Matemática. Resolução das atividades complementares. M22 Números Complexos. 1 Resolva as equações no campo dos números complexos.
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- Sabrina Cordeiro Aleixo
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1 Resolução das atvdades comlementares Matemátca M Números Comleos. Resolva as equações no camo dos números comleos. a 0 {, } b 8 0 a 0 D?? D 8 D Cálculo das raíes? S {, } b 8 0 D?? 8 Cálculo das raíes D 9 D 80 80? S,, Esam-RN Se a b, então a b é: a c e b d a b a a b a a b a b Da gualdade, temos: a I II Resolvendo o sstema: a e b Então, a b. Qual é o conjugado do número comleo??
2 Unme-SP O número comleo tem a arte magnára nula. O valor do número real m é: m a c 0 e b d Multlcando o numerador e o denomnador elo conjugado do denomnador, temos: m m m m? m m m m m m Como a arte magnára é nula, temos: m m 0 m Unc-MT Para que o número Z? seja real, devemos ter IR tal que: a 0 c 9 e nenhum IR satsfa a condção. b d 9 9 é real 9 0 UFSM-RS A soma dos números comleos e 0 é: a c 0 0 e 0 0 b 0 0 d UCS-RS Multlcando-se o número comleo ela undade magnára, obtém-se um número comleo cuja reresentação, no lano, corresonde a um onto ertencente à reta de equação: a y c y e y b y d y?? A reresentação de corresonde a um onto da bssetr dos quadrantes ares: y. y 0
3 8 UFPA Numa PG de quatro termos, a soma dos termos de ordem ímar é e a soma dos termos de ordem ar é, em que é a undade magnára. Determne o número comleo a b que reresenta a raão dessa rogressão. a a q a q a q q q q q I q q II Substtundo I em II, temos: q? q 9 UCSal-BA Se o número comleo a b é tal que, então é verdade que: a a 0 e b 0 c a 0 e b 0 e a 0 e b 0 b a 0 ou b 0 d a 0 ou b 0 a b a b a ab b a ab b ab ab ab 0 a 0 ou b 0. 0 UEM-PR Seja a matr A, em que a b é um número comleo. Sendo det A 7, calcule o valor de a b. 7 Seja a b e a b Pelos dados do eercíco, temos: det A 7 a b a b 7 a ba b a b a b a a b b 7 Desenvolvendo o determnante, temos: a? b a b 7 ab a b 7 0? Da gualdade, temos: Portanto, a b 7. a b 7 ab 0
4 { } Reresente, UFG Seja C o conjunto dos números comleos e A C Re. geometrcamente, no lano comleo, o conjunto A. Obs.: Re é a arte real do número comleo. a b; 0 a b? a a b a b a b a b a a a b a b a a b 0 a b b a b b Crcunferênca de centro C, 0 e rao r 0 a UFBA Sendo, o nverso de é: a c e b d Cálculo de Cálculo de? UFJF-MG Se e w são números comleos, então é gual a: w a 8 c 9 e 8 b d 8 w w 9 8 w 8 w
5 Cefet-PR Consdere a matr A que A 9 é gual a: , na qual é a undade magnára. É correto afrmar 0 0 a A c? A e I b A d I I : dentdade de ordem A A A? A I A A? A I? I I A A? A? A A I Faf-BH A fração 7 0 corresonde ao número comleo: a c e b d 0? 7? 0 8?? 0 7? UERN O número comleo é gual a: a 0 ero c e b d 7 Vunes-SP Consdere o número comleo, em que é a undade magnára. O valor de é: a c e b 0 d
6 . 8 UERN Se, o argumento de é: a c e b d Logo:? sen a cos a a rad 9 UFSC Dada a eressão Z Z Z 7, sendo Z um número comleo, determne Z. Z Z Z 7 Seja Z a b a b a b a b 7 a b a b a b 7 a b a b 7 a b b a 7 a b 7 a b 0 7a 7 a b Z Z 0 UFPB O número comleo a b, em que a, b Z, é tal que a, b ertence à reta y 0. Sabendo-se que, determne. ou 7 Pelos dados, temos:? a b 0 b a a b a b II Substtundo I em II, vem: a a a a a 0 a b 7 a a 0 I a b Portanto, 7 ou.
