FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 1

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 1 Nome Nº Turma: Data: / / Professor 10.º Ano Classfcação Apresente o seu racocíno de forma clara, ndcando todos os cálculos que tver de efetuar e todas as justfcações necessáras. Quando, para um resultado, não é pedda uma aproxmação, pretende-se sempre o valor exato. (10) 1. De um conjunto de cnco números nteros postvos sabe-se que a méda, a medana e a moda são números consecutvos, tas que, x x Mo. Determne cnco números nessas condções, explcando todos os racocínos efetuados. Para haver moda é necessáro que haja, pelo menos, dos números guas. No entanto, se houver três números guas a moda é necessaramente gual à medana, o que não pode acontecer. Assm, só podemos ter dos números guas que representarão à moda. Como as três meddas são nteros consecutvos, se x x então Mo x 1 e x x 1. Sejam x a, x b, x, x 1, x 1 os cnco números, com a b, pos só podem haver dos números guas. De x x 1 resulta x a x b x x 1 x 1 x 1 5x a b 5x 5 a 7 b 5 Assm, para b 1 (por exemplo) temos a 6. Portanto, uma possível solução é da forma: x 6, x 1, x, x 1, x 1 Ora, para x 7 obtemos a solução: 1, 6, 7, 8, 8, sendo x 6, x 7 e Mo 8 Outras soluções: para b temos a 5, gerando soluções da forma: x 5, x, x, x 1, x 1 Agora, para x 10 obtemos a solução: 5, 8, 10, 11, 11, sendo x 9, x 10 e Mo 11 Outro processo de resolução (mas smples): Ver últma págna Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 1/8 Versão 1

2 . A partr de um estudo sobre o número de rmãos dos 160 alunos que frequentam o 10.º ano de uma escola secundára elaborou-se o gráfco da função cumulatva das frequêncas relatvas, representado ao lado. (5).1. A varável em estudo é Qualtatva Qualtatva dscreta Quanttatva dscreta Quanttatva contínua (10).. Complete a tabela segunte. Número de rmãos Frequênca absoluta Frequênca relatva smples acumulada x n f F Acrescentando colunas para a méda e n x x x n x x ,5 0,5 0 (0 1,3) 67, ,4 0,65 64 (1 1,3) 5,76 3 0, 0,85 64 ( 1,3) 15, ,1 0,95 48 (3 1,3) 46, , (4 1,3) 58, ,6 (10).3. Indque os valores de n e F, em percentagem, e dga o que representam no contexto deste problema. n 64 sgnfca que 64 dos alunos do 10.º ano têm 1 rmão. F 0, 65 65% sgnfca que 65% dos alunos do 10.º ano têm 0 ou 1 rmão. (10).4. Calcule a méda do número de rmãos de cada aluno. Méda = x x n = N = = 1,3 Cada aluno tem, em méda, 1,3 rmãos. (10).5. Calcule o desvo-padrão do número de rmãos de cada aluno. n x x Medana = = N 193, = 1,1 O desvo-padrão do número de rmãos de cada aluno é 1,1. Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna /8 Versão 1

3 3. No segumento do estudo referdo na questão anteror construu-se também o hstograma segunte. (10) 3.1. Indque o valor lógco das afrmações seguntes: V A medana das alturas dos alunos pode ser 164. F 0 alunos têm altura no ntervalo [148, 156[. V V F 10 alunos têm altura superor ou gual a 1,56 metros. 5% dos alunos têm altura nferor a 156 cm. A altura méda dos alunos é 1,60 metros. (10) 3.. Construa, sobre o hstograma, o polígono das frequêncas absolutas e calcule o valor da área lmtada pelo exo horzontal e pelo polígono de frequêncas. O polígono das frequêncas absolutas é a lnha que une os pontos médos das bases superores de cada barra, prolongado até ao exo horzontal (magnando classes com a mesma ampltude e de frequênca zero). Assm, a área lmtada pelo polígono e pelo exo horzontal é gual à soma das áreas de todas as barras, ou seja, 8 ( ) = = 180 (10) 3.3. Indque, justfcando, a classe modal e, recorrendo ao hstograma, determne uma aproxmação geométrca para a moda das alturas dos alunos. A classe modal é [164, 17[, pos trata-se da classe de maor frequênca. Uma aproxmação geométrca para a moda é 167 centímetros. Feto no hstograma apresentado na questão anteror Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 3/8 Versão 1

