5 Métodos de cálculo do limite de retenção em função da ruína e do capital inicial

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1 5 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal Nesta dssertação serão utlzados dos métodos comparatvos de cálculo de lmte de retenção, onde ambos consderam a necessdade de captal da seguradora, assm como a sua probabldade de ruína. Além dsso, serão exbdos outros métodos de cálculo já utlzados por outros estudos, porém, não serão utlzados para essa dssertação. 5.. Método com a probabldade de ruína contínua Este é um método sugerdo por traub (98), e nele será consderado a probabldade de ruína contínua, calculada pela desgualdade de Cràmer. O método consdera apenas os prncpas tratamentos de resseguro, sendo os mesmos levados em consderação nesse estudo. traub (98) propõe fxar a probabldade de ruína contínua e encontrar o lmte de retenção correspondente. No entanto, será claro observar que o processo nverso também é possível e de mesma dfculdade, ou seja, fxar a retenção e encontrar a probabldade de ruína assocada. Então, prmeramente, restrnge-se como uma Posson Composta de parâmetro, onde e. Além dsso, é possível reescrever as varáves consderando a cobertura de resseguro envolvda no cálculo, ou seja:, onde é custo total retdo pela seguradora, e o custo total repassado a resseguradora. No entanto, tem-se nteresse no segunte evento:, onde é consderado que, ou seja, a ruína ocorrerá quando o custo total de snstros retdos superar o captal ncal e o total de prêmo retdo -. Pela desgualdade de Cramèr a probabldade de ruína pode ser Y majorada por onde R satsfaz E ( e R ) =, e. Logo ~

2 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal 36. Consderando então a probabldade de ruína como sendo a maor possível, ou seja, tornando-a uma gualdade, onde é a probabldade de ruína tolerada, tem-se: Multplcando ambos os lados por Var() e dvdndo por E() (sabendo que ): Fo determnado pelo autor que o lado esquerdo da fórmula sera a necessdade de proteção por resseguro, denotado por q, e este é ndependente da cobertura de resseguro adqurdo. Para fxar uma retenção sobre cada um das quatro mas relevantes coberturas de resseguro de acordo com a equação a cma, tudo que tem que ser feto é calcular e sobre as coberturas de Quota-Parte, Excedente de Responsabldade, Excesso de Danos e top-loss. onde e são os carregamentos da seguradora e da resseguradora, respectvamente. Logo, o cálculo do prêmo retdo pela seguradora, como já fo defndo, fca da segunte manera: Quota-Parte Para a cobertura de resseguro proporconal Quota-Parte tem-se que:, tornando possível o cálculo da parte dreta da fórmula de retenção apresentada anterormente. Fazendo as substtuções necessáras é possível constatar que, e como q é um valor ndependente da cobertura de resseguro, tem-se então uma equação de ncógnta α, onde um dos valores de α sera o lmte de retenção correspondente a esse caso.

3 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal Excedente de Responsabldade Já para o caso do Excedente de Responsabldade o cálculo será um pouco dferencado. Neste caso, o snstro retdo pela seguradora é vsto da segunte manera:, com sso a parte dreta da fórmula de retenção que sera modfcada ndretamente pelo cálculo de, pos se restrngu também a uma Posson Composta de forma que e. Dessa manera tem-se que, onde. Logo, o m que satsfzer essa equação será o lmte de retenção corresponde para essa cobertura de resseguro Excesso de Danos Também para caso do Excesso de Danos, o cálculo va ser um pouco dferente. Neste caso, o snstro retdo pela seguradora é vsto da segunte manera:, com sso a parte dreta da fórmula de retenção que ra ser dferencada também será ndretamente o cálculo de. Portanto, tem-se que, onde. Logo, o r que satsfzer essa equação será o lmte de retenção correspondente a essa cobertura de resseguro não proporconal top-loss Para o tratamento não proporconal top-loss, a dferença está dretamente no cálculo de, pos o top-loss é defndo dretamente em cma do total de custo com snstros, ou seja,. Então a equação a ser resolvda fca, onde. Da mesma