7 UFRGS Os argumentos dos números comleos u e são, resectvamente, e Calcule a arte real e a arte magnára de u. Reu e Imu u arg u arg u arg cos ; sen u Logo, Reu e Imu. e u.. Uncam-SP Dado um número comleo y, o seu conjugado é o número comleo y. a Resolva as equações:? e. b Ache os ontos de ntersecção dos lugares geométrcos que reresentam as soluções dessas equações. 0,, 0,,, 0 e, 0 a Sendo y, com e y números reas, temos que: b I? y? y y II y y y 0 Os conjuntos solução das equações I e II são, resectvamente, S I, y IR y { } e S II, y IR 0 ou y 0. { } y I y 0 II De II, temos 0 ou y 0. Substtundo 0 em I, obtemos y. Substtundo y 0 em I, obtemos. Os ontos comuns aos lugares geométrcos dados elas equações I e II são: 0,, 0,,, 0 e, 0. ITA-SP Se,? w e a [0, ] é um argumento de? w, então a é gual a: a c e b d Se e? w, então: w? w Portanto, w? w? Se a [0; ] é um argumento de? w, então a.. Im π Re
8 Passe ara a forma algébrca os comleos: a cos sen a cos sen b cos sen b cos sen é o onto: UFAL A magem do número comleo cos? sen a, c, e, b, d,? cos? sen cos cos sen sen?? Logo, a magem de é o onto,. FEI-SP Dado o número comleo:. a Escreva na forma algébrca o comleo. b Escreva o comleo na forma trgonométrca. a? b cos sen Logo, cos sen cos sen. cos sen
9 7 PUC-RS Seja um número comleo cujo afo P está reresentado abao no lano de Argand-Gauss. y P A forma trgonométrca do número é: a cos 0 sen 0 c cos 0 sen 0 e cos 0 sen 0 b cos 0 sen 0 d cos 0 sen 0 cos sen cos 0 0 sen 0 o 8 UCDB-MS Dados os números comleos cos sen e sen, cos roduto?, na forma algébrca, é gual a: a c e b d cos sen ; cos sen?? [cos sen ]??? cos sen? cos sen? 0?
10 9 UFSC Dado o número comleo? cos sen, cos sen w w cos sen cos sen w? 8? w w 80 determne o valor de UEMA Consdere um número comleo satsfaendo a condção. Se o argumento de é gual a 0, então 9 é gual a: a 9 c 9 e 9 b 9 d 9 Escrevendo na forma trgonométrca: cos 0 sen [cos 9? 0 sen 9? 0 ] 9 cos 0 sen 0 9 cos 80 sen UFRGS O valor de é: a c e b d Seja: cos sen cos sen cos? sen? cos sen 0 0
11 Em questões como a e a, a resosta é dada ela soma dos números que dentfcam as alternatvas corretas. UFMS Consderando números comleos, suas roredades e reresentações, é correto afrmar que: 0 o número não é ntero as raíes comleas da equação são e. 08 se n é um número natural, então é o menor valor não-nulo de n ara que n seja um número real. se cos sen, então Falsa.?? Logo, o número é ntero. 0 Correta.? 0 0 Correta Correta. n n cos n? sen n Para ser um número real, devemos ter: sen n 0 n 0 k, k Z n k n k, k Z Logo, o menor valor não-nulo de n, ara ser um número real, é. Correta. cos? sen? cos 70 sen 70 0 São corretas as afrmatvas,, 8 e, somando 0.
12 UFSC Determne a soma dos números assocados às roosçãoões verdaderas: 0 A arte magnára de é o dobro da arte magnára de. 0 Se é um número comleo, então?. 0 O número comleo tem módulo e argumento. 08 Se, então Falsa. Seja a b e a b, com a, b a b a b a 0 Correta. 0 Falsa.?? Im IR. e π rad 0 Re 08 Correta. São corretas as afrmat vas e 8, somando 0. UFRJ Determne o menor ntero n > ara o qual n é um número real ostvo. Escrevendo o número comleo na forma trgonométrca, temos: cos sen n Portanto, sen n cos n n. n Para que seja um número real ostvo, devemos ter: sen n 0 e cos n 0. Portanto, n.
