REGRESSÃO NÃO LINEAR 27/06/2017

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1 7/06/07 REGRESSÃO NÃO LINEAR CUIABÁ, MT 07/ Os modelos de regressão não lnear dferencam-se dos modelos lneares, tanto smples como múltplos, pelo fato de suas varáves ndependentes não estarem separados por adção ou subtração e os coefcentes não estarem elevados a. β Y = β 0 X β X + ε β Y = β 0 (X β +X ) + ε MÉTODOS ITERATIVOS Os coefcentes dos modelos de Regressão não lneares não são estmados por MMQO e sm por métodos teratvos através de processo de otmzação. Esses métodos utlzam um algortmo para resolver o problema dos mínmos quadrados não lneares; Dentre os város tpos de algortmos podemos ctar: Gauss-Newton, quas Newton, Marquardt. ALGORITMO DE GAUSS-NEWTON Ele usa um processo de otmzação não lnear como a maora dos algortmos; Um problema não-lnear de mínmos quadrados é um problema de otmzação sem restrções da forma em que m é o número de varáves A função objetvo f(x) é defnda por m funções resduas auxlares {r (x)}. Vamos supor que m n. Esse problema é chamado de mínmos quadrados, porque há soma dos quadrados das funções resduas. Um dos maores problemas das técncas de otmzação é a estmação dos problemas não lneares. A função r(x) representa a dferença resdual entre o valor predto e o valor real. Escrevendo o problema de otmzação: E o cálculo do resíduo: E r é a função real do valor: A função resdual descreve uma superfíce (geralmente n-dmensonal) em Rm.

2 7/06/07 Como: R(x) = [r (x) r (x) r 3 (x)] T superfíce em Rm Pode ser nterpretado como: Dessa forma, a técnca busca encontrar os coefcente x no espaço de parâmetros Rm. como uma função de Como: Aplcado regra da cadea na f(x): Pode ser nterpretado como: J(x) corresponde a matrz Jacobana de r(x). Dessa forma, a técnca busca encontrar os coefcente x no espaço de parâmetros Rm. Usando a regra da cadea novamente, têm-se a matrz Hessana A matrz Hessana é composta de dos componentes: Se J(x) assumr o posto completo, a aproxmação de Hessana O método que usa a aproxmação Q (x) = 0 é chamado o método de Gauss-Newton e determna a dreção de busca como a solução da equação de Newton É uma matrz defnda postva e a dreção de busca de Gauss-Newton p GN é uma dreção de descda. Caso contráro, torna-se sem nversão. Com uma matrz Hessana aproxmada Essa operação não oferece solução únca, denomnando-se problema sub determnado ou sobre parametrzado.

3 7/06/07 Se J(x) assumr o posto completo, a aproxmação de Hessana Suponha que nós aproxmamos a função resdual r(x) com uma função lnear de Taylor É uma matrz defnda postva e a dreção de busca de Gauss-Newton p GN é uma dreção de descda. Caso contráro, torna-se sem nversão. Resolvendo o problema dos mínmos quadrados lneares Usando sstema de equações normas Essa operação não oferece solução únca, denomnando-se problema sub determnado ou sobre parametrzado. ou Esse procedmento corresponde a dreção de busca de Gauss-Newton A aproxmação lnear corresponde a um plano tangente à superfíce r(x) em R k = r(x k ) Plano mas próxmo da orgem é dado pela projeção de -rk no espaço de alcance de J k, uma vez que Como ocorre a convergênca? Se r(x*) = 0, então a aproxmação Q(x) 0 é boa e o método de Gauss-Newton se comportará como o método de Newton próxmo da solução, sto é, converge quadratcamente se J(x*) tver o posto completo. Consderando: Se J(x*) = USV T é a decomposção de valor sngular de J(x*) Com A dreção é calculada da segunte forma: A aproxmação de prmera ordem torna-se: 3