4 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal 38 manera, o d que satsfzer a equação será o lmte de retenção correspondente a essa cobertura de resseguro. 5.. Método com a probabldade de ruína dscreta No método dscreto, o cálculo da ruína é baseado na dstrbução da varável aleatóra ~, custo total de snstros. Tal dstrbução será nferda a partr de dados coletados durante um ano, tornando possível fazer prevsões para períodos dscretos de tempo. Desta vez, a dstrbução de ~ também será ~ restrngda a uma Posson composta de parâmetro, onde E( ~ ) = E( X ) e ( ~ ~ Var( X ) E( X )) Var ( ~ ) = Método dscreto para ano Como fo vsto, a ruína, tanto contínua quanto dscreta, ocorre quando a companha de seguros não é solvente no momento analsado, ou seja, esta possu resultados negatvos: onde é a soma total do custo de snstros ocorrdos no ano de análse, é o total de prêmo ganho no ano de análse e U é a reserva ncal. Através da nferênca sobre é possível calcular a probabldade de ruína, ou seja, é possível calcular Método dscreto para tempos maores que ano É de nteresse de mutas companhas de seguro analsar a sua ruína em um período maor que apenas anos. egundo o mesmo prncípo utlzado para o espaço de tempo de ano, a nferênca sobre ~ agora será feta para os anos seguntes. Logo, para exemplfcar, consderou-se o horzonte de 5 anos para dar aplcabldade a este método. Partndo do prncípo que a probabldade de ruína ocorrer até o segundo ano é a probabldade de acontecer ruína no prmero ano, mas a probabldade de não acontecer ruína no prmero ano e sm no ano segunte. Da mesma manera, a probabldade de ruína ocorrer até o tercero ano é a probabldade de

5 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal 39 acontecer ruína no segundo ano, mas a probabldade de não acontecer ruína no prmero e segundo ano, mas acontecer ruína no tercero. E assm, segundo esse prncípo até o qunto ano. Nesses cálculos foram consderados que os eventos e são ndependentes um e o outro, e também entre s, para todo t dscreto, de modo a facltar as contas, e também por que um grau de dependênca é levado adante através do captal acumulado do ano anteror: Para ano: Para anos: Para 3 anos: Para 4 anos: Para 5 anos: E para os captas ncas de cada ano tem-se:

6 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal 4 Como é varável aleatóra, as reservas ncas de cada ano podem ser re-escrtas da segunte manera: Como os captas ncas estão em função das varáves aleatóras ~ t, substtuem-se então os novos captas ncas no cálculo da probabldade de ruína depos de cnco anos: Para anos: Para 3 anos: Para 4 anos: Para 5 anos: Como fo dto anterormente, a dstrbução de ~ fo restrngda a uma Posson Composta. Logo, de acordo com Kaas (8), se tem que a soma de varáves aleatóras Posson Compostas ndependentes também é uma Posson Composta, de manera que:

7 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal 4 Neste caso a dstrbução de X ~, custo ndvdual dos snstros, se mantém nalterada, da onde sa o resultado: 5.3. Métodos para o cálculo da dstrbução de De acordo com Kaas (8), exstem alguns métodos de cálculos para a dstrbução do custo total de snstros. Dentre eles encontram-se três aproxmações e também um método recursvo de cálculo. Um método bem conhecdo para aproxmar a dstrbução de é baseado no Teorema do Lmte Central (CLT), conhecdo também como aproxmação pela Normal. Além dessa aproxmação, exstem duas aproxmações mas precsas que envolvem três momentos da dstrbução em vez de apenas dos. Essas aproxmações são: a da Gama Transladada e a da Normal Power. egundo Gerber (995), exstem outros tpos de aproxmações, porém estas não serão utlzadas nesse estudo Aproxmação pela Normal A déa por trás da aproxmação pela Normal é bem smples: se a méda e varânca de são conhecdas, é possível aproxmar a dstrbução de por uma Normal com a mesma méda e varânca. Uma justfcatva para esse método é que é a soma de um número (aleatóro) de varáves aleatóras ndependentes e dentcamente dstrbuídas. Com o aumento do número de varáves a serem somadas, é esperado que a dstrbução da soma tenda para uma Normal, como vsto pelo Teorema Central do Lmte Teorema Central do Lmte para Posson Composta egundo Kaas (8), seja dstrbuído por uma Posson Composta de parâmetro, com snstros ndvduas dstrbuídos por V(.) com varânca fnta. Então, com µ = E() e σ = Var( ), logo:

8 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal 4 lm µ P s = Φ( s) σ Aproxmação pela Gama Transladada Um problema com a aproxmação pela Normal é que esta só é baseada nos dos prmeros momentos da dstrbução de, e assm a aproxmação não captura a assmetra da dstrbução. A Gama Transladada supera esse problema utlzando-se os três prmeros momentos de, onde a déa por trás da aproxmação sera que sera aproxmadamente Y + k, onde e k uma constante de translação. Os parâmetros α, β e k da dstrbução aproxmada podem ser achados por comparações entre a méda, varânca e o coefcente de assmetra das duas dstrbuções. No entanto, não exste justfcatva plausível para a aproxmação pela Gama Transladada. Contudo, essa aproxmação possu os mesmos três prmeros momentos de, ou seja, é esperado que seu desempenho seja melhor do que a da Normal Aproxmação pela Normal Power A aproxmação pela Normal Power fo crada com o mesmo objetvo da Gama Transladada: ntroduzr o tercero momento de na aproxmação. Consste em aproxmar a Gama Transladada por uma dstrbução Normal da segunte forma: para, E() = µ, Var() = σ e γ = coefcente de assmetra. Com sso é possível chegar ao segunte resultado:

9 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal 43 para Método recursvo de Panjer egundo Kaas (8), em 98, Panjer descreveu um método que calculara as probabldades de de forma recursva, construndo assm a dstrbução de. (Teorema da recursão de Panjer) Consdere uma dstrbução composta com valores de snstros nteros e não negatvos com densdade v(x), onde, para algum a e b real, a probabldade q n de se ter n snstros satsfaz a segunte relação recursva: Então as seguntes relações para a probabldade do total de snstros são váldas: É sabdo que se N for dstrbuído por uma Posson, Bnomal ou Bnomal- Negatva, N faz parte então da classe de Panjer, onde: Dstrbução q k = P(N=k) a b q Bnomal Posson Bnomal Negatva Neste estudo a dstrbução de será restrngda a uma Posson composta de parâmetro, logo teremos:

10 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal Teste de aderênca Qu-Quadrado Como fo vsto no tópco anteror, para aplcar o método de Panjer, a varável aleatóra snstros ndvduas tem q possur uma dstrbução dscreta. Kaas (8) sugere algumas dstrbuções mas utlzadas para representar perda, neste caso, os snstros, dentre elas a dstrbução Gama e Log-Normal. Porém, é necessáro testar a aderênca dos dados à dstrbução escolhda para representá-los, então um teste sugerdo para tal operação é o teste de aderênca Qu-Quadrado. A estatístca Qu-Quadrado pode ser usada para dados contínuos ou dscretos, e tem o objetvo de testar se uma amostra de dados veo de uma população com uma dstrbução específca. Este teste é aplcado para dados agrupados, ou seja, é precso dvdr os dados em grupos. Esses grupos podem ser determnados pela Regra de turges 4, segundo Bussab (). O teste sob H o tem o segunte formato: χ = k = ( N E ) em que k é o número de grupos, N é o número de observações em cada grupo e E é a freqüênca esperada para o grupo, sob a hpótese de que a dstrbução sob H o é a correta. Esta estatístca é muto vulnerável à determnação dos grupos. É possível encontrar dferentes resultados para os mesmos dados em função desta escolha. Além dsto, este teste não é váldo para pequenas amostras. A estatístca Qu-Quadrado segue, aproxmadamente, uma dstrbução Qu-Quadrado, χ, com (k-c-) graus de lberdade, em que c representa o número de parâmetros estmados para a dstrbução. Então, a hpótese de que a amostra veo da população com uma dstrbução específca é rejetada se, com o nível de sgnfcânca a, observa-se: χ E > χ α, k c 4 Determna o número de classes que os dados devem ser dvddos através de uma função k que depende de n, número de observações:.

