Análise de Dados e Probabilidade 1º Semestre 2006/2007

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1 UNIVERSIDDE NOV DE LISBO Faculdade de Economa nálse de Dados e robabldade º Semestre 6/7 EXERCÍCIOS DE EXMES NTERIORES. ssocação do Sector de Vestuáro do aís Roualânda retende estudar como se dstrbuem as suas assocadas relatvamente à rodução semanal de eças de vestuáro. Consderando X como a varável ue desgna o número de eças roduzdas semanalmente, observe a segunte tabela de freuêncas: X (rodução de eças semanal) n a b 5 n a) Sabendo ue a méda uadrátca de X é gual a 7.37, obtenha os valores de a e b. Qual a nterretação do valor a? b) Qual o volume de rodução de vestuáro semanal mas freuente? c) ssocação retende remar as emresas com maores níves de rodução semanal. s assocadas defendem ue se devem remar os 5% das emresas com maor volume de rodução, enuanto ue o resdente defende ue só os 5% mas elevados devem ser contemlados. ara as duas osções, a artr de ue volume de rodução estaram as emresas contemladas? Justfue. d) Consderando ue o momento de ordem 3 em relação à méda é gual a conclua sobre o snal da assmetra da dstrbução. Sabendo ue a varânca da dstrbução é gual a 478 confrme o resultado calculando o coefcente de Fsher. e) nalse o grau de concentração na reartção dos níves de rodução semanal elas emresas.

2 . Consdere o segunte olígono ntegral, referente à dstrbução de emresas segundo as horas gastas em formação do seu essoal, or ano (varável X),9,8,7,6 F*,5,4,3,, X a) resente a tabela de freuêncas. b) Calcule a méda, medana e moda (ela Fórmula de Kng) da varável horas de formação or ano c) Interrete um dos valores das freuêncas absolutas (à sua escolha) e a medana d) Se se consderar ue as emresas com horas de formação or ano comreenddas no ntervalo X ± s (sendo s o desvo adrão) são emresas com níves de formação acetáves, uantas das emresas mereceram tal classfcação? e) Comente: Se uma varável tem méda zero, então tem valores ostvos e valores negatvos com guas freuêncas relatvas. 3. Sea X o saláro numa emresa de nformátca X n a) Construa a tabela de freuêncas. b) Calcule a méda, medana, moda (ela fórmula de Kng) e o ntervalo nteruarts.

3 c) Calcule a varânca. d) Usando a nformação obtda anterormente sobre a medana e os uarts da dstrbução, ue conclusão ode retrar sobre a assmetra da dstrbução? 4. Foram nurdos 3 trabalhadores sobre as suas horas semanas de trabalho. Os resultados foram os seguntes: X (horas) X (horas) n f S * F a f e b 45 g n l o r c - d 65 h m 3 6 n 3 6 f a) Descubra a nformação em falta (valores corresondentes às letras a,b,c,..,r). b) Reresente grafcamente a dstrbução, através do hstograma e do olígono de freuêncas. c) Calcule as meddas de localzação ( ara a moda, utlze a Fórmula de Kng). O ue ode conclur sobre a assmetra? d) Utlzando o Grau de ssmetra de earson, verfue se a sua conclusão anteror se mantém. 5. Numa dada emresa, a méda artmétca, a medana e a moda dos saláros agos são, resectvamente, 6, 6 e 63 Euros mensas. Vsando a actualzação salaral ara o róxmo ano a admnstração da emresa aresenta aos trabalhadores as duas seguntes alternatvas: () - aumento de 8 Euros or mês a todos os trabalhadores; () - aumento de 3% no saláro mensal de todos os trabalhadores. a) Os trabalhadores decdem roceder a uma votação ara escolha da alternatva ue mas lhes convém. Se o obectvo dos trabalhadores for maxmzar o aumento do seu saláro mensal, ual será a alternatva vencedora? Justfue a sua resosta. b) Como classfcara a dstrbução dos saláros relatvamente à smetra? c) Se uma olítca de actualzação salaral do to da adotada em a) vesse a verfcar-se em anos sucessvos como evolura o índce de Gn de concentração 3