13 UFU-MG Calcule as raíes quartas do comleo 8 8.,, e cos 8 8 sen cos sen w k cos k sen 0 cos sen 0 k k sen w k cos k k 0 w w w cos sen w k? k w cos sen w sen k w cos w As raíes são:,, e.
14 ITA-SP Consdere, no lano comleo, um olígono regular cujos vértces são as soluções da equação. A área desse olígono, em undades de área, é gual a: a c e b d As soluções da equação são as ses raíes setas do número. Já que uma dessas raíes é gual a, elas ertencem a uma crcunferênca de rao, centro na orgem e dvdem essa crcunferênca em artes guas, determnando um heágono regular. A área desse olígono é dada or A???. Im 0 Re 7 Fuvest-SP a Determne todas as soluções, no camo comleo, da equação, em que é a undade magnára, sto é, e é o conjugado de. b Reresente essas soluções no lano comleo. a Sendo y e, tem-se: y? y y y y y y y y y y Então, temos: 0 I 0 e y 0 ou 0 e y y y y II e y ou e y y y As soluções da equação são, ortanto: 0 Im b Reresentadas estas soluções no lano comleo, obtém-se: 0 Re
15 8 MACK-SP Se y é tal que, então os ontos de coordenadas, y, e y reas ercorrem: a uma hérbole c uma else e uma arábola b uma crcunferênca d uma reta Se y, então: y y y y y y Se, então: y y y y y y 0 Os ontos ercorrem uma reta. 9 Fuvest-SP Determne os números comleos que satsfaem, smultaneamente, e Im. Lembretes: ; se w a b, com a e b reas, então w a b e Imw b. e Temos: Im. Se a b, então: a b a? a b b a b a b b Logo: Im a a b I Sendo, então a b ou a b II a b b a De I e II: a b a a a a a a a 0 a 0 ou a Se a 0 b. Se a b 0. Desse modo: ou.
16 0 Unes-SP Consdere os números e w, sendo a undade magnára. a Determne? w e w. b Reresente e w no lano comleo Argand-Gauss e determne b IR, b > 0, de modo que os números comleos, w e t b sejam vértces de um trângulo, no lano comleo, cuja área é 0. a w? w 7 w b, w, t0, b b t O trângulo tem base e altura b. Como sua área é 0, então: A? b 0 b 0 b b 7 0 w UNI-RIO-Ence-RJ O número comleo a b,, com a e b nteros, é tal que a, b ertence à reta y 0. Dado?, determne. a, b ertence à reta y 0, então a b 0 a b? a ba b a b II De I e II: b b b b b 0 b b 0 b ou b não convém Se b a? I Fatec-SP Se é a undade magnára, a soma??... 00? 98 é um número: a rmo c múltlo de e quadrado erfeto b dvsível or d negatvo 98 Soma: ? 00? ? 0?
17 Fatec-SP Na fgura ao lado, tem-se o gráfco da função f, de IR* em IR, defnda or f log b, com b IR* e b. O módulo do número comleo b b é: a c e? b d 0 Pelo gráfco, f, ou seja: log b b b 0. b Se b b, então: ; daí,. y 0 f MACK-SP Consdere os comleos u, v e w, cujos afos, em relação a um sstema de eos erendculares, são, resectvamente, P, Q e R. Sendo O a orgem do sstema, a área do quadrlátero OPRQ é: a 8 c e 0 b 9 d Dados P, Q, R e O, temos: y Q O 0 P R Sendo m OP m QR e m m, OQ PR concluímos que OPRQ é um aralelogramo. A área desse aralelogramo é o dobro da área do OPQ. Desse modo: A OPRQ 0 0? A OPQ???? 0 0 7
18 UFBA Sendo a n a arte real do número comleo S a 0 a a n Sendo a a arte real de n, t emos: 0 a0 a 7 a a 8 a 9 Desse modo, S 9... : 8 S ? n, ara cada número natural n, determne MACK-SP Dados os comleos e w, tas que w e w,, o módulo de w é gual a: a c e b d w? w? w 8. w w w w 8