11 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal Convolução De acordo com Kaas (8), a operação convolução calcula a dstrbução de + através das dstrbuções ndvduas das varáves aleatóras ndependentes e da segunte manera: F + ( + s) = F ( s s ) df ( s ) = : F F ( ) ( s) = P 3 + s A dstrbução F F ( s) é dta ser a convolução entre F ( ) e F ( ). Com e dstrbuções do tpo dscretas têm-se: = F ( s F F s) s ) f ( s e f f s) = f ( s s ) f ( ) s ( ( ) s Além dsso, o operador * é comutatvo, de manera que F F ( s) = F F ( s) F, e também é assocatvo, ou seja, ( ) 3 ( F F ) F F F. = 3 3 s F F F = 5.4. Outros métodos Nesta seção serão defndos alguns métodos encontrados ao longo da revsão bblográfca feta para essa dssertação, no entanto, tas métodos não serão aplcados aqu Captal ncal como função dependente do lmte de retenção de um Excesso de Danos e da probabldade de ruína De acordo com Centeno (995), é possível estudar a reserva ncal, ou captal ncal, como função do lmte de retenção e de uma probabldade de ruína. Para tanto, consdere a cobertura de resseguro Excesso de Danos e a partr daí estabeleça quatro hpóteses báscas para a análse. Tas hpóteses são: N, número de snstros observados, segue uma mstura de varáves aleatóras Posson; X com =,,..., N, é a varável aleatóra que representa o custo do snstro, e são ndependentes e dentcamente dstrbuídas entre s, são ndependentes de N e possuem função de dstrbução absolutamente contínua; o valor esperado de X exste; e o prêmo retdo é calculado pela formula a segur, tendo α como coefcente de carregamento:

12 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal 46 ~ P = δ ( x r) dv ( x) M Prmeramente, usando a aproxmação Normal Power para o rsco retdo obteve-se: ( z ) DP ~ K ~ ~ ( ) ( ) ( P E( ) P) U ( r) = zdp( ~ ) + 6 ~ µ com Φ( z ) = P z = ε σ, sendo Φ a dstrbução acumulada de uma ~ ~ normal padrão, DP( ) e K ( ) são respectvamente o desvo padrão e coefcente de assmetra do rsco retdo ~ e P é o prêmo bruto ganho da seguradora. Agora, consderando a aproxmação Normal para o rsco retdo: ~ U ( r) = zdp( ~ ) P E( ) P ( ) Com as funções a cma, é possível determnar o captal mínmo necessáro para aplcar a cobertura de Excesso de Danos com lmte de retenção m e probabldade de ruína ε. Portanto, o captal ncal tem um mínmo se, e somente se, z z δ > +, para a aproxmação Normal Power; e 6 aproxmação Normal. z δ >, para a Método de cálculo do lmte de retenção de Excesso de Danos para dos rscos dependentes De acordo com Centeno (4), do ponto de vsta do segurador, é possível calculas os lmtes de retenção ótmos de cobertura do tpo Excesso de Danos para dos rscos dependentes. Para tanto, consdere dos crtéros de otmzação, um que maxmza a utldade esperada, do tpo exponencal, e o outro que maxmza o coefcente de ajuste dos rscos retdos. Também consdere o número de snstros (N, N ) como uma Posson bvarada, de manera que N = K + K e N = K + K, onde K, K e K são dstrbuídos por uma Posson de parâmetros respectvamente guas, e, e o cálculo de prêmo para esse tpo de cobertura de resseguro fo o valor

13 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal 47 esperado prncpal dos snstros com carregamentos δ e δ, para cada rsco dependente Maxmzando a função de utldade Prmeramente, leve em consderação o método dervado da função de utldade, u( x) = exp( βx). Então, o máxmo da utldade esperada do total de snstros retdos é: δ β e δ β a) Quando + + (/ β )ln(+ δ ) exp( βx )( V dx, (/ β ) ln(+ δ) exp( βx )( V dx, o máxmo é obtdo no únco ponto (r, r ) que satsfaça: exp( βr ) = + β + exp( βr ) = + β + + δ r + δ r exp( βx)( V exp( βx)( V dx dx δ < β b) Quando + (/ β )ln(+ δ ) exp( βx )( V dx o máxmo é obtdo no ponto (m, m ) = (,(/ β ln( + ))) δ < β c) Quando + (/ β ) ln(+ δ) exp( βx )( V dx O máxmo é obtdo no ponto (m, m ) = ( / β ln( + α )),) (

