NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE DENSIDADE NORMAL MULTIVARIADA E SUAS PROPRIEDADES

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1 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 3 DISTRIBUIÇÃO NORMAL MULTIVARIADA 3 DENSIDADE NORMAL MULTIVARIADA E SUAS PROPRIEDADES A densdade normal multvarada é uma generalação da densdade normal unvarada ara dmensões Recordando, a dstrbução normal unvarada, com méda e varânca, tem fd f X ( ( e, R, R e R π A fd conjunta de varáves ndeendentes normas X, X,, X é assm f(,,, / e ( π,, [,,,] Se fermos [,, ] e Σ L L M L a densdade conjunta ode ser escrta como f( e ( Σ ( / / Σ ( π onde: - < <,,,, Págna

2 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 Págna A fd normal -dmensonal geral é obtda substtundo Σ or qualquer matr smétrca ostva defnda Então f( > ara todo fnto, d d f( L L No caso geral, o j-ésmo elemento j de Σ é a covarânca das -ésma e j-ésma comonente de Notação: Σ, N ( ~ X Para (dstrbução normal bvarada, temos que e Σ como, então Σ e a fd conjunta fca, aós as substtuções e smlfcações, como ( e, ( π f A fd normal bvarada adronada ode ser obtda faendo-se e, resultando ( e π, g(, - < <,- < <

3 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 Págna 3 Eemlo: Seja a dstrbução normal bvarada com 8 5 e Σ 4 Como 5, 8, e ( e / π, ( f ( e / π ( 8 5 e / π π 8 5 e 4

4 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 PROPRIEDADES: ( Sendo X ~ N (, Σ, as combnações lneares das comonentes de X são normalmente dstrbuídas ( Sendo X ~ N (, Σ, todo subconjunto das comonentes de X tem uma dstrbução normal (multvarada (3 A covarânca nula ara X ~ N (, Σ, mlca que as corresondentes comonentes são ndeendentemente dstrbuídas (4 As dstrbuções condconas das comonentes de X ~ N (, Σ são normas (multvaradas (5 Na eressão, a segur, da Normal -varada é ossível ver que o lugar geométrco dos valores de y a uma altura constante no eo da fd (f(y são elsódes centrados em, ou seja, são elsódes defndos or (y - Σ - (y - c Os eos de cada elsóde de densdade constante estão nas dreções dos autovetores de Σ - (e também de Σ e seus comrmentos são roorconas aos recírocos das raíes quadradas dos autovalores de Σ - Assm consderando a eressão, f(y, y,,y ( π Σ e ( y Σ ( y, os eos são ± λ e RESULTADO IMPORTANTE: Seja X ~ N (, Σ com Σ > Então: X Σ ( X ~χ (a ( Σ (b P X : ( X ( X χ ( α α 3 AVALIANDO A NORMALIDADE BIVARIADA Consderando que ara uma normal bvarada, então ( X Σ ( X χ (5 α P X : Assm, devemos eserar a mesma %, ou seja 5%, de observações amostras tas que ( X X S ( X X χ (5 onde substtuímos ela estmatva X e Σ - ela estmatva S - Caso contráro, a hótese de normaldade é suseta Págna 4

5 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 Eemlo: As maores cororações ndustras dos EUA forneceram os seguntes dados (Fortune-978 COMPANHIA X Recursos (mlhões de dólares X Renda Líquda (mlhões de dólares GM EXXON FORD 9 7 MOBIL 6 TEXACO 89 9 STD OIL 48 IBM 9 7 GULF 4 8 GE 37 CHYSLER 77 Avalar a normaldade da dstrbução bvarada com X [X X ] Solução: Calculando, obtemos: X 93 X, X S e S ( que substtundo em ( X X S X X χ (5 Para a rmera observação: X 93 9 X 5,73 67 obtemos 33, resulta 73X X > 39, ou seja, este onto 335, está fora do contorno (contours de 5% Calculando ara as demas observações, obtemos os demas valores, ou seja, resumndo esses valores são: e Verfca-se que 6 desses valores são menores que 39, ou seja, uma roorção de 6 (6% Se essas observações são normalmente dstrbuídas, devemos eserar cerca de n/ ou 5 observações no nteror do contorno Dado que a amostra é muto equena, n, devemos conclur que essa evdênca não é sufcente ara rejetar a noção de normal bvarada Págna 5

6 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE76 33 AVALIANDO A NORMALIDADE DE UMA DISTRIBUIÇÃO ( Um método mas formal ara julgar a normaldade conjunta de dados multvarados é baseado no quadrado da dstânca generalada j d ( X X S ( X X j j, j,,, n X, X,, X n são observações amostras Quando a oulação de onde a amostra fo retrada é normal multvarada e ambos n e n são maores que 5, cada uma das dstâncas d,,d,d n comorta-se como uma varável aleatóra to qu-quadrado (χ O método consste nos seguntes assos: ( Ordenar as dstâncas em ordem crescente j ( Reresentar grafcamente os ares d j, χ, obtendo-se χ na n Tabela da Dstrbução de Qu-quadrado, com graus de lberdade O resultado do gráfco deve ser uma lnha reta aromada Uma curva sstemátca sugere a falta de normaldade Para o eemlo anteror: j j d χ χ j 5 n (5 χ (5 33 χ (5 58 χ (35 86 χ (45 χ (55 6 χ (65 χ (75 77 χ ( χ ( Págna 6

7 NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA CE qu d Este alguma evdênca de um desvo sstemátco da reta Porém, a evdênca contra a normaldade não é tão grande, em vrtude do tamanho da amostra, sendo raoável analsar esses dados como se fossem normas Págna 7