4 Turma A Turma B 4. Nas tabelas abaxo encontram-se as classfcações que duas turmas do 10.º ano obtveram em Matemátca no fnal do.º período. Nota N.º de alunos N Nota N.º de alunos N (10) 4.1. Sabe-se que a méda e o desvo-padrão das notas da turma B são, respetvamente: x Turma B 13 Turma B 30, Recorrendo à calculadora, determne a méda e o desvo-padrão das classfcações da turma A, com aproxmação às décmas. x (turma A) = 1,0 (Turma A) = 3,0 (10) 4.. Atendendo apenas aos valores da méda e do desvo-padrão de ambas as turmas, dz, justfcando adequadamente, qual das turmas obteve melhores resultados. A turma B tem melhor méda (1 valor acma da méda da turma A) E tem também gual desvo-padrão (3 em ambas as turmas). Como o desvo-padrão nos dá a dspersão dos dados relatvamente à méda, essa dspersão é gual nas duas turmas, o que pressupõe que as duas turmas apresentam a mesma regulardade. Assm, como a turma B tem uma méda mas alta, podemos consderar que obteve melhores resultados. (10) 4.3. No níco do 3.º período veo um aluno transferdo para a turma B. Com a entrada desse aluno a méda das notas da turma subu 1 décma. Determne, apresentando todos os cálculos, a classfcação que esse aluno tnha. x (9 alunos) = 13 Portanto, o total das classfcações dos 9 alunos era 9 13 = x30 x (30 alunos) = 13,1 Portanto, 30 13, x , 1 x30 16 Assm, o novo aluno tnha uma classfcação de 16 valores. Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 4/8 Versão 1

5 (10) 4.4. A partr da tabela ncal, determne, analtcamente, os quarts (Q 1, Q e Q 3 ) da dstrbução das classfcações da turma A. Temos N = 6, número par de dados As frequêncas absolutas acumuladas estão ao lado da tabela x13 x14 Q = medana = x = Q 1 = x13 1 = x 7 = 10 Q 3 = x 13 7 x 1 = = 1 Nota: fcam 13 dados de cada lado da medana (10) 4.5. A segur encontra-se o dagrama de extremos e quarts das classfcações da turma B. Construa, paralelo ao dagrama da turma B, o dagrama de extremos e quarts da turma A. (10) 4.6. Baseando-se apenas nos dagramas da questão anteror, e sabendo que a turma A tem 6 alunos e a turma B tem 9 alunos (suponha que não conheca as notas de cada turma), ndque o valor lógco das afrmações seguntes: F A turma A tem maor ampltude nterquarts. V A maor dspersão de classfcações da turma A regstou-se acma de Q 3. F V Na turma A houve 7 notas superores a 14 valores. Na turma B houve pelo menos uma nota gual a 13 valores. V Em ambas as turmas houve aproxmadamente 50% das notas entre Q 1 e Q 3. Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 5/8 Versão 1

