MECÂNICA CLÁSSICA. AULA N o 9. Colchetes de Poisson Simetrias Espaço de Fases Transformações Canônicas (Hamiltoniano)

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1 1 MECÂNICA CLÁSSICA AULA N o 9 Colchetes de Posson Smetras Esaço de Fases Transformações Canôncas (amltonano) O Esaço de Fases tem uma estrutura assocada a s. Esaços ossuem estruturas, que se referem aos objetos nvarantes em relação às transformações que odem ser fetas. Por eemlo, os esaços métrcos são caracterzados or uma métrca (Esaços de Remann), defnndo a dstânca entre ontos vznhos e, com sso, estabelecendo a estrutura do esaço. O esaço de Posson é dferente do esaço métrco, tendo um caráter mas abstrato, com estrutura dferente, dada elo esaço de fases e suas roredades em relação às transformações de suas coordenadas: qs ' e s. ' Neste sentdo, oderíamos erguntar quas as transformações que odem ser fetas, envolvendo qs ' e s, ' cujo resultado não altera a estrutura básca da Mecânca Clássca. Este to de questão era a esecaldade dos ensadores franceses e se mostrou muto mortante ara o desenvolvmento da Físca. Fo nesta lnha de ensamento que eles descobrram a estrutura da Mecânca Clássca, que é a formulação mas abstrata da Mecânca Clássca, tendo como base os COLCETES DE POISSON. Os colchetes de Posson servem ara descrever o fluo no esaço de fases. Um to de fluo no esaço de fases é o movmento dos ontos neste esaço ao longo temo, descrevendo como os ontos se comortam ao longo do temo sob a nfluênca de um determnado amltonano. Já vmos as smetras báscas da Mecânca em relação às translações e rotações. Vejamos agora a relação delas com os fluos no esaço de fases. Concentremo-nos ncalmente no fluo realzado no esaço de coordenadas. Neste sentdo, nós odemos magnar a translação e a rotação como um fluo de ontos de uma osção ara outra, através de uma nfndade de equenos deslocamentos. Estes deslocamentos odem não ter nada a ver com o movmento atual do sstema ao longo do temo, eles smlesmente descrevem o que aquela translação ou deslocamento fazem com o sstema, através dos sucessvos deslocamentos. Além dessas transformações de coordenadas, odemos ter uma muto mas rca varedade de transformações ou fluos no esaço de fases, que não se refere aenas às coordenadas de osção, mas ao conjunto de qs ' e s ' no esaço de fases. Estas transformações ou fluos no esaço de fases são descrtos elo método dos Colchetes de Posson. Vamos rever as roredades dos Colchetes de Posson, orém de uma forma mas abstrata, sem nos reocuarmos com suas defnções detalhadas, observando-as aenas como um conjunto de ostulados ou de aomas : A B B A A B C A C B C A B C AB C BA C 1),, (ANTISIMETRIA) ),,, (LINEARIDADE) 3),,, (PRODUTO) 4) q, j j OBS : A forma na qual está escrta esta tercera roredade, aesar de ndferente em relação à osção dos colchetes de Posson, que admtem a comutação, será sgnfcatva na Mecânca Quântca, que não admte a comutação. Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Stanford

2 A artr destas relações, é ossível deduzr todas as demas roredades dos colchetes de Posson. q F q, 0 F, 0 df F q, dq q, F df d (Desenvolvmento em sére de Talor, Lneardade, Produto) Com sso, odemos dzer que temos uma álgebra ara os colchetes de Posson, a qual caracterza a relação entre qs ' e s ' no esaço de fases. da dt Vamos adconar mas um ostulado (já vsto or nós) aos outros ostulados: A, Por eemlo, ara a artícula smles, temos:, ortanto: m,, 0 m q q,, q, q, q m m m m m Vemos então que, sem alcar as equações de amlton, odemos dervá-las através da álgebra dos colchetes de Posson. Vejamos agora aquela maor varedade de transformações. Estas fórmulas báscas dos colchetes de Posson são váldas ara todos os sstemas físcos conhecdos (Relatvdade eral, Teora do Camo Quântco, Sstemas Clásscos, Eletromagnetsmo, etc.). Smetras, como já vmos, são transformações de um sstema que não modfcam sua dnâmca. As smetras vstas até agora envolvem mudanças nas varáves qs, ' como or eemlo na translação e na rotação do sstema. Vejamos se há e quas são as smetras que envolvem as varáves qs ' e s ' e que reservam a estrutura da Mecânca Clássca, ou seja, que não modfcam as roredades báscas dos colchetes de Posson. Suonhamos, or eemlo, um sstema com aenas um q e um, e façamos uma transformação tal que os novos Q e P sejam dados or: P e Q q. A ergunta é se esta transformação reserva a estrutura de Posson. A resosta é NÃO! os não obedece à quarta roredade: PQ, 4 1. Porém, se fzermos neste caso P e Q q então: PQ, 1, conservando-se esta roredade, assm como as demas. É nteressante notar que esta últma transformação (admssível) realza uma contração em e uma eansão (roorconal) em q. Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Stanford