4 dos saláros? umentara, dmnura ou fcara nalterado? Justfue a sua resosta. 6. No sector agro-almentar, realzou-se um nuérto a trabalhadores relatvamente aos seus saláros mensas. Saláros (euros) Trabalhadores a) Comente, uantfcando, a segunte afrmação: No sector agro-almentar detecta-se uma dstrbução gualtára dos saláros elos trabalhadores. b) Calcule o desvo absoluto médo. c) No sector agro-almentar 5% dos trabalhadores recebem um saláro sueror a 35 euros. Concorda com a afrmação? Justfue, uantfcando. 7. No mês de Janero, um nuérto relatvo aos saláros (em euros) no sector da metalomecânca deu a conhecer a segunte nformação: X 8 Medana 78 Mod 75 s 5 desvo absoluto médo (d) 3 G.6 Sabendo ue no mês de Feverero cada trabalhador va benefcar de um aumento salaral de %: a) Indue, demonstrando, ual o novo desvo absoluto médo no sector. b) Qual a nova varânca? Justfue. c) O ue acontece à dsersão no mês de Feverero? Justfue. d) Qual a nova moda e medana? e) O ue ode conclur em relação à concentração? umenta, dmnu ou mantém-se? Justfue. 4

5 8. Consdere o segunte uadro: Índce de reços base 996 Índce de reços base 999 Desesa a reços correntes a) Calcule um índce de desesa a reços constantes de, com base em. b) Que to de índce é mas utlzado ara cálculo de índces de reços, o de Laseyres ou o de aasche? Exlue oruê. 9. Uma fábrca de conservas comra 3 rodutos (atum, sardnha e cavar): NO NO Q Q tum 5 6 Sardnha Cavar x Y a) Descubra os valores em falta na tabela, sabendo ue o índce de aasche de uantdades ara o ano com base em é de,67 e ue o índce de desesa ara o ano com base em é de,97. b) Calcule o índce de Laseyres de reços e o índce aasche de reços. Que relação se verfca neste caso entre os índces de Laseyres e aasche de reços? Justfue a exstênca dessa relação neste caso. c) Suonha ue o economsta da emresa decde utlzar um índce de reços ue consste na méda geométrca dos índces de Laseyres de reços e de aasche de reços. Verfue se o índce assm construído reseta a crculardade.. 5

6 evolução dos reços de cada um dos três bens (, B, C) é traduzda através dos índces do uadro abaxo, onde se ndcam também as resectvas desesas em 994 e 995 Índce de reços (todos com a mesma base) Desesa B C a) Calcule um índce do to Laseyres, de 995 com base em 994, ue sntetze a evolução global dos reços dos três bens. b) dmtndo ue o índce atrás é um índce de reços no consumdor e tendo o saláro nomnal de um trabalhador aumentado de.$ ara 44.$, no mesmo eríodo, ual fo a evolução real no seu oder de comra? Quantfue. c) Comente a afrmação: O índce de uantdades de Laseyres reuer nformação comleta de reços e uantdades, ara os eríodos em estudo.. Consdere a segunte nformação: nos Valor das Vendas Índce de reços das Vendas (reços constantes de 95) Base 993 Base a) Obtenha um índce de reços das vendas com base em 995. b) Qual o valor das vendas a reços correntes ara o conunto dos anos analsados? 6

7 . evolução dos reços de três rodutos, B e C ara os anos e 3 é aresentada na tabela segunte: rodutos Índces de reços (calculados na mesma base) 3.6. B..5 C. 3. Sendo as desesas nesses rodutos nos anos e 3: B C a) Calcule um índce do to aasche, de 3 com base em, ue sntetze a evolução global dos reços dos três rodutos. b) Sabendo ue os índces smles de uantdades ara os rodutos e B, ara 3 com base em, foram.75 e.8, resectvamente. Determne o índce smles de uantdades do roduto C, ara 3 com base em. 3. ara acorrer às dfculdades económcas dos trabalhadores do sector Metalomecânco do dstrto de Setúbal, o Governo edu um nuérto ao Mnstéro do Trabalho acerca dos vencmentos auferdos. Uma rmera nformação fo ue os saláros líudos mensas seguam uma le normal com µ 5 e σ 5 (em certas undades monetáras). O Governo decdu atrbur um subsído untáro de 5 u.m. a todos os trabalhadores ue auferem menos de 35 u.m. mas também lança uma taxa de u.m. sobre cada um dos 7