14 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal Maxmzando o coefcente de ajuste egundo Centeno (4), o coefcente de ajuste do rsco retdo R = R(r, r ), é defndo pela raz únca e postva, caso exsta, da função ~ ~ ( ( E( exp( R( + )) = exp( R( P + P ( P + P ))), que pode ser denotada por G(R; r, r ) =, onde ~ N = j= mn( X j, r ), P é o prêmo bruto referente ao rsco, e P ( é o prêmo de resseguro referente ao rsco. ( P = ( + δ )( + ) ( V dx Com sso, R(r, r ) é uma função unmodal de retenções, de manera que esta atnge seu máxmo: a) Quando P + P δ < e δ < R + ( + ) µ ( + ) ( + ) µ (/ R) ln(+ δ ) exp( Rx)( V µ dx como sabdo, R é dado pela solução únca de (r, r ) = (,(/ ln( + δ ))) é obtda no ponto (r, r ) =(,(/ ln( + δ ))) δ e P < δ < R b) Quando + P + ( + ) µ ( + ) ( + ) µ (/ R) ln(+ δ ) R. µ exp( Rx)( V dx r R e esta como sabdo, R é dado pela solução únca de (r, r ) = ( / ln( + δ )),) obtda no ponto (r, r ) =( / ln( + δ )),) ( R. ( R e esta é c) Caso as condções a) e b) acma não sejam cumprdas, o máxmo é obtdo no únco ponto que satsfaz:

15 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal 49 + δ exp( Rr ) = r + R + exp( Rx)( V dx + δ exp( Rr ) = r + R + exp( Rx)( V ( )) x dx G( R; r, r ) = Método de mnmzação da varânca da cartera Dado uma cartera com n rscos ndependentes de uma seguradora, aplcase na cartera uma mesma cobertura de resseguro para cada um dos n rscos. Então, tem-se que o lucro provndo da cartera, é completamente dependente dos lmtes de retenção adotados para cada rsco da cartera. De acordo com Fnett (94), o vetor composto por lmtes de retenção que mnmza a varânca do lucro da cartera pode ser consderado o vetor ótmo a ser aplcado. Prmero consdere uma cobertura de resseguro Quota-Parte. Com uma cartera de n rscos ndependentes, denota o custo total de snstros provndos do -ésmo rsco, P denota o prêmo bruto recebdo para segurar o -ésmo rsco, e α denota a proporção retda pela seguradora do -ésmo rsco. Logo, o prêmo ( ( de resseguro é defndo como P = ( + δ )( α ) E( ), onde ( δ é o carregamento de resseguro do -ésmo rsco. Portanto, o lucro da seguradora sob essa cobertura de resseguro pode ser descrto por: n ( ( P ( + δ )( α ) E( ) ) Z( α) = α = onde α é o vetor de lmtes de retenção analsado, e Z(α ) é o lucro da cartera sob a cobertura de ressegura Quota-parte. ujetado a condção de que ( Z(α )) k, onde k é uma constante, ( Z(α) ) E = V é mnmzado por: cδ E( ) α = V ( ) onde c é a constante determnada pela condção E ( Z )) = k (α. Caso esse procedmento retorne um valor α >, a solução é fxar α = para o -ésmo rsco com os lmtes de retenção restantes sendo provenentes da manera apresentada a cma.

16 Métodos de cálculo do lmte de retenção em função da ruína e do captal ncal 5 Agora consdere um contrato de resseguro do tpo Excesso de Danos. Também com uma cartera de n rscos ndependentes, e P mantém a mesma defnção já apresentada, agora consderando que é restrngdo a uma Posson Composta, ( denota o custo total de snstros repassados para a resseguradora provndos do -ésmo rsco, e m denota o lmte de retenção do -ésmo rsco. ( ( ( Logo, o prêmo de resseguro aqu é defndo como P = + δ ) E( ). Portanto, o ( lucro da seguradora sob essa cobertura de resseguro pode ser descrto por: Z( m) = n ( ( ~ ( P ( + δ ) E( ) ) = onde m é o vetor de lmtes de retenção analsado, ~ é o custo total de snstros retdos pela seguradora provndos do -ésmo rsco, e Z(m) é o lucro da cartera sob a cobertura de ressegura Excesso de Danos. Também sujetado a condção de que E ( Z( m) ) = k, onde k é uma constante, ( Z(m) ) m = cδ V é mnmzado por: onde c é a constante determnada pela condção E ( Z m) ) = k (.

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