19 7 UFSCar-SP Sejam a undade magnára e a n o n-ésmo termo de uma PG com a a. Se a é um a número ímar, então a a a0... é gual a: a 9 ou 9 c 9 ou 9 e 7 ou 7 b 9 ou 9 d 8 ou 8 Uma PG em que a a é uma PG de raão. Desse modo, sendo a ímar, será da forma k k Z, a será ar e da forma? k, daí em dante todos os termos serão múltlos de : a k k? k k?? a k k k 0??? a a a a a 7 a 8 a 9 a 0 a a a0 k A soma...? k k? 7 7?, ou seja, se k for ar, a soma será 7 ; se k for ímar, será 7. 8 FGV-SP O onto P é o afo de um número comleo e ertence à crcunferênca de equação y 9. Sabendo-se que o argumento de é 0, ode-se afrmar que: a c e b d A crcunferênca y 9 tem centro C0, 0 e rao. Como P ertence à crcunferênca, a dstânca de P até C é o módulo de e vale rao. Sendo 0 o argumento de, então:???? cos 0 sen 0 9
20 9 Uncam-SP Um número comleo y, 0, ode ser escrto na forma trgonométrca: cos sen, em que y, cos y e sen. Essa forma de reresentar os números comleos não-nulos é muto convenente, esecalmente ara o cálculo de otêncas nteras de números comleos, em vrtude da fórmula de Movre: [ cos sen u] k k cos k sen k, que é válda ara todo k Z. Use essas nformações ara: a calcular ; 09 b sendo, calcul ar o valor de.... a Sendo, temos: cos sen Assm sendo, cos?. Pela fórmula de Movre: sen? cos? sen 09? s cos en 09?? 0 09 b... o_ corresonde à soma dos termos de uma PG de termos com termo e raão. q Para determnarmos essa soma, utlamos S n a? n q ; logo: S? Sendo, temos:? cos? sen. Assm:? sen cos? c os? sen? 0 S
21 0 Fatec-SP Sabe-se que, ara todo n IN*, S n n n n n? é a eressão da soma dos n rmeros termos de uma PA. Consderando que é a undade magnára, a forma trgonométrca do 0 o termo dessa rogressão é: e a? cos sen c? cos sen b? cos 7 sen 7 d cos? sen? cos 7 sen 7 n n n n Como Sn é a so ma dos n termos de uma PA, odemos afrmar que:?? S a 7?? S a a 0 a a 7 0 A raão da PA é r a a 0 7 o_ Assm, o 0 termo será: a 0 a 9r 7 9? 8 cos 0 7 a cos 7 sen? sen 7
22 ITA-SP Sendo 0, calcule n n Sendo?, temos:? cos? sen? cos? sen? 0? cos? sen? cos? sen? 0?? cos sen? cos? sen? 0 7 7? cos 7? sen 7 8 8? cos 8? sen 8? 0 Sendo nula a soma dessas 8 otêncas e levando-se em conta que de 8 em 8 termos esses valores se reetem, concluímos que a soma... 0, logo: 0 n n
23 IBMEC-SP Consdere a equação cos 0, com 0 < <. a Determne os valores de ara os quas essa equação admte raíes reas. b Resolvendo em C a equação dada, determne, em função de, suas raíes e reresente-as no lano de Argand-Gauss. a A equação admtrá raíes reas quando D > 0: cos u 0 D cos u?? cos u cos u cos u sen u sen u > 0 sen u < 0 sen u 0 u 0 ou u b Raíes em C : sen sen cos cos?? cos? sen cos? sen Im cos, sen Re cos, sen Em função de u, os ontos descrevem uma crcunferênca de centro C0, 0 e rao.
24 FGV-SP a Determne, no lano de Argand-Gauss, o lugar geométrco dos números comleos reresentados ela equação:? w? w? 0, sendo w. b De todos os números comleos de módulo, determne aqueles que satsfaem a gualdade?. a Se y e w, temos:? w? w? 0 y y y y 0 y y y y y y y 0 y 0y 0 O lugar geométrco é uma crcunferênca de centro, e rao. b Temos:? Se y, então: y y 9? y y y y y 9 y y y 9 9 Logo, ou.
06) (PUC-MG) O número complexo z tal que 5z + z = i é igual a: a) 2 + 2i b) 2 3i c) 1 + 2i d) 2 + 4i e) 3 + i
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