T F, ( α). - (c) Você rejetara a hótese de que µ µ ao ível de sfcâca de 5%? CASO DE GRANDES AMOSTRAS: Quado é rade, a hótese H : µ µ é rejetada a favor de H : µ µ, ao ível de sfcâca α, quado ( X µ ) ' S ( ) > χ X µ ( α) Materal Retrado das Aostlas dos Profs. Jar Medes Marques e Aselmo Chaves Neto Páa

3 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE COMPARAÇÃO ENTRE VETORES MÉDIOS DE POPULAÇÕES Poulação Amostra X ~ N (µ, Σ ) Tam: Méd: X Cov.: S Poulação Amostra X ~N (µ, Σ ) Tam: Méd: X Cov.: S Sedo X deedete de X : º CASO: Quado Σ Σ (Σ) X estma µ, X estma µ e ( )S ( )S S estma Σ Demostra-se que: X X ~ N µ µ,σ TESTE: H : µ - µ δ H : µ - µ δ Nível de sfcâca: α Materal Retrado das Aostlas dos Profs. Jar Medes Marques e Aselmo Chaves Neto Páa 3

4 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 Estatístca do teste: T ' [( ) ( µ µ )] [( ) ( µ µ )] X X S X X ode: T ( - -) ( - ), Portato, se rejeta-se H. T ( - -) > F ( - ), ( α) Exemlo: 5 barras de sabão são fetos de maeras, sedo meddas duas característcas: X esuma e X bracura. As estatístcas ara as barras roduzdas elos Métodos e são dadas: esuma 8,3 X, bracura 4, X esuma bracura, 3,9 S, 6 S. 4 Assuma que: X ~ N( µ, Σ) e X ~ N( µ, Σ). Teste a hótese de que os rocessos de fabrcação roduzem os mesmos resultados, ou seja, a méda eles ão são dferetes. º CASO: Quado Σ Σ (rades amostras) Quado Σ Σ, fcamos mossbltados de ecotrar uma medda semelhate ao T. Sejam as amostras de tamahos e tas que - e - sejam rades. Rera de decsão e estatístca do teste: Rejetar H se ' [( X ) ( µ µ )] S S [( ) ( µ µ )] > ( α) X - X X χ Materal Retrado das Aostlas dos Profs. Jar Medes Marques e Aselmo Chaves Neto Páa 4

5 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE COMPARAÇÃO ENTRE VETORES MÉDIOS DE VÁRIAS POPULAÇÕES ( ) MANOVA Objetvos: () Ivestar se as oulações têm o mesmo vetor médo. () Se ão tem, detfcar quas comoetes dferem sfcatvamete. Suosções: () Ideedêca (as amostras aleatóras são deedetes) () Homocedastcdade (todas as oulações têm mesma matrz covarâca Σ) (3) Todas as oulações são ormalmete dstrbuídas. Poulação Amostra X ~ N (µ, Σ ) Tam: Méd: X Cov.: S Poulação Amostra X ~N (µ, Σ ) Tam: Méd: X Cov.: S M Poulação M Amostra X ~N (µ, Σ ) Tam: Méd: X Cov.: S Materal Retrado das Aostlas dos Profs. Jar Medes Marques e Aselmo Chaves Neto Páa 5

6 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 H : µ µ... µ H : elo meos uma das médas µ (,,..., ) é dferete das demas. Nível de sfcâca: α Estatístca do teste: W Λ * B W ode * Λ Lâmbda de Wlks (equvale ao teste F a ANOVA). FV Matrz das somas dos quadrados e rodutos cruzados Tratametos B ( )( )' x x x x Resdual W ( x j x)( xj x)' j Total BW Ode: x j j-ésma observação da -ésma amostra (ou -ésmo tratameto) x méda da -ésma amostra (ou -ésmo tratameto) x méda lobal (todas as amostras) Materal Retrado das Aostlas dos Profs. Jar Medes Marques e Aselmo Chaves Neto Páa 6

7 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 Materal Retrado das Aostlas dos Profs. Jar Medes Marques e Aselmo Chaves Neto Páa 7 Dstrbução de * Λ : Dstrbuções amostras >, Λ * Λ * ) - ),( ( Λ* * Λ -, Λ * Λ * 3 ),( Λ* * Λ Ode: (,,..., ), Para outros casos (ou rades amostras): Bartlett mostrou que se é rade, etão: ) ( ~χ W B W.l.lΛ *

8 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 Materal Retrado das Aostlas dos Profs. Jar Medes Marques e Aselmo Chaves Neto Páa 8 Exemlo: Cosdere as seutes amostras deedetes, resectvamete, das oulações:, e 3, que odem ser cosderadas como ormas multvaradas com mesma matrz de covarâca Σ. P P P Costrua a tabela da MANOVA, calcule o * Λ de Wlks e teste a hótese de ualdade das médas. I.C. PARA OS EFEITOS DOS TRATAMENTOS: Quado a hótese H é rejetada, odemos detfcar qual ou quas tratametos dferem sfcatvamete dos demas. Seja. Para o modelo de MANOVA vsto, com cofaça de o mímo ( - α), µ kj - µ lj ertece ao tervalo α ± l k j w ) ( t j l x j k x ara todas as comoetes j,,..., e todas as dfereças l < k,,...,. Aqu w jj é o j-ésmo elemeto daoal de W.

9 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 Exemlo: Alcar ara o exemlo ateror. x 8 x x 3 x, x x 4, x 3 x, 3,, 3 3, 8 x 3 8 k ruo, j comoete, 3(úmero de ruos), (úmero de varáves), 338, t (5l,.467)4,93 j k k j x kj lj x x ± t x l l ( ) kj lj ( ) k l α w jj ( 8) ± 4, Rejeta Ho (, 447;, 559) 4 ( 4) ± 4, Aceta Ho (, 4386; 6, 4386) ( 8) ± 4, 93 (, 87; , ) Rejeta Ho ( 8 4) ± 4, 93 ( 3, 5479; , 5479) Aceta Ho 3 3 ( ) ± 4, ( 4,447; 6,447) Aceta Ho ( 8 ) ± 4,93 (,4386; ,4386) Aceta Ho Iterretação: ode o tervalo ão cotém o zero sfca que exste dfereça etre os tratametos. Materal Retrado das Aostlas dos Profs. Jar Medes Marques e Aselmo Chaves Neto Páa 9