3 3 Vejamos outro eemlo: P cos qsen "Rotação" Q sen q cos P, P Q, Q 0 P, P Q, Q 0 Q P q q q q, sen cos, cos sen, sen, cos 1 Portanto a rotação reserva a estrutura dos colchetes de Posson. Todas as transformações que reservam a estrutura dos colchetes de Posson são chamadas de TRANSFORMAÇÕES CANÔNICAS. Se nós odemos construr uma transformação a artr de uma comosção de transformações nfntesmas (aromáves em valores de rmera ordem), de modo que: Q q q (, q) P (, q) Então resulta que: Q, P q, q, q, OBS : O termo q, é um nfntésmo ao quadrado e, ortanto, é desrezível. As condções ara que a transformação seja Canônca é dada or: Q, P q, Para que tenhamos sso, é necessáro então que: q, q,. Vamos eressar q da segunte forma: q q, q,, q, "erador de transformação Canônca". As quantas q e reresentam um fluo nfntesmal no esaço de fases, e este fluo é caracterzado or aqulo que chamamos de ERADORES. eradores, ortanto, são funções de q e um que caracterzam como os fluos se desenvolvem no esaço de fases. q q, q, á um teorema segundo o qual, todas as vezes que:, então a transformação é, q, canônca, de modo que Q, P q, q ; q. Vamos rovar este teorema: q,, q, q, q q q dq Se sabemos que q q,, então q, dq dt q, dt q,, q Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Stanford

4 4 Sendo assm, se consderarmos dt como o equvalente de, teremos q q, q. Vemos assm que o amltonano faz o mesmo ael do erador Canônco! Portanto a transformação de coordenadas qs ' e s ' que é gerada elo fluo atual do sstema é ela róra um caso esecal de uma Transformação Canônca. Por outro lado, todas as transformações canôncas odem ser obtdas através de um gerador (nclusve o róro amltonano). Se as transformações que são admssíves (aquelas que reservam a estrutura da Mecânca) são canôncas, qual é então a subclasse delas que, ara um determnado amltonano, odem ser classfcadas como smetras? OBS : Smetras são Transformações Canôncas que não alteram o amltonano, sendo esta uma dea mas generalzada do que a smetra das transformações que não modfcam o Lagrangeano. Portanto smetras são transformações canôncas no esaço de fases que não modfcam a energa do sstema mecânco. Vsualzando este conceto geometrcamente no esaço de fases, temos: Se suusermos que os fluos de e de são tas que o fluo ao longo se dá mantendo um valor constante de (valor constante de energa), então é um gerador de transformação canônca smétrca ou é uma smetra. Portanto é uma smetra, se o fluo crado or ele não modfca a energa. A condção ara sso é smles. Vamos consderar uma função A : Esta é justamente a eressão que usamos ara obter a dervada no temo no caso de ser o róro da dt A, amltonano: A mudança de uma função arbtrára ao longo de qualquer fluo é roorconal ao roduto de Posson desta função elo gerador do fluo. Então, ara que a energa não se altere ao longo do fluo, o roduto de Posson entre e deve d ser nulo, 0. Isto mlca também que, 0, o que sgnfca que 0. dt A elevada abstração desta forma de eressão ara a Mecânca assume grande mortânca e tem alcação real na Mecânca Quântca. Vamos ver um smles eemlo, observando o movmento de uma artícula lvre, com massa untára ( m 1) Momento Angular: A A A A A q A A, q q q (amltonano),,,,,, 0 Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Stanford

5 5 Assm, a anulação do roduto de Posson, mlca que o momento angular é conservado, mas também mlca que, se tvéssemos um amltonano dado ela eressão, então a quantdade também sera conservada neste novo sstema, o que ressalta a smetra do sstema. Neste caso, teríamos:, ortanto:,, (movmento crcular) Neste movmento, a quanta sera conservada. Notas baseadas nas aulas do Prof. Leonard Sussknd Unversdade de Stanford