8 8% mas bem agos do sector; ual o encargo líudo eserado se o lano envolver 5 trabalhadores? 4. Três máunas M, M, M3, funconam ndeendentemente roduzndo certo to de comonente electrónco. máuna M3 garante, só or s, metade da rodução. Cada uma delas roduz comonentes defetuosas nas seguntes roorções: M: 8% M: 8% M3: % Calcule a roorção de comonentes defetuosas roduzdas elas 3 máunas em conunto. 5. Sea a exerênca aleatóra assm defnda: lança-se um dado eulbrado até ue suram duas saídas ares consecutvas, segudas de duas saídas ímares consecutvas. a) Qual o número mínmo de lances ue deve ser feto? b) Qual o cardnal dos esaço dos acontecmentos? c) Escreva os acontecmentos ue necesstam de 4, 5 ou 6 lances ara se realzarem. 6. Sea a função de robabldade de X:, 4 f ( x),, 4 x x x Sea a varável aleatóra YX+3 a) Calcule µ X E(X ) e σ X V ( X ); b) Desenhe a função de densdade da varável aleatóra Y; c) Dga, recorrendo aenas às roredades de E ( X ) ual o valor de µ Y E(Y ) ; ustfue. 8

9 7. Consdere agora a varável aleatóra Z ue desgna o número de certas ocorrêncas verfcadas em 5 mnutos. Sabendo ue segue uma dstrbução de osson, e ue E( Z ) 6 : Qual a robabldade de se verfcarem 8 ocorrêncas num eríodo de mnutos? 9

10 UNIVERSIDDE NOV DE LISBO Faculdade de Economa nálse de Dados e robabldade º Semestre 6/7. a) EXERCÍCIOS DE EXMES NTERIORES RESOLVIDOS X n X f f/h F* a b n Sabendo ue a méda uadrátca de X é gual a 7.37 e ue 5 n : + a a b b a b 7.37 a 85 b b b 5 a 6 6 emresas da ssocação do Sector de Vestuáro roduzem entre 5 a eças de vestuáro semanalmente. b) Determnar a moda: Classe modal: ] 5 ]

11 Mod k * (volume de rodução de vestuáro semanal mas freuente) c) retende-se obter a medana e o 3º uartl: ) Medana : Classe ] ] Med 3, 77 Med 5% das emresas têm um volume de rodução semanal sueror a 3.77 eças de vestuáro. ) Tercero uartl: classe ] 35] Fu 5 35 Fu cma de um volume rodução gual a 5 eças de vestuáro semanas contemlamse os 5% das emresas com maores volumes de rodução. d) m g.998 > ssmétrca ostva ( m ) (478) 3 3/ 3/ e) n f t Gn 4 ( ) O grau de concentração não é muto elevado.

12 . a) artr do gráfco aresentado no exame, odíamos chegar à segunte tabela de freuêncas: X X n f S * F a n 5 f b) Méda 5 X f * ' X.5*.5 +. * *8 4.4 Medana: classe medana 4 7 (orue a classe anteror anda não acumulou 5% das observações) or nterolação lnear: F(7) F(4) F( Med) F(4) Med Med 4 Moda: classe modal 3 4 (orue é a classe ue tem maor densdade de freuênca a ) ela Fórmula de Kng:.5 Mod 3 + *( ) c) Vamos nterretar a freuênca absoluta corresondente à 4ª classe: 45 das emresas gastam entre 4 e 7 horas em formação do seu essoal Interretação da medana: 5% das emresas gastam em formação do seu essoal até 4 horas e mnutos d) ara odermos resonder a esta ergunta temos, rmero ue tudo, calcular o desvo-adrão. Comecemos ela varânca: s 5 f * X ' s s.9786 X 3.95 ssm, o ue ueremos saber é uantas emresas estão no ntervalo [ ; ], ou sea, no ntervalo [.44; ]. ara sabermos sto, temos de calcular as freuêncas relatvas acumuladas destes dos valores, usando nterolação lnear. ara o lmte nferor do ntervalo:

13 F(3) F() 3 F(.44) F().44 F(.44).964 ara o lmte sueror do ntervalo: F(7) F(4) F(6.3786) F(4) F(6.3786) uantdade de emresas com um nível de formação acetável é: emresas e) afrmação é falsa. ara ue a méda sea, a varável tem de assumr valores ostvos e negatvos mas estes não recsam de ter guas freuêncas relatvas. Exemlo: Se uma varável assumr os valores, 5, 5, -9, -8, -3, a sua méda é gual a e, no entanto, as freuêncas relatvas de cada um dos valores assumdos não são guas orue o valor 5 tem duas ocorrêncas. 3. a) X X n f N F a f / h Σn 3 Σf b) m ' n * x Méda: X N Medana: classe medana: - 3 or nterolação lnear: F(3) F() F( med) F() med med Moda: classe modal: 3 4 Fórmula de Kng:.58 Mod 3 + * ( ) Mod F l : classe de F l : Como F().5 F l F u : classe de F u : med

14 or nterolação lnear: F(4) F(3) 4 3 F( Fu ) F(3) F F 3 F 3 u u u 36.6 Intervalo nter-uarts d F F u F l m ' c) σ f * x x σ X x d) Como os uarts não estão à mesma dstânca da medana, esta dstrbução é assmétrca. Como o rmero uartl está mas longe da medana do ue o tercero uartl, a dstrbução será assmétrca negatva ou envesada à dreta 4. Foram nurdos 3 trabalhadores sobre as suas horas semanas de trabalho. Os resultados foram os seguntes: X (horas) X (horas) n f S * F a a f e b 45 g n l o r.667 c - d 65 h m n 3 6 f a + a) 5 a 4 + b 45 b 5 c d 65 d e e 37.5

15 * r m l o h n g f b) Reresentação gráfca da dstrbução

16 c) Meddas de localzação Méda 5* 4 + 7,5* * x 43, Moda Classe modal: classe com maor densdade de freuênca (a ): 35 4 ela fórmula de Kng:.4 Mod * Medana Classe medana: auela ue nclu 5% das observações: 4 5 or nterolação lnear: F(5) F(4) F( med) F(4) med med 4 Mod<Med< x : a dstrbução é envesada à esuerda ou assmétrca ostva. d) Grau de ssmetra de earson x Mod g.455 s *( ) + 5*( ) *( ) s s medda de assmetra confrma ue a dstrbução é assmétrca ostva. 5. a) Os trabalhadores ue auferem um saláro mensal sueror a 6 Euros referem a alternatva ), enuanto ue os ue auferem um saláro mensal nferor a 6 Euros referem a alternatva ). Como a medana da dstrbução é 6 Euros a alternatva vencedora é a ), uma vez ue mas de 5% dos trabalhadores tem um saláro mensal sueror a 6 Euros. b) dstrbução é assmétrca negatva ou envesada à dreta. c) O índce de Gn não se alterara. Ora veamos, o índce de Gn é defndo como G m m ( ) em ue m desgna o número de classes e e são defndos como,

17 . e, ' m n x t t t f Note-se ue f, n, x são, resectvamente, a freuênca relatva smles, a freuênca absoluta smles e o onto médo da classe. De uma forma mas geral consdere-se uma varável y defnda como yax. O índce de Gn mantém-se nalterado, uma vez ue o e da varável y são guas aos da varável x. Ou sea, O não se altera, os é defndo como a freuênca relatva acumulada e o número de ocorrêncas em cada classe não se altera. O também não se va alterar, dado ue. e ' ' ' ' ' ' x m m m y y y y n ax n ax n ax n ax t t n ax n y t No caso em uestão, se for a alternatva ) a adotada a.3 e o índce de Gn mantém-se nalterado. 6. a) ara uantfcar a afrmação é necessáro calcular o índce de Gn. X X n f t n *X ( ) m m G O valor obtdo ara o índce de Gn revela ue aesar da concentração não ser muto elevada, não exste no sector agro-almentar uma dstrbução gualtára dos saláros

18 elos trabalhadores, dado ue ara ue tal acontecesse o valor do índce de Gn tera ue ser. b) N X X ' f d N X ' X n N 654 c) afrmação só será verdadera se o tercero uartl for gual a 35 (caso contráro essa ercentagem é semre ou nferor ou sueror a 5%). retende-se, então, calcular o tercero uartl. ara verfcar se no sector agro-almentar 5% dos trabalhadores recebem um saláro sueror a 35 euros é necessáro calcular o valor do tercero uartl. Olhando ara a classe das freuêncas relatvas acumuladas odemos verfcar ue o tercero uartl ertence à classe -75. Usando a nterolação lnear: F(75) F().75 F() 75 Fu Fu Fu 4 afrmação é falsa dado ue 5% dos trabalhadores recebem um saláro sueror a 4 euros. Isto é, 4 euros é o saláro acma do ual exstem 5% dos trabalhadores, e não o saláro 35 euros. 7. a) Desgnando or a stuação ncal e or B a nova stuação: d B N N N N B B X X.X.X. X X X X..d N N N N b)