4 7/06/07 Exemplo: Consdere o segunte conjunto de dados: Consdere a segunte função exponencal: em que t é a dade em anos e y é o tamanho da população de antílopes (centenas) E o cálculo do resíduo: Consdere o modelo dervado: Espaço dos parâmetros Modelo no espaço Valores observados no espaço Interpretação estatístca Se consderarmos os resíduos provenentes da equação: Se for desconhecdo, pode ser estmado por Com os erros ndependentes e normalmente dstrbuídos e a estmatva dos mínmos quadrados dos parâmetros será o estmador de máxma verossmlhança dada a nossa medção y. A varânca para os parâmetros estmados é calculada a partr da matrz de covarânca Em que m é o número de observações, e n é o número de parâmetros. Uma alta varânca sgnfca um alto grau de ncerteza sobre um parâmetro. Neste contexto, a matrz nversa Como a matrz de nformação é proporconal a matrz hessana, a forte curvatura corresponde a alta nformação, sto é, boa localzação do parâmetro. 4

5 7/06/07 TESTE DE SIGNIFICÂNCIA DOS COEFICIENTES Teste utlzado para verfcar a sgnfcânca das estmatvas dos parâmetros. Hpótese H : 0 0 H : 0 a t ˆ S ˆ Assm, (hecto-antílopes) e o desvo padrão de x é (hecto-antlopes) e de x é (Hecto-antílopes / ano). Com estas undades, a ncerteza máxma é na dreção de 0,99x - 0,x. em que: ˆ é o valor estmado do parâmetro (coefcente); parâmetro obtdo a partr da hpótese (geralmente utlzamos zero); S ˆ varânca da estmatva do parâmetro Como obter as estmatvas das varâncas dos coefcentes? Consderando um modelo lnear smples têm-se: Matrz de Varâncas e Covarâncas COV መβ = (X X) s = (X X) QMRes COV መβ = n + തX തX σ n = (X തX) n σ n = (X തX) തX s n σ n = (X തX) σ n = (X തX) Intervalo de confança para os coefcentes IC( ) t j j S ˆ em que: t é o valor da dstrbução t de student a um nível de probabldade fxado, com n-p- graus de lberdade do resíduo. COV መβ = V( መβ 0 ) COV( መβ 0 መβ ) COV( መβ 0 መβ ) V( መβ ) CRITÉRIOS DE SELEÇÃO DOS MODELOS Comparando modelos com número de coefcentes dferentes - Coefcente de correlação lnear ao quadrado (rxy) : R (%) ( r xy ) 00 Para comparar modelos com número de coefcentes dferentes pode-se fazer o cálculo do Coefcentes de Determnado Ajustado(R adj) ou Corrgdo (R corrg) R adj = n n p + ( R ) em que: R pode ser o própro R, IA ou (rxy). 5

6 7/06/07 Syx Erro padrão da estmatva (Syx) n ( Y Yˆ) n p S Y.X QMResíduo E se o modelo tver a varável dependente na forma logarítmca? Lembre-se que no caso da varável dependente estar na forma logarítmca o deve ser corrgdo pelo Fator de Meyer FM e 0,5*( Syx ) em que: Syx = QMRes obtdo no ajuste da varável dependente na forma logarítmca. Erro padrão da méda (Syx(%)): Syx Syx(%) 00 Y ANÁLISE GRÁFICA DE RESÍDUOS Consste na análse dos resíduos da varável resposta analsada em função de uma varável, que pode ser a resposta (varável resposta) ou uma varável ndependente. E Y Y Y Erros ou Resíduos? Y Y Re síduo Y Os erros E são defndos como as n Y Y dferenças de sendo =,, 3,..., n. Dessa forma, o erro ndca o quanto a equação de regressão não é capaz de explcar os valores da varável dependente. Os resíduos podem ser plotados em função de qualquer varável em estudo, geralmente os resíduos são plotados contra o valor de dap ou contra os valores de Y Outlers Um outler corresponde a um ou mas ponto(s) (resíduo(s)) muto dscrepante em relação a curva do modelo. Nem sempre um ponto é um outler, pode ter acontecdo do modelo não ter ajustado aos dados. Por sso utlzamos város modelos. Exercíco de Fxação Ajustar os seguntes modelos volumétrcos e seleconar o(s) mas acurado(s) através da análse gráfca de resíduos, Syx(%) e R ajustado*. *Lembre-se que o R deve ser o que melhor se adequa a maora dos modelos. 6

7 7/06/07 Modelo Schumacher e Hall (não lnear) Schumacher e Hall (lnearzado) Fórmula V 0dap ht ln( V ) 0 ln( dap) ln( ht) Spurr Takata V 0 ( dap ht) dap ht V dap 0 7