6 5. Os dagramas de dspersão apresentados abaxo relaconam algumas varáves estatístcas de um grupo de 10 alunos de uma turma escolhdos ao acaso. Dstrbução A Dstrbução B Dstrbução C Altura / Massa corporal Notas Português / Matemátca Colesterol HDL / LDL r 0,95 r 0,56 r -0,76 Correlação postva forte Correlação postva Correlação negatva (10) 5.1. Entre os números seguntes encontram-se os coefcentes de correlação das três dstrbuções. 0,05 0,76 0,56 1 0,95 0,3 Complete a legenda de cada dagrama com o respetvo coefcente de correção e classfque o tpo de correlação exstente. (10) 5.. Calcule, analtcamente, o centro da nuvem de pontos da dstrbução C. Centro da nuvem = x, y x 45, y Portanto, x, y 45, 6; 131 (5) 5.3. A nuvem de pontos da dstrbução B tem centro x, y 13, 13. Qual das equações seguntes pode representar a reta de regressão desta dstrbução? y 0, 7x 3, 9 y 0, 7x 3, 9 y 0, 7x 3, 9 0, 7x y 3, 9 (5) 5.4. Se adconarmos 5 undades a todos os valores da varável y na dstrbução A obtemos uma nova dstrbução cujo coefcente de correlação é gual ao da dstrbução A. multplcado por 5. 5 undades superor. 5 undades nferor. Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 6/8 Versão 1

7 Nº de alunos Nº de alunos N.º de alunos N.º de alunos 6. Os gráfcos seguntes mostram como se dstrbuíram as notas de Matemátca em quatro turmas do 10.º ano de uma escola secundára, todas com o mesmo número de alunos. Turma A Turma B Turma C Turma D Notas Notas Notas Notas (5) 6.1. Relatvamente à méda, podemos afrmar que: Todas as turmas têm méda 1. A maor méda regstou-se na turma B. Só as turmas B e D têm méda 1. A turma C tem a menor méda. (5) 6.. Relatvamente à ampltude, podemos afrmar que: Todas as turmas têm ampltude 4. A turma B tem ampltude. As turmas A e D têm ampltude 5. Só a turma C tem ampltude 4. (5) 6.3. Relatvamente à moda, podemos afrmar que: Todas as turmas têm moda 1. Só na turma A não há moda. A turma A tem 5 modas. Na turma C não há moda. (5) 6.4. Relatvamente ao desvo-padrão, podemos afrmar que: Todas as turmas têm gual desvo-padrão O desvo-padrão é maor na turma B. As turmas B e D têm gual desvo-padrão O desvo-padrão é maor na turma C. (5) 6.5. Relatvamente à turma B, se todas as notas subrem 1 valor, podemos conclur que: O desvo-padrão mantém-se gual. A moda mantem-se gual. Só a méda sobe 1 valor. Só a medana sobe 1 valor. Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 7/8 Versão 1

8 ESTA PÁGINA PODE SER UTILIZADA PARA CORRIGIR OU RESOLVER ALGUMA QUESTÃO EM QUE O ESPAÇO APRESENTADO NÃO TENHA SIDO SUFICIENTE. CASO A UTILIZE, IDENTIFIQUE CLARAMENTE AS QUESTÕES A QUE ESTÁ A RESPONDER. Outro processo de resolução da questão 1 Para haver moda é necessáro que haja, pelo menos, dos números guas. No entanto, se houver três números guas a moda é necessaramente gual à medana, o que não pode acontecer. Assm, só podemos ter dos números guas que representarão à moda. Como as três meddas são nteros consecutvos, medana Por exemplo: se Mo 10 temos x 9 e x 8 x x Mo, podemos começar por fxar a moda e a Assm, os números peddos são a, b, 9, 10, 10, com a b e nteros, para haver apenas uma moda. Como x 8 resulta a b a b 9 40 a b 11 5 Agora só temos de escolher dos números nteros cuja soma dê 11. Mesmo assm, temos de ter cudado com as váras possbldades, como mostra a tabela abaxo a A partr daqu as soluções são smétrcas b Note-se que as duas prmeras não servem (porquê). Portanto, uma solução é: 3, 8, 9, 10, 10, sendo x 8, x 9 e Mo 10 Mas as soluções 4, 7, 9, 10, 10 e 5, 6, 9, 10, 10 têm as mesmas méda, moda e medana. BOM TRABALHO! Prof. José Tnoco Fcha de avalação da Matemátca A 10.º Ano Págna 8/8 Versão 1

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