19 ( s ) 5 s B s.s Então, a nova varânca: B ( s ) (39.544) 56.6 Ou: B ( s ) (. s ) (.) ( s ) (.) c) B S.S S CD CD B X.X X Como o coefcente de dsersão não se altera, a dsersão mantém-se. d) Nova Moda.*75765 Nova Medana.* e) concentração mantém-se uma vez ue o índce de Gn não se altera. O índce de Gn é defndo como: G m ( ) m O não se altera orue dz reseto às freuêncas relatvas acumuladas dos trabalhadores e o número de ocorrêncas em cada classe não se altera; O dz reseto às freuêncas relatvas acumuladas dos saláros e também não se va alterar, dado ue: (reresentando or B a nova stuação e or a stuação ncal) t x n.x n B B B B t.xn. xn m m m B t.xn. xn

20 8. nos I t/96 I t/99 Desesa a reços correntes I t/99 I t/ Desesa a reços constantes de Índce de desesa base 997,63 5,759, ,8, ,75 66,853, ,893,75 999,88 759,865 94,3,7338,4 34,4 34,34,46 457,46,774 37,474,9649,5 57,5,58 8,478 a) Os assos ara resolver este exercíco são:. Calcular o índce de reços com base em 999 ou 996, fazendo conclação de índces (na tabela só está aresentado o índce com base em 999); ara obter o índce de reços com base em 999, só se tem de calcular os dos rmeros valores, ara 997 e 998, uma vez ue todos os outros á estavam na tabela do enuncado. No caso do ano de 997, I 97 / 96,75 I 97 / 99 I 97 / 96 * I 96 / 99 I 97 / 99,759 I 99 / 96,88 dea é a mesma ara o ano de assar a base do índce de reços de 999 (ou 996) ara, usando as roredades da crculardade e reversbldade no temo; I 97 / 99,853 I 97 / I 97 / 99 * I 99 / I 97 /,5773 I / 99,4 Os cálculos são smlares ara os restantes anos. 3. Deflaconar a desesa a reços correntes elo índce de reços com base ; ara o ano de 997, desesareçoscorrentes 5 desesa a reços constantes de 866, 8 índcedereçosbase,5773 Os restantes anos estão aresentados na tabela. 4. Calcular um índce smles da desesa obtda no onto anteror, com base em. ara o ano de 997, desesa 866,8 I / 8,478 97,6754

21 b) O to de índce mas usado é o de Laseyres os, uma vez ue ondera a evolução dos reços elas uantdades do eríodo base, nformação essa ue está dsonível mas deressa do ue a nformação sobre as uantdades do eríodo ara o ual estamos a calcular o índce, como é o caso do índce de aasche. 9. a) Sabendo ue o índce de aasche de uantdades entre o ano e o ano é de,67, odemos efectuar o segunte cálculo:,67 S Q y S S C C y Dau, conclu-se, resolvendo em ordem a y, ue y 3,9 S C C Utlzando agora a nformação de ue o índce da desesa é de,97, ode calcular-se x de forma análoga, sabendo y ,9,97 V S S C C x Dau conclu-se ue x 8,9 S S C C b) ode calcular-se o índce de Laseyres de reços da forma habtual, L + + S S S S + + C C C C , ,9 lternatvamente, odemos alcar a roredade da reversão de factores: L Q V conclusão é a mesma elas duas vas: L,447 ara calcular o índce de aasche de reços, basta fazer:

22 S S C C + + S S + + C C,4 Neste caso, L,447 >, 4, relação ue se ustfca ela exstênca de substtubldade entre os város tos de escado, os, neste caso, os reços e uantdades encontram-se negatvamente correlaconados. c) O ue se refere no enuncado é a fórmula de Fsher. Teríamos, então, como índce de reços, ( ) F L t t t Se se verfcar a roredade da crculardade, terá ue acontecer ue F F F t t' t' t onde t é um momento arbtráro entre e t. Desenvolvendo, vem / F t t' F t' t Lt t' t t ' t t t Lt ' F t t' t t t' ' t' t t t ' t t ' t ' t ' t' Ou sea, o índce construído como sendo a méda geométrca dos índces de Laseyres e de aasche não reseta a roredade da crculardade.. a) ara calcularmos o índce de Laseyres eddo no enuncado, recsamos de calcular os onderadores da desesa e os índces de reço ara 994, com base em 995, ara cada roduto. Como os índces de reços aresentados têm todos a mesma base, basta dvdr o valor do índce no ano de 995 elo do ano de 994 ara cada roduto ara obter o índce de reços ara 994, com base em 995. Quanto à fórmula dos onderadores, esta é: desesa w desesatotal Desesa w I 95 / 94 5,5, B,,

23 C 3,3,5 L 95 / 94 w * I 95 / 94.5*. +.*.+.3*.5.35 b) Entre 994 e 995, o saláro nomnal de um determnado trabalhador aumentou % (44/) e o índce de reços no consumdor aumentou 3,5%. ssm, é ossível ver ue o seu oder de comra dmnuu neste eríodo. Quantfcando:,35/,., ou sea dmnuu %. c) afrmação é falsa, uma vez ue é ossível calcular o índce de uantdades de Laseyres sem sabermos os valores dos reços no eríodo ara o ual estamos a calcular o índce.. a) Indce base 98 Indce base lcando a roredade da crculardade é ossível comletar a sére ara o índce com base em 98, ara em seguda se roceder a uma mudança de base ara o ano 95.. I95/98 I95/93 I93/ I98/ I96/98 I96/93 I93/ I98/93.55 I.8 99/98 b) Consderando ue Vendas correntes Vendas constantes 95 * I base 95, então: Vendas correntes

24 . a) O índce de reços do to aasche ode ser escrto do segunte modo: α 3/ I 3/ onde, onderador α (5/4).375 onderador α B (/4).3 onderador α C (3/4).35 lcando a roredade da crculardade e a roredade de reversão uanto ao temo é ossível calcular os índces de reços smles de cada roduto, em 3 com base em :. I 3 / I 3/ b I b / I 3/ b.5 I.6 / b B B B B.5 I 3 / I 3/ b I b / I 3/ b.5 B I. I / b C C C 3. I 3/ b I b / I 3/ b.5 C I / b C 3 / 3 / b) V 3Q3 ( ).43 logo, Q (3 + + ) 3 / Q Q V 3/ 3/ L3/.43.3 L 3/ L Q 3 /. 865 Como o índce de uantdades do to Laseyres ode ser escrto: Q L 3/ onde, 3/ ωi onderador ω (3/35).37 onderador ω B (/35).9 onderador ω C (/35) e I QB 3 /. 8 I Q / QC I 3/ I QC 3 /

25 ( X 35 ) Φ Φ ( ),587 5 Encargo líudo: 5 *,587 * 5 5*,8* 3967, ,5 u.m. 4. Teorema da robabldade Total Má. ( ) (D/ ) ( D) M α,8,8 α M,5- α,8,4-,8 α M3,5,, (D),5 5. a) O número mínmo de lances é 4. b) S { 4,5,6,...,n,... } O cardnal é, os, nfnto numerável. c) 4 lances: II 5 lances: III; II 6 lances: IIII; II; III; III 6. a) E( X ) x. f ( Var( X ) E( X x ). ) [ E( X )] x. f ( x ) b) Y X f(x) /4 / /4

26 f ( 4 y ) 4 y 3 y 4 y 5 c) EY ( ) EX ( + 3) EX ( ) Z " Número de Z ( λ?) ocorrêncas verfcadas em 5 mn utos" Sendo a dstrbução de osson, E( Z) V ( Z) λ. Como E( Z ) 6 : V ( Z) E( Z ) [ E( Z) ] λ 6 λ λ + λ 6 λ λ 3 λ ( valor Desta forma, ode conclur se ue Z ( λ ) ostvo) W " Número de ocorrêncas verfcadas W ( λ 4) ( W 8) e f (8) 4.4 8! 8.98 em mn utos".